導(dǎo)數(shù)壓軸專題突破-第05講 放縮法妙解不等式問題（含答案及解析）

第05講放縮法妙解不等式問題【典型例題】例1．已知函數(shù)，其中且．（1）設(shè)，過點(diǎn)作曲線的切線（斜率存在），求切線的斜率；（2）證明：當(dāng)或時(shí)，．例2．已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）證明：當(dāng)時(shí)，．例3．已知函數(shù)，函數(shù)，，．（1）討論的單調(diào)性；（2）證明：當(dāng)時(shí)，．（3）證明：．例4．已知函數(shù)，．（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在，（1）處的切線方程；（2）當(dāng)時(shí)，證明：．例5．已知函數(shù)．（1）若，恒成立，求的取值范圍；（2）證明：當(dāng)時(shí)，；（3）證明：當(dāng)時(shí)，．例6．已知函數(shù)，．（1）設(shè)，是的極值點(diǎn)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）證明：當(dāng)時(shí)，．例7．已知函數(shù)，其中為自然對數(shù)的底數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，若不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若，證明：．【同步練習(xí)】1．已知函數(shù)．（1）若．證明在上單調(diào)遞減；（2）若，證明：（其中是自然對數(shù)的底數(shù)）2．已知函數(shù)，．（1）證明：當(dāng)時(shí)，；（2）若存在，使得對任意的都有成立．求的值．（其中是自然對數(shù)的底數(shù)）．3．已知函數(shù)，其中．（1）若在定義域內(nèi)是單調(diào)函數(shù)，求的取值范圍；（2）當(dāng)時(shí)，求證：對任意，恒有成立．4．已知函數(shù)，．（1）求在點(diǎn)，處的切線方程；（2）證明：對任意的實(shí)數(shù)，在，上恒成立．5．已知函數(shù)，為的導(dǎo)數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求的最小值；（2）當(dāng)時(shí)，恒成立，求的取值范圍．6．已知函數(shù)，曲線在點(diǎn)，（1）處的切線方程為．（Ⅰ）求，；（Ⅱ）證明：．7．已知函數(shù)，在點(diǎn)，（1）處的切線方程為．（1）求，；（2）證明：．8．已知函數(shù)．（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)，（1）處的切線方程；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，證明：．9．已知函數(shù)，．（1）若函數(shù)的最小值為0，求的值．（2）證明：．

第05講放縮法妙解不等式問題【典型例題】例1．已知函數(shù)，其中且．（1）設(shè)，過點(diǎn)作曲線的切線（斜率存在），求切線的斜率；（2）證明：當(dāng)或時(shí)，．【解析】（1）解：由，得，因?yàn)?，故點(diǎn)不在曲線上，設(shè)切點(diǎn)為，，則切線的斜率為，又，所以，整理得，將代入得，整理得，即，所以，因?yàn)椋?，所以，故切線的斜率為；（2）證明：①當(dāng)時(shí)，，所以，由得，又，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，所以，即，即當(dāng)且時(shí)，；②當(dāng)時(shí)，令，所以，令，即，因?yàn)?，所以，是，上的增函?shù)，又，所以，故當(dāng)，時(shí)，，由①知，所以，即當(dāng)時(shí)，，綜上所述：當(dāng)或時(shí)，．例2．已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）證明：當(dāng)時(shí)，．【解析】（1）解：當(dāng)時(shí)，，所以，討論：①當(dāng)時(shí)，，有；②當(dāng)時(shí)，由函數(shù)為增函數(shù)，有，有；③當(dāng)時(shí)，由函數(shù)為增函數(shù)，有，有．綜上，函數(shù)的增區(qū)間為，，減區(qū)間為．（2）證明：當(dāng)時(shí)，有，所以，所以，令，則，令，有，令，得，分析知，函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為，所以．所以分析知，函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為，所以，故當(dāng)時(shí)，．例3．已知函數(shù)，函數(shù)，，．（1）討論的單調(diào)性；（2）證明：當(dāng)時(shí)，．（3）證明：．【解析】解：（1）函數(shù)的定義域，，當(dāng)，時(shí)，，則在上單調(diào)遞增；當(dāng)，時(shí)，由可得，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，令可得，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)，時(shí)，，函數(shù)在單調(diào)遞減，當(dāng)，時(shí)，由可得，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，令可得，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，（2）當(dāng)時(shí)，，由（1）知，（1），所以，（3）因?yàn)椋?，由?）可得，即，又．，即．例4．已知函數(shù)，．（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在，（1）處的切線方程；（2）當(dāng)時(shí)，證明：．【解析】解：（1）當(dāng)時(shí)，，（1），又（1），函數(shù)在，（1）處的切線方程為；證明（2），，令，，令，解得，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，（1），恒成立，要證，只需證，即證，令，則，令，解得，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，（1），恒成立，，故恒成立．例5．已知函數(shù)．（1）若，恒成立，求的取值范圍；（2）證明：當(dāng)時(shí)，；（3）證明：當(dāng)時(shí)，．【解析】解：（1），恒成立，，可得函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，函數(shù)在時(shí)取得極小值，（3），的取值范圍是，．（2）證明：當(dāng)時(shí)，要證明，即證明，令，，，可得：時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增；時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減．時(shí)，函數(shù)取得極大值即最大值，（3），，（3），因此，結(jié)論成立．（3）證明：由（2）可得：，令，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，．例6．已知函數(shù)，．（1）設(shè)，是的極值點(diǎn)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）證明：當(dāng)時(shí)，．【解析】解：（1），則，是的極值點(diǎn)，．，在上單調(diào)遞增．又（3），在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．（2）要證，即．，則，故只需證，令，則，在上單調(diào)遞增，且（2），時(shí)，，遞減；時(shí)，，遞增．（2），即原命題得證．例7．已知函數(shù)，其中為自然對數(shù)的底數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，若不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若，證明：．【解析】解：（1）由條件得：，令，則，①當(dāng)時(shí)，在，上，，單調(diào)遞增，，即，在，上是增函數(shù)，，滿足條件．②當(dāng)時(shí)，令，解得，在，在，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，有，即，在上為減函數(shù)，，不合題意，綜上，實(shí)數(shù)得取值范圍為．（2）由（1）可知：當(dāng)時(shí)，時(shí)，，即．要證明，只需證明，只需證明，只需證明．設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，恒成立，故在區(qū)間上單調(diào)遞增，又，恒成立，原不等式成立．【同步練習(xí)】1．已知函數(shù)．（1）若．證明在上單調(diào)遞減；（2）若，證明：（其中是自然對數(shù)的底數(shù)）【解析】解：（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)的定義域?yàn)?，，；，令，只需證：時(shí)，即可；當(dāng)時(shí)，，故是上的減函數(shù)，，，函數(shù)在上單調(diào)遞減．（2）當(dāng)時(shí)，原不等式可化為，，故原不等式等價(jià)于，由（1）可知當(dāng)時(shí)，是上的減函數(shù)，故要求原不等式成立，只需證明：當(dāng)時(shí)；令，則，故是上的減函數(shù)，，即，故原不等式成立．2．已知函數(shù)，．（1）證明：當(dāng)時(shí)，；（2）若存在，使得對任意的都有成立．求的值．（其中是自然對數(shù)的底數(shù)）．【解析】解：（1）令．則．于是在單調(diào)遞增，所以（e），即．（5分）（2）．令，．當(dāng)時(shí)，由（1）知．則，當(dāng)時(shí)，于是，從而．故在嚴(yán)格單調(diào)遞增．其中（9分）當(dāng)，時(shí)，則．（用到了在，單調(diào)遞增與于是，故在，嚴(yán)格單調(diào)遞減．（11分）綜上所述，在，嚴(yán)格單調(diào)遞減，在嚴(yán)格單調(diào)遞增．因?yàn)?，所以，．所以．?2分）3．已知函數(shù)，其中．（1）若在定義域內(nèi)是單調(diào)函數(shù)，求的取值范圍；（2）當(dāng)時(shí)，求證：對任意，恒有成立．【解析】解：（1）因?yàn)?，所以，因?yàn)樵诙x域內(nèi)是單調(diào)遞減函數(shù)，則在上恒成立，若，則，令，得，易知（1），且函數(shù)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，所以在區(qū)間上，；在上，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，此時(shí)的最大值為（1），所以當(dāng)時(shí)，在定義域上單調(diào)遞減；即的取值范圍是，．（2）證明：當(dāng)時(shí)，，要證，即證，當(dāng)時(shí)，，而，故成立，即成立，當(dāng)時(shí)，令，則，設(shè)，則，，，故時(shí)，單調(diào)遞增，故，即，在單調(diào)遞增，故，即成立，綜上：對任意，恒有成立．4．已知函數(shù)，．（1）求在點(diǎn)，處的切線方程；（2）證明：對任意的實(shí)數(shù)，在，上恒成立．【解析】（1）解：由題意，，則，即在點(diǎn)，處的切線斜率為，由，可得切線方程為，即．（2）證明：設(shè)，則，則，，所以在，上單調(diào)遞增，，故在，上單調(diào)遞增，，故在，上單調(diào)遞增，所以，所以在，上恒成立，故，故只需證，即證，設(shè)，則，則在，上單調(diào)遞增，，故對任意的實(shí)數(shù)，在，上恒成立．5．已知函數(shù)，為的導(dǎo)數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求的最小值；（2）當(dāng)時(shí)，恒成立，求的取值范圍．【解析】解：（1），令，，則，當(dāng)，時(shí)，為增函數(shù)，，當(dāng)，時(shí)，，所以時(shí)，，為增函數(shù)，故，即的最小值為1．（2）方法一：令，，則時(shí)，恒成立，當(dāng)時(shí)，若，則由（1）可知，，所以為增函數(shù)，故恒成立，即恒成立，若，，則，在，上為增函數(shù)，又，，所以存在唯一，，使得，當(dāng)，，使得，為減函數(shù)，當(dāng)，時(shí)，，為增函數(shù)，又，，所以存在唯一，使得，故，時(shí)，，為增函數(shù)，，時(shí)，，為減函數(shù)，又，，所以，時(shí)，，為增函數(shù)，故，即恒成立，當(dāng)時(shí)，由（1）可知在，上為增函數(shù)，且，，故存在唯一，使得，則當(dāng)時(shí)，，為減函數(shù)，所以，此時(shí)與恒成立矛盾，綜上所述，．方法二若，，則，，，①當(dāng)時(shí)，，，，②當(dāng)時(shí)，，，，，，單調(diào)遞增，，，③當(dāng)時(shí)，由（1）可知在，上為增函數(shù)，且，，故存在唯一，使得，則當(dāng)時(shí)，，為減函數(shù)，所以，此時(shí)與恒成立矛盾，綜上，當(dāng)時(shí)，在，上恒成立．6．已知函數(shù)，曲線在點(diǎn)，（1）處的切線方程為．（Ⅰ）求，；（Ⅱ）證明：．【解析】（Ⅰ）解：函數(shù)，求導(dǎo)函數(shù)可得曲線在，（1）處的切線方程為，（1），（1），，，，；（Ⅱ）證明：函數(shù)，由的導(dǎo)數(shù)，當(dāng)時(shí)，導(dǎo)數(shù)，函數(shù)遞增；當(dāng)時(shí)，導(dǎo)數(shù)，函數(shù)遞減．可得函數(shù)在處取得極小值也為最小值0，即有；由的導(dǎo)數(shù)為，當(dāng)時(shí)，導(dǎo)數(shù)，函數(shù)遞減；當(dāng)時(shí)，導(dǎo)數(shù)，函數(shù)遞增．可得函數(shù)在處取得極大值也為最大值0，即有；由于等號不同時(shí)取得，則，即有成立．7．已知函數(shù)，在點(diǎn)，（1）處的切線方程為．（1）求，；（2）證明：．【解析】（1）解：函數(shù)，求導(dǎo)函數(shù)可得．曲線在，（1）處的切線方程為，（1），（1），，；（2）證明：函數(shù)，要證，需證，即證，也就是證，令，則對于恒成立，則，，則，令，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，時(shí)，，在上為減函數(shù)，在，上為增函數(shù)，則的最小值為．，即，，故．8．已知函數(shù)．（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)，（1）處的切線方程；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，證明：．【解析】解：（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，，所以（1分）所以（1），（1）．（2分）所以曲線在點(diǎn)，（1）處的切線方程為．即．（3分）（Ⅱ）證法一：當(dāng)時(shí)，．要證明，只需證明．（4分）以下給出三種思路證明．思路1：設(shè)，則．設(shè)，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增．（6分）因?yàn)?，?），所以函數(shù)在上有唯一零點(diǎn)，且．（8分）因?yàn)闀r(shí)，所以，即．（9分）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)，時(shí)，．所以當(dāng)時(shí)，取得最小值．（10分）故．綜上可知，當(dāng)時(shí)，．（12分）思路2：先證明．（5分）設(shè)，則．因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增．所以．所以（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號）．（7分）所以要證明，只需證明．（8分）下面證明．設(shè)，則．當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增．所以（1）．所以（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號）．（10分）由于取等號的條件不同，所以．綜上可知，當(dāng)時(shí)，．（12分）（若考生先放縮，或、同時(shí)放縮，請參考此思路給分！思路3：先證明．因?yàn)榍€與曲線的圖象關(guān)于直線對稱，設(shè)直線與曲線，分別交于點(diǎn)，，點(diǎn)，到直線的距離分別為，，則．其中，．①設(shè)，則．因?yàn)?，所以．所以在上單調(diào)遞增，則．所以．②設(shè)，則．因?yàn)楫?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增．所以（1）．所以．所以．綜上可知，當(dāng)時(shí)，．（12分）證法二：因?yàn)?，要證明，只需證明．（4分）以下給出兩種思路證明．思路1：設(shè)，則．設(shè)，則．所以函數(shù)在上單調(diào)遞增．（6分）因?yàn)椋?），所以函數(shù)在上有唯一零點(diǎn)，且．（8分）因?yàn)椋?，即?分）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)，時(shí)，．所以當(dāng)時(shí)，取得最小值（10分）故．綜上可知，當(dāng)時(shí)，．（12分）思路2：先證明，且．（5分）設(shè)，則．因?yàn)楫?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．所以當(dāng)時(shí)，取得最小值．所以，即（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號）．（7分）由，得（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號）．