新教材蘇教版必修第二冊(cè)第二課時(shí)兩平面垂直

第二課時(shí)兩平面垂直

新課程標(biāo)準(zhǔn)解讀核心素養(yǎng)

借助長(zhǎng)方體，通過(guò)直觀感知，了解空間中平面與平面垂

邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象

直的判定定理與性質(zhì)定理

知識(shí)桅理BBSS”…

目情境導(dǎo)入

如圖所示，筆記本電腦在打開(kāi)的過(guò)程中，會(huì)給人以面面“夾角”變大的感覺(jué).

［問(wèn)題】你認(rèn)為應(yīng)該怎樣刻畫(huà)不同的面面“夾角”呢?

格新知初探

知識(shí)點(diǎn)一二面角的概念

1.半平面：平面內(nèi)的一條直線把這個(gè)平面分成兩部分,其中的每一部分都叫作半平面.

2.二面角：一條直線和由這條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫作二面角,這條

直線叫作二面角的棱，每個(gè)半平面叫作二面角的面.如圖①，②中，棱為/或面為a,

B記作二面角或P-l-Q(P-AB-Q)(P,Q分別為在a,4內(nèi)且不在棱上的點(diǎn)).

3.二面角的平面角

文字表述：以二面角的棱上任意一點(diǎn)為端點(diǎn),在兩個(gè)面內(nèi)分別作垂直于棱的射線,這兩

條射線所成的角叫作二面角的平面角.

圖形語(yǔ)言：

符號(hào)語(yǔ)言：aCB=l,00,OAUa,OBU°,QAU,為二面角a-l-8的

平面角.

4.二面角大小的度量

二面角的大小可以用它的壬面魚(yú)來(lái)度量，二面角的平面角是多少度，就說(shuō)這個(gè)二面角是

多少度.

二面角a的大小范圍是0°WaW180。.平面角是直角的二面角叫作直二面角.

力想一想

1.二面角與平面幾何中的角有什么區(qū)別？

提示：平面幾何中的角是從一點(diǎn)出發(fā)的兩條射線組成的圖形；二面角是從一條直線出發(fā)

的兩個(gè)半平面所組成的圖形.

2.二面角的平面角的大小與其頂點(diǎn)在二面角棱上的位置是否有關(guān)？

提示：由等角定理可知二面角的平面角的大小與其頂點(diǎn)在二面角棱上的位置無(wú)關(guān).

Q做一做

1.在二面角a-//的棱/上任選一點(diǎn)O,若/AOB是二面角a-//的平面角，則必須具

有的條件是（）

A.AOLBO,AOUa,BOU/3

B.AO1l,BO±l

C.AB±l,AOCa,BOU0

D.AO±l,BOLI,且AOUa,BOU0

答案：D

2.一個(gè)二面角的兩個(gè)半平面分別垂直于另一個(gè)二面角的兩個(gè)半平面，則這兩個(gè)二面角

的大小關(guān)系為（）

A.相等B.互補(bǔ)

C.相等或互補(bǔ)D.不確定

解析：選D如圖所示，在正方體ABCZX4i5CQi中，E,尸分別是CD,Glh的中點(diǎn)，

二面角O-AAi-E與二面角的兩個(gè)半平面就是分別對(duì)應(yīng)垂直的，但是這兩個(gè)二面角

既不相等，也不互補(bǔ)，故選D.

知識(shí)點(diǎn)二平面與平面垂直的判定定理

1.平面垂直的定義：一般地，如果兩個(gè)平面所成的二面角是直二面角,那么就說(shuō)這兩

個(gè)平面互相垂直;

2.平面垂直的畫(huà)法：兩個(gè)互相垂直的平面通常畫(huà)成如圖①，②所示.

此時(shí)，把直立平面的豎邊畫(huà)成與水平平面的橫邊垂直，平面a與￡垂直，記作a_L￡.

3.平面與平面垂直的判定定理

文字語(yǔ)言如果一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的垂線，那么這兩個(gè)平面垂直

圖形語(yǔ)言

符號(hào)語(yǔ)言l.La,/U夕,a_L￡

"想一想

一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的一條垂線，則這兩個(gè)平面一定垂直.這種說(shuō)法是否正確？

提示：正確.

。做一做

對(duì)于直線"％w和平面a,/J,能得出a_L￡的一個(gè)條件是()

A.m//a,n〃BB.mXn,aC°=m,nUa

C.m//n,w_L￡,mUaD.m//n,mJ_a,〃_!_￡

解析：選C\'n-L/3,m//n,又wiUa,由面面垂直的判定定理得a_L￡.

知識(shí)點(diǎn)三平面與平面垂直的性質(zhì)定理

兩個(gè)平面垂直,如果一個(gè)平面內(nèi)有一條直線垂直于這兩個(gè)平面的交線,那么這

文字語(yǔ)言

條直線與另一個(gè)平面垂直

圖形語(yǔ)言

符號(hào)語(yǔ)言a邛,aC0=l,aUa,遑』

??＞點(diǎn)一點(diǎn)?

對(duì)面面垂直的性質(zhì)定理的再理解

(1)定理成立的條件有三個(gè)：

①兩個(gè)平面互相垂直；

②直線在其中一個(gè)平面內(nèi)；

③直線與兩平面的交線垂直；

(2)定理的實(shí)質(zhì)是由面面垂直得線面垂直，故可用來(lái)證明線面垂直；

(3)已知面面垂直時(shí)，可以利用此定理轉(zhuǎn)化為線面垂直，再轉(zhuǎn)化為線線垂直.

。想一想

如果兩個(gè)平面垂直，那么垂直于交線的直線必垂直于其中一個(gè)平面.這種說(shuō)法正確嗎？

提示：不正確.當(dāng)垂直于交線的直線不落在兩個(gè)互相垂直平面其中之一時(shí)，該直線可能

與兩個(gè)平面都不垂直.

。做一做

平面aJ_平面aC/3=l,mUa,mLl,貝1］()

A.m//PB.mUp

C.D.7"與/相交但不一定垂直

答案：C

..............必?卜蜀懿銅典例精析.........

oa求二面角

［例1］(鏈接教科書(shū)第180頁(yè)例3)如圖所示，平面ABC,ACLBC,AB=2,BC=

6，PB=y［6,求二面角P-BC-A的大小.

［解］：陰_1_平面ABC,BCU平面ABC,：.PA±BC.

X"/AC±BC,E4AAC=A,B4U平面E4C,ACU平面B4C,.*.BC_L平面陰C.

又：PCU平面RIC,：.BC1.PC.

又；BC_LAC.；.ZPCA為二面角P-BC-A的平面角.

在RtzXPBC中，；PB=*,BC=y/2,

：.PC=、PB2—BCK6—2=2.

在RtZSBC中，AC^AB'-BC2=^2,

A(J

，在Rt2\B4C中，cosZPCA=^;=^-,

ZPCA=45°,即二面角P-BC-A的大小為45°.

1.求空間角，如二面角、直線和平面所成的角等，都是找出或作出平面角，再把平面

角放在三角形中，利用解三角形得到平面角的大小或三角函數(shù)值.

2.求二面角的大小，其步驟一般有三步：

(1)“作”：作出二面角的平面角；

(2)“證”：證明所作的角是二面角的平面角；

(3)“求”：解三角形，求出這個(gè)角.

［跟蹤訓(xùn)練］

在正方體ABCD-A由Cid中，求平面AiBD和平面BBQiD所成的二面角的正弦值.

解：如圖所示，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為。，連接4G交Bid于。1.設(shè)。為

2。中點(diǎn)，連接0。1,AiO,則OiOLBD

又AQ=AiB=pa,所以所以NAQOi是所求二面角的

平面角.

在RtZkAiOB中，因?yàn)锳iB=@a,BO=^a,故AIO=7AR-BO?=凈,

5

在RtZ\4OOi中A\Oi=2〃，

?/4八八AiOi

所以sinNAiOOi—.八一2.

AiOj

REa平面與平面垂直的判定

［例2］（鏈接教科書(shū)第181頁(yè)例4）如圖所示，在四面體A-BCS中，BA

知NBSC=90。，ZBSA=ZCSA=60°,又SA=SB=SC.求證：平面ABC

_L平面SBC.

［證明］法一（利用定義證明）：因?yàn)镹BSA=NCSA=60°,SA=SB=

SC,

所以AASB和aASC是等邊三角形,

A

則有S4=SB=SC=AB=AC,令其值為a,A

則△A3C和3c為共底邊BC的等腰三角形./或、

取3c的中點(diǎn)D,如圖所示，二力、'\c

連接AO,SD,則AD_LBC,SD-LBC,

所以乙M）S為二面角A-2C-S的平面角.

在RtABSC中，因?yàn)镾B=SC=a,

所以SD等a,BD=^=^a.

正

在RtAABD中，AZ)=2a,

在中，因?yàn)镾ZA+AD=SA2,

所以NAOS=90°,即二面角A-BC-S為直二面角，

故平面48c_L平面SBC.

法二（利用判定定理）：因?yàn)镾A=SB=SC,且NBSA=NCSA=60°,

所以SA=AB=AC,

所以點(diǎn)A在平面SBC上的射影為△S2C的外心.

因?yàn)椤鱏2C為直角三角形，

所以點(diǎn)A在△SBC上的射影。為斜邊BC的中點(diǎn)，

所以AZ)_L平面SBC.

又因?yàn)锳OU平面ABC,所以平面ABC_L平面SBC.

證明面面垂直常用的方法

(1)定義法：即說(shuō)明兩個(gè)半平面所成的二面角是直二面角；

(2)判定定理法：在其中一個(gè)平面內(nèi)尋找一條直線與另一個(gè)平面垂直，即把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為

“線面垂直”；

(3)性質(zhì)法：兩個(gè)平行平面中的一個(gè)垂直于第三個(gè)平面，則另一個(gè)也垂直于此平面.

［跟蹤訓(xùn)練］

如圖所示，三棱柱ABC-AiBiCi中，側(cè)棱垂直于底面，ZACB=90°,AAi=2AC,D是

棱的中點(diǎn).

求證：平面平面BDC.

證明：由題設(shè)知BC_LCG,BC-LAC,CCiHAC=C,

；.BC_L平面ACCW

又,?OC1U平面ACC1A1,；.DCi±BC.

由題設(shè)知ZAiZ)Ci=ZADC=45°,

ZCDCi=90°,即OGJLDC.

又：。CCIBC=C,

.?.DCJ平面BDC,

；OCiU平面BDCi,

：.平面BDGJ_平面BDC.

面面垂直的性質(zhì)定理的應(yīng)用

［例3］如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為a的菱

形，且/r)AB=60。.側(cè)面B4。為正三角形，其所在平面垂直于底面ABC，G

為邊的中點(diǎn).

(1)求證：平面以。；

(2)求證：ADLPB.

［證明］⑴連接PG(圖略)，???△孫。為正三角形，且點(diǎn)G為AD邊的中點(diǎn)，，尸GJ-AD.

又平面B4O_L平面ABCD且交線為A。，尸GU平面陰￡),...尸3_1-平面48。。

■「BGU平面ABC。，.-.PG-LBG.

又四邊形ABCD是菱形，且ND4B=60°,連接則是正三角形，二次；-14￡）.

又AZ）riPG=G,且AOU平面R4O,PGU平面也。，

，BG_L平面PAD.

（2）由（1）可知3GJLAZ）,PG-LAD.

又BG,尸G為平面PBG內(nèi)兩條相交直線，，4D_L平面PBG.

:PBU平面PBG,：.AD-LPB.

1.在應(yīng)用面面垂直的性質(zhì)定理時(shí)，若沒(méi)有與交線垂直的直線，一般需作輔助線，基本

作法是過(guò)其中一個(gè)平面內(nèi)一點(diǎn)作交線的垂線，這樣就把面面垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直，進(jìn)而轉(zhuǎn)化

為線線垂直.

2.面面垂直的性質(zhì)定理等價(jià)于：如果兩個(gè)平面互相垂直，則過(guò)一個(gè)平面內(nèi)一點(diǎn)垂直于

另一個(gè)平面的直線在這個(gè)平面內(nèi).

［跟蹤訓(xùn)練］

如圖所示，AE_L平面ABC,平面BCD_L平面ABC,BD=CD求證:

AE〃平面BCD.

證明：如圖所示，取2C的中點(diǎn)跖連接DM,AM,

因?yàn)锽D=CD,

所以

又因?yàn)槠矫鍮CD_L平面ABC,平面BCQn平面ABC=BC,

所以。平面ABC,

所以AE〃DA￡

又因?yàn)锳E&平面BCD,DMU平面BCD,

所以AE〃平面BCD.

冒隨堂檢測(cè)

1.已知/_La,則過(guò)/與a垂直的平面（）

A.有1個(gè)B.有2個(gè)