2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義-數(shù)列的概念

第六章數(shù)列

§6.1數(shù)列的概念

【課標(biāo)要求】1.了解數(shù)列的概念和幾種簡單的表示方法（列表、圖象、通項公式）2了解數(shù)列是

自變量為正整數(shù)的一類特殊函數(shù).

?落實主干知識

【知識梳理】

1,數(shù)列的有關(guān)概念

概念含義

數(shù)列按照____________排列的一列數(shù)

數(shù)列的項數(shù)列中的____________

如果數(shù)列｛an｝的第n項詼與它的____________之間的對應(yīng)關(guān)系可以用

通項公式

一個式子來表示，那么這個式子叫做這個數(shù)列的通項公式

如果一個數(shù)列的相鄰兩項或多項之間的關(guān)系可以用一個式子來表示，

遞推公式

那么這個式子叫做這個數(shù)列的遞推公式

數(shù)列｛為｝的把數(shù)列｛斯｝從第1項起到第〃項止的各項之和，稱為數(shù)列｛〃〃｝的前n

前n項和項和，記作Sn,BPSn=____________

2.數(shù)列的分類

分類標(biāo)準(zhǔn)類型滿足條件

有窮數(shù)列項數(shù)________

項數(shù)

無窮數(shù)列項數(shù)________

項與項遞增數(shù)列斯+1____________斯其中

間的大遞減數(shù)列斯+1____________斯狂N*

小關(guān)系常數(shù)列an+1二an

從第二項起，有些項大于它的前一項，有些項小于

擺動數(shù)列

它的前一項的數(shù)列

3.數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系

數(shù)列｛?！埃菑恼麛?shù)集N*（或它的有限子集｛1,2,…，w｝）到實數(shù)集R的函數(shù)，其自變量是

,對應(yīng)的函數(shù)值是________________________________記為冊=".

【常用結(jié)論】

Si,n-1,

1.已知數(shù)列｛如｝的前n項和為Sn，貝！I,

S7-S,-1,"'2.

2.在數(shù)列｛詼｝中，若斯最大，則，（心2,"GN*）；若斯最小，則，

（介2,”GN*）.

【自主診斷】

1,判斷下列結(jié)論是否正確.（請在括號中打“J”或“X”）

⑴數(shù)列1,2,3與3,2,1是兩個不同的數(shù)列.（）

1+（-1）,!+1

（2）數(shù)列I1,0,1,。,1,0，…的通項公式只能是a?=---------?（）

⑶任何一個數(shù)列不是遞增數(shù)列，就是遞減數(shù)列.（）

（4）若數(shù)列用圖象表示，則從圖象上看是一群孤立的點.（）

2.已知數(shù)列｛如｝的通項公式為a?=9+12n,則在下列各數(shù)中，不是｛斯｝的項的是（）

A.21B.33C.152D.153

3.（選擇性必修第二冊P8T4改編）已知數(shù)列｛詼｝的前n項和Sn-iv+n,那么它的通項公式an

等于（）

A.nB.InC.2〃+lD.〃+l

4.（選擇性必修第二冊P9T5改編）如圖，古希臘人常用小石子在沙灘上擺成各種形狀來研究

數(shù).如圖中的數(shù)1,5,12,22,…稱為五邊形數(shù)，則第8個五邊形數(shù)是________.

■探究核心題型

題型一由斯與％的關(guān)系求通項公式

例1(1)設(shè)S”為數(shù)歹U｛?！保那啊椇停?S"=3詼-3,則如等于()

A.27B.81C.93D.243

(2)已知數(shù)列｛詼｝滿足ai+2a2+3a3+…+nan=2",貝!!斯=.

思維升華斯與S.的關(guān)系問題的求解思路

⑴利用a,尸S,-S-i(〃22)轉(zhuǎn)化為只含Sn,Sn-i的關(guān)系式，再求解.

(2)利用S?-Sn-l=斯(〃22)轉(zhuǎn)化為只含a?,a?-1的關(guān)系式,再求解.

跟蹤訓(xùn)練1(1)(2023?濰坊統(tǒng)考)已知數(shù)列｛呢｝的前n項和為Sn,且滿足Sm+S,=Sm+r，若的=

2,則。20等于()

A.2B.4C.20D.40

(2)(2023?深圳模擬)設(shè)數(shù)列｛斯｝的前n項和為S”，若用=3且當(dāng)時，2a“=Sn-Sn-1,則｛斯｝

的通項公式=.

題型二由數(shù)列的遞推關(guān)系求通項公式

命題點1累加法

例2若數(shù)列｛斯｝滿足an+i-an=lg(l+[),且ai=1,貝擻列｛詼｝的第100項為(

A.2B.3

C.1+1g99D.2+1g99

命題點2累乘法

fl

例3設(shè)在數(shù)列｛a,J中，=2,a+i-a?,貝！1廝=.

nn+1

跟蹤訓(xùn)練2⑴設(shè)數(shù)列｛斯｝滿足藥=1,且斯+i-詼=〃+l(〃dN*),則數(shù)列｛斯｝的通項公式為

1

(2)已知數(shù)列｛斯｝滿足的=2,(〃+l)an+=2(〃+2)an,則數(shù)列｛斯｝的通項公式為

題型三數(shù)列的性質(zhì)

命題點1數(shù)列的單調(diào)性

2

例4已知數(shù)列｛④｝的通項公式為an=n-3加，則以＜1”是“數(shù)列｛④｝為遞增數(shù)列”的()

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

命題點2數(shù)列的周期性

1+Ctrl

例5若數(shù)歹滿足〃1=2,即+1=，則42024的值為()

1-an

A.2B.-3C.-D.g

命題點3數(shù)列的最值

3n-7

例6數(shù)列｛兒｝滿足為二1丁，貝U當(dāng)幾二時,為取最大值為.

2

跟蹤訓(xùn)練3(1)(2024?安康模擬)已知數(shù)歹[]｛斯｝的前n項和為=〃2=1,的二。4=2,

+4=0,則（）

A.S23>&1>S22B.S21>S22>S23

>>

C.S21>523>522D.S23S22S21

2n-19

⑵已知數(shù)歹帆,｝的通項3,,〃GN*，則數(shù)列｛〃，，｝前2。項中的最大項與最小項的值分

別為_______

§6.1數(shù)列的概念答案

落實主干知識

知識梳理

1.確定的順序每一個數(shù)序號”

+〃2+…+%

2.有限無限><

3.序號〃數(shù)列的第〃項詼

自主診斷

1.(1)J(2)X(3)X(4)V

2.C3.B4.92

探究核心題型

[2,"=1,

例1⑴B(2)52?-1

------,n>2

In'

跟蹤訓(xùn)練1(1)A

3,?=1,

(2)518

[(5-3〃)(8-3〃)

解析當(dāng)〃22時,由=Sn'Sn-1可得2Sn-2Sn-1=Sn-Sn-1,化為(-~1,

因為

所以，上，是首項為W,公差為-由勺等差數(shù)列，

所以卜二H(〃-D=-2n+6，所以S〃=563rl,

18

當(dāng)時，〃〃=8-Sn-1-

(5-3〃)(8-3n)

又因為=3,不符合上式，

3,〃二1,

故斯二118

I(5-3n)(8-3〃)幾22.

例2B例為an+i-斯=lg(l+~)

n+I

=lg-=lg(?+1)-lg?,

所以。100-?99=lg100-1g99,

的-42=1g3-1g2,

〃2-=lg2-lg1,

以上99個式子累加得Qioo-的二lg100,

所以am=lg100+1=3.]

2

例3-

n

解析?i——2,

〃+1

4〃+1n

??cifi0

n+1

an%-1%-2a3a22〃-312、

=??????一?一?〃]=???…,于2=三2).

??an-n(n

an-ian-2an-302al〃n-1n-2?

當(dāng)〃=1時，=2滿足上式.

n2+n

跟蹤訓(xùn)練2(1)斯二下一

(2)Q〃=5+1>2〃-I(〃WN*)

角星析V(H+l)an+i-2(〃+2)an,

an+12(〃+2)

斯n+1

〃243〃4a

貝！Ja-av----.----..???.n

n41〃2。3〃“一

n+1

=2n~1-ai{lX3X4X"'><

n

=5+l>2*i(〃22).

當(dāng)〃=1時，=2滿足上式，

n

：.an=(n+iy2-\n^).

例4c[若數(shù)列｛見｝為遞增數(shù)列，

貝!J[(〃+I)2-3A(n+1)]-(n2-3AH)=(n2+2n+1-3Xn-32)-(n2-3丸〃)=2n+1-

3/l>0,

即3A<2n+1,

由于〃￡N*,

所以3A<2X1+1=3,解得標(biāo)1,

反之,當(dāng)衣1時,an+1-an>0,

貝媵攵歹打〃〃｝為遞增數(shù)歹II,所以是“數(shù)歹（!｛〃〃｝為遞增數(shù)歹的充要條件.]

1I1+1

1+21-311-2113

例5D[由題意知，=2,〃2=------=-3,的二2/^4-j-=2I〃5=j-=2,

1-2