河北衡水中學(xué)2024-2025學(xué)年高二年級上學(xué)期綜合素質(zhì)評價數(shù)學(xué)試題含答案

河北衡水中學(xué)2024-2025學(xué)年高二年級上學(xué)期綜合素質(zhì)評價數(shù)學(xué)試題2024-2025學(xué)年度高二年級上學(xué)期綜合素質(zhì)評價二數(shù)學(xué)學(xué)科主命題人一、單選題（每題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題意.請將正確答案的序號填涂在答題卡上）1.直線的傾斜角為（）A. B. C. D.2.已知直線的方向向量為，平面的法向量為，下列結(jié)論成立的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則3.已知圓的面積為，則（）A. B. C. D.4.已知兩點，，過點的直線與線段AB（含端點）有交點，則直線的斜率的取值范圍為（）A B. C. D.5.已知，，，，則直線和直線所成角的余弦值為（）A. B. C. D.6.在棱長為2的正方體中，，分別為棱，的中點，為棱上的一點，且，則點到平面的距離為（）A. B. C. D.7.若動點，分別在直線與直線上移動，則MN的中點P到原點的距離的最小值為（）A B. C. D.8.邊長為1正方體中，，分別是，中點，是靠近的四等分點，在正方體內(nèi)部或表面，，則的最大值是（）A.1 B. C. D.二、選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對得6分，部分選對的得部分分，選對但不全的得部分分，有選錯的得0分.）9.如圖，四棱柱中，為的中點，為上靠近點的五等分點，則（）A. B.C. D.10.已知兩條直線，的方程分別為與，下列結(jié)論正確的是（）A.若，則 B.若，則兩條平行直線之間的距離為C.若，則 D.若，則直線，一定相交11.如圖，在多面體中，平面，四邊形是正方形，且，，分別是線段的中點，是線段上的一個動點（含端點），則下列說法正確的是（）A.存在點，使得B.存在點，使得異面直線與所成的角為C.三棱錐體積的最大值是D.當(dāng)點自向處運(yùn)動時，直線與平面所成的角逐漸增大三、填空題（本題共3小題，每題5分，共15分.）12.已知點，點為圓上任意一點，則連線的中點軌跡方程是___________．13.已知點和直線，則點到直線的距離的取值范圍是______________.14.如圖，已知點是圓臺的上底面圓上的動點，在下底面圓上，，，，，則直線與平面所成角的正弦值的最大值為________.四、解答題（本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）15.在中，，邊上的高所在直線的方程為，的平分線所在直線的方程為，點的坐標(biāo)為.（1）求直線的方程；（2）求直線的方程及點的坐標(biāo).16.如圖，在直四棱柱中，底面為矩形，且分別為的中點.（1）證明：平面.（2）求平面與平面夾角的余弦值.17.已知直線過定點．（1）求過點且在兩坐標(biāo)軸上截距的絕對值相等的直線方程；（2）若直線交軸正半軸于點，交軸負(fù)半軸于點，的面積為（為坐標(biāo)原點），求的最小值并求此時直線的方程．18.如圖，在四棱錐中，平面平面，，，，，，.（1）求證：平面（2）求直線與平面所成角正弦值.（3）在棱上是否存在點，使得平面?若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.19.在空間直角坐標(biāo)系中，已知向量，點若直線以為方向向量且經(jīng)過點，則直線的標(biāo)準(zhǔn)式方程可表示為（）；若平面以為法向量且經(jīng)過點，則平面的點法式方程表示為.（1）已知直線的標(biāo)準(zhǔn)式方程為，平面的點法式方程可表示為，求直線與平面所成角的余弦值；（2）已知平面的點法式方程可表示為，平面外一點，點到平面的距離；（3）（?。┤艏希浖现兴悬c構(gòu)成的幾何體為，求幾何體S的體積：（ⅱ）若集合.記集合N中所有點構(gòu)成的幾何體為，求幾何體相鄰兩個面（有公共棱）所成二面角的余弦值.

2024-2025學(xué)年度高二年級上學(xué)期綜合素質(zhì)評價二數(shù)學(xué)學(xué)科主命題人韓艷偉一、單選題（每題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題意.請將正確答案的序號填涂在答題卡上）1.直線的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求出直線斜率，再根據(jù)傾斜角的范圍即可求解.【詳解】設(shè)直線的的傾斜角為，且，直線的斜率，所以，故選：A2.已知直線的方向向量為，平面的法向量為，下列結(jié)論成立的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，結(jié)合直線的方向向量和平面分法向量的關(guān)系，逐項判定，即可求解.【詳解】因為直線的方向向量為，平面的法向量為，由，可得，所以A不正確，C正確；對于B中，由，可得或，所以B、D都不正確；故選：C.3.已知圓的面積為，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由題意確定圓的半徑，結(jié)合圓的面積公式建立方程，解之即可求解.【詳解】因為圓，即，所以，解得.故選：B.4.已知兩點，，過點的直線與線段AB（含端點）有交點，則直線的斜率的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求出直線、的斜率后可求直線的斜率的范圍.【詳解】，而，故直線的取值范圍為，故選：A.5.已知，，，，則直線和直線所成角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】算得，結(jié)合向量夾角的坐標(biāo)公式即可求解.【詳解】，所以直線和直線所成角的余弦值為.故選：A.6.在棱長為2的正方體中，，分別為棱，的中點，為棱上的一點，且，則點到平面的距離為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，由點到平面的距離公式計算即可．【詳解】以為坐標(biāo)原點，所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，所以，，．設(shè)平面的法向量為，則，取，得，所以點到平面的距離為，故選：D．7.若動點，分別在直線與直線上移動，則MN的中點P到原點的距離的最小值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求出點的軌跡，再利用點到直線的距離公式求解.【詳解】解：由題意知，MN的中點P的軌跡為平行于兩直線且到兩直線距離相等的直線，故其方程為，到原點的距離的最小值為．故選：C8.邊長為1的正方體中，，分別是，中點，是靠近的四等分點，在正方體內(nèi)部或表面，，則的最大值是（）A.1 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，從而求得，再根據(jù)向量模長公式結(jié)合即可求解.【詳解】如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，所以，則，因為，又，所以，即，所以，又，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，此時時，等號成立，所以的最大值是.故選：D.二、選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對得6分，部分選對的得部分分，選對但不全的得部分分，有選錯的得0分.）9.如圖，四棱柱中，為的中點，為上靠近點的五等分點，則（）A B.C. D.【答案】BD【解析】【分析】運(yùn)用空間向量的基底表示，結(jié)合平面向量的三角形法則和線性運(yùn)算規(guī)則可解.【詳解】，即，故A錯誤、B正確；，即，故C錯誤，D正確.故選：BD.10.已知兩條直線，的方程分別為與，下列結(jié)論正確的是（）A.若，則 B.若，則兩條平行直線之間的距離為C.若，則 D.若，則直線，一定相交【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)兩直線平行求出的值，可判斷A選項；利用平行線間的距離公式可判斷B選項；根據(jù)兩直線垂直求出的值，可判斷C選項；根據(jù)兩直線相交求出的范圍，可判斷D選項.【詳解】兩條直線，的方程分別為與，它們不重合，若，則，得，檢驗符合，故A選項正確；若，由A選項可知，：，直線的方程可化為，故兩條平行直線之間的距離為，故B選項不正確；若，則，得，故C選項不正確；由A選項知，當(dāng)時，，所以若，則直線，一定相交，故D選項正確.故選：AD.11.如圖，在多面體中，平面，四邊形是正方形，且，，分別是線段的中點，是線段上的一個動點（含端點），則下列說法正確的是（）A.存在點，使得B.存在點，使得異面直線與所成的角為C.三棱錐體積的最大值是D.當(dāng)點自向處運(yùn)動時，直線與平面所成的角逐漸增大【答案】ACD【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)出點的坐標(biāo)，利用向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算判斷A，利用異面直線的向量夾角公式計算判斷B，連接，結(jié)合錐體體積公式，利用等體積法判斷C，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算表示線面角的正弦值，然后利用二次函數(shù)及正弦函數(shù)的單調(diào)性即可判斷D.【詳解】以為坐標(biāo)原點，正方向為軸，可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，A0,0,0，，，，，，，；對于A，假設(shè)存在點，使得，則，又，所以，解得，即點與重合時，，A正確；對于B，假設(shè)存在點，使得異面直線與所成的角為，因為，，所以，方程無解；所以不存在點，B錯誤；對于C，連接，設(shè)，因為，所以當(dāng)，即點與點重合時，取得最大值；又點到平面的距離，所以，C正確；對于D，由上分析知：，，若是面的法向量，則，令x=1，則，因為，設(shè)直線與平面所成的角為，，所以，當(dāng)點自向處運(yùn)動時，的值由到變大，此時也逐漸增大，因為在為增函數(shù)，所以也逐漸增大，故D正確.故選：ACD三、填空題（本題共3小題，每題5分，共15分.）12.已知點，點為圓上任意一點，則連線的中點軌跡方程是___________．【答案】【解析】【分析】首先設(shè)中點坐標(biāo)為，再設(shè)出相關(guān)點的坐標(biāo)，代入圓的方程，即可求解.【詳解】設(shè)連線的中點為，則，則，即.故答案為：13.已知點和直線，則點到直線的距離的取值范圍是______________.【答案】【解析】【分析】先求得直線的定點，進(jìn)而求得點P到直線的最大距離，然后檢驗點是否可能在直線上即可【詳解】可化為：設(shè)直線的定點為，點P到直線的距離為，則有：可得：為直線定點則有：，此時為點P到直線的最大距離若在直線上，則有：，即可得：不可能在直線上，則有：綜上可得：故答案為：14.如圖，已知點是圓臺的上底面圓上的動點，在下底面圓上，，，，，則直線與平面所成角的正弦值的最大值為________.【答案】【解析】【分析】以為坐標(biāo)原點，建立空間直角坐標(biāo)系，求得對應(yīng)點的坐標(biāo)，設(shè)出未知點的坐標(biāo)，利用向量法求線面角正弦值的最大值，再求余弦值的最小值即可.【詳解】解：連接，過點作垂直于的延長線于點，以為坐標(biāo)原點，建立空間直角坐標(biāo)系如下所示：在三角形中，因為，故，則，則，，故點，又，，，設(shè)點，，由，可得，，，設(shè)平面的法向量m=x,y,z則，即，取，則，故平面的法向量，又，設(shè)直線與平面所成角為，，則，因為，且，故令，，，則，，，又，所以，，即，所以最大值為.故答案為：.四、解答題（本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）15.在中，，邊上的高所在直線的方程為，的平分線所在直線的方程為，點的坐標(biāo)為.（1）求直線的方程；（2）求直線的方程及點的坐標(biāo).【答案】（1）（2）直線的方程為：，【解析】【分析】（1）根據(jù)垂直的位置關(guān)系，算出直線的斜率為，利用直線方程的點斜式列式，化簡整理即可得到直線的方程；（2）由邊的高所在直線方程和，解出，從而得出直線的方程．由直線、關(guān)于直線對稱，算出方程，最后將方程與方程聯(lián)解，即可得出點的坐標(biāo)．【小問1詳解】由于所在直線的方程為，故的斜率為，與互相垂直，直線的斜率為，結(jié)合，可得的點斜式方程：，化簡整理，得，即為所求的直線方程．【小問2詳解】由和聯(lián)解，得由此可得直線方程為：，即，，關(guān)于角平分線軸對稱，直線的方程為：，直線方程為，將、方程聯(lián)解，得，，因此，可得點的坐標(biāo)為．16.如圖，在直四棱柱中，底面為矩形，且分別為的中點.（1）證明：平面.（2）求平面與平面夾角的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）不妨設(shè)，建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，由，得到，即可得證；（2）求出平面的法向量，利用空間向量法計算可得.【小問1詳解】不妨設(shè)，則，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，A1,0,0，，，所以，，，設(shè)m=x,y,z是平面則，取，則，所以平面的一個法向量，又，所以，因為平面，所以平面.【小問2詳解】因為平面，所以是平面的一個法向量，又因為，所以平面與平面夾角的余弦值為.17.已知直線過定點．（1）求過點且在兩坐標(biāo)軸上截距的絕對值相等的直線方程；（2）若直線交軸正半軸于點，交軸負(fù)半軸于點，的面積為（為坐標(biāo)原點），求的最小值并求此時直線的方程．【答案】（1）或或（2）最小值為24，直線【解析】【分析】（1）求出直線過的定點，分，和兩種情況，當(dāng)，時，設(shè)的方程為，根據(jù)點在直線上求出直線方程，若，求出直線方程，若，求出直線方程，當(dāng)，根據(jù)直線過原點，且過點求出直線的方程；（2）求出直線交軸的正半軸的點，交軸的負(fù)半軸的點，求出的面積，根據(jù)基本不等式求出的最小值時的值.【小問1詳解】直線，則直線過定點，①當(dāng)，時，設(shè)的方程為．點在直線上，．若，則，直線的方程為，若，則，，直線的方程為；②當(dāng)時，直線過原點，且過點，直線的方程為，綜上所述，所求直線的方程為或或；【小問2詳解】令，則；令，則，直線交軸的正半軸于點，交軸的負(fù)半軸于點，，為坐標(biāo)原點，設(shè)的面積為，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，即時取等號，故的最小值為24，此時，直線．18.如圖，在四棱錐中，平面平面，，，，，，.（1）求證：平面.（2）求直線與平面所成角的正弦值.（3）在棱上是否存在點，使得平面?若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.【答案】（1）證明見解析（2）（3）存在；【解析】【分析】（1）根據(jù)面面垂直的性質(zhì)可得平面，進(jìn)而得，再結(jié)合線面垂直的判定定理進(jìn)行證明即可；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的一個法向量，再利用空間向量夾角公式、線面角的定義進(jìn)行求解即可；（3）要使平面，則，由此列式求解可得.【小問1詳解】∵平面平面，且平面平面，且，平面，∴平面，∵平面，∴，又，且，平面，∴平面；【小問2詳解】取中點為，連接，又∵，∴．則，∵，∴，則，以為坐標(biāo)原點，分別以所在直線為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，則，，，，設(shè)n=x,y,z為平面則由，得，令，則．設(shè)與平面的夾角為，則；【小問3詳解】假設(shè)在棱上存在點點，使得平面.設(shè)，，由（2）知，，，，則，，，由（2）知平面的一個法向量．若平面，則，解得，又平面，故在棱上存在點點，使得平面，此時.19.在空間直角坐標(biāo)系中，已知向量，點若直線以為方向向量且經(jīng)過點，則直線的標(biāo)準(zhǔn)式方程可表示為（）；若平面以為法向量且經(jīng)過點，則平面的點法式方程表示為.（1）已知直線的標(biāo)準(zhǔn)式方程為，平面的點法式方程可表示為，求直線與平面所成角的余弦值；（2）已知平面的點法式方程可表