導(dǎo)數(shù)壓軸專題突破-第34講 恒成立問題與部分成立問題（含答案及解析）

第34講恒成立問題與部分成立問題【典型例題】例1．已知不等式對恒成立，則取值范圍為A． B． C． D．例2．當時，不等式恒成立，則的取值范圍是A． B． C． D．例3．已知函數(shù)，，若存在，使成立，則實數(shù)的取值范圍為A． B． C． D．例4．已知函數(shù)，．對任意的，，都存在，使得成立，則實數(shù)的取值范圍是A．， B．， C． D．，例5．若關(guān)于的不等式在，上有解，則實數(shù)的取值范圍是A． B． C． D．例6．設(shè)實數(shù)，若對任意的，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是A． B． C．， D．，例7．設(shè)實數(shù)，若對任意的，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是A．， B．， C．， D．，例8．已知，，若關(guān)于的不等式恒成立，則的最大值為．例9．已知，，若任意，均存在使得成立，則實數(shù)的取值范圍是．【同步練習】一．選擇題1．已知不等式對任意正數(shù)恒成立，則實數(shù)的最大值是A． B．1 C． D．2．若對任意正數(shù)，不等式恒成立，則實數(shù)的最大值為A．1 B． C．2 D．3．若不等式對任意正數(shù)，恒成立，則實數(shù)的最大值為A． B．1 C．2 D．4．設(shè)函數(shù)，，，若對于任意的，都成立，則實數(shù)的取值范圍為A．， B．， C．， D．，5．已知函數(shù)，若，，使成立，則實數(shù)的取值范圍為A．， B．， C．， D．，6．已知函數(shù)，，若對任意的存在，，使，則實數(shù)的取值范圍是A．， B．， C．， D．，7．若不等式對，恒成立，則實數(shù)的取值范圍是A．， B． C． D．8．若不等式對任意，恒成立，則實數(shù)的取值范圍是A．， B．， C．， D．，9．不等式對一切恒成立，則實數(shù)的取值范圍是A． B．，， C． D．10．已知，，若存在，，使得成立，則實數(shù)的取值范圍為A．， B．， C． D．，

第34講恒成立問題與部分成立問題【典型例題】例1．已知不等式對恒成立，則取值范圍為A． B． C． D．【解析】解：不等式對恒成立，即對恒成立，令，則，設(shè)的根為，故，則當時，，則單調(diào)遞減，當時，，則單調(diào)遞增，所以當時，取得最小值，故，解得，所以實數(shù)的取值范圍為．故選：．例2．當時，不等式恒成立，則的取值范圍是A． B． C． D．【解析】解：，，，不等式恒成立，或，或．解得．故選：．例3．已知函數(shù)，，若存在，使成立，則實數(shù)的取值范圍為A． B． C． D．【解析】解：存在，使成立，即，由于，所以可得當時，設(shè)，，由，可知在上遞增，在上遞減，由，可知在上遞增，若存在時，，則臨界狀態(tài)是圖象與相切，且圖象位于上方，如圖設(shè)此時函數(shù)與的切點橫坐標為，則有，①，②由②可得，，即由①得，所以要滿足時，，只需即可．故選：．例4．已知函數(shù)，．對任意的，，都存在，使得成立，則實數(shù)的取值范圍是A．， B．， C． D．，【解析】解：對任意的，，都存在，使得成立，，．函數(shù)，，．當時，函數(shù)取得最小值（1）．又，（2）．函數(shù)的值域為，．，解得．實數(shù)的取值范圍是，．故選：．例5．若關(guān)于的不等式在，上有解，則實數(shù)的取值范圍是A． B． C． D．【解析】解：由，，得，又關(guān)于的不等式在，上有解，所以在，上有解，即，令，，，則，設(shè)，，，則，所以在，上單調(diào)遞增，所以（2），所以，所以，即在，上單調(diào)遞增，所以（4），則，所以的取值范圍是，．故選：．例6．設(shè)實數(shù)，若對任意的，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是A． B． C．， D．，【解析】解：因為，不等式成立，即，轉(zhuǎn)化為恒成立，構(gòu)造函數(shù)，可得，當時，，單調(diào)遞增，則不等式恒成立等價于恒成立，即恒成立，進而轉(zhuǎn)化為恒成立，設(shè)，可得，當時，，單調(diào)遞增，當時，，單調(diào)遞減，所以當，函數(shù)取得最大值（e），所以，所以實數(shù)的取值范圍為，，故選：．例7．設(shè)實數(shù)，若對任意的，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是A．， B．， C．， D．，【解析】解：依題意，，即，即，設(shè)，，則在上單調(diào)遞增，在上恒成立，即在上恒成立，設(shè)，易知函數(shù)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，，則．故選：．例8．已知，，若關(guān)于的不等式恒成立，則的最大值為．【解析】解：令，，則，若，則，要使恒成立，則，此時；若，則，函數(shù)函數(shù)單調(diào)增，當時，，不可能恒有；若，由，得，當時，，單調(diào)遞減，當，時，，單調(diào)遞增，所以的最小值為，要使恒成立，則，得，則．令（a），則（a），令（a），得，當時，（a），（a）單調(diào)遞增；當，時，（a），（a）單調(diào)遞減，所以（a），則的最大值為．故答案為：．例9．已知，，若任意，均存在使得成立，則實數(shù)的取值范圍是．【解析】解：若任意，均存在使得成立，等價于，，當時，，遞減，當時，，遞增，所以當時，取得最小值；當時取得最大值為，所以，即實數(shù)的取值范圍是，故答案為：，．【同步練習】一．選擇題1．已知不等式對任意正數(shù)恒成立，則實數(shù)的最大值是A． B．1 C． D．【解析】解：時，不等式可化為，所以時，恒成立，令，，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以，所以，所以，所以，即實數(shù)的最大值是1．故選：．2．若對任意正數(shù)，不等式恒成立，則實數(shù)的最大值為A．1 B． C．2 D．【解析】解：對任意正數(shù)，不等式恒成立，即恒成立，因為，當且僅當時取等號，所以的最大值為2．故選：．3．若不等式對任意正數(shù)，恒成立，則實數(shù)的最大值為A． B．1 C．2 D．【解析】解：由不等式可得，故小于或等于的最小值．，故的最小值等于，故，，故選：．4．設(shè)函數(shù)，，，若對于任意的，都成立，則實數(shù)的取值范圍為A．， B．， C．， D．，【解析】解：對于，先證明，，即，令，則，易知單調(diào)遞增，且（2），則時，，函數(shù)單調(diào)遞減；時，，函數(shù)單調(diào)遞增；函數(shù)在處取最小值，此時（2）；再證明，即，由函數(shù)及的圖像易知，若使對于恒成立，只需處在圖像上方，的最小值在處，兩個圖像相切處取得，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，當時，，即，綜上，實數(shù)的取值范圍為，，故選：．5．已知函數(shù)，若，，使成立，則實數(shù)的取值范圍為A．， B．， C．， D．，【解析】解：當時，函數(shù)是減函數(shù)，，所以，；當時，，，①若，當時，．當時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；所以（a），所以，即，解得；②若，則，在上單調(diào)遞增，此時值域為，符合題意，③當時，的值域為，不合題意．綜上所述，實數(shù)的取值范圍為，．故選：．6．已知函數(shù)，，若對任意的存在，，使，則實數(shù)的取值范圍是A．， B．， C．， D．，【解析】解：函數(shù)，，若，，為增函數(shù)；若，或，為減函數(shù)；在上有極值，在處取極小值也是最小值（1）；，對稱軸，，，當時，在處取最小值（1）；當時，在處取最小值（b）；當時，在，上是減函數(shù)，（2）；對任意，存在，，使，只要的最小值大于等于的最小值即可，當時，，解得，故無解；當時，，解得，綜上：，故選：．7．若不等式對，恒成立，則實數(shù)的取值范圍是A．， B． C． D．【解析】解：不等式對，恒成立，即為對，恒成立，等價為對，恒成立，由的導(dǎo)數(shù)為，在，，，解得，可得時，遞增；時，遞減，函數(shù)的圖象如右圖：由于直線和的圖象都過原點，考慮直線和的圖象相切，且切點為，可得切線的斜率為，由圖象可得的范圍是，．故選：．8．若不等式對任意，恒成立，則實數(shù)的取值范圍是A．， B．， C．， D．，【解析】解：不等式對任意，恒成立，即為，即在恒成立，由，，由，可得遞減，即有，即時，取得最大值，即有