黑龍江省綏化市青岡縣哈爾濱師范大學(xué)青岡實(shí)驗(yàn)中學(xué)校2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期10月考試數(shù)學(xué)試題

哈師大青岡實(shí)驗(yàn)中學(xué)2024-2025學(xué)年度高二10月份考試數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求。）1．已知直線過(guò)點(diǎn)，，則直線的傾斜角為（

）A． B． C． D．2．直線和的交點(diǎn)坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．3．已知向量，，則在上的投影向量為（

）A． B． C． D．4．若表示圓的方程，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．5．過(guò)點(diǎn)的直線在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為零，則該直線方程為（

）A． B．C．或 D．或6．如圖，在正方體中，分別為的中點(diǎn)，則直線和夾角的余弦值為（

）A．B．C．D．7．唐代詩(shī)人李頎的詩(shī)《古從軍行》開(kāi)頭兩句說(shuō)：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”，詩(shī)中隱含著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問(wèn)題——“將軍飲馬”問(wèn)題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回到軍營(yíng)，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)軍營(yíng)所在的位置為，若將軍從山腳下的點(diǎn)處出發(fā)，河岸線所在直線方程為，則“將軍飲馬”的最短總路程為（

）A．B．3 C．D．58．在下圖所示直四棱柱中，底面為菱形，，，動(dòng)點(diǎn)P在體對(duì)角線上，則頂點(diǎn)B到平面距離的最大值為（

）A．B． C．D．二、多項(xiàng)選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分。）9．下列各點(diǎn)中，不在圓的外部的是（

）A．B．C． D．10．已知直線，，則（

）A．直線過(guò)定點(diǎn) B．當(dāng)時(shí)，C．當(dāng)時(shí)， D．當(dāng)時(shí)，之間的距離為11．如圖，已知正方體的棱長(zhǎng)為1，P為底面ABCD內(nèi)（包括邊界）的動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．存在點(diǎn)P，使平面B．三棱錐的體積為定值C．若，則P點(diǎn)在正方形底面ABCD內(nèi)的運(yùn)動(dòng)軌跡長(zhǎng)為D．若點(diǎn)P是AD的中點(diǎn)，點(diǎn)Q是的中點(diǎn)，過(guò)P，Q作平面平面，則平面截正方體的截面面積為三、填空題(本大題共3小題，每小題5分，共15分。)12．已知空間向量，，且a⊥b，則.13．已知到直線的距離等于3，則a的值為.14．對(duì)平面上兩點(diǎn)A、B，滿足的點(diǎn)P的軌跡是一個(gè)圓，這個(gè)圓最先由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，命名為阿波羅尼斯圓．已知，，，若動(dòng)點(diǎn)P滿足，則的最小值是．

四、解答題(本大題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。)15.（本題滿分13分）已知直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)和.(1)求的一般式方程；(2)若直線過(guò)的中點(diǎn)，且，求的斜截式方程.16．（本題滿分15分）如圖，在四棱錐中，底面為矩形，側(cè)棱底面，是的中點(diǎn).(1)求證：平面；(2)求平面與平面夾角的余弦值；17.（本題滿分15分）已知圓心為C的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)兩點(diǎn)，且圓心C在直線上．(1)求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知線段MN的端點(diǎn)M的坐標(biāo)，另一端點(diǎn)N在圓C上運(yùn)動(dòng)，求線段MN的中點(diǎn)G的軌跡方程，并說(shuō)明表示何曲線?18.（本題滿分17分）已知直線．(1)求直線過(guò)定點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)當(dāng)直線時(shí)，求直線的方程；(3)若交軸正半軸于，交軸正半軸于，?AOB的面積為，求最小值時(shí)直線的方程．19.（本題滿分17分）如圖，在四棱錐中，平面平面，，，，，.(1)求證：平面平面；(2)設(shè).①若直線與平面所成角的正弦值為，求線段的長(zhǎng).②在線段上是否存在點(diǎn)，使得點(diǎn)，，在以為球心的球上？若存在，求線段的長(zhǎng)；若不存在，說(shuō)明理由.高二數(shù)學(xué)試題答案一、單選題1-5CBADD6-8CCA.二、多選題9.ACD10．ABD11．ABC三、填空題12．.13．或.14．.四、解答題15．【詳解】（1）由題意得的兩點(diǎn)式方程為，化為一般式方程為.（2）設(shè)，的斜率分別為，.由題意得中點(diǎn)的坐標(biāo)為，由，得，則.因?yàn)?，所以，?故的斜截式方程為.16.【詳解】（1）連結(jié)，交于點(diǎn)，連結(jié)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，所以，平面，平面，所以平面；（2）如圖，以向量，，為軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，，，，則，，設(shè)平面的法向量，則，令，，，所以平面的法向量，平面的一個(gè)法向量為，設(shè)平面和平面的夾角為，則，所以平面和平面的夾角的余弦值為；17．【詳解】（1）因?yàn)閳AC經(jīng)過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)兩點(diǎn)，所以圓心C在線段的垂直平分線上，即上，聯(lián)立可解得，即，所以圓C的半徑為則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)線段MN的中點(diǎn)，又M的坐標(biāo)，且G為線段MN的中點(diǎn)，所以，又N在圓C上運(yùn)動(dòng)，可得，化簡(jiǎn)可得，所以，線段MN的中點(diǎn)G的軌跡方程.18.【詳解】（1）直線可化為，直線過(guò)定點(diǎn)．（2）直線，，，直線的方程為，即直線的方程為．（3）解法：設(shè)，直線過(guò)得：，，當(dāng)且僅當(dāng)，即取等號(hào)，，，當(dāng)時(shí)，最小值為，此時(shí)，直線的方程為，即．解法：由直線的方程得：，，由題設(shè)得：．當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)．取最小值時(shí)，直線的方程為．19．【詳解】（1）在四棱錐中，平面平面，，平面，平面平面，所以平面，又平面，所以平面平面.（2）如圖以為原點(diǎn)，以所在直線為軸，以所在直線為軸建立如圖所示直角空間坐標(biāo)系，設(shè)，則，由，，，，則，，因，則，，所以，①設(shè)平面的法向量為，由，，得：，可取設(shè)直線與平面所成角為，則