第十二講二次函數(shù)與幾何綜合(原卷版+解析)2

第十二講二次函數(shù)與幾何綜合命題點(diǎn)1二次函數(shù)中線段與面積問題1．如圖，拋物線y＝ax2+bx﹣3（a≠0）與x軸交于點(diǎn)A（﹣1，0），點(diǎn)B（3，0），與y軸交于點(diǎn)C．（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）在對(duì)稱軸上找一點(diǎn)Q，使△ACQ的周長(zhǎng)最小，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；（3）點(diǎn)P是拋物線對(duì)稱軸上的一點(diǎn)，點(diǎn)M是對(duì)稱軸左側(cè)拋物線上的一點(diǎn)，當(dāng)△PMB是以PB為腰的等腰直角三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫出所有點(diǎn)M的坐標(biāo)．2．如圖，已知拋物線y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過A（0，3）和B（，﹣）兩點(diǎn)，直線AB與x軸相交于點(diǎn)C，P是直線AB上方的拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，PD⊥x軸交AB于點(diǎn)D．（1）求該拋物線的表達(dá)式；（2）若PE∥x軸交AB于點(diǎn)E，求PD+PE的最大值；（3）若以A，P，D為頂點(diǎn)的三角形與△AOC相似，請(qǐng)直接寫出所有滿足條件的點(diǎn)P，點(diǎn)D的坐標(biāo)．3．如圖，拋物線y＝ax2+x+c經(jīng)過B（3，0），D（﹣2，﹣）兩點(diǎn)，與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為A，與y軸相交于點(diǎn)C．（1）求拋物線的解析式和點(diǎn)C的坐標(biāo)；（2）若點(diǎn)M在直線BC上方的拋物線上運(yùn)動(dòng)（與點(diǎn)B，C不重合），求使△MBC面積最大時(shí)M點(diǎn)的坐標(biāo)，并求最大面積；（請(qǐng)?jiān)趫D1中探索）（3）設(shè)點(diǎn)Q在y軸上，點(diǎn)P在拋物線上，要使以點(diǎn)A，B，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求所有滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)．（請(qǐng)?jiān)趫D2中探索）4．如圖，已知拋物線過點(diǎn)O（0，0），A（5，5），且它的對(duì)稱軸為x＝2，點(diǎn)B是拋物線對(duì)稱軸上的一點(diǎn)，且點(diǎn)B在第一象限．（1）求此拋物線的解析式；（2）當(dāng)△OAB的面積為15時(shí)，求B的坐標(biāo)；（3）在（2）的條件下，P是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)PA﹣PB的值最大時(shí)，求P的坐標(biāo)以及PA﹣PB的最大值．命題點(diǎn)2二次函數(shù)中的特殊角5．如圖，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于A（﹣2，0）、B（8，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，4），連接AC、BC．（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）將△ABC沿AC所在直線折疊，得到△ADC，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為D，直接寫出點(diǎn)D的坐標(biāo)，并求出四邊形OADC的面積；（3）點(diǎn)P是拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)∠PCB＝∠ABC時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．6．如圖，拋物線y＝ax2+bx+3交x軸于點(diǎn)A（3，0）和點(diǎn)B（﹣1，0），交y軸于點(diǎn)C．（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）D是直線AC上方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，連接OD交AC于點(diǎn)N，當(dāng)?shù)闹底畲髸r(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；（3）P為拋物線上一點(diǎn)，連接CP，過點(diǎn)P作PQ⊥CP交拋物線對(duì)稱軸于點(diǎn)Q，當(dāng)tan∠PCQ＝時(shí)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)．7．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+bx+2經(jīng)過A（，0），B（3，）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．（1）求拋物線的解析式；（2）點(diǎn)P在拋物線上，過P作PD⊥x軸，交直線BC于點(diǎn)D，若以P、D、O、C為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求點(diǎn)P的橫坐標(biāo)；（3）拋物線上是否存在點(diǎn)Q，使∠QCB＝45°？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．命題點(diǎn)3二次函數(shù)與三角形的存在性7．已知拋物線經(jīng)過A（﹣1，0）、B（0，3）、C（3，0）三點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線交正方形OBDC的邊BD于點(diǎn)E，點(diǎn)M為射線BD上一動(dòng)點(diǎn)，連接OM，交BC于點(diǎn)F．（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）求證：∠BOF＝∠BDF；（3）是否存在點(diǎn)M，使△MDF為等腰三角形？若不存在，請(qǐng)說明理由；若存在，求ME的長(zhǎng)．8．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+x+m（a≠0）的圖象與x軸交于A、C兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)B，其中點(diǎn)B坐標(biāo)為（0，﹣4），點(diǎn)C坐標(biāo)為（2，0）．（1）求此拋物線的函數(shù)解析式．（2）點(diǎn)D是直線AB下方拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AD、BD，探究是否存在點(diǎn)D，使得△ABD的面積最大？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．（3）點(diǎn)P為該拋物線對(duì)稱軸上的動(dòng)點(diǎn)，使得△PAB為直角三角形，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．9．如圖，拋物線y＝﹣x2+3x+4與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A位于點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于C點(diǎn)，拋物線的對(duì)稱軸l與x軸交于點(diǎn)N，長(zhǎng)為1的線段PQ（點(diǎn)P位于點(diǎn)Q的上方）在x軸上方的拋物線對(duì)稱軸上運(yùn)動(dòng)．（1）直接寫出A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）求CP+PQ+QB的最小值；（3）過點(diǎn)P作PM⊥y軸于點(diǎn)M，當(dāng)△CPM和△QBN相似時(shí)，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．命題點(diǎn)4二次函數(shù)與四邊形的存在性10．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+2x+c與x軸分別交于點(diǎn)A（1，0）和點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C（0，﹣3），連接BC．（1）求拋物線的解析式及點(diǎn)B的坐標(biāo)．（2）如圖，點(diǎn)P為線段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)B，C重合），過點(diǎn)P作y軸的平行線交拋物線于點(diǎn)Q，求線段PQ長(zhǎng)度的最大值．（3）動(dòng)點(diǎn)P以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度在線段BC上由點(diǎn)C向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)M以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度在線段BO上由點(diǎn)B向點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)，在平面內(nèi)是否存在點(diǎn)N，使得以點(diǎn)P，M，B，N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，請(qǐng)直接寫出符合條件的點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．11．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過點(diǎn)A（4，0）的直線AB與y軸交于點(diǎn)B（0，4）．經(jīng)過原點(diǎn)O的拋物線y＝﹣x2+bx+c交直線AB于點(diǎn)A，C，拋物線的頂點(diǎn)為D．（1）求拋物線y＝﹣x2+bx+c的表達(dá)式；（2）M是線段AB上一點(diǎn)，N是拋物線上一點(diǎn)，當(dāng)MN∥y軸且MN＝2時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；（3）P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，Q是平面直角坐標(biāo)系內(nèi)一點(diǎn)．是否存在以點(diǎn)A，C，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是矩形？若存在，直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．第十二講二次函數(shù)與幾何綜合命題點(diǎn)1二次函數(shù)中線段與面積問題1．如圖，拋物線y＝ax2+bx﹣3（a≠0）與x軸交于點(diǎn)A（﹣1，0），點(diǎn)B（3，0），與y軸交于點(diǎn)C．（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）在對(duì)稱軸上找一點(diǎn)Q，使△ACQ的周長(zhǎng)最小，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；（3）點(diǎn)P是拋物線對(duì)稱軸上的一點(diǎn)，點(diǎn)M是對(duì)稱軸左側(cè)拋物線上的一點(diǎn)，當(dāng)△PMB是以PB為腰的等腰直角三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫出所有點(diǎn)M的坐標(biāo)．【解答】解：（1）將點(diǎn)A（﹣1，0），點(diǎn)B（3，0）代入y＝ax2+bx﹣3，∴，解得，∴y＝x2﹣2x﹣3；（2）連接CB交對(duì)稱軸于點(diǎn)Q，∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝1，∵A、B關(guān)于對(duì)稱軸x＝1對(duì)稱，∴AQ＝BQ，∴AC+AQ+CQ＝AC+CQ+BQ≥AC+BC，當(dāng)C、B、Q三點(diǎn)共線時(shí)，△ACQ的周長(zhǎng)最小，∵C（0，﹣3），B（3，0），設(shè)直線BC的解析式為y＝kx+b，∴，解得，∴y＝x﹣3，∴Q（1，﹣2）；（3）當(dāng)∠BPM＝90°時(shí)，PM＝PB，∴M點(diǎn)與A點(diǎn)重合，∴M（﹣1，0）；當(dāng)∠PBM＝90°時(shí)，PB＝BM，如圖1，當(dāng)P點(diǎn)在M點(diǎn)上方時(shí)，過點(diǎn)B作x軸的垂線GH，過點(diǎn)P作PH⊥GH交于H，過點(diǎn)M作MG⊥HG交于G，∵∠PBM＝90°，∴∠PBH+∠MBG＝90°，∵∠PBH+∠BPH＝90°，∴∠MBG＝∠BPH，∵BP＝BM，∴△BPH≌△MBG（AAS），∴BH＝MG，PH＝BG＝2，設(shè)P（1，t），則M（3﹣t，﹣2），∴﹣2＝（3﹣t）2﹣2（3﹣t）﹣3，解得t＝2+或t＝2﹣，∴M（1﹣，﹣2）或（1+，﹣2），∵M(jìn)點(diǎn)在對(duì)稱軸的左側(cè)，∴M點(diǎn)坐標(biāo)為（1﹣，﹣2）；如圖2，當(dāng)P點(diǎn)在M點(diǎn)下方時(shí)，同理可得M（3+t，2），∴2＝（3+t）2﹣2（3+t）﹣3，解得t＝﹣2+（舍）或t＝﹣2﹣，∴M（1﹣，2）；綜上所述：M點(diǎn)的坐標(biāo)為（1﹣，﹣2）或（1﹣，2）或（﹣1，0）．2．如圖，已知拋物線y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過A（0，3）和B（，﹣）兩點(diǎn)，直線AB與x軸相交于點(diǎn)C，P是直線AB上方的拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，PD⊥x軸交AB于點(diǎn)D．（1）求該拋物線的表達(dá)式；（2）若PE∥x軸交AB于點(diǎn)E，求PD+PE的最大值；（3）若以A，P，D為頂點(diǎn)的三角形與△AOC相似，請(qǐng)直接寫出所有滿足條件的點(diǎn)P，點(diǎn)D的坐標(biāo)．【解答】解：（1）將A（0，3）和B（，﹣）代入y＝﹣x2+bx+c，，解得，∴該拋物線的解析式為y＝﹣x2+2x+3；（2）設(shè)直線AB的解析式為y＝kx+n，把A（0，3）和B（，﹣）代入，，解得，∴直線AB的解析式為y＝﹣x+3，當(dāng)y＝0時(shí)，﹣x+3＝0，解得：x＝2，∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0），∵PD⊥x軸，PE∥x軸，∴∠ACO＝∠DEP，∴Rt△DPE∽R(shí)t△AOC，∴，∴PE＝PD，∴PD+PE＝PD，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（a，﹣a2+2a+3），則D點(diǎn)坐標(biāo)為（a，﹣a+3），∴PD＝（﹣a2+2a+3）﹣（﹣a+3）＝﹣（a﹣）2+，∴PD+PE＝﹣（a﹣）2+，∵﹣＜0，∴當(dāng)a＝時(shí)，PD+PE有最大值為；（3）①當(dāng)△AOC∽△DPA時(shí)，∵PD⊥x軸，∠DPA＝90°，∴點(diǎn)P縱坐標(biāo)是3，橫坐標(biāo)x＞0，即﹣x2+2x+3＝3，解得x＝2，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，0）；∵PD⊥x軸，∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2，∴點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為：y＝﹣22+2×2+3＝3，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，3），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，0）；②當(dāng)△AOC∽△DAP時(shí)，此時(shí)∠APG＝∠ACO，過點(diǎn)A作AG⊥PD于點(diǎn)G，∴△APG∽△ACO，∴，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，﹣m2+2m+3），則D點(diǎn)坐標(biāo)為（m，﹣m+3），則，解得：m＝，∴D點(diǎn)坐標(biāo)為（，1），P點(diǎn)坐標(biāo)為（，），綜上，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，3），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，0）或P點(diǎn)坐標(biāo)為（，），D點(diǎn)坐標(biāo)為（，1）．3．如圖，拋物線y＝ax2+x+c經(jīng)過B（3，0），D（﹣2，﹣）兩點(diǎn)，與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為A，與y軸相交于點(diǎn)C．（1）求拋物線的解析式和點(diǎn)C的坐標(biāo)；（2）若點(diǎn)M在直線BC上方的拋物線上運(yùn)動(dòng)（與點(diǎn)B，C不重合），求使△MBC面積最大時(shí)M點(diǎn)的坐標(biāo)，并求最大面積；（請(qǐng)?jiān)趫D1中探索）（3）設(shè)點(diǎn)Q在y軸上，點(diǎn)P在拋物線上，要使以點(diǎn)A，B，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求所有滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)．（請(qǐng)?jiān)趫D2中探索）【解答】解：（1）將B（3，0），D（﹣2，﹣）代入y＝ax2+x+c，∴，解得，∴y＝﹣x2+x+，令x＝0，則y＝，∴C（0，）；（2）作直線BC，過M點(diǎn)作MN∥y軸交BC于點(diǎn)N，設(shè)直線BC的解析式為y＝kx+b，∴，解得，∴y＝﹣x+設(shè)M（m，﹣m2+m+），則N（m，﹣m+），∴MN＝﹣m2+m，∴S△MBC＝?MN?OB＝﹣（m﹣）2+，當(dāng)m＝時(shí)，△MBC的面積有最大值，此時(shí)M（，）；（3）令y＝0，則﹣x2+x+＝0，解得x＝3或x＝﹣1，∴A（﹣1，0），設(shè)Q（0，t），P（m，﹣m2+m+），①當(dāng)AB為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，m＝3﹣1＝2，∴P（2，）；②當(dāng)AQ為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，3+m＝﹣1，解得m＝﹣4，∴P（﹣4，﹣）；③當(dāng)AP為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，m﹣1＝3，解得m＝4，∴P（4，﹣）；綜上所述：P點(diǎn)坐標(biāo)為（2，）或（﹣4，﹣）或（4，﹣）．4．如圖，已知拋物線過點(diǎn)O（0，0），A（5，5），且它的對(duì)稱軸為x＝2，點(diǎn)B是拋物線對(duì)稱軸上的一點(diǎn)，且點(diǎn)B在第一象限．（1）求此拋物線的解析式；（2）當(dāng)△OAB的面積為15時(shí)，求B的坐標(biāo)；（3）在（2）的條件下，P是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)PA﹣PB的值最大時(shí)，求P的坐標(biāo)以及PA﹣PB的最大值．【解答】解：（1）∵拋物線過點(diǎn)O（0，0），A（5，5），且它的對(duì)稱軸為x＝2，∴拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為（4，0），設(shè)拋物線解析式為y＝ax（x﹣4），把A（5，5）代入，得5a＝5，解得：a＝1，∴y＝x（x﹣4）＝x2﹣4x，故此拋物線的解析式為y＝x2﹣4x；（2）∵點(diǎn)B是拋物線對(duì)稱軸上的一點(diǎn)，且點(diǎn)B在第一象限，∴設(shè)B（2，m）（m＞0），設(shè)直線OA的解析式為y＝kx，則5k＝5，解得：k＝1，∴直線OA的解析式為y＝x，設(shè)直線OA與拋物線對(duì)稱軸交于點(diǎn)H，則H（2，2），∴BH＝m﹣2，∵S△OAB＝15，∴×（m﹣2）×5＝15，解得：t＝8，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，8）；（3）設(shè)直線AB的解析式為y＝cx+d，把A（5，5），B（2，8）代入得：，解得：，∴直線AB的解析式為y＝﹣x+10，當(dāng)PA﹣PB的值最大時(shí)，A、B、P在同一條直線上，∵P是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，∴，解得：，（舍去），∴P（﹣2，12），此時(shí)，PA﹣PB＝AB＝＝3．命題點(diǎn)2二次函數(shù)中的特殊角5．如圖，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于A（﹣2，0）、B（8，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，4），連接AC、BC．（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）將△ABC沿AC所在直線折疊，得到△ADC，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為D，直接寫出點(diǎn)D的坐標(biāo)，并求出四邊形OADC的面積；（3）點(diǎn)P是拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)∠PCB＝∠ABC時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．【解答】解：（1）∵拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于A（﹣2，0）、B（8，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，4），∴，解得：．∴拋物線的表達(dá)式為y＝﹣+x+4；（2）點(diǎn)D的坐標(biāo)為（﹣8，8），理由：將△ABC沿AC所在直線折疊，得到△ADC，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為D，如圖，過點(diǎn)D作DE⊥x軸于點(diǎn)E，∵A（﹣2，0）、B（8，0），C（0，4），∴OA＝2，OB＝8，OC＝4．∵，，∴．∵∠AOC＝∠COB＝90°，∴△AOC∽△COB，∴∠ACO＝∠CBO．∵∠CBO+∠OCB＝90°，∴∠ACO+∠OCB＝90°，∴∠ACB＝90°，∵將△ABC沿AC所在直線折疊，得到△ADC，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為D，∴點(diǎn)D，C，B三點(diǎn)在一條直線上．由軸對(duì)稱的性質(zhì)得：BC＝CD，AB＝AD．∵OC⊥AB，DE⊥AB，∴DE∥OC，∴OC為△BDE的中位線，∴OE＝OB＝8，DE＝2OC＝8，∴D（﹣8，8）；由題意得：S△ACD＝S△ABC，∴四邊形OADC的面積＝S△OAC+S△ADC＝S△OAC+S△ABC＝OC?OA+AB?OC＝4×2+10×4＝4+20＝24；（3）①當(dāng)點(diǎn)P在BC上方時(shí)，如圖，∵∠PCB＝∠ABC，∴PC∥AB，∴點(diǎn)C，P的縱坐標(biāo)相等，∴點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為4，令y＝4，則﹣+x+4＝4，解得：x＝0或x＝6，∴P（6，4）；②當(dāng)點(diǎn)P在BC下方時(shí)，如圖，設(shè)PC交x軸于點(diǎn)H，∵∠PCB＝∠ABC，∴HC＝HB．設(shè)HB＝HC＝m，∴OH＝OB﹣HB＝8﹣m，在Rt△COH中，∵OC2+OH2＝CH2，∴42+（8﹣m）2＝m2，解得：m＝5，∴OH＝3，∴H（3，0）．設(shè)直線PC的解析式為y＝kx+n，∴，解得：．∴y＝﹣x+4．∴，解得：，．∴P（，﹣）．綜上，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（6，4）或（，﹣）．6．如圖，拋物線y＝ax2+bx+3交x軸于點(diǎn)A（3，0）和點(diǎn)B（﹣1，0），交y軸于點(diǎn)C．（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）D是直線AC上方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，連接OD交AC于點(diǎn)N，當(dāng)?shù)闹底畲髸r(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；（3）P為拋物線上一點(diǎn)，連接CP，過點(diǎn)P作PQ⊥CP交拋物線對(duì)稱軸于點(diǎn)Q，當(dāng)tan∠PCQ＝時(shí)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)．【解答】解：（1）把點(diǎn)A（3，0）和B（﹣1，0）代入得：，解得：，∴拋物線的解析式為y＝﹣x2+2x+3；（2）過點(diǎn)D作DH∥y軸，交AC于點(diǎn)H，如圖所示：設(shè)D（m，﹣m2+2m+3），直線AC的解析式為y＝kx+b，由（1）可得：C（0，3），∴，解得：，∴直線AC的解析式為y＝﹣x+3，∴H（m，﹣m+3），∴DH＝﹣m2+3m，∵DH∥y軸，∴△OCN∽△DHN，∴，∵，∴當(dāng)時(shí)，的值最大，∴；（3）由題意可得如圖所示：過點(diǎn)P作y軸的平行線PH，分別過點(diǎn)C、Q作CG⊥PH于G，QH⊥PH于H，∵PQ⊥CP，∴∠CPQ＝∠CGP＝∠PHQ＝90°，∴∠CPG+∠PCG＝∠CPG+∠QPH＝90°，∴∠PCG＝∠QPH，∴△PCG∽△QPH，∴，∵，∴，設(shè)點(diǎn)P（n，﹣n2+2n+3），由題意可知：拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝1，C（0，3），∴QH＝|n﹣1|，PG＝|﹣n2+2n|，∴，當(dāng)時(shí)，解得：，當(dāng)時(shí)，解得：綜上：點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為或或或．7．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+bx+2經(jīng)過A（，0），B（3，）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．（1）求拋物線的解析式；（2）點(diǎn)P在拋物線上，過P作PD⊥x軸，交直線BC于點(diǎn)D，若以P、D、O、C為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求點(diǎn)P的橫坐標(biāo)；（3）拋物線上是否存在點(diǎn)Q，使∠QCB＝45°？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【解答】解：（1）將點(diǎn)A（﹣，0），B（3，）代入到y(tǒng)＝ax2+bx+2中得：，解得：，∴拋物線的解析式為y＝﹣x2+x+2；（2）設(shè)點(diǎn)P（m，﹣m2+m+2），∵y＝﹣x2+x+2，∴C（0，2），設(shè)直線BC的解析式為y＝kx+c，∴，解得，∴直線BC的解析式為y＝x+2，∴D（m，m+2），∴PD＝|﹣m2+m+2﹣m﹣2|＝|m2﹣3m|，∵PD⊥x軸，OC⊥x軸，∴PD∥CO，∴當(dāng)PD＝CO時(shí)，以P、D、O、C為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，∴|m2﹣3m|＝2，解得m＝1或2或或，∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為1或2或或；（3）①當(dāng)Q在BC下方時(shí)，如圖，過B作BH⊥CQ于H，過H作MN⊥y軸，交y軸于M，過B作BN⊥MH于N，∴∠BHC＝∠CMH＝∠HNB＝90°，∵∠QCB＝45°，∴△BHC是等腰直角三角形，∴CH＝HB，∴∠CHM+∠BHN＝∠HBN+∠BHN＝90°，∴∠CHM＝∠HBN，∴△CHM≌△HBN（AAS），∴CM＝HN，MH＝BN，∵H（m，n），∵C（0，2），B（3，），∴，解得，∴H（，），設(shè)直線CH的解析式為y＝px+q，∴，解得，∴直線CH的解析式為y＝﹣x+2，聯(lián)立直線CH與拋物線解析式得，解得或，∴Q（，）；②當(dāng)Q在BC上方時(shí)，如圖，過B作BH⊥CQ于H，過H作MN⊥y軸，交y軸于M，過B作BN⊥MH于N，同理得Q（，）．綜上，存在，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（，）或（，）．命題點(diǎn)3二次函數(shù)與三角形的存在性7．已知拋物線經(jīng)過A（﹣1，0）、B（0，3）、C（3，0）三點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線交正方形OBDC的邊BD于點(diǎn)E，點(diǎn)M為射線BD上一動(dòng)點(diǎn)，連接OM，交BC于點(diǎn)F．（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）求證：∠BOF＝∠BDF；（3）是否存在點(diǎn)M，使△MDF為等腰三角形？若不存在，請(qǐng)說明理由；若存在，求ME的長(zhǎng)．【解答】（1）解：設(shè)拋物線的表達(dá)式為y＝ax2+bx+c，把A（﹣1，0）、B（0，3）、C（3，0）代入得：，解得，∴拋物線的表達(dá)式為：y＝﹣x2+2x+3；（2）證明：∵正方形OBDC，∴∠OBC＝∠DBC，BD＝OB，∵BF＝BF，∴△BOF≌△BDF，∴∠BOF＝∠BDF；（3）解：∵拋物線交正方形OBDC的邊BD于點(diǎn)E，∴令y＝3，則3＝﹣x2+2x+3，解得：x1＝0，x2＝2，∴E（2，3），①如圖，當(dāng)M在線段BD的延長(zhǎng)線上時(shí)，∠BDF為銳角，∴∠FDM為鈍角，∵△MDF為等腰三角形，∴DF＝DM，∴∠M＝∠DFM，∴∠BDF＝∠M+∠DFM＝2∠M，∵BM∥OC，∴∠M＝∠MOC，由（2）得∠BOF＝∠BDF，∴∠BDF+∠MOC＝3∠M＝90°，∴∠M＝30°，在Rt△BOM中，BM＝，∴ME＝BM﹣BE＝3﹣2；②如圖，當(dāng)M在線段BD上時(shí)，∠DMF為鈍角，∵△MDF為等腰三角形，∴MF＝DM，∴∠BDF＝∠MFD，∴∠BMO＝∠BDF+∠MFD＝2∠BDF，由（2）得∠BOF＝∠BDF，∴∠BMO＝2∠BOM，∴∠BOM+∠BMO＝3∠BOM＝90°，∴∠BOM＝30°，在Rt△BOM中，BM＝，∴ME＝BE﹣BM＝2﹣，綜上所述，ME的值為：3﹣2或2﹣．8．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+x+m（a≠0）的圖象與x軸交于A、C兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)B，其中點(diǎn)B坐標(biāo)為（0，﹣4），點(diǎn)C坐標(biāo)為（2，0）．（1）求此拋物線的函數(shù)解析式．（2）點(diǎn)D是直線AB下方拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AD、BD，探究是否存在點(diǎn)D，使得△ABD的面積最大？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．（3）點(diǎn)P為該拋物線對(duì)稱軸上的動(dòng)點(diǎn)，使得△PAB為直角三角形，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．【解答】解：（1）∵拋物線y＝ax2+x+m（a≠0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)B（0，﹣4），點(diǎn)C（2，0），∴，解得，∴拋物線的解析式為y＝x2+x﹣4；（2）存在．理由：如圖1中，設(shè)D（t，t2+t﹣4），連接OD．令y＝0，則x2+x﹣4＝0，解得x＝﹣4或2，∴A（﹣4，0），C（2，0），∵B（0，﹣4），∴OA＝OB＝4，∵S△ABD＝S△AOD+S△OBD﹣S△AOB＝×4×（﹣﹣t+4）+×4×（﹣t）﹣×4×4＝﹣t2﹣4t＝﹣（t+2）2+4，∵﹣1＜0，∴t＝﹣2時(shí)，△ABD的面積最大，最大值為4，此時(shí)D（﹣2，﹣4）；（3）如圖2中，設(shè)拋物線的對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)N，過點(diǎn)B作BM⊥拋物線的對(duì)稱軸于點(diǎn)M．則N（﹣1.0）．M（﹣1，﹣4）；∵OA＝OB＝4，∠AOB＝90°，∴∠OAB＝∠OBA＝45°，當(dāng)∠P1AB＝90°時(shí)，△ANP1是等腰直角三角形，∴AN＝NP1＝3，∴P1（﹣1，3），當(dāng)∠ABP2＝90°時(shí)，△BMP2是等腰直角三角形，可得P2（﹣1，﹣5），當(dāng)∠APB＝90°時(shí)，設(shè)P（﹣1，n），設(shè)AB的中點(diǎn)為J，連接PJ，則J（﹣2，﹣2），∴PJ＝AB＝2，∴12+（n+2）2＝（2）2，解得n＝﹣2或﹣﹣2，∴P3（﹣1，﹣2），P4（﹣1，﹣﹣2），綜上所述，滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣1，3）或（﹣1，﹣5）或（﹣1，﹣2）或（﹣1，﹣﹣2）．9．如圖，拋物線y＝﹣x2+3x+4與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A位于點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于C點(diǎn)，拋物線的對(duì)稱軸l與x軸交于點(diǎn)N，長(zhǎng)為1的線段PQ（點(diǎn)P位于點(diǎn)Q的上方）在x軸上方的拋物線對(duì)稱軸上運(yùn)動(dòng)．（1）直接寫出A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）求CP+PQ+QB的最小值；（3）過點(diǎn)P作PM⊥y軸于點(diǎn)M，當(dāng)△CPM和△QBN相似時(shí)，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．【解答】解：（1）在y＝﹣x2+3x+4中，令x＝0得y＝4，令y＝0得x＝﹣1或x＝4，∴A（﹣1，0），B（4，0），C（0，4）；（2）將C（0，4）向下平移至C'，使CC'＝PQ，連接BC'交拋物線的對(duì)稱軸l于Q，如圖：∵CC'＝PQ，CC'∥PQ，∴四邊形CC'QP是平行四邊形，∴CP＝C'Q，∴CP+PQ+BQ＝C'Q+PQ+BQ＝BC'+PQ，∵B，Q，C'共線，∴此時(shí)CP+PQ+BQ最小，最小值為BC'+PQ的值，∵C（0，4），CC'＝PQ＝1，∴C'（0，3），∵B（4，0），∴BC'＝＝5，∴BC'+PQ＝5+1＝6，∴CP+PQ+BQ最小值為6；（3）如圖：由在y＝﹣x2+3x+4得拋物線對(duì)稱軸為直線x＝﹣＝，設(shè)Q（，t），則P（，t+1），M（0，t+1），N（，0），∵B（4，0），C（0，4）；∴BN＝，QN＝t，PM＝，CM＝|t﹣3|，∵∠CMP＝∠QNB＝90°，∴△CPM和△QBN相似，只需＝或＝，①當(dāng)＝時(shí)，＝，解得t＝或t＝，∴Q（，）或（，）；②當(dāng)＝時(shí)，＝，解得t＝或t＝（舍去），∴Q（，），綜上所述，Q的坐標(biāo)是（，）或（，）或（，）．命題點(diǎn)4二次函數(shù)與四邊形的存在性10．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+2x+c與x軸分別交于點(diǎn)A（1，0）和點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C（0，﹣3），連接BC．（1）求拋物線的解析式及點(diǎn)B的坐標(biāo)．（2）如圖，點(diǎn)P為線段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)B，C重合），過點(diǎn)P作y軸的平行線交拋物線于點(diǎn)Q，求線段PQ長(zhǎng)度的最大值．（3）動(dòng)點(diǎn)P以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度在線段BC上由點(diǎn)C向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)M以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度在線段BO上由點(diǎn)B向點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)，在平面內(nèi)是否存在點(diǎn)N，使得以點(diǎn)P，M，B，N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，請(qǐng)直接寫出符合條件的點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【解答】解：（1）由題意得，，∴，∴y＝x2+2x﹣3，當(dāng)y＝0時(shí)，x2+2x﹣3＝0，∴x1＝1，x2＝﹣3，∴B（﹣3，0）；（2）設(shè)直線BC的解析式為：y＝kx+b，∴，∴，∴y＝﹣x﹣3，設(shè)點(diǎn)P（m，﹣m﹣3），Q（m，m2+2m﹣3），∴PQ＝（﹣m﹣3）﹣（m2+2m﹣3）＝﹣m2﹣3m＝﹣（m+）2+，∴當(dāng)m＝﹣時(shí)，PQ最大＝；（3）如圖1，∵B（﹣3，0），C（0，﹣3），∴OB＝OC＝3，∴∠OCB＝∠OBC＝45°，作PD⊥y軸于D，∴CD＝PD＝PC?sin∠OCB＝＝t，當(dāng)BM＝PM時(shí)，∴∠MPB＝∠OBC＝45°，∵∠PMO＝∠PDO＝∠MOD＝90°，∴四邊形OMPD是矩形，∴OM＝PD＝t，由BM+OM＝OB得，∴2t＝3，∴t＝，∴P（﹣，﹣），∴N（﹣3，﹣），如圖2，當(dāng)PM＝PB時(shí)，作PD⊥y軸于D，作PE⊥x軸于E，∴BM＝2BE，可得四邊形PDOE是矩形，∴OE＝PD＝t，∴BE＝3﹣t，∴t＝2（3﹣t），∴t＝2，∴P（﹣2，﹣1），∴N（﹣2，1），如圖3，當(dāng)PB＝MB時(shí)，3﹣＝t，∴t＝6﹣3，∴P（3，3﹣3），∴N（0，3﹣3），綜上所述：N（﹣3，﹣）或（﹣2，1）或（0，3﹣3）．11．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過點(diǎn)A（4，0）的直線AB與y軸交于點(diǎn)B（0，4）．經(jīng)過原點(diǎn)O的拋物線y＝﹣x2+bx+c交直線AB于點(diǎn)A，C，拋物線的頂點(diǎn)為D．（1）求拋物線y＝﹣x2+bx+c的表達(dá)式；（2）M是線段AB上一點(diǎn)，N是拋物線上一點(diǎn)，當(dāng)MN∥y軸且MN＝2時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；（3）P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，Q是平面直角坐標(biāo)系內(nèi)一點(diǎn)．是否存在以點(diǎn)A，C，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是矩形？若存在，直接