2025年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)：任意角和弧度制、三角函數(shù)的概念與誘導(dǎo)公式 學(xué)案講義

任意角和弧度制、三角函數(shù)的概念與誘導(dǎo)公式

知識(shí)導(dǎo)引

本專題主要涉及的知識(shí)為三角函數(shù)的概念、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、誘導(dǎo)公式.在學(xué)習(xí)過

程中，要會(huì)利用定義、公式求解三角函數(shù)值、化簡(jiǎn)三角函數(shù)式、證明三角恒等式，體會(huì)并理解

數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法.

1.弧度制和角度制的換算：180。=萬rad;

變形：1。=3也&1坨（1=（儂）°257.3°.

180I萬J

弧長(zhǎng)公式/=|a|r,扇形的面積公式S.

2.象限角、終邊相同的角的集合表示.

3.任意角的三角函數(shù)概念.

用單位圓上的點(diǎn)坐標(biāo)表示銳角三角函數(shù),在此基礎(chǔ)上定義任意角的三角函數(shù).設(shè)尸（X。）

是單位圓與任意角a的終邊的交點(diǎn)，貝sina=y,cosa=x,tantz=上.直接用定義研究三角函

X

數(shù)的定義域、函數(shù)值的符號(hào)、誘導(dǎo)公式以及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系.

在單位圓中構(gòu)造出以任意角的正弦線、余弦線為直角邊的直角三角形,得出同角三角函數(shù)的

平方關(guān)系sin2a+cos2a=1商數(shù)關(guān)系,由°=tana.

fcosa

（1）三角函數(shù)的終邊比值定義在平面直角坐標(biāo)系X。歹中，設(shè)P（x,y）是角a的終邊上的任意一

(2)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系變形：1+tan2a=—\—u>cos2a=-----J—

cosa1+tana

4.誘導(dǎo)公式

公式一sin(a+2kn)=sina,公式二sin(穴+a)——sina,

cos(a-l~2^7t)=cosa,必￡Z,cos(/+a)=—cosa,

tan(a+2kn)=tana.tan(ir+a)=tana.

公式三sin(-a)=-sina?公式四sin("-a)=sina，

單位圓和

cos(-a)=cosa?cos(K-a)="cosa?

三角函數(shù)定義

tan(-a)=-tana.tan(穴—a)=-tana.

公式五sin(y-a)=cosa,公式六sin質(zhì)+a)=cosa,

cos質(zhì)+a)=_sina.

進(jìn)階提升

題目1若角。是第三象限象限角，則且是第象限角.

2一

審題此題為已知角c終邊所在象限，求半角2所在象限問題.常用方法為由題目所給的條件

2

先寫出a的集合,再求出紅的范圍,注意對(duì)整數(shù)先進(jìn)行討論.

2

解析1因?yàn)榻莂r是第三象限角，設(shè)2k兀+兀＜a＜2k7r+—,keZ，則

2

后乃+匹＜衛(wèi)＜左乃+^-,keZ.

224

當(dāng)左=2%〃eZ時(shí)，2〃萬+三＜2〃萬+紅，則紅是第二象限角；當(dāng)

2242

左=2〃+l,〃eZ時(shí)，2〃萬+紅〈烏＜2M+江，則紅是第四象限角.故且是第二或第四象限

22422

角.

解析2(八卦圖法)如圖，將平面直角坐標(biāo)系各象限分成兩份，按逆時(shí)針方向依次標(biāo)注記為

1,2,3,4,標(biāo)滿為止.由于角a是第三象限角，現(xiàn)在看標(biāo)有3的數(shù)字在圖中哪些象限,注意到第

二、四象限均有3,所以且是第二或第四象限角.

2

回爐已知角。終邊所在象限，求半角馬終邊所在象限，可對(duì)整致左分兩類討論，即

2

k=2n,2〃+l(〃eZ).若是求三分之一角告終邊所在象限，可對(duì)整數(shù)左分三類討論，即

k=3n,3〃+1,3〃+2("eZ);也可用八卦圖法,將坐標(biāo)系各象限分成3份,按逆時(shí)針方向依次

標(biāo)注1,2,3,4,標(biāo)滿為止,然后觀察求解.當(dāng)求2a嬤邊所在象限時(shí)，不要忽略終邊在坐標(biāo)軸上

的情況.

【相似題1】

已知集合M=[x|x=^+?丘Z],N='|X=￥+?丘z],則

()

A.M=NB.MjNC.N三MD.Mr＞N=0

⑴若a=60。/=10cm,求扇形的弧長(zhǎng)I.

(2)已知扇形的周長(zhǎng)為10cm,面積為4cm2,求扇形的圓心角弧度.

⑶若扇形的周長(zhǎng)為20cm,當(dāng)扇形的圓心角a為多少弧度時(shí),這個(gè)扇形的面積最大？

審題已知扇形的圓心角和半徑,求解長(zhǎng)線和面積時(shí)應(yīng)注意兩種度量單位之間的換算,合理運(yùn)

用計(jì)算公式;若已知扇形的周長(zhǎng)和面積的值,求圓心角弧度數(shù)只要建立關(guān)于半徑r和弧長(zhǎng)/的

等式,解方程組即可.

解析⑴弧長(zhǎng)/=ar=U^cm.

(3)由題意得2r+1=20,/=20—2r,

所以扇形的面積S=；lr=-r2+10r=-(r-5)2+25(cm2).

當(dāng)r=5cm時(shí),面積達(dá)到最大,此時(shí)弧長(zhǎng)/=10cm,圓心角弧度a=2.

回爐解題時(shí)注意圓心角弧度值小于2萬.

【相似題2】

《九章算術(shù)》是我國(guó)古代數(shù)學(xué)成就的杰出代表作，其中“方田”章計(jì)算弧田面積所用的經(jīng)驗(yàn)

弧田(如圖)，由圓弧和其所對(duì)的弦圍成,公式中“弦”指圓弧所對(duì)的弦長(zhǎng)，'‘矢"等于半徑長(zhǎng)

與圓心到弦的距離之差.按照上述經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算所得弧田面積與其實(shí)際面積之間存在誤差.

現(xiàn)有圓心角為紅、半徑等于4米的弧田.按照上述方法計(jì)算出弧田的面積約為()

3

A.6平方米B.9平方米C.12平方米D.15平方米

【題目3]

已知角a的終邊經(jīng)過點(diǎn)尸(-4加,3冽)(切。0),則2sina+cosa=.

審題任意角的三角函數(shù)是用單位圄來定義的，若角a的終邊上的點(diǎn)尸不在單位圖上,則可考

慮終邊比值定義.若角a的終邊位置不確定,則需對(duì)可能的情況進(jìn)行分類討論.

解析點(diǎn)尸到原點(diǎn)的距離/=|。尸|=尸產(chǎn)=5|加|>0.

由三角函數(shù)的定義知，sina=—=,cos6Z=—=,

r51m|r5\m\

jr342

若冽>0,則sina=—,cosa=----,故2sina+cosa=—;

555

?卜342

若冽<0,貝sin。=---,coscr=—,故2sina+cosa=-----.

555

練;上口J得,2sina+cosa=±.

5

回爐任意角的三角函數(shù)可用終邊比值定義，也可用單位圓定義，注意尸|=/>0.本題中

冽w0,應(yīng)該對(duì)加分冽〉0和冽<0兩種情況討論.

【相似題3】

若角a的終邊過點(diǎn)尸（-8加,-6sin30。），且cosa=-9,則小的值為（）

A.-J-B.工C.-昱D.昱

2222

【題目4】

若sina<0,且tana>0,貝！|a是（）

A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限

角

審題任意角的三角函數(shù)涉及角所在的象限、函數(shù)名、符號(hào).由角a某一三角函數(shù)符號(hào)判定其

所在象限時(shí)，注意口訣"-全正、二正弦、三正切、四余弦”.

解析由sine<0可知,角a的終邊在第三象限或y軸負(fù)半軸或第四象限.

由tanc>0可知，角a的終邊在第一象限或第三象限.

綜上可得,角a的終邊在第三象限,故選C.

回爐三角函數(shù)在各個(gè)象限的符號(hào)規(guī)律為“一全正、二正弦、三正切、四余弦”.當(dāng)sina<0時(shí),

注意角c的終邊可能會(huì)在y軸負(fù)半軸上;當(dāng)sina>0時(shí)，角a的終邊可能會(huì)在y軸正半軸上.

余弦值也類似.

【相似題4】

若點(diǎn)P（tanO,cosO-sin。）在第四象限,則［0,2加內(nèi)的0的取值范圍是（）

滿足cos%-段的角a的集合為.

審題由某一三角函數(shù)值的范圍求相應(yīng)角的范圍，常借助單位圓中的三角函數(shù)線或三角函數(shù)圖

象進(jìn)行求解.

解析已知cosa”-；，如圖.

當(dāng)cosa---^且a￡[0,2TT]時(shí)，a=2^或o=.

233

由角a的終邊與單位圓交點(diǎn)的橫坐標(biāo)得

2k兀+——tz?2k7i+——,左￡Z.

33

所以角a的集合為1|2k兀+6Z?2k兀+,kez|.

回爐解三角不等式可用單位圓法或三角函數(shù)圖象法.對(duì)單位圓中的三角函數(shù)線可進(jìn)行拓展學(xué)

習(xí)，注意正弦線、余弦線、正切線的位置和方向.

【相似題5】

函數(shù)＞=1g(3-dsin?x)的定義域?yàn)?

題目6

已矢口aGE,sina+2cosa=邪,則tana=.

審題已知角。的某一三角函數(shù)值,求其余三角函數(shù)值,一般先用平方關(guān)系,再用商數(shù)關(guān)系.本

題涉及角a兩個(gè)三角函數(shù)值的關(guān)系，借助“知二求一”的規(guī)律進(jìn)行解方程組求解.解析1(利

用平方關(guān)系和解方程(組)思想)

,fsina+2cosa=,一n

由｛得(6-2cosa)2+cos2a=1,即

sin2a+cos2a=1

5cos2-4V5cosa+4=0,

解得cosa=—^=2叵.于是sina="：,tana=—

V5552

解析2(化齊次式和“1”的代換)

等號(hào)兩邊平方得(sina+2cosa)2=5,

nnsin2a+4sinacosa+4cos2a二tan2a+4tana+4夕

即---------------2-------------二5,-----------2------；-------二5，

sma+cosatana+1

整理得4tan2a-4tana+1=0,解得tana-—

2

另外，由(sina+2cosa)2=5得

sin2a+4sinacosa+4cos之a(chǎn)=5^sin2a+cos2a),

即4sin2a-Asinacosa+cos2a=0,2sina-cosa=0,解得tana=—,

2

解析3

(構(gòu)造對(duì)偶式)

利用(sina+2cosa)2+(cos6Z-2sin6Z)2=5,得cosa=2sina,于是tana=—.

解析4

(利用輔助角公式)

因?yàn)閟ina+2cosa-"(sina?3r+cosa-"sin(a+cp)能取最大值，

i2]

以sina=~,cosa=~,角牛tana——.

V5V52

*解析5(極值處導(dǎo)數(shù)值為0)

利用輔助角公式，sin。+2cosa能取最大值V5,則最大值處導(dǎo)數(shù)值為0.

等號(hào)兩邊求導(dǎo)得coscr-2sincr=0,即tana=—.

2

回爐本題利用弦切互化解方程的常規(guī)思路可求；由于條件給出的是特殊形式,考慮將等號(hào)兩

邊平方，轉(zhuǎn)化成齊次式，通過齊次式求解；若滿足asina+bcosa=±y1a2+b2的形式，則

tana=2;從導(dǎo)數(shù)的角度很容易理解，/(x)=Qsinx+bcosx(x￡R),若/(a)取得最值或極值,

b

則必有r(a)=0.解題時(shí)應(yīng)注意角的范圍及三角函數(shù)值的符號(hào).

【相似題6】

定義在區(qū)間上的函數(shù)y=6cosx的圖象與y=5tanx的圖象的交點(diǎn)為尸，過點(diǎn)P作

尸片，x軸于點(diǎn)々，直線期與y=sinx的圖象交于點(diǎn)P2,則線段PR2的長(zhǎng)為.

【題目7]

已知tana=2,求：

(1)4sina-2cosa的值.

5sina+3cosa

(2)5sin2cr+3sincrcosa-2的值.

審題已知角a的某一三角函數(shù)值,求其余三角函數(shù)值,一般先用平方關(guān)系,再用商數(shù)關(guān)系.已

知tana=2>0,得sina=2cosa,結(jié)合平方關(guān)系，分角a位于-、三象限進(jìn)行討論，求解

sina,cosa,該方法較煩瑣;本題中已知tana=2,常規(guī)方法為“切化弦”，巧用平方關(guān)系，進(jìn)

行“1”的代換.

解析⑴解析1由tana=2得sina=2cosa.

換4sina-2cosa_4x2cosa-2cosa_6

5sina+3cosa5x2cosa+3cosa13

解析2原式分子、分母同除以cosa(cosc工0)得生出包二2=_L.

5tana+313

5sin2a+3sinacosa"(sin?a+cos2a]

⑵原式除以sin2a+cos2a得-----------------------------------

sina+cosa

_3sin：a+3sinacosa-2cos」a_3tan』a+3tana-2_16

sin2a+cos2atan2a+15

回爐在同角三角函數(shù)關(guān)系中，已知角的正切值,求齊次式的值有兩種常見類型：

類型1:分式型“sina+6costz,分子、分母同除以c°sa(cose片0),得到與正切有關(guān)的分式；

sina+dcosa

類型2:二次齊次型asin2a+6sinacosa+c,分母1化為sin?a+cos2a,然后將分子、分母

同除以cos2a(cosawO),得到與正切有關(guān)的分式.

【相似題7】

若。是第四象限角且$出。=正金,W?。=±比,則典且士1=__________.

k+5左+5tan0

題目8