初中數(shù)學(xué)：將軍飲馬問題習(xí)題

將軍飲馬“將軍飲馬”問題主要利用構(gòu)造對(duì)稱圖形解決求兩條線段和差、三角形周長、四邊形周長等一類最值問題，會(huì)與直線、角、三角形、四邊形、圓、拋物線等圖形結(jié)合，在近年的中考和競賽中經(jīng)常出現(xiàn)，而且大多以壓軸題的形式出現(xiàn)。模型1定直線與兩定點(diǎn)模型作法結(jié)論當(dāng)兩定點(diǎn)A、B在直線異側(cè)時(shí)，在直線上找一點(diǎn)P，使PA+PB最小。連接AB交直線于點(diǎn)P，點(diǎn)P即為所求作的點(diǎn)。PA+PB的最小。當(dāng)兩定點(diǎn)A、B在直線同側(cè)時(shí)，在直線上找一點(diǎn)P，使PA+PB最小。作點(diǎn)B關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)B′，連接AB′交直線于點(diǎn)P，點(diǎn)P即為所求作的點(diǎn)。PA+PB的最小值為AB′。當(dāng)兩定點(diǎn)A、B在直線同側(cè)時(shí)，在直線上找一點(diǎn)P，使最大。連接AB并延長交直線于點(diǎn)P，點(diǎn)P即為所求作的點(diǎn)。的最大值為AB。當(dāng)兩定點(diǎn)A、B在直線同側(cè)時(shí)，在直線上找一點(diǎn)P，使最大。作點(diǎn)B關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)B′，連接AB′并延長交直線于點(diǎn)P，點(diǎn)P即為所求作的點(diǎn)。的最大值為AB′。當(dāng)兩定點(diǎn)A、B在直線同側(cè)時(shí)，在直線上找一點(diǎn)P，使最小。連接AB，作AB的垂直平分線交直線于點(diǎn)P，點(diǎn)P即為所求作的點(diǎn)。的最小值為0。模型實(shí)例例1．如圖，正方形ABCD的面積是12，△ABE是等邊三角形，點(diǎn)E 在正方形ABCD內(nèi)，在對(duì)角線AC上有一點(diǎn)P，則PD+PE的最小值為。例2．如圖，已知△ABC為等腰直角三角形，AC=BC=4，∠BCD=15°，P為CD上的動(dòng)點(diǎn)，則的最大值是多少？熱搜精練1．如圖，在△ABC中，AC=BC=2，∠ACB-90°，D是BC邊的中點(diǎn)，E是AB邊上一動(dòng)點(diǎn)，則EC+ED的最小值是。2．如圖，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3，），當(dāng)△ABC的周長最短時(shí)，求的值。3．如圖，正方形ABCD中，AB-7，M是DC上的一點(diǎn)，且DM-3，N是AC上的一動(dòng)點(diǎn)，求的最小值與最大值。模型2角到定點(diǎn)模型作法結(jié)論點(diǎn)P在∠AOB的內(nèi)部，在OB上找點(diǎn)D，在OA上找點(diǎn)C，使得△PCD周長最小。分別作點(diǎn)P關(guān)于OA、OB的對(duì)稱點(diǎn)P′、P"，連接P′P"，交OA、OB于點(diǎn)C、D，點(diǎn)C、D即為所求?！鱌CD周長最小為P′P"。點(diǎn)P在∠AOB的內(nèi)部，在OB上找點(diǎn)D，在OA上找點(diǎn)C，使得PD+CD最小。作點(diǎn)P關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)P′，過點(diǎn)P′作P′C⊥OA交OB于點(diǎn)C，點(diǎn)C、D即為所求。PC+CD的最小值為P′C。點(diǎn)P、Q在∠AOB的內(nèi)部，在OB上找點(diǎn)D，在OA上找點(diǎn)C，使得四邊形PQDC周長最小。分別作點(diǎn)P、Q關(guān)于OA、OB的對(duì)稱點(diǎn)P′、Q′，連接P′Q′，交OA、OB于點(diǎn)C、D，點(diǎn)C、D即為所求。PC+CD+DQ的最小值為P′Q′，所以四邊形PQDC的周長的最小值為P′Q′+PQ。模型實(shí)例例1．如圖，∠AOB=30°，∠AOB內(nèi)有一定點(diǎn)P，且OP=10，在OA上有一點(diǎn)Q，OB上有一點(diǎn)R。若△PQR周長最小，則最小周長是多少？熱搜精練1．如圖，∠MON=40°，P為∠MON內(nèi)一定點(diǎn)，A為OM上的點(diǎn)，B為ON上的點(diǎn)，當(dāng)△PAB的周長取最小值時(shí)：（1）找到A、B點(diǎn)，保留作圖痕跡；（2）求此時(shí)∠APB等于多少度。如果∠MON=，∠APB又等于多少度？2．如圖，四邊形ABCD中，∠BAD=110°，∠B=∠D=90°，在BC、CD上分別找一點(diǎn)M、N，使△AMN周長最小，并求此時(shí)∠AMN+∠ANM的度數(shù)。3．如圖，在軸上找一點(diǎn)C，在軸上找一點(diǎn)D，使AD+CD+BC最小，并求直線CD的解析式及點(diǎn)C、D的坐標(biāo)。4．如圖∠MON=20°，A、B分別為射線OM、ON上兩定點(diǎn)，且OA=2，OB=4，點(diǎn)P、Q分別為射線OM、ON上兩動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)P、Q運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段AQ+PQ+PB的最小值是多少？模型3兩定點(diǎn)一定長模型作法結(jié)論如圖，在直線上找M、N兩點(diǎn)（M在左），使得AM+MN+NB最小，且MN=。將點(diǎn)A向右平移個(gè)單位到A′，作A′關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)A"，連接A"B交直線于點(diǎn)N，將點(diǎn)N向左平移個(gè)單位到M，點(diǎn)M、N即為所求。AM+MN+NB最小為A"B。如圖，∥，，之間距離為，在，分別找M、N兩點(diǎn)，使得MN⊥，且AM+MN+NB最小。將點(diǎn)A向下平移個(gè)單位到A′，連接A′B交直線于點(diǎn)N，將點(diǎn)N向上平移個(gè)單位到M，點(diǎn)M、N即為所求。AM+MN+NB的最小值為A′B+。模型實(shí)例例1．在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC如圖所示，點(diǎn)A在軸正半軸上，點(diǎn)C在軸正半軸上，且OA=6，OC=4，D為OC中點(diǎn)，點(diǎn)E、F在線段OA上，點(diǎn)E在點(diǎn)F左側(cè)，EF=2。當(dāng)四邊形BDEF的周長最小時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)。熱搜精練1．在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OACB的頂點(diǎn)O在坐標(biāo)原點(diǎn)，頂點(diǎn)A、B分別在，軸、軸的正半軸上，A（3，0），B（0，4），D為邊OB的中點(diǎn)。（1）若E為邊OA上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求△CDE的周長最小值；（2）若E