河北衡水中學(xué)2024-2025學(xué)年高二年級(jí)上學(xué)期綜合素質(zhì)評(píng)價(jià)數(shù)學(xué)試題含答案

河北衡水中學(xué)2024-2025學(xué)年高二年級(jí)上學(xué)期綜合素質(zhì)評(píng)價(jià)數(shù)學(xué)試題2024-2025學(xué)年度高二年級(jí)上學(xué)期綜合素質(zhì)評(píng)價(jià)二數(shù)學(xué)學(xué)科主命題人一、單選題（每題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題意.請(qǐng)將正確答案的序號(hào)填涂在答題卡上）1.直線的傾斜角為（）A. B. C. D.2.已知直線的方向向量為，平面的法向量為，下列結(jié)論成立的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則3.已知圓的面積為，則（）A. B. C. D.4.已知兩點(diǎn)，，過(guò)點(diǎn)的直線與線段AB（含端點(diǎn)）有交點(diǎn)，則直線的斜率的取值范圍為（）A B. C. D.5.已知，，，，則直線和直線所成角的余弦值為（）A. B. C. D.6.在棱長(zhǎng)為2的正方體中，，分別為棱，的中點(diǎn)，為棱上的一點(diǎn)，且，則點(diǎn)到平面的距離為（）A. B. C. D.7.若動(dòng)點(diǎn)，分別在直線與直線上移動(dòng)，則MN的中點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離的最小值為（）A B. C. D.8.邊長(zhǎng)為1正方體中，，分別是，中點(diǎn)，是靠近的四等分點(diǎn)，在正方體內(nèi)部或表面，，則的最大值是（）A.1 B. C. D.二、選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)的得部分分，選對(duì)但不全的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.）9.如圖，四棱柱中，為的中點(diǎn)，為上靠近點(diǎn)的五等分點(diǎn)，則（）A. B.C. D.10.已知兩條直線，的方程分別為與，下列結(jié)論正確的是（）A.若，則 B.若，則兩條平行直線之間的距離為C.若，則 D.若，則直線，一定相交11.如圖，在多面體中，平面，四邊形是正方形，且，，分別是線段的中點(diǎn)，是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（含端點(diǎn)），則下列說(shuō)法正確的是（）A.存在點(diǎn)，使得B.存在點(diǎn)，使得異面直線與所成的角為C.三棱錐體積的最大值是D.當(dāng)點(diǎn)自向處運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線與平面所成的角逐漸增大三、填空題（本題共3小題，每題5分，共15分.）12.已知點(diǎn)，點(diǎn)為圓上任意一點(diǎn)，則連線的中點(diǎn)軌跡方程是___________．13.已知點(diǎn)和直線，則點(diǎn)到直線的距離的取值范圍是______________.14.如圖，已知點(diǎn)是圓臺(tái)的上底面圓上的動(dòng)點(diǎn)，在下底面圓上，，，，，則直線與平面所成角的正弦值的最大值為_(kāi)_______.四、解答題（本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.）15.在中，，邊上的高所在直線的方程為，的平分線所在直線的方程為，點(diǎn)的坐標(biāo)為.（1）求直線的方程；（2）求直線的方程及點(diǎn)的坐標(biāo).16.如圖，在直四棱柱中，底面為矩形，且分別為的中點(diǎn).（1）證明：平面.（2）求平面與平面夾角的余弦值.17.已知直線過(guò)定點(diǎn)．（1）求過(guò)點(diǎn)且在兩坐標(biāo)軸上截距的絕對(duì)值相等的直線方程；（2）若直線交軸正半軸于點(diǎn)，交軸負(fù)半軸于點(diǎn)，的面積為（為坐標(biāo)原點(diǎn)），求的最小值并求此時(shí)直線的方程．18.如圖，在四棱錐中，平面平面，，，，，，.（1）求證：平面（2）求直線與平面所成角正弦值.（3）在棱上是否存在點(diǎn)，使得平面?若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.19.在空間直角坐標(biāo)系中，已知向量，點(diǎn)若直線以為方向向量且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則直線的標(biāo)準(zhǔn)式方程可表示為（）；若平面以為法向量且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則平面的點(diǎn)法式方程表示為.（1）已知直線的標(biāo)準(zhǔn)式方程為，平面的點(diǎn)法式方程可表示為，求直線與平面所成角的余弦值；（2）已知平面的點(diǎn)法式方程可表示為，平面外一點(diǎn)，點(diǎn)到平面的距離；（3）（ⅰ）若集合，記集合中所有點(diǎn)構(gòu)成的幾何體為，求幾何體S的體積：（ⅱ）若集合.記集合N中所有點(diǎn)構(gòu)成的幾何體為，求幾何體相鄰兩個(gè)面（有公共棱）所成二面角的余弦值.

2024-2025學(xué)年度高二年級(jí)上學(xué)期綜合素質(zhì)評(píng)價(jià)二數(shù)學(xué)學(xué)科主命題人韓艷偉一、單選題（每題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題意.請(qǐng)將正確答案的序號(hào)填涂在答題卡上）1.直線的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求出直線斜率，再根據(jù)傾斜角的范圍即可求解.【詳解】設(shè)直線的的傾斜角為，且，直線的斜率，所以，故選：A2.已知直線的方向向量為，平面的法向量為，下列結(jié)論成立的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，結(jié)合直線的方向向量和平面分法向量的關(guān)系，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】因?yàn)橹本€的方向向量為，平面的法向量為，由，可得，所以A不正確，C正確；對(duì)于B中，由，可得或，所以B、D都不正確；故選：C.3.已知圓的面積為，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由題意確定圓的半徑，結(jié)合圓的面積公式建立方程，解之即可求解.【詳解】因?yàn)閳A，即，所以，解得.故選：B.4.已知兩點(diǎn)，，過(guò)點(diǎn)的直線與線段AB（含端點(diǎn)）有交點(diǎn)，則直線的斜率的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求出直線、的斜率后可求直線的斜率的范圍.【詳解】，而，故直線的取值范圍為，故選：A.5.已知，，，，則直線和直線所成角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】算得，結(jié)合向量夾角的坐標(biāo)公式即可求解.【詳解】，所以直線和直線所成角的余弦值為.故選：A.6.在棱長(zhǎng)為2的正方體中，，分別為棱，的中點(diǎn)，為棱上的一點(diǎn)，且，則點(diǎn)到平面的距離為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，由點(diǎn)到平面的距離公式計(jì)算即可．【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，所以，，．設(shè)平面的法向量為，則，取，得，所以點(diǎn)到平面的距離為，故選：D．7.若動(dòng)點(diǎn)，分別在直線與直線上移動(dòng)，則MN的中點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離的最小值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求出點(diǎn)的軌跡，再利用點(diǎn)到直線的距離公式求解.【詳解】解：由題意知，MN的中點(diǎn)P的軌跡為平行于兩直線且到兩直線距離相等的直線，故其方程為，到原點(diǎn)的距離的最小值為．故選：C8.邊長(zhǎng)為1的正方體中，，分別是，中點(diǎn)，是靠近的四等分點(diǎn)，在正方體內(nèi)部或表面，，則的最大值是（）A.1 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，從而求得，再根據(jù)向量模長(zhǎng)公式結(jié)合即可求解.【詳解】如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，所以，則，因?yàn)?，又，所以，即，所以，又，所以，?dāng)且僅當(dāng)，此時(shí)時(shí)，等號(hào)成立，所以的最大值是.故選：D.二、選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)的得部分分，選對(duì)但不全的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.）9.如圖，四棱柱中，為的中點(diǎn)，為上靠近點(diǎn)的五等分點(diǎn)，則（）A B.C. D.【答案】BD【解析】【分析】運(yùn)用空間向量的基底表示，結(jié)合平面向量的三角形法則和線性運(yùn)算規(guī)則可解.【詳解】，即，故A錯(cuò)誤、B正確；，即，故C錯(cuò)誤，D正確.故選：BD.10.已知兩條直線，的方程分別為與，下列結(jié)論正確的是（）A.若，則 B.若，則兩條平行直線之間的距離為C.若，則 D.若，則直線，一定相交【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)兩直線平行求出的值，可判斷A選項(xiàng)；利用平行線間的距離公式可判斷B選項(xiàng)；根據(jù)兩直線垂直求出的值，可判斷C選項(xiàng)；根據(jù)兩直線相交求出的范圍，可判斷D選項(xiàng).【詳解】?jī)蓷l直線，的方程分別為與，它們不重合，若，則，得，檢驗(yàn)符合，故A選項(xiàng)正確；若，由A選項(xiàng)可知，：，直線的方程可化為，故兩條平行直線之間的距離為，故B選項(xiàng)不正確；若，則，得，故C選項(xiàng)不正確；由A選項(xiàng)知，當(dāng)時(shí)，，所以若，則直線，一定相交，故D選項(xiàng)正確.故選：AD.11.如圖，在多面體中，平面，四邊形是正方形，且，，分別是線段的中點(diǎn)，是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（含端點(diǎn)），則下列說(shuō)法正確的是（）A.存在點(diǎn)，使得B.存在點(diǎn)，使得異面直線與所成的角為C.三棱錐體積的最大值是D.當(dāng)點(diǎn)自向處運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線與平面所成的角逐漸增大【答案】ACD【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算判斷A，利用異面直線的向量夾角公式計(jì)算判斷B，連接，結(jié)合錐體體積公式，利用等體積法判斷C，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算表示線面角的正弦值，然后利用二次函數(shù)及正弦函數(shù)的單調(diào)性即可判斷D.【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，正方向?yàn)檩S，可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，A0,0,0，，，，，，，；對(duì)于A，假設(shè)存在點(diǎn)，使得，則，又，所以，解得，即點(diǎn)與重合時(shí)，，A正確；對(duì)于B，假設(shè)存在點(diǎn)，使得異面直線與所成的角為，因?yàn)?，，所以，方程無(wú)解；所以不存在點(diǎn)，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，連接，設(shè)，因?yàn)椋援?dāng)，即點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，取得最大值；又點(diǎn)到平面的距離，所以，C正確；對(duì)于D，由上分析知：，，若是面的法向量，則，令x=1，則，因?yàn)?，設(shè)直線與平面所成的角為，，所以，當(dāng)點(diǎn)自向處運(yùn)動(dòng)時(shí)，的值由到變大，此時(shí)也逐漸增大，因?yàn)樵跒樵龊瘮?shù)，所以也逐漸增大，故D正確.故選：ACD三、填空題（本題共3小題，每題5分，共15分.）12.已知點(diǎn)，點(diǎn)為圓上任意一點(diǎn)，則連線的中點(diǎn)軌跡方程是___________．【答案】【解析】【分析】首先設(shè)中點(diǎn)坐標(biāo)為，再設(shè)出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，代入圓的方程，即可求解.【詳解】設(shè)連線的中點(diǎn)為，則，則，即.故答案為：13.已知點(diǎn)和直線，則點(diǎn)到直線的距離的取值范圍是______________.【答案】【解析】【分析】先求得直線的定點(diǎn)，進(jìn)而求得點(diǎn)P到直線的最大距離，然后檢驗(yàn)點(diǎn)是否可能在直線上即可【詳解】可化為：設(shè)直線的定點(diǎn)為，點(diǎn)P到直線的距離為，則有：可得：為直線定點(diǎn)則有：，此時(shí)為點(diǎn)P到直線的最大距離若在直線上，則有：，即可得：不可能在直線上，則有：綜上可得：故答案為：14.如圖，已知點(diǎn)是圓臺(tái)的上底面圓上的動(dòng)點(diǎn)，在下底面圓上，，，，，則直線與平面所成角的正弦值的最大值為_(kāi)_______.【答案】【解析】【分析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，求得對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)出未知點(diǎn)的坐標(biāo)，利用向量法求線面角正弦值的最大值，再求余弦值的最小值即可.【詳解】解：連接，過(guò)點(diǎn)作垂直于的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系如下所示：在三角形中，因?yàn)?，故，則，則，，故點(diǎn)，又，，，設(shè)點(diǎn)，，由，可得，，，設(shè)平面的法向量m=x,y,z則，即，取，則，故平面的法向量，又，設(shè)直線與平面所成角為，，則，因?yàn)?，且，故令，，，則，，，又，所以，，即，所以最大值為.故答案為：.四、解答題（本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.）15.在中，，邊上的高所在直線的方程為，的平分線所在直線的方程為，點(diǎn)的坐標(biāo)為.（1）求直線的方程；（2）求直線的方程及點(diǎn)的坐標(biāo).【答案】（1）（2）直線的方程為：，【解析】【分析】（1）根據(jù)垂直的位置關(guān)系，算出直線的斜率為，利用直線方程的點(diǎn)斜式列式，化簡(jiǎn)整理即可得到直線的方程；（2）由邊的高所在直線方程和，解出，從而得出直線的方程．由直線、關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，算出方程，最后將方程與方程聯(lián)解，即可得出點(diǎn)的坐標(biāo)．【小問(wèn)1詳解】由于所在直線的方程為，故的斜率為，與互相垂直，直線的斜率為，結(jié)合，可得的點(diǎn)斜式方程：，化簡(jiǎn)整理，得，即為所求的直線方程．【小問(wèn)2詳解】由和聯(lián)解，得由此可得直線方程為：，即，，關(guān)于角平分線軸對(duì)稱(chēng)，直線的方程為：，直線方程為，將、方程聯(lián)解，得，，因此，可得點(diǎn)的坐標(biāo)為．16.如圖，在直四棱柱中，底面為矩形，且分別為的中點(diǎn).（1）證明：平面.（2）求平面與平面夾角的余弦值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）不妨設(shè)，建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，由，得到，即可得證；（2）求出平面的法向量，利用空間向量法計(jì)算可得.【小問(wèn)1詳解】不妨設(shè)，則，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，A1,0,0，，，所以，，，設(shè)m=x,y,z是平面則，取，則，所以平面的一個(gè)法向量，又，所以，因?yàn)槠矫?，所以平?【小問(wèn)2詳解】因?yàn)槠矫?，所以是平面的一個(gè)法向量，又因?yàn)椋云矫媾c平面夾角的余弦值為.17.已知直線過(guò)定點(diǎn)．（1）求過(guò)點(diǎn)且在兩坐標(biāo)軸上截距的絕對(duì)值相等的直線方程；（2）若直線交軸正半軸于點(diǎn)，交軸負(fù)半軸于點(diǎn)，的面積為（為坐標(biāo)原點(diǎn)），求的最小值并求此時(shí)直線的方程．【答案】（1）或或（2）最小值為24，直線【解析】【分析】（1）求出直線過(guò)的定點(diǎn)，分，和兩種情況，當(dāng)，時(shí)，設(shè)的方程為，根據(jù)點(diǎn)在直線上求出直線方程，若，求出直線方程，若，求出直線方程，當(dāng)，根據(jù)直線過(guò)原點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn)求出直線的方程；（2）求出直線交軸的正半軸的點(diǎn)，交軸的負(fù)半軸的點(diǎn)，求出的面積，根據(jù)基本不等式求出的最小值時(shí)的值.【小問(wèn)1詳解】直線，則直線過(guò)定點(diǎn)，①當(dāng)，時(shí)，設(shè)的方程為．點(diǎn)在直線上，．若，則，直線的方程為，若，則，，直線的方程為；②當(dāng)時(shí)，直線過(guò)原點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn)，直線的方程為，綜上所述，所求直線的方程為或或；【小問(wèn)2詳解】令，則；令，則，直線交軸的正半軸于點(diǎn)，交軸的負(fù)半軸于點(diǎn)，，為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)的面積為，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)取等號(hào)，故的最小值為24，此時(shí)，直線．18.如圖，在四棱錐中，平面平面，，，，，，.（1）求證：平面.（2）求直線與平面所成角的正弦值.（3）在棱上是否存在點(diǎn)，使得平面?若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）（3）存在；【解析】【分析】（1）根據(jù)面面垂直的性質(zhì)可得平面，進(jìn)而得，再結(jié)合線面垂直的判定定理進(jìn)行證明即可；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的一個(gè)法向量，再利用空間向量夾角公式、線面角的定義進(jìn)行求解即可；（3）要使平面，則，由此列式求解可得.【小問(wèn)1詳解】∵平面平面，且平面平面，且，平面，∴平面，∵平面，∴，又，且，平面，∴平面；【小問(wèn)2詳解】取中點(diǎn)為，連接，又∵，∴．則，∵，∴，則，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，則，，，，設(shè)n=x,y,z為平面則由，得，令，則．設(shè)與平面的夾角為，則；【小問(wèn)3詳解】假設(shè)在棱上存在點(diǎn)點(diǎn)，使得平面.設(shè)，，由（2）知，，，，則，，，由（2）知平面的一個(gè)法向量．若平面，則，解得，又平面，故在棱上存在點(diǎn)點(diǎn)，使得平面，此時(shí).19.在空間直角坐標(biāo)系中，已知向量，點(diǎn)若直線以為方向向量且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則直線的標(biāo)準(zhǔn)式方程可表示為（）；若平面以為法向量且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則平面的點(diǎn)法式方程表示為.（1）已知直線的標(biāo)準(zhǔn)式方程為，平面的點(diǎn)法式方程可表示為，求直線與平面所成角的余弦值；（2）已知平面的點(diǎn)法式方程可表