2025屆湖南省三湘名校高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測試題含解析

2025屆湖南省三湘名校高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．在直三棱柱中，，M，N分別是，的中點，，則AN與BM所成角的余弦值為（）A. B.C. D.2．設(shè)，分別為具有公共焦點與橢圓和雙曲線的離心率，為兩曲線的一個公共點，且滿足，則的值為A. B.1C.2 D.不確定3．橢圓中以點為中點的弦所在直線斜率為（）A. B.C. D.4．“”是“方程為雙曲線方程”的（）A充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件5．已知函數(shù)，那么“”是“在上為增函數(shù)”的A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件6．一輛汽車做直線運動，位移與時間的關(guān)系為，若汽車在時的瞬時速度為12，則（）A. B.C.2 D.37．下列說法：①將一組數(shù)據(jù)中的每個數(shù)據(jù)都加上或減去同一個常數(shù)后，方差不變；②從統(tǒng)計量中得知有的把握認(rèn)為吸煙與患肺病有關(guān)系，是指有的可能性使得推斷出現(xiàn)錯誤；③回歸直線就是散點圖中經(jīng)過樣本數(shù)據(jù)點最多的那條直線；④如果兩個變量的線性相關(guān)程度越高，則線性相關(guān)系數(shù)就越接近于；其中錯誤說法的個數(shù)是（）A. B.C. D.8．已知雙曲線（，）的左，右焦點分別為，．若雙曲線右支上存在點，使得與雙曲線的一條漸近線垂直并相交于點，且，則雙曲線的漸近線方程為（）A. B.C. D.9．在數(shù)列中，，，則（）A. B.C. D.10．已知，，，執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出值為（）A. B.C. D.11．已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{}，=5，=10，則=A. B.7C.6 D.12．已知直線與圓相交于兩點，當(dāng)?shù)拿娣e最大時，的值是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知數(shù)列的前n項和為，則取得最大值時n的值為__________________14．若，，三點共線，則m的值為___________.15．已知的頂點A(1，5)，邊AB上的中線CM所在的直線方程為，邊AC上的高BH所在直線方程為，求（1）頂點C的坐標(biāo)；（2）直線BC的方程；16．若，滿足約束條件，則的最大值為_____________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）某班名學(xué)生期中考試數(shù)學(xué)成績的頻率分布直方圖如圖所示，其中成績分組區(qū)間是、、、.（1）估計該班本次測試的平均分；（2）在、中按分層抽樣的方法抽取個數(shù)據(jù)，再從這個數(shù)據(jù)中任抽取個，求抽出個中至少有個成績在中的概率.18．（12分）如圖，第1個圖形需要4根火柴，第2個圖形需要7根火柴，，設(shè)第n個圖形需要根火柴（1）試寫出，并求；（2）記前n個圖形所需的火柴總根數(shù)為，設(shè)，求數(shù)列的前n項和19．（12分）如圖所示，四棱錐的底面為直角梯形，，，，，底面，為的中點（1）求證：平面平面；（2）求點到平面的距離20．（12分）如圖，已知橢圓的焦點是圓與x軸的交點，橢圓C的長半軸長等于圓O的直徑（1）求橢圓C的方程；（2）F為橢圓C的右焦點，A為橢圓C的右頂點，點B在線段FA上，直線BD，BE與橢圓C的一個交點分別是D，E，直線BD與直線BE的傾斜角互補(bǔ)，直線BD與圓O相切，設(shè)直線BD的斜率為．當(dāng)時，求k21．（12分）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AD⊥CD，且AD＝CD＝1，BC＝2，PA＝1（1）求證：AB⊥PC；（2）點M在線段PD上，二面角M﹣AC﹣D的余弦值為，求三棱錐M﹣ACP體積22．（10分）設(shè)函數(shù)，其中是自然對數(shù)的底數(shù)，.（1）若，求的最小值；（2）若，證明：恒成立.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)已知條件求AN與BM對應(yīng)的方向向量，應(yīng)用空間向量夾角的坐標(biāo)表示求AN與BM所成角的余弦值.【詳解】建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，∴，，，，∴，，∴，所以AN與BM所成角的余弦值為.故選：D2、C【解析】根據(jù)題意，設(shè)它們共同的焦距為2c、橢圓的長軸長2a、雙曲線的實軸長為2m，由橢圓和雙曲線的定義及勾弦定理建立關(guān)于a、c、m的方程，聯(lián)解可得a2+m2=2c2，再根據(jù)離心率的定義求解【詳解】由題意設(shè)焦距為2c，橢圓的長軸長2a，雙曲線的實軸長為2m，設(shè)P在雙曲線的右支上，由雙曲線的定義得|PF1|﹣|PF2|=2m①由橢圓的定義|PF1|+|PF2|=2a②又∵，∴，可得∠F1PF2=900，故|PF1|2+|PF2|2=4c2③，①平方+②平方，得|PF1|2+|PF2|2=2a2+2m2④將④代入③，化簡得a2+m2=2c2，即，可得，所以=.故選：C3、A【解析】先設(shè)出弦的兩端點的坐標(biāo)，分別代入橢圓方程，兩式相減后整理即可求得弦所在的直線的斜率【詳解】設(shè)弦的兩端點為，，代入橢圓得兩式相減得，即，即，即，即，弦所在的直線的斜率為，故選:A4、C【解析】先求出方程表示雙曲線時滿足的條件，然后根據(jù)“小推大”原則進(jìn)行判斷即可.【詳解】因為方程為雙曲線方程，所以，所以“”是“方程為雙曲線方程”的充要條件.故選：C.5、A【解析】對函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)得，進(jìn)而得時，，在上為增函數(shù)，然后判斷充分性和必要性即可.【詳解】解：因為的定義域是，所以，當(dāng)時，，在上為增函數(shù).所以在上為增函數(shù)，是充分條件；反之，在上為增函數(shù)或，不是必要條件.故選：A.【點睛】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，屬于中檔題.6、D【解析】首先求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，依題意可得，即可解得；【詳解】解：因為，所以又汽車在時的瞬時速度為12，即即，解得故選：D【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)在物理中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.7、C【解析】根據(jù)統(tǒng)計的概念逐一判斷即可.【詳解】對于①，方差反映一組數(shù)據(jù)的波動大小，將一組數(shù)據(jù)中的每個數(shù)據(jù)都加上或減去同一個常數(shù)后，方差不變，①正確；對于②從統(tǒng)計量中得知有的把握認(rèn)為吸煙與患肺病有關(guān)系，是指有的可能性使得推斷出現(xiàn)錯誤；故②正確；對于③，線性回歸方程必過樣本中心點，回歸直線不一定就是散點圖中經(jīng)過樣本數(shù)據(jù)點最多的那條直線，也可能不過任何一個點；③不正確；對于④，如果兩個變量的線性相關(guān)程度越高，則線性相關(guān)系數(shù)就越接近于，不正確，應(yīng)為相關(guān)系數(shù)的絕對值就越接近于；綜上，其中錯誤的個數(shù)是；故選：C.8、B【解析】利用漸近線方程和直線解出Q點坐標(biāo)，再由得P點坐標(biāo)，代入雙曲線方程得到a、b、c的齊次式可解.【詳解】如圖，因為與漸近線垂直所以的斜率為，方程為解的Q的坐標(biāo)為設(shè)P點坐標(biāo)為則，因為，所以，得點P坐標(biāo)為，代入得：所以，即所以漸近線方程為故選：B.9、A【解析】根據(jù)已知條件，利用累加法得到的通項公式，從而得到.【詳解】由，得，所以，所以.故選：A.10、A【解析】模擬程序運行可得程序框圖的功能是計算并輸出三個數(shù)中的最小數(shù)，計算三個數(shù)判斷作答.【詳解】模擬程序運行可得程序框圖的功能是計算并輸出三個數(shù)中的最小數(shù)，因，，，則，不成立，則，不成立，則，所以應(yīng)輸出的x值為.故選：A11、A【解析】由等比數(shù)列的性質(zhì)知，a1a2a3，a4a5a6，a7a8a9成等比數(shù)列，所以a4a5a6＝故答案為考點：等比數(shù)列的性質(zhì)、指數(shù)冪的運算、根式與指數(shù)式的互化等知識，轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想12、C【解析】利用點到直線的距離公式和弦長公式可以求出的面積是關(guān)于的一個式子，即可求出答案.【詳解】圓心到直線的距離，弦長為..當(dāng)，即時，取得最大值.故選：C.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、①.13②.##3.4【解析】由題可得利用函數(shù)的單調(diào)性可得取得最大值時n的值，然后利用，即求.【詳解】∵，∴當(dāng)時，單調(diào)遞減且，當(dāng)時，單調(diào)遞減且，∴時，取得最大值，∴.故答案為：13；.14、【解析】根據(jù)三點共線與斜率的關(guān)系即可得出【詳解】由，，三點共線，可知所在的直線與所在的直線平行，又，由已知可得，解得故答案為：15、（1）；（2）.【解析】（1）設(shè)出點C的坐標(biāo)，進(jìn)而根據(jù)點C在中線上及求得答案；（2）設(shè)出點B的坐標(biāo)，進(jìn)而求出點M的坐標(biāo)，然后根據(jù)中線的方程及求出點B的坐標(biāo)，進(jìn)而求出直線BC的方程.【小問1詳解】設(shè)C點的坐標(biāo)為，則由題知，即.【小問2詳解】設(shè)B點的坐標(biāo)為，則中點M坐標(biāo)代入中線CM方程則由題知，即，又，則，所以直線BC方程為.16、6【解析】首先根據(jù)題中所給的約束條件，畫出相應(yīng)的可行域，再將目標(biāo)函數(shù)化成斜截式，之后在圖中畫出直線，在上下移動的過程中，結(jié)合的幾何意義，可以發(fā)現(xiàn)直線過B點時取得最大值，聯(lián)立方程組，求得點B的坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)解析式，求得最大值.【詳解】根據(jù)題中所給的約束條件，畫出其對應(yīng)的可行域，如圖所示：由，可得，畫出直線，將其上下移動，結(jié)合的幾何意義，可知當(dāng)直線在y軸截距最大時，z取得最大值，由，解得，此時，故答案為6.點睛：該題考查的是有關(guān)線性規(guī)劃的問題，在求解的過程中，首先需要正確畫出約束條件對應(yīng)的可行域，之后根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的形式，判斷z的幾何意義，之后畫出一條直線，上下平移，判斷哪個點是最優(yōu)解，從而聯(lián)立方程組，求得最優(yōu)解的坐標(biāo)，代入求值，要明確目標(biāo)函數(shù)的形式大體上有三種：斜率型、截距型、距離型；根據(jù)不同的形式，應(yīng)用相應(yīng)的方法求解.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】（1）將每個矩形底邊的中點值乘以對應(yīng)矩形的面積，再將所得結(jié)果全部相加可得的值；（2）分析可知，所抽取的個數(shù)據(jù)中，成績在內(nèi)的有個，分別記為、、、，成績在內(nèi)的有個，分別記為、，列舉出所有的基本事件，并確定所求事件所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.【小問1詳解】解：由頻率分布直方圖可得.【小問2詳解】解：因為數(shù)學(xué)成績在、內(nèi)的頻率分別為、，所以，所抽取的個數(shù)據(jù)中，成績在內(nèi)的有個，分別記為、、、，成績在內(nèi)的有個，分別記為、，從這個數(shù)據(jù)中，任取抽取個，所有的基本事件有：、、、、、、、、、、、、、、，共個，其中，事件“抽出個中至少有個成績在中”所包含的基本事件有：、、、、、、、、，共個，故所求概率為.18、（1），；（2）.【解析】（1）根據(jù)題設(shè)找到規(guī)律寫出，由等差數(shù)列的定義求.（2）由等差數(shù)列前n項和求，再利用裂項相消法求.【小問1詳解】由題意知：，，，，可得每增加一個正方形，火柴增加3根，即，所以數(shù)列是以4為首項，以3為公差的等差數(shù)列，則.【小問2詳解】由題意可知，，所以，則，所以，，即19、（1）證明見解析（2）【解析】（1）設(shè)與交點為，延長交的延長線于點，進(jìn)而根據(jù)證明，再結(jié)合底面得，進(jìn)而證明平面即可證明結(jié)論；（2）由得點到平面的距離等于點到平面的距離的，進(jìn)而過作，垂足為，結(jié)合（1）得點到平面的距離等于，再在中根據(jù)等面積法求解即可.【小問1詳解】證明：設(shè)與交點為，延長交的延長線于點，因為四棱錐的底面為直角梯形，，所以，所以，因為為的中點，所以，因為所以，所以，所以，所以，又因為，所以，又因為，所以，所以，所以又因為底面，所以，因為，所以平面，因為平面，所以平面平面【小問2詳解】解：由于，所以，點到平面的距離等于點到平面的距離的，因為平面平面，平面平面故過作，垂足為，所以，平面，所以點到平面的距離等于在中，，所以，點到平面的距離等于.20、（1）；（2）-1【解析】（1）由題設(shè)可得，求出參數(shù)b，即可寫出橢圓C的方程；（2）延長線段DB交橢圓C于點，根據(jù)對稱性設(shè)B，為，，聯(lián)立橢圓方程，應(yīng)用韋達(dá)定理并結(jié)合已知條件可得，直線與圓相切可得，進(jìn)而求參數(shù)t，即可求直線BD的斜率.【小問1詳解】因為圓與x軸的交點分別為，，所以橢圓C的焦點分別為，，∴，根據(jù)條件得，∴，故橢圓C的方程為【小問2詳解】延長線段DB交橢圓C于點，因直線BD與直線BE的傾斜角互補(bǔ)，根據(jù)對稱性得由條件可設(shè)B的坐標(biāo)為，設(shè)D，的縱坐標(biāo)分別為，，直線的方程為，由于，即，所以由得：∴，∴①，②，由①得：，代入②得，∴∵直線與圓相切，∴，即∴，解得，又，∴，故，即直線BD斜率【點睛】關(guān)鍵點點睛：將已知線段的長度關(guān)系轉(zhuǎn)化為D，的縱坐標(biāo)的數(shù)量關(guān)系，設(shè)直線的含參方程，聯(lián)立橢圓方程及其與圓的相切求參數(shù)關(guān)系，進(jìn)而求參數(shù)即可.21、（1）證明見解析（2）【解析】（1）將問題轉(zhuǎn)化為證明AB⊥平面PAC，然后結(jié)合已知可證；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，用向量法結(jié)合已知先確定點M位置，然后轉(zhuǎn)化法求體積可得.【小問1詳解】由題意得四邊形ADCB是直角梯形，AD=CD=1，故∠ACD=45°，∠ACB=45°，AC=.又BC=2，所以，所以，所以AB⊥AC.又PA⊥平面ABCD，AB平面ABCD，所以PA⊥AB.而PA平面PAC，AC平面PAC，，所以AB⊥平面PAC.又PC平面PAC，所以AB⊥PC【小問2詳解】過點A作AE⊥BC于E，易知E為BC中點，以A為原點，AE，AD，AP所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，.則設(shè)，.顯然，是平面ACD的一個法向量，設(shè)平面MAC的一個法向量為.則有，取，解得由二面角M﹣AC﹣D的