2023年北京市初三二模數(shù)學試題匯編：旋轉變換

第1頁/共1頁2023北京初三二模數(shù)學匯編旋轉變換一、單選題1．（2023·北京房山·統(tǒng)考二模）下列圖形中，點O是該圖形的對稱中心的是（

）A． B． C． D．二、解答題2．（2023·北京朝陽·統(tǒng)考二模）在中，，，點D在邊上（不與點B，C重合），將線段繞點A順時針旋轉，得到線段，連接．

(1)根據(jù)題意補全圖形，并證明：；(2)過點C作的平行線，交于點F，用等式表示線段與之間的數(shù)量關系，并證明．3．（2023·北京東城·統(tǒng)考二模）已知線段是的弦，點在直線上．對于弦和點，給出如下定義：若將弦繞點逆時針旋轉得到線段，恰好也是的弦，則稱弦關于點中心映射，點叫做映射中心，叫做映射角度．

(1)如圖1，點是等邊的中心，作交于點．在三點中，弦關于點_________中心胦射；(2)如圖2，在平面直角坐標系中，直線與軸交于點，與軸交于點，的角平分線交軸于點．若與線段相交所得的弦關于點中心映射，直接寫出的半徑的取值范圍；(3)在平面直角坐標系中，的半徑為2，線段是的弦．對于每一條弦，都有相應的點，使得弦關于點中心映射，且映射角度為．設點到點的距離為，直接寫出的取值范圍．4．（2023·北京順義·統(tǒng)考二模）已知：，，分別是射線，上的點，連接，以點為旋轉中心，將線段繞著點逆時針旋轉，得到線段，連接，．(1)如圖1，當時，求證：；

(2)當時，依題意補全圖2，用等式表示線段，，之間的數(shù)量關系，并證明．

5．（2023·北京西城·統(tǒng)考二模）如圖，在中，邊繞點B順時針旋轉（）得到線段，邊繞點C逆時針旋轉得到線段，連接，點F是的中點．

(1)以點F為對稱中心，作點C關于點F的對稱點G，連接．①依題意補全圖形，并證明；②求證：；(2)若，且于H，直接寫出用等式表示的與的數(shù)量關系．

參考答案1．B【分析】根據(jù)中心對稱圖形的概念進行判斷即可．【詳解】解：A、圖形繞點O旋轉72度與自身重合，點O是旋轉中心，故此選項不符合題意；B、圖形繞點O旋轉181度與自身重合，是中心對稱圖形，點O是對稱中心，故此選項符合題意；C、圖形繞點O旋轉120度與自身重合，點O是旋轉中心，故此選項不符合題意；D、圖形繞點O旋轉72度與自身重合，點O是旋轉中心，故此選項不符合題意；故選：B．【點睛】本題考查的是中心對稱圖形的概念．中心對稱圖形是圖形繞某點，旋轉180度后與自身重合．這點叫該圖形的對稱中心．2．(1)補全圖形見解析，證明見解析；(2)，證明見解析．【分析】（1）根據(jù)旋轉的方向和角度補全圖形，再根據(jù)已知和旋轉的性質求出，，進而可得結論；（2）作于點M，與直線交于點N，利用證明，可得，，然后求出，可得，再利用證明即可．【詳解】（1）補全的圖形如圖所示：

證明：∵，∴，由旋轉的性質可知，即，∴；（2）；證明：如圖，作于點M，與直線交于點N，

∴，由旋轉的性質可知，由（1）可知，∴，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵∴，∴，，∴，∴．【點睛】本題考查了畫旋轉圖形，旋轉的性質，全等三角形的判定和性質，平行線的判定和性質，等腰直角三角形的判定和性質等知識，能夠作出合適的輔助線構造出全等三角形是解題的關鍵．3．(1)A(2)(3)【分析】（1）根據(jù)題干中心映射的定義與旋轉方向，判斷弦是否仍在上．確定只有點A符合題意．（2）討論與線段相交成弦的范圍，根據(jù)角平分線定理與比例性質求解．（3）考慮到對稱性與不失一般，將H點設在x軸上，方便得出d的取值范圍．【詳解】（1）根據(jù)中心映射的定義，若將弦繞點逆時針旋轉得到線段，恰好也是的弦，則稱弦關于點中心映射，點叫做映射中心．由于是等邊三角形，因此直線繞A點逆時針旋轉，可使弦落在弦上．但直線繞B點、C點逆時針旋轉后，弦無法與再相交成弦．故只有點A符合映射中心的條件，如下圖．

（2）如下圖，的角平分線交軸于點，過D作，垂足為G．

則與線段EF相交所得的弦關于點E中心映射，此時的半徑r的取值范圍是．在中，平分，過D作x軸的平行線，與EF交于H，則，又，所以，則．由得，，所以即，。在直角三角形OEF中，．∴，解得．∵，∴在直角與直角相似．∴，即．因此，．所以，的半徑r的取值范圍是．即．（3）考慮到對稱性與不失一般性，為了研究問題的方便，設弦繞點H逆時針旋轉得到線段，恰好也是的弦，且與交于x軸，見下圖．

作與交于點F，再過F作的平行線，是的切線．則滿足條件的弦最大為直徑，最小應大于0，所以，．當O與H重合時，，此時弦為直徑；當H與E重合時，，此時弦長度為0．故d的取值范圍是：．由已知條件知．又因，故．在直角中，，則．故d的取值范圍是：．【點睛】本題考察了圖形旋轉、角平分線性質、含30°角的直角三角形等相關知識點，深入細致審題是解本題的關鍵．4．(1)證明見解析(2)作圖見解析，數(shù)量關系：，證明見解析【分析】（1）根據(jù)旋轉的性質可得是等邊三角形，證明，可得，從而得證；（1）依題意補全圖2，如圖；數(shù)量關系：．在上截取，使，連接，根據(jù)旋轉的性質可得是等邊三角形，證明，可得，，然后證明是等邊三角形，從而可證明結論．【詳解】（1）證明：∵線段繞著點逆時針旋轉得到，∴，，∴是等邊三角形，∴，，∵，，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴．（2）依題意補全圖2，如圖．數(shù)量關系：．證明：在上截取，使，連接，∵線段繞著點逆時針旋轉得到，∴，，∴是等邊三角形，∴，，∵，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，，∴，∴是等邊三角形，∴，∴，∴．

【點睛】本題是三角形綜合題，考查了旋轉的性質，等邊三角形的判定和性質，全等三角形的判定和性質，角所對的直角邊等于斜邊的一半，四邊形的內角和為，等角的補角相等．通過作輔助線構造全等三角形是解題的關鍵．5．(1)①補全圖形見解析，證明見解析；②見解析(2)【分析】（1）①依題意補全圖形如圖所示，先證明，推出，然后結合旋轉的性質可得結論；②根據(jù)對稱的性質可證明，可得結論；（2）連接，如圖，根據(jù)等邊三角形的性質結合（1）②的結論可得是等邊三角形，可得，再根據(jù)等邊三角形的性質、30度角的直角三角形的性質以及三角函數(shù)即可得出結論．【詳解】（1）①依題意補全圖形如圖所示：證明：∵點F是的中點，∴，∵點C關于點F的對稱點為G，∴，又∵，∴，∴，由旋轉的性質可得：，∴；

②證明：∵點C關于點F的對稱點為G，∴，∵，∴，∴；（2）解：連接，如