高考數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)（新教材新高考）常用邏輯用語（學(xué)生版+解析）

專題02常用邏輯用語（核心考點(diǎn)精講精練）

考情探究

1.4年真題考點(diǎn)分布

4年考情

考題示例考點(diǎn)分析關(guān)聯(lián)考點(diǎn)

2023年新I卷，第7題,5分充分條件與必要條件等差數(shù)列通項公式及前n項和

2.命題規(guī)律及備考策略

【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的選考內(nèi)容，具體視命題情況而定，常作為知識點(diǎn)載體的形式考查，例

如2023年新I卷第7題以數(shù)列知識點(diǎn)作為載體，難度隨載體知識點(diǎn)而定，分值為5分

【備考策略】1.理解、掌握充分條件、必要條件、充要條件

2.能正確從集合角度理解充分條件與必要條件的判斷及邏輯關(guān)系

3.能理解全稱量詞與存在量詞的意義

4.能正確對全稱量詞命題和存在量詞命題進(jìn)行否定

【命題預(yù)測】本節(jié)內(nèi)容常作為載體考查充分條件與必要條件，需對考綱內(nèi)知識點(diǎn)熟練掌握；全稱量詞命題

和存在量詞命題的否定也是高考復(fù)習(xí)和考查的重點(diǎn)。

考點(diǎn)梳理

知識講解

1.命題

(1)命題的定義

在數(shù)學(xué)中，把用語言、符號、或式子表達(dá)的，可以判斷真假的陳述語句叫做命題。

(2)真命題，假命題

判斷為真的語句叫做真命題，判斷為假的語句叫做假命題

(3)命題的一般形式

通常用“若p,則q”的形式來表達(dá)，其中p稱為命題的條件，q稱為命題的結(jié)論。

2.充分條件與必要條件

(1)充分條件與必要條件的定義

一般地，“若p,則q"為真命題，是指由條件?通過推理可以得出q。

由p可推出q,記作p=并且說夕是q的充分條件，q是p的必要條件。

如果“若p,則q”為假命題，是指由條件p不能推出結(jié)論q,記作pRq,則p不是q的充分條件，q

不是p的必要條件。

3.充分性和必要性的關(guān)系

在“若p,則中，

若：pnq,則p是q的充分條件，“是p的必要條件

若：qnp,則q是p的充分條件，p是q的必要條件

也就是說：在“若p,則q”中，

條件n結(jié)論，充分性成立；

結(jié)論n條件，必要性成立

4.充要條件

(1)充要條件的定義

若有pnq，又有q=就記作poq,則p是q的充分必要條件，簡稱充要條件。

(2)充分條件、必要條件的四種類型

若pnq,qnp,則夕是"的充要條件

若pnq,q書p,則p是q的充分不必要條件

若p今q,qnp,則p是q的必要不充分條件

若p書q,q與p,則p是q的既不充分也不必要條件

5.集合中的包含關(guān)系在判斷條件關(guān)系中的應(yīng)用

設(shè)命題p對應(yīng)集合A,命題q對應(yīng)集合B

若A口3,即夕=q,p是q的充分條件(充分性成立)

若A=即p是q的必要條件(必要性成立)

若A曝B,即°=q,q與p,p是q的充分不必要條件

若AmB,即pRq,qnp,p是q的必要不充分條件

若A=B,即p=q,q=p,p是q的充要條件

6.全稱量詞與全稱量詞命題

(1)全稱量詞

短語“所有的”“任意一個”在邏輯中通常叫做全稱量詞，并用符號“V”表示

(2)全稱量詞命題

含有全稱量詞的命題，叫做全稱量詞命題

(3)全稱量詞命題的符號及記法

記作：VxGM,p(x)

讀作：對任意x屬于〃，有？(x)成立

7.存在量詞與存在量詞命題

(1)存在量詞

短語“存在一個”“至少有一個”在邏輯中通常叫做存在量詞，并用符號“三”表示

(2)存在量詞命題

含有存在量詞的命題，叫做存在量詞命題

(3)存在量詞命題的符號及記法

記法：BxeM,p(x)

讀法：存在“中的元素x,使得p(x)成立

8.全稱量詞命題和存在量詞命題的否定

(1)全稱量詞命題的否定

全稱量詞命題：\/xeM,p(x)

否定為：

（2）存在量詞命題的否定

存在量詞命題：3xeM,p[x｝

否定為：VxeM,「〃（九）

考點(diǎn)一、判斷命題的條件

☆典例引領(lǐng)

1.（2023?新高考I卷高考真題）記S“為數(shù)列4｝的前〃項和，設(shè)甲：｛a“為等差數(shù)列；乙：｛'｝為等差數(shù)

n

列，則（）

A.甲是乙的充分條件但不是必要條件

B.甲是乙的必要條件但不是充分條件

C.甲是乙的充要條件

D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件

2.（2023?重慶?統(tǒng)考模擬預(yù)測）若p是q的必要不充分條件，q的充要條件是廣，則廠是°的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

3.（2023?遼寧?校聯(lián)考二模）"。=1"是"函數(shù)〃尤）=3（42+。2-尤）是奇函數(shù)"的（）.

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

即時檢測

1.（2023?山東青島?統(tǒng)考模擬預(yù)測）"是"a<6+l”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

2.（2023?浙江溫州?統(tǒng)考二模）已知a,b為實數(shù)，p:a+8=0,q:a2+/=。，則。是q的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

3.（2023?湖北?校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知相>0,則"a>b>?！笔?士—>.”的（）

a+ma

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件

4.（2023?山東臨沂?統(tǒng)考一模）”6=E±?4eZ）"是"O=g（AeZ）”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

5.（2023?山東苗澤?統(tǒng)考二模）"租=-1"是"直線|：的+2y+l=。與直線4:；x+%y+g=O平行”的（）

A.充要條件B.必要不充分條件

C.充分不必要條件D.既不充分也不必要

6.（2023?遼寧?校聯(lián)考二模）己知xeR,若q：則°是q的（

X

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

考點(diǎn)二、根據(jù)命題的條件求參數(shù)值或范圍

☆典例引領(lǐng)

1.（2023?福建福州?高三福州三中?？茧A段練習(xí)）設(shè)P：4x-3<1；<7：x-（2a+l）<0,若p是q的充分不必要

條件，則（）

A.a>0B.a>lC.a>0D.a>l

2.（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知條件夕：-1<X<1,q：x>m,若〃是4的充分不必要條件，則實數(shù)加

的取值范圍是（）

A.[-1,-Hx））B.C.（-1,0）D.（-oo,-l]

☆即時檢測

1.（2023?全國?高三專題練習(xí)）"xNa"是"xN2"的必要不充分條件，則a的取值范圍為（）

A.（3,+co）B.（一8,2）C.（-co,2]D.[。,+8）

2.（2023?海南?？??？寄M預(yù)測）己知集合尸=卜--2X<0},Q=NVT^<1},則PUQ=尸的充要條件

是（）

A.0<a<lB.0<a<lC.0<a<lD.0<67<1

考點(diǎn)三、判斷全稱命題和特稱命題真假

☆典例引領(lǐng)

1.（2023?全國?高三專題練習(xí)）下列命題中既是全稱量詞命題，又是真命題的是（）

A.菱形的四條邊都相等B.3XGN,使2x為偶數(shù)

C.VxeR,x2+2%+l>0D.兀是無理數(shù)

2.（2023春?黑龍江哈爾濱?高三哈九中?？奸_學(xué)考試）下列命題中，真命題是（）

4

A.卻wR,X3<o

B.Vx>0,lgx>0

C.“3%>1”是“％>1”的必要不充分條件

9,

D.命題“VxZO,tanxNsinx”的否定為"王0<。，tanx0>sinx0

☆即時檢測

1.（2023?全國?高三專題練習(xí)）下列命題中，真命題是（）

A."a>l力>1”是的必要條件B.VxeR,ex>0

C.VxeR,2x>x2D.a+b=O的充要條件是q=-1

b

2.（2023?全國?高三專題練習(xí)）下列命題中的假命題是（）

A.3x>0,x2>x3B.Vxe7?,lnx>0

C.3x€7?,sinx>-lD.VxG7?,2X>0

考點(diǎn)四、含有一個量詞命題的否定

了典例引領(lǐng)

1.（2023?黑龍江哈爾濱?哈九中?？寄M預(yù)測）命題p:Vxe{x|lV尤<5},/一4元>5,貝I命題p的否定是（

A.3x^\x\l<x<5B.3x^\x\l<x<5},X2-4x<5

2

C.Vxg{x|l<x<5},尤2_4尤45D.Vxe{x|l<x<5},X-4X<5

2.（2023?遼寧大連?統(tǒng)考三模）設(shè)命題P：3x0>0,sinx0>1+cosxQ,貝（J—p為

A.XZx<0,sinx>l+cosxB.XZx>0,sinx<l+cosx

C.\/x>0,sinx<l+cosxD.Vx<0,sinx<l+cosx

即時檢測

1.（2023春?重慶渝中?高三重慶巴蜀中學(xué)校考階段練習(xí)）命題："V尤式1,2],2/一320"的否定是（

A.Vxe[1,2],2X2-3>0B.Vxe[l,2],2x2-3<0

C.3JV0G[1,2],2xg—3<0D.Hx。e[1,2],2xj—3<0

2.(2023?福建漳州?統(tǒng)考二模)已知命題p：Vx>0,ln(l+x)>x-y,則命題p的否定為()

r2r2

A.Vx>0,ln(l+x)<x--B.3x>0,ln(l+x)<x--

22

C.Vx<0,ln(l+x)<x——D.<0,ln(l+x)<x——

3.(2023?河北石家莊?正定中學(xué)?？寄M預(yù)測)已知命題P：*￡R,tanxv?；虍a(chǎn)2、的，則命題。的否定為

()

A.HxcR,tanxN?；騟"+2〈兀

B.V%￡R,tanxv兀且e"+227r

x+2

C.3A：GR,tanx〈兀且e>兀

X+2

D.VxGR,tanx>K>E<7i

考點(diǎn)五、根據(jù)全稱命題、特稱命題真假求參數(shù)值或范圍

。典例引領(lǐng)1.（2023?重慶?統(tǒng)考模擬預(yù)測）命題“V-2<%<3,兀2一2?！?”是真命題的一個必要不充

分條件是（）

9

A.a>lB.a>—C.6/>5D.a<4

2

2.（2023?遼寧大連?大連二十四中校考模擬預(yù)測）命題匕％〉0,62+%+1<0〃為假命題，則命題成立的充分

不必要條件是（）

A.—B.〃20C.121D.a<1

4

即時檢測

1.（2023?黑龍江哈爾濱,哈九中?？级＃┟}"Vxe[l,2],/-。40"是真命題的充要條件是（）

A.a>4B.a>4C.a<\D.a>\

2.（2023?江蘇淮安?江蘇省吁胎中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知4:玉e{x|-l<x<3-S0.若p為假命題，則

a的取值范圍為（）

A.{同a<—2}B,{a|a<-1}C.{a\a<7}D.{a|tz<0}

考點(diǎn)六、常用邏輯用語多選題

典例引領(lǐng)

1.（2023秋?廣東廣州?高三統(tǒng)考階段練習(xí)）下列選項正確的有（）

A.命題f+2x-3<0"的否定是：a3x>\,%2+2x—320”

B.命題f+z%—3v0”的否定是："HxWl,x2+2x-3>0??

冗1

c.a=：+2E（keZ）是sina=”的充分不必要條件

o2

1元

D.sin。=—是a=—+2E（左sZ）的必要不充分條件

26

2.（2023?全國?高三專題練習(xí)）下列命題中，是真命題的有（）

A.命題"x=1"是"*_3x+2=0"的充分不必要條件

B.命題p:VxeR,/+x+lw0,貝!|「p:lxeR,x?+x+l=。

C.命題"xw-l"是"J」?0"的充分不必要條件

D."x>2"是"X2-3X+2>0”的充分不必要條件

即時檢測

1.（2023?全國?高三專題練習(xí)）下列命題是真命題的是（）

A."xwl"是"國片1"的必要不充分條件

B.若尤+yN6,則x,y中至少有一個大于3

C.VxeR,2工2爐的否定是工eR,2'<x2

D.已知。：Hx<0,X2-X-2<0,則M：VX>0,X2-X-2>0

2.（2023?全國?高三專題練習(xí)）下列說法正確的是（）

A.命題“VxeRH"的否定是"HxeR./W-l”.

B.命題“Hre（-3,+oo）,x249"的否定是"Vxe（-3,+ao）,x2>9"

c."同>N"是的必要條件.

D."m<0"是"關(guān)于％的方程V-2x+〃?=0有一正一負(fù)根”的充要條件

好題沖關(guān)

【基礎(chǔ)過關(guān)】

1.（2023?遼寧大連?統(tǒng)考三模）設(shè)命題P：3x0>0,sinx0>l+cosx0,則可為

A.Vx<0,sinx>l+cosxB.Vx>0,sinx<l+cosx

C.Vx>0,sinx<l+cosxD.Vx<0,sinx<l+cosx

2.（2023?海南省直轄縣級單位?統(tǒng)考二模）命題“玉eR,尤2=1”的否定形式是（）

A.HreR,尤片1或xW—1B.3xeR,XW1且XW—1

C.VxeR,xwl或xw—1D.VxeR,無fl且xN—1

3.（2023?廣東江門?統(tǒng)考一模）命題“VxeQ,爐-530”的否定為（）

22

A.3xgQ,x-5=0B.VxeQ,x-5=0

C.VxgQ,尤2一5=0D.3^eQ,尤2一5=。

4.（2023?安徽蚌埠,統(tǒng)考三模）已知直線/1：ox+2y+l=0,12：（3—o）x—_y+fl=0,貝!|條件"a=l"是"4，4”

的（）

A.充分必要條件B.充分不必要條件

C.必要不充分條件D.既不必要也不充分條件

5.（2023?江蘇鹽城?統(tǒng)考三模）已知A3CD是平面四邊形，設(shè)P：AB=2DC,4：A3CD是梯形，則P是4的

條件（）

A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要

6.（2023?湖南岳陽?統(tǒng)考一模）已知直線/：>和圓C:（x-l『+（y-l）2=l,貝U“左=0”是“直線/與圓C

相切”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分又不必要條件

7.（2023?湖北武漢?統(tǒng)考三模）已知P：ab<l,q：a+b<2,則P是4的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

8.（2023?山東泰安?統(tǒng)考一模）已知m,“是兩條不重合的直線，a是一個平面，“ua,則“〃z_Lc”是“》i_L

的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件

9.（2023?福建泉州??？寄M預(yù)測）已知命題p:V欄1,2工-logzxN,則力為（）

X

A.\/尤<1,2‘-log2尤<1B.Vx^l,2-log2x<1

XX

C.<1,2-log2x<1D.3x^1,2-log2x<l

10.（2023?河北邯鄲?統(tǒng)考一模）在等差數(shù)列｛4｝中，“&+%=%+（"是““7=4”的（）

A.必要不充分條件B.充分不必要條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【能力提升】

1.（2023?山東濰坊?三模）已知eR,i為虛數(shù)單位，則“復(fù)數(shù)z=看是純虛數(shù)”是“問+回W0”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

2.（2023?湖北?統(tǒng)考二模）已知等差數(shù)列｛q｝的前〃項和為S“，命題命題q：“S7>0”，則

命題P是命題4的（）

A.充要條件B.充分不必要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

3.（2023.河北?校聯(lián)考一模）已知復(fù)數(shù)4，z2,2>4”是“三>1”的（）

zi

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

4.（2023?湖南長沙?長沙一中?？家荒＃┰O(shè)aeR,z=2,則是“|z|>逐"的（）

1

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件

5.（2023?廣東佛山?統(tǒng)考二模）記數(shù)列｛4｝的前〃項和為S“，貝『'$3=3%”是“｛%｝為等差數(shù)列，，的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

6.（2023?江蘇?統(tǒng)考三模）設(shè)向量均為單位向量，則匕以”是“忻-萬卜忖+2牛的（）

A.充分不必要條件B.充要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

7.（2023?安徽合肥?合肥一中?？寄M預(yù)測）已知A,B,C是三個隨機(jī)事件，"A,B,C兩兩獨(dú)立”是

“尸（AfiC）=P（A）P（B）P（C）”的（）條件

A.充分不必要B.必要不充分

C.充要D.既不充分也不必要

8.（2023?廣東廣州?廣州市培正中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知a/eR,貝必-6>0是4問-他|>0的（）

A.必要不充分條件B.充分不必要條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

9.（2023?山東泰安?統(tǒng)考模擬預(yù)測）"c4-2不,26卜是一S+3W0成立”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

10.（2023?廣東茂名?統(tǒng)考二模）已知直線/：>=履與圓C:（x-2y+（y-l）2=l,則“0<左〈乎”是“直線/與

圓C相交”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【真題感知】

1.（2023.天津.統(tǒng)考高考真題）2=*是"/+62=2"”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分又不必要條件

2.（2023?全國甲卷?統(tǒng)考（理科）高考真題）“sin2c+s全2#=1”是“sina+cos戶=0”的（）

A.充分條件但不是必要條件B.必要條件但不是充分條件

C.充要條件D.既不是充分條件也不是必要條件

3.（2022?天津?統(tǒng)考高考真題）“x為整數(shù)”是“2x+l為整數(shù)”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

4.（2022?浙江?統(tǒng)考高考真題）設(shè)xeR,則“sinx=l”是“cos尤=0”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

5.（2022.北京.統(tǒng)考高考真題）設(shè)｛q｝是公差不為0的無窮等差數(shù)列，則”｛4｝為遞增數(shù)列”是“存在正整數(shù)N。，

當(dāng)心乂時，an>0”的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

6.（2021?天津?統(tǒng)考高考真題）已知“eR,則“。>6”是>36”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

7.（2021?北京?統(tǒng)考高考真題）已知了（x）是定義在上［0,1］的函數(shù)，那么“函數(shù)〃尤）在［0,1］上單調(diào)遞增”是“函

數(shù)/⑺在上的最大值為了⑴”的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

8.（2021?浙江?統(tǒng)考高考真題）已知非零向量以及入貝=才'是"2=石''的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分又不必要條件

9.（2021?全國甲卷?統(tǒng)考（理科）高考真題）等比數(shù)列｛q｝的公比為q,前”項和為S"，設(shè)甲：q>0,乙:

｛50｝是遞增數(shù)列，則（）

A.甲是乙的充分條件但不是必要條件

B.甲是乙的必要條件但不是充分條件

C.甲是乙的充要條件

D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件

10.（2021?全國乙卷?統(tǒng)考（文理科）高考真題）已知命題P：三尤eR,sinx<1；命題g:VxeR,e1-11>1,則下

列命題中為真命題的是（）

A.p>qB.c.D.」(pvq)

專題02常用邏輯用語（核心考點(diǎn)精講精練）

考情探究

1.4年真題考點(diǎn)分布

4年考情

考題示例考點(diǎn)分析關(guān)聯(lián)考點(diǎn)

2023年新I卷，第7題,5

充分條件與必要條件等差數(shù)列通項公式及前n項和

分

2.命題規(guī)律及備考策略

【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的選考內(nèi)容，具體視命題情況而定，常作為知識點(diǎn)載體的

形式考查，例如2023年新I卷第7題以數(shù)列知識點(diǎn)作為載體，難度隨載體知識點(diǎn)而定，分

值為5分

【備考策略】1.理解、掌握充分條件、必要條件、充要條件

2.能正確從集合角度理解充分條件與必要條件的判斷及邏輯關(guān)系

3.能理解全稱量詞與存在量詞的意義

4.能正確對全稱量詞命題和存在量詞命題進(jìn)行否定

【命題預(yù)測】本節(jié)內(nèi)容常作為載體考查充分條件與必要條件，需對考綱內(nèi)知識點(diǎn)熟練掌握;

全稱量詞命題和存在量詞命題的否定也是高考復(fù)習(xí)和考查的重點(diǎn)。

考點(diǎn)梳理

知識講解

9.命題

(4)命題的定義

在數(shù)學(xué)中，把用語言、符號、或式子表達(dá)的，可以判斷真假的陳述語句叫做命題。

(5)真命題，假命題

判斷為真的語句叫做真命題，判斷為假的語句叫做假命題

(6)命題的一般形式

通常用“若p,則q”的形式來表達(dá)，其中?稱為命題的條件，q稱為命題的結(jié)論。

10.充分條件與必要條件

(2)充分條件與必要條件的定義

一般地，“若p,則q"為真命題，是指由條件p通過推理可以得出

由p可推出q,記作夕=q,并且說p是q的充分條件，q是p的必要條件。

如果“若p,則q”為假命題，是指由條件p不能推出結(jié)論“，記作P》q,則p不是“

的充分條件，q不是p的必要條件。

11.充分性和必要性的關(guān)系

在“若p,則q”中，

若：pnq,則p是q的充分條件，q是p的必要條件

若：qnp,則q是"的充分條件，p是q的必要條件

也就是說：在“若p,則q”中，

條件n結(jié)論，充分性成立；

結(jié)論n條件，必要性成立

12.充要條件

(3)充要條件的定義

若有夕二＞q,又有qnp,就記作poq,則p是q的充分必要條件，簡稱充要條件。

(4)充分條件、必要條件的四種類型

若pnq,qnp,則夕是q的充要條件

若pnq，q書p,則p是q的充分不必要條件

若p書q,qnp,則p是q的必要不充分條件

若p書q,q書p,則p是q的既不充分也不必要條件

13.集合中的包含關(guān)系在判斷條件關(guān)系中的應(yīng)用

設(shè)命題2對應(yīng)集合A,命題q對應(yīng)集合5

若A7B,即p=p是q的充分條件(充分性成立)

若A2B,即q=p是q的必要條件(必要性成立)

若A砥8,即°=q,q書p,p是q的充分不必要條件

若A:5,即qnp,p是q的必要不充分條件

若A=5,即qnp,p是q的充要條件

14.全稱量詞與全稱量詞命題

(4)全稱量詞

短語“所有的”“任意一個”在邏輯中通常叫做全稱量詞，并用符號“V”表示

(5)全稱量詞命題

含有全稱量詞的命題，叫做全稱量詞命題

(6)全稱量詞命題的符號及記法

記作：VxeM,p(x)

讀作：對任意x屬于Af,有p(x)成立

15.存在量詞與存在量詞命題

(4)存在量詞

短語“存在一個”“至少有一個”在邏輯中通常叫做存在量詞，并用符號“三”表示

(5)存在量詞命題

含有存在量詞的命題，叫做存在量詞命題

(6)存在量詞命題的符號及記法

記法：3xeM,p(x)

讀法：存在〃■中的元素x,使得p(x)成立

16.全稱量詞命題和存在量詞命題的否定

(3)全稱量詞命題的否定

全稱量詞命題：VxeM,p(x)

否定為：3xeM,

(4)存在量詞命題的否定

存在量詞命題：,p(x)

否定為：VxeM,

考點(diǎn)一、判斷命題的條件

☆典例引領(lǐng)

1.(2023?新高考I卷高考真題)記5”為數(shù)列｛%｝的前〃項和，設(shè)甲：｛%｝為等差數(shù)列；乙：

q

｛-4為等差數(shù)列，則()

n

A.甲是乙的充分條件但不是必要條件

B.甲是乙的必要條件但不是充分條件

C.甲是乙的充要條件

D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件

【答案】C

【分析】利用充分條件、必要條件的定義及等差數(shù)列的定義，再結(jié)合數(shù)列前〃項和與第w項

的關(guān)系推理判斷作答.，

【詳解】方法1,甲：｛%｝為等差數(shù)列，設(shè)其首項為外,公差為d,

r/cn(n—V),n-1,d

貝(JS=nciyH-----------d,—=a1H-------d=

n2n2~2

q

因此｛」｝為等差數(shù)列，則甲是乙的充分條件;

n

gpS?"+1______S_n__〃+1-'(〃+1).，”

反之,乙：｛土｝為等差數(shù)列,+1為常數(shù)，設(shè)為f,

nn+1n〃(〃+l)n(n+l)

即""三=t,則S"=na-t-n(n+T),有=(n-l)a?-f-n(n-l),n>2,

n(n+l)n+l

兩式相減得：a“=na什「(n-l)a“-2fn,即“.+[-a“=2f,對“=1也成立,

因此｛q｝為等差數(shù)列，則甲是乙的必要條件，

所以甲是乙的充要條件，C正確.

方法2,甲：｛為｝為等差數(shù)列，設(shè)數(shù)列｛%｝的首項%,公差為d,即S“=〃q+吟]d,

則+因此｛2｝為等差數(shù)列，即甲是乙的充分條件；

n222n

qqqq

反之，乙：｛i｝為等差數(shù)列，即二號-j=。,存=$+(〃-1)。，

n〃+1nn

即Sn=nSl+n(n-V)D,Sn_x=(n-1)S(+(?-1)(?-2)D,

當(dāng)“22時，上兩式相減得：S,-Se=S|+2(〃-l)r),當(dāng)〃=1時，上式成立,

于是=4+2(〃-1)。，又。,用-%=4+2"￡)-[q+2(“-1)￡>]=2￡)為常數(shù)，

因此｛%｝為等差數(shù)列，則甲是乙的必要條件，

所以甲是乙的充要條件.

故選：C

2.(2023?重慶?統(tǒng)考模擬預(yù)測)若p是q的必要不充分條件，q的充要條件是廠，則廠是p的

()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【分析】利用題給條件判斷出r與p的邏輯關(guān)系，進(jìn)而得到正確選項.

【詳解】P是q的必要不充分條件，q的充要條件是小則有

則廠=>4n又由P44,可得。4廠，

則r是p的充分不必要條件.

故選：A

3.(2023?遼寧?校聯(lián)考二模)"。=1"是"函數(shù)校》)=二(42+合一@是奇函數(shù)”的().

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【分析】函數(shù)“上回^^-x)為奇函數(shù)，解得a=±l,判斷a=±l與。=1的互推關(guān)系，

即可得到答案.

【詳解】當(dāng)函數(shù)/(彳卜回&②+片-目為奇函數(shù),

貝!J/(-v)+/(-X)=1g^Jx2+a2-+1g^Jx2+a2+=iga2=0,

解得a=±l.

所以"a=l"是"函數(shù)〃尤)=lg(G7^-x)為奇函數(shù)"的充分不必要條件.

故選：A.

即時檢測

1.(2023?山東青島?統(tǒng)考模擬預(yù)測)"gj"是"a<A+l"的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【分析】根據(jù)充分必要條件的定義，結(jié)合指數(shù)函數(shù)性質(zhì)，不等式的性質(zhì)，即可判斷.

【詳解】不等式等價于a<6,

由可推出

由a<Z?+l不一定能推出a<〃，例如a=3,Z?=3時，a<b+l,但a=

所以‘是""<"+1"的充分不必要條件.

故選：A.

2.(2023,浙江溫州,統(tǒng)考二模)已知為實數(shù)，°:。+6=0應(yīng):儲+從=0,貝”是0的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要

條件

【答案】B

【分析】根據(jù)充分條件、必要條件的定義即可得出結(jié)果.

【詳解】由a+6=0,取。=1乃=-1則“2+〃H0,所以。是q的不充分條件；

由=0則有a=6=0,a+b=0成立，所以P是0的必要條件.

綜上，〃是4的必要不充分條件.

故選：B

【點(diǎn)睛】本題考查了充分條件、必要條件的定義，屬于基礎(chǔ)題.

h+trih

3.(2023?湖北?校聯(lián)考模擬預(yù)測)已知相>0,貝>b>0"是—的()

a+ma

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要

條件

【答案】A

h+inh

【分析】結(jié)合作差法比較代數(shù)式的大小關(guān)系，判斷"a>b>0"和之間的邏輯推

a+ma

理關(guān)系，可得答案.

h+rtib_a(b+m)—b(a+m)_m(a-b)

【詳解】由題意——

a+maa(a+m)a(a+m)

b+mb_m(a-b)

若a>6>0,結(jié)合機(jī)>0,則>0,

a+maa(a+m)

A4-mh

故"a>b>0"是""二>2"的充分條件;

a+ma

_b+mbb+mbm(a-b)、門

者---->—，貝n1iJl=-3r>0，

a+maa+maa(a+m)

b+mh

取a=3,%=21=-1滿足---->—,但不滿足3>b>0,

a+ma

A4-mh

故"a>b>0"不是"空%>±”的必要條件.

a+ma

于是"a>b>0"是h+YH>2h"的充分不必要條件，

a+ma

故選：A.

4.(2023?山東臨沂?統(tǒng)考一模)"6=E±](4eZ)"是"e=g(keZ)”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【分析】利用集合的包含關(guān)系判斷可得出結(jié)論.

[詳解]因為{66=??€2,=[66=也_1或6=阮或8=加+1#€2},

所以，=后ez}后ez,,

因此"0=航±?左eZ)〃是"6=eZ)〃的充分不必要條件.

故選：A.

5.(2023?山東荷澤,統(tǒng)考二模)"租=-1"是"直線乙：〃7x+2y+l=。與直線4:g尤+my+g=0平

行"的()

A.充耍條件B.必耍不充分條件

C.充分不必要條件D.既不充分也不必要

【答案】A

【分析】由租=-1可得直線4：m+2y+l=O與直線小為+陽+g=0平行，即充分條件成

立；由直線4：皿+2>+1=。與直線：gx+Miy+g=0平行，求得加的值為-1,即必要條件

成立；

【詳解】因為加=-1,所以直線4：-x+2y+l=0,直線4：gx_y+g=0,貝也與4平行，故

充分條件成立；

當(dāng)直線4：〃底+2，+1=0與直線4：gx+加y+g=0平行時，in2=1,解得，〃=1或相=T,當(dāng)

機(jī)=1時，直線4：x+2y+l=0與直線6：%+2y+l=0重合，當(dāng)機(jī)=—1時，直線乙:x-2y-l=09

直線3％-2y+l=。平行，故必要條件成立.

綜上知，〃機(jī)=-1〃是〃直線4：m+2y+l=。與直線4：；%+沖+；=0平行”的充要條件.

故選：A.

6.（2023?遼寧?校聯(lián)考二模）已知xeR,若p:：Wl,,

則p是q的（

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】D

【分析】根據(jù)不等式的解法和指數(shù)函數(shù)的額性質(zhì)，分別求得集合A,2,結(jié)合充分條件、必要

條件的判定方法，即可求解.

11V-1

【詳解】由不等式上41,可得1—上=上」之0,解得或％v0,

XXX

即命題。為真命題時，構(gòu)成集合A={%|xvO或％之1},

又由，J2、］,根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，可得x<0,

即命題9為真命題時，構(gòu)成集合夕={娼》40}

所以。是q的既不充分也不必要條件.

故選：D.

考點(diǎn)二、根據(jù)命題的條件求參數(shù)值或范圍

☆典例引領(lǐng)

1.（2023?福建福州?高三福州三中?？茧A段練習(xí)）設(shè)°：4元-3<1；q-尤-（2a+D<0,若p是

q的充分不必要條件，則（）

A.a>0B.a>lC.a>0D.a>l

【答案】A

【分析】化簡p，q,根據(jù)充分不必要的定義列不等式求。的范圍.

【詳解】由已知可得。：X<1，4：X<2“+1,

因為P是4的充分不必要條件，

所以2。+1>1,

所以。>0,

故選：A.

2.（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知條件P：q：x>m,若。是4的充分不必要

條件，則實數(shù)加的取值范圍是（）

A.B.（-oo,-l）C.（-1,0）D.

【答案】D

【分析】根據(jù)充要條件與集合的包含關(guān)系可得.

【詳解】因為P是4的充分不必要條件，所以｛x|-l<x<l｝[x\x>m],即加4—1.

故選：D.

即時檢測

1.（2023?全國?高三專題練習(xí)）"彳2。"是"彳22”的必要不充分條件，則。的取值范圍為（）

A.（3,+co）B.（F,2）C.（r°,2]D.[0,+<?）

【答案】B

【分析】將條件轉(zhuǎn)化為集合關(guān)系即可求解.

【詳解】由題意得，｛x|x?2｝是｛x|xNa｝的真子集，故a<2.

故選：B

2.（2023?海南海口??？寄M預(yù)測）已知集合尸=?-2了<0｝,。=卜[7^i<",貝！|

PUQ=?的充要條件是（）

A.0<a<lB.0<a<lC.0<a<lD.0<a<l

【答案】B

【分析】解一元二次不等式求集合尸，解根式不等式求集合。，根據(jù)集合并集結(jié)果有Q=P

即可求參數(shù)。的范圍，最后由充分、必要性定義可得答案.

【詳解】由題設(shè)，■?=｛尤I。（尤<2｝,Q^｛x\a<x<a+1],

..fa>0

若PUQ=P,則?？谑?,可得

[a+l<2

所以0<aWl是尸UQ=P的充要條件.

故選：B

考點(diǎn)三、判斷全稱命題和特稱命題真假

典例引領(lǐng)

1.（2023?全國?高三專題練習(xí)）下列命題中既是全稱量詞命題，又是真命題的是（）

A.菱形的四條邊都相等B.3XGN,使2%為偶數(shù)

C.VxeR,尤2+2X+1>0D.兀是無理數(shù)

【答案】A

【分析】根據(jù)全稱量詞命題和特稱量詞命題的定義以及真假判斷，一一判斷各選項，即得答

案.

【詳解】對于A,所有菱形的四條邊都相等，是全稱量詞命題，且是真命題.

對于B,3xe