青海省海南市2025屆高二上數(shù)學(xué)期末統(tǒng)考模擬試題含解析

青海省海南市2025屆高二上數(shù)學(xué)期末統(tǒng)考模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．經(jīng)過(guò)點(diǎn)作圓的弦,使點(diǎn)為弦的中點(diǎn)，則弦所在直線的方程為A. B.C. D.2．?dāng)?shù)列的通項(xiàng)公式是（）A. B.C. D.3．設(shè)為直線上任意一點(diǎn)，過(guò)總能作圓的切線，則的最大值為（）A. B.1C. D.4．在中，三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若，，，則的面積為（）A. B.1C. D.25．對(duì)于函數(shù)，下列說(shuō)法正確的是（）A.的單調(diào)減區(qū)間為B.設(shè)，若對(duì)，使得成立，則C.當(dāng)時(shí)，D.若方程有4個(gè)不等的實(shí)根，則6．南宋數(shù)學(xué)家楊輝在《詳解九章算法》和《算法通變本末》中，提出了一些新的垛積公式，他所討論的高階等差數(shù)列與一般等差數(shù)列不同，前后兩項(xiàng)之差并不相等，而是逐項(xiàng)差數(shù)之差或者高次差相等.對(duì)這類高階等差數(shù)列的研究，在楊輝之后一般稱為“垛積術(shù)”.現(xiàn)有一個(gè)高階等差數(shù)列，其前6項(xiàng)分別為1，5，11，21，37，61，則該數(shù)列的第7項(xiàng)為（）A.95 B.131C.139 D.1417．（）A.-2 B.0C.2 D.38．雙曲線的光學(xué)性質(zhì)如下：如圖1，從雙曲線右焦點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)雙曲線鏡面反射，反射光線的反向延長(zhǎng)線經(jīng)過(guò)左焦點(diǎn)．我國(guó)首先研制成功的“雙曲線新聞燈”，就是利用了雙曲線的這個(gè)光學(xué)性質(zhì)．某“雙曲線燈”的軸截面是雙曲線一部分，如圖2，其方程為，分別為其左、右焦點(diǎn)，若從右焦點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)雙曲線上的點(diǎn)A和點(diǎn)B反射后（，A，B在同一直線上），滿足，則該雙曲線的離心率的平方為（）A. B.C. D.9．在長(zhǎng)方體中，若，，則異而直線與所成角的余弦值為（）A. B.C. D.10．如圖，在正三棱柱中，若，則C到直線的距離為（）A. B.C. D.11．過(guò)雙曲線的左焦點(diǎn)作x軸的垂線交曲線C于點(diǎn)P，為右焦點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率為（）A. B.C. D.12．設(shè)直線，．若，則的值為（）A.或 B.或C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知球的半徑為3，則該球的體積為_(kāi)________.14．已知水平放置的是按“斜二測(cè)畫法”得到如下圖所示的直觀圖，其中，，則原的面積為_(kāi)_____.15．函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為_(kāi)___.16．已知函數(shù)是定義域上的單調(diào)遞增函數(shù)，是的導(dǎo)數(shù)且為定義域上的單調(diào)遞減函數(shù)，請(qǐng)寫出一個(gè)滿足條件的函數(shù)的解析式___________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)與短軸長(zhǎng)之比為2,、分別為其左、右焦點(diǎn)．請(qǐng)從下列兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知條件,完成下面的問(wèn)題:①過(guò)點(diǎn)且斜率為1的直線與橢圓E相切;②過(guò)且垂直于x軸的直線與橢圓在第一象限交于點(diǎn)P,且的面積為．(只能從①②中選擇一個(gè)作為已知)（1）求橢圓E的方程;（2）過(guò)點(diǎn)的直線l與橢圓E交于A,B兩點(diǎn),與直線交于H點(diǎn),若,．證明:為定值18．（12分）已知數(shù)列中，，且滿足（1）求證數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和19．（12分）已知集合，.（1）當(dāng)a=3時(shí)，求.（2）若“”是“x∈A”的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.20．（12分）求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：（1）；（2）.21．（12分）若是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn).（1）若雙曲線上一點(diǎn)到它的一個(gè)焦點(diǎn)的距離等于10，求點(diǎn)到另一個(gè)焦點(diǎn)距離；（2）如圖若是雙曲線左支上一點(diǎn)，且，求的面積.22．（10分）已知命題：，在下面①②中任選一個(gè)作為：，使為真命題，求出實(shí)數(shù)a取值范圍.①關(guān)于x的方程有兩個(gè)不等正根；②.（若選①、選②都給出解答，只按第一個(gè)解答計(jì)分.）

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】由題知為弦AB的中點(diǎn)，可得直線與過(guò)圓心和點(diǎn)的直線垂直，可求的斜率，然后用點(diǎn)斜式求出的方程【詳解】由題意知圓的圓心為，，由，得，∴弦所在直線的方程為，整理得.選A.【點(diǎn)睛】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，直線的斜率，直線的點(diǎn)斜式方程，屬于基礎(chǔ)題2、C【解析】根據(jù)數(shù)列前幾項(xiàng)，歸納猜想出數(shù)列的通項(xiàng)公式.【詳解】依題意，數(shù)列的前幾項(xiàng)為：；；；……則其通項(xiàng)公式.故選C.【點(diǎn)睛】本小題主要考查歸納推理，考查數(shù)列通項(xiàng)公式的猜想，屬于基礎(chǔ)題.3、D【解析】根據(jù)題意，判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系以及直線與圓的位置關(guān)系，根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系，即可求得的最大值.【詳解】因?yàn)檫^(guò)過(guò)總能作圓的切線，故點(diǎn)在圓外或圓上，也即直線與圓相離或相切，則，即，解得，故的最大值為.故選：D.4、C【解析】由余弦定理求出，利用正弦定理將邊化角，再根據(jù)二倍角公式得到，即可得到，最后利用面積公式計(jì)算可得；【詳解】解：因?yàn)?，又，所以，因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)?，所以，即，所以或，即或（舍去），所以，因?yàn)椋?，所以；故選：C5、B【解析】函數(shù)，，，,，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性以及極值，畫出圖象A.結(jié)合圖象可判斷出正誤；B.設(shè)函數(shù)的值域?yàn)椋瘮?shù)，的值域?yàn)椋魧?duì)，，使得成立，可得．分別求出，，即可判斷出正誤C.由函數(shù)在單調(diào)遞減，可得函數(shù)在單調(diào)遞增，由此即可判斷出正誤；D.方程有4個(gè)不等的實(shí)根，則，且時(shí)，有2個(gè)不等的實(shí)根，由圖象即可判斷出正誤；【詳解】函數(shù)，，，，可得函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增,當(dāng)時(shí)，，由此作出函數(shù)的大致圖象，如圖示：A.由上述分析結(jié)合圖象，可得A不正確B.設(shè)函數(shù)的值域?yàn)椋瘮?shù)，的值域?yàn)椋瑢?duì)，，．，，由，若對(duì)，，使得成立，則，所以，因此B正確C．由函數(shù)在單調(diào)遞減，可得函數(shù)在單調(diào)遞增，因此當(dāng)時(shí)，，即，因此C不正確；D.方程有4個(gè)不等的實(shí)根，則，且時(shí)，有2個(gè)不等的實(shí)根，結(jié)合圖象可知，因此D不正確故選：B6、A【解析】利用已知條件，推出數(shù)列的差數(shù)的差組成的數(shù)列是等差數(shù)列，轉(zhuǎn)化求解即可【詳解】由題意可知，1，5，11，21，37，61，……，的差的數(shù)列為4，6，10，16，24，……，則這個(gè)數(shù)列的差組成的數(shù)列為：2，4，6，8，……，是一個(gè)等差數(shù)列，設(shè)原數(shù)列的第7項(xiàng)為，則，解得，所以原數(shù)列的第7項(xiàng)為95，故選：A7、C【解析】根據(jù)定積分公式直接計(jì)算即可求得結(jié)果【詳解】由故選：C8、D【解析】設(shè)，根據(jù)題意可得，由雙曲線定義得、，進(jìn)而求出（用表示），然后在中，應(yīng)用勾股定理得出關(guān)系，求得離心率【詳解】易知共線，共線，如圖，設(shè)，則.因?yàn)?，所以，則，則，又因?yàn)?，所以，則,在中，，即，所以.故選：D9、C【解析】通過(guò)平移把異面直線平移到同一平面中，所以取，的中點(diǎn)，易知且過(guò)中心點(diǎn)，所以異而直線與所成角為和所成角，通過(guò)解三角形即可得解.【詳解】根據(jù)長(zhǎng)方體的對(duì)稱性可得體對(duì)角線過(guò)中心點(diǎn)，取，的中點(diǎn)，易知且過(guò)中心點(diǎn)，所以異而直線和所成角為和所成角，連接，在中，，，，所以則異而直線與所成角的余弦值為：，故選：C.10、D【解析】取AC的中點(diǎn)O，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)點(diǎn)到線距離的向量求法和投影的定義計(jì)算即可.【詳解】由題意知，，取AC的中點(diǎn)O，則，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，所以，所以在上的投影的長(zhǎng)度為，故點(diǎn)C到直線距離為：.故選：D11、D【解析】由題知是等腰直角三角形，，又根據(jù)通徑的結(jié)論知，結(jié)合可列出關(guān)于的二次齊次式，即可求解離心率.【詳解】由題知是等腰直角三角形，且，，又，，即，，，即，解得，，.故選：D.12、A【解析】由兩直線垂直可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的等式，即可解得實(shí)數(shù)的值.【詳解】因?yàn)?，則，解得或.故選：A.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據(jù)球的體積公式計(jì)算可得；【詳解】解：因?yàn)榍虻陌霃剑郧虻捏w積；故答案為：14、【解析】根據(jù)直觀圖畫出原圖，再根據(jù)三角形面積公式計(jì)算可得.【詳解】解：依題意得到直觀圖的原圖如下：且，所以故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查斜二測(cè)畫法中原圖和直觀圖面積之間的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題15、【解析】先求出導(dǎo)函數(shù)，進(jìn)而根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線的斜率，然后求出切線方程.【詳解】由題意，，，則切線方程為：.故答案為：.16、（答案不唯一）【解析】由題意可得0，結(jié)合在定義域上為減函數(shù)可取.【詳解】因?yàn)樵诙x域?yàn)閱握{(diào)增函數(shù)所以在定義域上0，又因?yàn)樵诙x域上為減函數(shù)，且大于等于0.所以可取()，()，滿足條件所以可為().故答案為：（答案不唯一）.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）（2）證明見(jiàn)解析【解析】(1)選①:直線與橢圓聯(lián)立,利用判別式為0求解;選②:利用通徑公式即可(2)用直線參數(shù)方程的幾何意義求解【小問(wèn)1詳解】選①:由題知,過(guò)點(diǎn)且斜率為1的直線方程為聯(lián)立,得由,得所以橢圓的方程為選②:由題知,所以由,得所以橢圓的方程為【小問(wèn)2詳解】證明:設(shè)直線的參數(shù)方程為(為參數(shù))設(shè)A,B,H對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為,顯然將代入橢圓,得即.所以將代入直線,得由,得,所以由,得,所以所以所以為定值【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：直線的參數(shù)方程作為一種工具，要充分發(fā)揮它的作用，參數(shù)的幾何意義并不局限于加絕對(duì)值表示距離，還要注意方向性.請(qǐng)考生在22、23題中任選一題做答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分18、（1）證明見(jiàn)解析；；（2）.【解析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的定義證明為常數(shù)即可；（2）利用錯(cuò)位相減法即可求和.【小問(wèn)1詳解】由得，，∴數(shù)列是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，∴，∴；【小問(wèn)2詳解】①，②，①－②得：，.19、（1）（2）【解析】（1）解不等式求出集合、，然后根據(jù)交集的運(yùn)算法則求交集；（2）解不等式求出集合、，求出，然后根據(jù)充分不必要性列出不等式組求解.【小問(wèn)1詳解】解：由題意得：當(dāng)時(shí)，可解得集合的解集為由可解得或故.【小問(wèn)2詳解】的解集為又又“”是“x∈A”的充分不必要條件解得：，故實(shí)數(shù)a的取值范圍20、（1）；（2）.【解析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的加法運(yùn)算法則，結(jié)合常見(jiàn)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的加法和乘法的運(yùn)算法則，結(jié)合常見(jiàn)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)進(jìn)行求解即可.【小問(wèn)1詳解】；【小問(wèn)2詳解】.21、（1）（2）【解析】（1）利用雙曲線定義，根據(jù)點(diǎn)到一個(gè)焦點(diǎn)的距離求點(diǎn)到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離即可；（2）先根據(jù)定義得到，兩邊平方求得，即證，，再計(jì)算直角三角形面積即可.【小問(wèn)1詳解】是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，則，點(diǎn)M到它的一個(gè)焦點(diǎn)的距離等于10，設(shè)點(diǎn)到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離為，則由雙曲線定義可知，，解得或（舍去）即