專題2.1相交與平行線重難點(diǎn)題型13個(gè)

專題2.1相交與平行線重難點(diǎn)題型13個(gè)題型1、相交線與平行線的相關(guān)概念1．（2020·河北·中考真題）如圖，在平面內(nèi)作已知直線的垂線，可作垂線的條數(shù)有（

）A．0條 B．1條 C．2條 D．無(wú)數(shù)條【答案】D【分析】在同一平面內(nèi)，過(guò)已知直線上的一點(diǎn)有且只有一條直線垂直于已知直線；但畫(huà)已知直線的垂線，可以畫(huà)無(wú)數(shù)條．【詳解】在同一平面內(nèi)，畫(huà)已知直線的垂線，可以畫(huà)無(wú)數(shù)條；故選：D．【點(diǎn)睛】此題主要考查在同一平面內(nèi)，垂直于平行的特征，解題的關(guān)鍵是熟知垂直的定義．2．（2022·廣西桂林·七年級(jí)期末）按語(yǔ)句畫(huà)圖：點(diǎn)在直線上，也在直線上，但不在直線上，直線，，兩兩相交正確的是（）A．B．C．D．【答案】A【分析】根據(jù)相交線的概念、點(diǎn)與直線的位置關(guān)系進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：A．符合條件，B．不符合點(diǎn)P不在直線c上；C．不符合點(diǎn)P在直線a上；D．不符合直線a、b、c兩兩相交；故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查的是相交線、點(diǎn)與直線的位置關(guān)系，正確理解題意、認(rèn)識(shí)圖形是解題的關(guān)鍵．3．（2022·福建福建·七年級(jí)期中）根據(jù)語(yǔ)句“直線與直線相交，點(diǎn)在直線上，直線不經(jīng)過(guò)點(diǎn)．”畫(huà)出的圖形是（

）A．B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)直線與直線相交，點(diǎn)M在直線上，直線不經(jīng)過(guò)點(diǎn)M進(jìn)行判斷，即可得出結(jié)論．【詳解】解：A．直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)M，故本選項(xiàng)不合題意；B．點(diǎn)M不在直線上，故本選項(xiàng)不合題意；C．點(diǎn)M不在直線上，故本選項(xiàng)不合題意；D．直線與直線相交，點(diǎn)M在直線上，直線不經(jīng)過(guò)點(diǎn)M，故本選項(xiàng)符合題意；故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查相交線以及點(diǎn)與直線的位置關(guān)系，兩條直線交于一點(diǎn)，我們稱這兩條直線為相交線．4．（2022·河北·模擬預(yù)測(cè)）下面關(guān)于平行線的說(shuō)法中，正確的個(gè)數(shù)是（

）①在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線必平行；②在同一平面內(nèi)，不相交的兩條線段必平行；③在同一平面內(nèi)，不平行的兩條直線必相交；④在同一平面內(nèi)，不平行的兩條線段必相交A．0 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根據(jù)平面內(nèi)直線和線段的位置關(guān)系判斷．【詳解】在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線必平行，不平行的兩條直線必相交，線段則不一定，故①③正確。故選B【點(diǎn)睛】本題主要考查在同一平面內(nèi)兩直線的位置關(guān)系，需要注意②和④說(shuō)的是線段．5．（2022·江西吉安·七年級(jí)期中）下列說(shuō)法正確的是（

）A．在同一平面內(nèi)，兩條直線不垂直就平行B．在同一平面內(nèi)，沒(méi)有公共點(diǎn)的兩條射線是平行線C．在同一平面內(nèi)，兩條線段不相交就重合D．在同一平面內(nèi)，沒(méi)有公共點(diǎn)的兩條線段也可能互相垂直【答案】D【分析】根據(jù)兩條直線的位置關(guān)系、平行線、垂直的定義逐項(xiàng)判斷即可得．【詳解】解：A、在同一平面內(nèi)，兩條直線不相交就平行，則此項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；B、在同一平面內(nèi)，沒(méi)有公共點(diǎn)的兩條直線是平行線，則此項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；C、在同一平面內(nèi)，兩條線段不相交，也有可能不重合，則此項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；D、在同一平面內(nèi)，沒(méi)有公共點(diǎn)的兩條線段也可能互相垂直，則此項(xiàng)正確，符合題意；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了兩條直線的位置關(guān)系、平行線、垂直，熟練掌握相交線與平行線是解題關(guān)鍵．6．（2022·吉林吉林·七年級(jí)期末）下列語(yǔ)句中，有一個(gè)是錯(cuò)誤的，其余三個(gè)都是正確的：①直線EF經(jīng)過(guò)點(diǎn)C；

②點(diǎn)A在直線l外；③直線AB的長(zhǎng)為5cm；④兩條線段m和n相交于點(diǎn)P．（1）錯(cuò)誤的語(yǔ)句為_(kāi)_______（填序號(hào)）．（2）按其余三個(gè)正確的語(yǔ)句，畫(huà)出圖形．【答案】（1）③；（2）見(jiàn)解析【分析】（1）點(diǎn)與直線的位置關(guān)系，直線的定義，兩條直線的位置關(guān)系，逐項(xiàng)判斷即可求解；（2）根據(jù)點(diǎn)與直線的位置關(guān)系，兩條直線的位置關(guān)系，畫(huà)出圖形，即可求解．【詳解】解：（1）①直線EF經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，故本說(shuō)法正確；②點(diǎn)A在直線l外，故本說(shuō)法正確；③因?yàn)橹本€向兩端無(wú)限延伸，所以長(zhǎng)度無(wú)法測(cè)量，故本說(shuō)法錯(cuò)誤；④兩條線段m和n相交于點(diǎn)P，故本說(shuō)法正確；所以錯(cuò)誤的語(yǔ)句為③；（2）圖形如圖所示：

【點(diǎn)睛】本題主要考查了點(diǎn)與直線的位置關(guān)系，直線的定義，兩條直線的位置關(guān)系，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．題型2、對(duì)頂角、余角、補(bǔ)角、垂直的性質(zhì)解題技巧：余角、補(bǔ)角、對(duì)頂角這些結(jié)論在幾何計(jì)算中的應(yīng)用非常廣泛。余角、補(bǔ)角、對(duì)頂角在解題中常常起著橋梁的作用，它們可以將未知角和已知角直接聯(lián)系起來(lái)，是復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化。我們要善于挖掘題干中的隱含信息，充分利用鄰補(bǔ)角和對(duì)頂角的關(guān)系，使其與已知條件相聯(lián)系，從而使所求問(wèn)題得到解決。1．（2022·河北·威縣第三中學(xué)七年級(jí)期末）下列選項(xiàng)中，和是對(duì)頂角的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】判斷對(duì)頂角需要滿足的兩個(gè)條件，一是有公共頂點(diǎn)，二是一個(gè)角的兩邊是另一個(gè)角的反向延長(zhǎng)線，逐項(xiàng)進(jìn)行觀察判斷即可．【詳解】解：對(duì)頂角的定義：兩條直線相交后所得，有公共頂點(diǎn)且兩邊互為反向延長(zhǎng)線的兩個(gè)角叫做對(duì)頂角，觀察選項(xiàng)，只有D選項(xiàng)符合，故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了對(duì)頂角的定義，熟練掌握對(duì)頂角的兩個(gè)判斷依據(jù)（一是有公共頂點(diǎn)，二是一個(gè)角的兩邊是另一個(gè)角的的兩邊的反向延長(zhǎng)線）是解題的關(guān)鍵．2．（2022·北京海淀區(qū)·七年級(jí)期末）將一副三角板按如圖所示位置擺放，其中與一定互補(bǔ)的是（）A．B．C． D．

【答案】D【分析】根據(jù)圖形，結(jié)合互補(bǔ)的定義判斷即可．【詳解】A、與相等，不互補(bǔ)，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、與不互補(bǔ)，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、與互余，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、和互補(bǔ)，故本選項(xiàng)正確；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了對(duì)余角和補(bǔ)角的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的觀察圖形的能力和理解能力．3．（2022·北京四中璞瑅學(xué)校七年級(jí)期中）如圖，利用量角器可知的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)對(duì)頂角相等即可得解．【詳解】解：∵對(duì)頂角相等，∴的度數(shù)為，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查求對(duì)頂角的度數(shù)，解題的關(guān)鍵是會(huì)識(shí)圖，掌握對(duì)頂角相等．4．（2022·山東臨沂市·七年級(jí)期末）已知，，則與的關(guān)系為（）A．相等 B．互余 C．互補(bǔ) D．以上都不對(duì)【答案】B【分析】計(jì)算出的值即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵，，∴∴與的關(guān)系為互余．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了互為余角的關(guān)系；熟練掌握互余兩角的關(guān)系是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．5．（2022·浙江寧波市·七年級(jí)期末）如圖，點(diǎn)在直線上，，那么下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A．與相等B．與互余C．與互補(bǔ)D．與互余【答案】D【分析】根據(jù)垂直的定義和余角，補(bǔ)角的定義和性質(zhì)解答，即可．【詳解】∵∠EOD＝90°，∠COB＝90°，∴∠1＋∠DOC＝∠2＋∠DOC＝90°，∴∠1＝∠2，∴∠AOE＋∠2＝90°，即與互余，∵∠2+=180°，∴∠1+=180°，即：與互補(bǔ)，∵∠1＋∠AOE＝∠1＋∠COD，∴∠AOE＝∠COD，∴D選項(xiàng)說(shuō)法是錯(cuò)誤的，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了垂線的定義，余角和補(bǔ)角的定義和性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握平角的度數(shù)是180°，余角和補(bǔ)角的性質(zhì)．6．（2022·黑龍江·哈爾濱七年級(jí)期中）如圖，，直線BD經(jīng)過(guò)點(diǎn)O，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】先利用垂直的含義求解再利用鄰補(bǔ)角的含義求解即可．【詳解】解：∵，∴∵直線BD經(jīng)過(guò)點(diǎn)O，∴故選B．【點(diǎn)睛】本題考查的是垂直的含義，鄰補(bǔ)角的含義，熟練的利用垂直與鄰補(bǔ)角的定義求解角的度數(shù)是解本題的關(guān)鍵．題型3、垂線段的作圖及相關(guān)應(yīng)用1．（2022·江蘇·建湖縣匯杰初級(jí)中學(xué)三模）如圖，是測(cè)量學(xué)生跳遠(yuǎn)成績(jī)的示意圖，即的長(zhǎng)為某同學(xué)的跳遠(yuǎn)成績(jī)，其依據(jù)是（）A．兩點(diǎn)之間線段最短 B．兩點(diǎn)確定一條直線C．垂線段最短 D．過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直【答案】C【分析】由點(diǎn)到直線的距離的定義及跳遠(yuǎn)比賽的規(guī)則作出判斷．【詳解】解：能正確解釋這一現(xiàn)象的數(shù)學(xué)知識(shí)是垂線段最短，故選：C．【點(diǎn)睛】此題考查了垂線段最短的性質(zhì)的運(yùn)用，解答此題的關(guān)鍵是熟練掌握由點(diǎn)到直線的距離的定義及跳遠(yuǎn)比賽的規(guī)則．2．（2021·浙江杭州·中考真題）如圖，設(shè)點(diǎn)是直線外一點(diǎn)，，垂足為點(diǎn)，點(diǎn)是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)垂線段距離最短可以判斷得出答案．【詳解】解：根據(jù)點(diǎn)是直線外一點(diǎn)，，垂足為點(diǎn)，是垂線段，即連接直線外的點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中距離最短，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)有，綜上所述：，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了垂線段最短的定義，解題的關(guān)鍵是：理解垂線段最短的定義．3．（2022·廣東·揭西縣寶塔實(shí)驗(yàn)學(xué)校七年級(jí)期中）如圖所示，∠BAC=90°，AD⊥BC，則下列結(jié)論中，正確的個(gè)數(shù)為（）①AB⊥AC；②AD與AC互相垂直；③點(diǎn)C到AB的垂線段是線段AB；④點(diǎn)A到BC的距離是線段AD；⑤線段AB的長(zhǎng)度是點(diǎn)B到AC的距離；⑥∠BAD=∠C．A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)【答案】B【分析】本題要根據(jù)垂線定義、垂線段定義（定理）、點(diǎn)到直線的距離定義，逐一判斷．【詳解】解：∵∠BAC=90°，∴①AB⊥AC正確，符合題意；∵∠DAC≠90°，∴AD與AC不互相垂直，所以②錯(cuò)誤，不符合題意；點(diǎn)C到AB的垂線段應(yīng)是線段AC，所以③錯(cuò)誤，不符合題意；點(diǎn)A到BC的距離是線段AD的長(zhǎng)度，所以④錯(cuò)誤，不符合題意；線段AB的長(zhǎng)度是點(diǎn)B到AC的距離，所以⑤正確，符合題意；同角的余角相等，則∠BAD=∠C，所以⑤正確，符合題意．綜上，正確的有①⑤⑤共3個(gè)，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了點(diǎn)到直線的距離，對(duì)平面幾何中概念的理解，一定要緊扣概念中的關(guān)鍵詞語(yǔ)，要做到對(duì)它們正確理解，對(duì)不同的幾何語(yǔ)言的表達(dá)要注意理解它們所包含的意義，要善于區(qū)分不同概念之間的聯(lián)系和區(qū)別．4．（2022·廣東·揭西縣寶塔實(shí)驗(yàn)學(xué)校七年級(jí)期中）如圖，BC⊥AC，BC＝8cm，AC＝6cm，AB＝10cm．那么點(diǎn)B到AC的距離是_____，點(diǎn)A、B兩點(diǎn)的距離是_____，點(diǎn)C到AB的距離是_____．【答案】

8cm##8厘米

10cm##10厘米

4.8cm【分析】過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D，則線段CD的長(zhǎng)即為點(diǎn)C到AB的距離，再根據(jù)三角形的面積公式求出CD的長(zhǎng)；再根據(jù)點(diǎn)到直線距離的定義即可得出結(jié)論．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D，則線段CD的長(zhǎng)即為點(diǎn)C到AB的距離，∵BC⊥AC，CB=8cm，AB=10cm，AC=6cm，∴BC?AC=AB?CD，∴CD=6×8÷10=4.8（cm），∴點(diǎn)B到AC的距離是BC的長(zhǎng)8cm．點(diǎn)A、B兩點(diǎn)的距離是AB的長(zhǎng)10cm，點(diǎn)C到AB的距離是CD的長(zhǎng)4.8cm．故答案為：8cm，10cm，4.8cm．【點(diǎn)睛】本題考查了點(diǎn)到直線的距離，是基礎(chǔ)題，熟記點(diǎn)到直線的距離的定義是解題的關(guān)鍵．5．（2022·北京四中璞瑅學(xué)校七年級(jí)期中）如圖，在一片農(nóng)田附近有一條小河．因?yàn)楦珊担浇霓r(nóng)民們常常需要從河中引水灌溉農(nóng)田．張伯伯家的農(nóng)田位于圖中點(diǎn)處，他也想挖一條水渠，把河水引到自家農(nóng)田處．(1)請(qǐng)問(wèn)，張伯伯如何挖渠才能使渠道最短？請(qǐng)你在如圖中畫(huà)出來(lái)．(2)你這樣畫(huà)的依據(jù)是什么？(3)如果圖中比例尺為：，水渠大概要挖多長(zhǎng)？(4)請(qǐng)你舉出一個(gè)生活中應(yīng)用以上“依據(jù)”的實(shí)際例子．【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)垂線段最短；(3)水渠大概要挖米；(4)體育課上測(cè)量跳遠(yuǎn)成績(jī)的依據(jù)也是利用垂線段最短．【分析】（1）作PH⊥CD即可；（2）根據(jù)垂線段最短解決問(wèn)題；（3）測(cè)量出PH的長(zhǎng)，再利用比例尺求出實(shí)際距離；（4）體育課上測(cè)量跳遠(yuǎn)成績(jī)的依據(jù)也是利用垂線段最短．（1）解：如圖，作，線段即為所求；（2）解：畫(huà)圖的依據(jù)是垂線段最短．（3）解：，∴實(shí)際距離為m，水渠大概要挖m；（4）解：體育課上測(cè)量跳遠(yuǎn)成績(jī)的依據(jù)也是利用垂線段最短．【點(diǎn)睛】本題考查作圖—應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖，垂線段最短，比例尺等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題．6．（2022·河南信陽(yáng)·七年級(jí)期末）按要求畫(huà)圖：(1)作BEAD交DC于E．(2)連接AC，作BFAC交DC的延長(zhǎng)線于F．(3)作AG⊥DC于G．(4)根據(jù)圖形回答問(wèn)題：想要知道點(diǎn)A到點(diǎn)D、點(diǎn)C所在直線的距離，應(yīng)該測(cè)圖中哪條線段的長(zhǎng)度？為什么？【答案】(1)見(jiàn)詳解(2)見(jiàn)詳解(3)見(jiàn)詳解(4)AG，理由：點(diǎn)到直線的距離是點(diǎn)到直線的垂線段的長(zhǎng)度【分析】（1）過(guò)點(diǎn)B作∠BEC=∠C即可得出答案；（2）延長(zhǎng)DC，作∠BFC=∠ACD即可得出答案；（3）過(guò)點(diǎn)A作AG⊥DC，直接作出垂線即可；（4）根據(jù)點(diǎn)到直線的距離是點(diǎn)到直線的垂線段的長(zhǎng)度可知AG為應(yīng)測(cè)線段．（1）如圖，線段BE即為所求．；（2）如圖，線段BF即為所求．（3）如圖，線段AG即為所求．（4）應(yīng)該測(cè)線段AG的長(zhǎng)度，理由：點(diǎn)到直線的距離是點(diǎn)到直線的垂線段的長(zhǎng)度．【點(diǎn)睛】本題考查了基本作圖和垂線的性質(zhì)，根據(jù)題意正確的畫(huà)出線段，掌握點(diǎn)到直線的距離是點(diǎn)到直線的垂線段的長(zhǎng)度是解題的關(guān)鍵．題型4、同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角的辨別解題技巧：常見(jiàn)的識(shí)別方法有2種，具體如下方法一、定義法：如下圖：=1\*GB3①確定第三條直線截另外2條直線，從而找出8個(gè)角例：確定直線c截a、b兩條直線，則在直線c的兩側(cè)有∠1、∠2、∠3、∠4、∠5、∠6、∠7、∠8這8個(gè)角，則3類角的關(guān)系必定是在這8個(gè)角中尋找；=2\*GB3②根據(jù)角的名字（特點(diǎn)）確定位置關(guān)系。注意，位置關(guān)系包含2個(gè)部分：a.與第三條直線的位置關(guān)系；b.與被截兩條直線的位置關(guān)系例：同位角，即：在第三條直線的同一側(cè)，且在被截兩條直線的同一側(cè)。則∠8與∠4符合同位角關(guān)系。內(nèi)錯(cuò)角，即：在第三條直線的兩側(cè)（錯(cuò)開(kāi)），且在被截兩條直線的內(nèi)側(cè)。則∠8與∠2符合內(nèi)錯(cuò)角關(guān)系。同旁內(nèi)角，即：在第三條直線的同側(cè)，且在被截兩條直線的內(nèi)側(cè)。則∠8與∠3符合同旁內(nèi)角關(guān)系。方法二、像形識(shí)別法：=1\*GB3①同位角：F=2\*GB3②內(nèi)錯(cuò)角：Z=3\*GB3③同旁內(nèi)角：C1．（2022·山東·日照市七年級(jí)期中）下列圖形中，∠1和∠2是同位角的是（

）．A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)同位角的定義逐項(xiàng)判斷即可．同位角：兩條直線被第三條直線所截形成的角中，若兩個(gè)角都在兩直線的同側(cè)，并且在第三條直線（截線）的同旁，則這樣一對(duì)角叫做同位角．【詳解】解：根據(jù)同位角的定義，可知D是同位角，A、B、C不是同位角，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查同位角的識(shí)別，掌握同位角的定義是解題的關(guān)鍵，判斷是否是同位角，必須符合三線八角中，在截線的同側(cè)，并且在被截線的同一方的兩個(gè)角是同位角．2．（2022·廣東·深圳市學(xué)七年級(jí)期末）如圖，與∠1是內(nèi)錯(cuò)角的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角的定義可得答案．【詳解】解：直線a，直線b被直線c所截，∠1與∠3是內(nèi)錯(cuò)角，∠1與∠2是同旁內(nèi)角，∠1與∠4是同位角，∠1與∠5不具有特殊位置關(guān)系，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查內(nèi)錯(cuò)角，理解內(nèi)錯(cuò)角的定義是正確判斷的前提．3．（2022·湖北鄂州·七年級(jí)期中）如圖，與互為同旁內(nèi)角的角是（

）A．與 B．與 C．與 D．與【答案】B【分析】根據(jù)兩條直線被第三條直線所截形成的角中，若兩個(gè)角都在兩直線的之間，并且在第三條直線（截線）的同旁，則這樣一對(duì)角叫做同旁內(nèi)角進(jìn)行解答即可．【詳解】解：根據(jù)題意得：與互為同旁內(nèi)角，與互為同旁內(nèi)角．故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了同旁內(nèi)角的定義．注意在截線的同旁找同旁內(nèi)角．要結(jié)合圖形，熟記同旁內(nèi)角的位置特點(diǎn)．4．（2022·浙江·七年級(jí)期中）如圖，直線，被直線所截，且ab，則與的位置關(guān)系是（）A．同位角 B．對(duì)頂角 C．同旁內(nèi)角 D．內(nèi)錯(cuò)角【答案】A【分析】根據(jù)對(duì)頂角、同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角的定義判斷即可．【詳解】∵直線，被直線所截，∴與的位置關(guān)系是同位角．故選A．【點(diǎn)睛】本題考查對(duì)頂角、同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角的定義．三線八角中的某兩個(gè)角是不是同位角、內(nèi)錯(cuò)角或同旁內(nèi)角，完全由那兩個(gè)角所在圖形中的相對(duì)位置決定．在復(fù)雜的圖形中判別三類角時(shí)，應(yīng)從角的兩邊入手，具有上述關(guān)系的角必有兩邊在同一直線上，此直線即為截線，而另外不在同一直線上的兩邊，它們所在的直線即為被截的線．5．（2022·河南·虞城縣第二初級(jí)中學(xué)七年級(jí)期中）如圖，和是同位角的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】?jī)蓷l直線被第三條直線所截形成的角中，若兩個(gè)角都在兩直線的同側(cè)，并且在第三條直線（截線）的同旁，則這樣一對(duì)角叫做同位角．【詳解】解：選項(xiàng)A中，∠1和∠2不是同位角；選項(xiàng)B中，∠1和∠2不是同位角；選項(xiàng)C中，∠1和∠2是同位角；選項(xiàng)D中，∠1和∠2不是同位角．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了同位角的概念，解題時(shí)注意：同位角的邊構(gòu)成“F”形，內(nèi)錯(cuò)角的邊構(gòu)成“Z”形，同旁內(nèi)角的邊構(gòu)成“U”形．6．（2022·遼寧·沈陽(yáng)市七年級(jí)期中）如圖，描述同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角關(guān)系不正確的是（

）A．∠1與∠4是同位角 B．∠ACD與∠3是內(nèi)錯(cuò)角C．∠3與∠4是同旁內(nèi)角 D．∠ACE與∠4是同旁內(nèi)角【答案】D【分析】根據(jù)同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角的位置特征判斷即可．【詳解】解：A．∠1與∠4是同位角，故A選項(xiàng)正確；B．∠ACD與∠3是內(nèi)錯(cuò)角，故B選項(xiàng)正確；C．∠3與∠4是同旁內(nèi)角，故C選項(xiàng)正確；D．∠ACE與∠4不是同旁內(nèi)角，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角，解題的關(guān)鍵是熟記同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角定義和位置特征．題型5、平行線的作法與平行公理的應(yīng)用1．（2022·遼寧沈陽(yáng)·七年級(jí)期末）下列說(shuō)法正確的是（

）A．相等的角是對(duì)頂角B．在同一平面內(nèi)，兩直線的位置關(guān)系有三種：平行，垂直，相交C．過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行D．平面內(nèi)，過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直【答案】D【分析】由對(duì)頂角的概念可判斷A，由平面內(nèi)直線與直線的位置關(guān)系可判斷B，由過(guò)直線外一點(diǎn)畫(huà)已知直線的平行線可判斷C，由過(guò)一點(diǎn)畫(huà)已知直線的垂線可判斷D，從而可得答案．【詳解】解：相等的角不一定是對(duì)頂角，故A不符合題意；在同一平面內(nèi)，兩直線的位置關(guān)系有二種：平行，相交，故B不符合題意；過(guò)直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行，故C不符合題意；平面內(nèi)，過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直，描述正確，故D符合題意；故選D【點(diǎn)睛】本題考查的是對(duì)頂角的性質(zhì)，平面內(nèi)，直線與直線的位置關(guān)系，平行線的含義，垂直的性質(zhì)，掌握以上基礎(chǔ)的概念是解本題的關(guān)鍵．2．（2022·廣西·環(huán)江毛南族自治縣教研室七年級(jí)期中）若直線a，b，c，d有下列關(guān)系，則推理正確的是（

）A．∵a∥b，b∥c，∴c∥d B．∵a∥c，b∥d，∴c∥dC．∵a∥b，a∥c，∴b∥c D．∵a∥b，c∥d，∴a∥c【答案】C【分析】根據(jù)平行公理的推論“如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線平行”進(jìn)行分析，得出正確答案．【詳解】解：A、a、c都和b平行，應(yīng)該推出的是a∥c，而非c∥d，故錯(cuò)誤；B、c、d與不同的直線平行，無(wú)法推出兩者也平行，故錯(cuò)誤；C、b、c都和a平行，可推出是b∥c，故正確；D、a、c與不同的直線平行，無(wú)法推出兩者也平行，故錯(cuò)誤．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查的重點(diǎn)是平行公理的推論：如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線平行．3．（2022·河北保定·七年級(jí)期末）a、b、c是同一平面內(nèi)的三條直線，下列說(shuō)法不正確的是（

）A．若a⊥b，b//c，則a⊥c B．若a⊥b，b⊥c，則a⊥cC．若a//b，b⊥c，則a⊥c D．若a//b，b//c，則a//c【答案】B【分析】根據(jù)平行線的判定及性質(zhì)及垂直的性質(zhì)逐項(xiàng)進(jìn)行分析即可解答．【詳解】解：A．根據(jù)平行線的性質(zhì)定理，即可推出a⊥c，本選項(xiàng)正確，不合題意．B．根據(jù)垂直于同一直線的兩直線平行，即可推出a//c，本選項(xiàng)錯(cuò)誤，符合題意，C．根據(jù)平行線的性質(zhì)定理，即可推出a⊥c，本選項(xiàng)正確，不合題意．D．根據(jù)平行于同一直線的兩直線平行，即可推出a//c，本選項(xiàng)正確，不合題意，故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查平行公理的推論、平行線的判定定理與性質(zhì)定理及垂直的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)的性質(zhì)定理是解答本題的關(guān)鍵．4．（2022·湖南永州·七年級(jí)期中）下列三種說(shuō)法：①相等的角是對(duì)頂角．②若線段AB與線段CD沒(méi)有交點(diǎn)，則ABCD．③若a、b、c都是直線，且ab，bc，則a與c不相交．正確的是_____．【答案】③【分析】根據(jù)兩點(diǎn)間的距離、對(duì)頂角、線段和平行線的知識(shí)，對(duì)選項(xiàng)一一分析，即可求解．【詳解】解：①相等的角不一定是對(duì)頂角，故①說(shuō)法錯(cuò)誤；②在同一平面內(nèi)，若直線AB與CD沒(méi)有交點(diǎn)，則ABCD，故②說(shuō)法錯(cuò)誤；③若直線ab，bc，則ac，a與c不相交，符合平行公理，故③正確．故答案為：③．【點(diǎn)睛】本題考查了兩點(diǎn)間的距離、對(duì)頂角、線段和平行線的知識(shí)，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．5．（2022·河南商丘·七年級(jí)期末）如圖，直線CD與直線AB相交與點(diǎn)O，直線外有一點(diǎn)P．(1)過(guò)點(diǎn)P畫(huà)，交AB于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)P畫(huà)，垂足為N；(2)若、求∠COM的度數(shù)．【答案】(1)詳見(jiàn)解析(2)135°【分析】（1）直接畫(huà)平行線和垂線即可；（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)可得同旁內(nèi)角互補(bǔ)，由已知可得結(jié)論．（1）解：如圖，（2）解：∵PMCD，∴∠PMO+∠COM=180°，∵∠PMO：∠COM=1：3，∴∠COM+∠COM=180°，∴∠COM=135°．【點(diǎn)睛】本題考查了基本作圖以及平行線的性質(zhì)，培養(yǎng)了學(xué)生過(guò)直線外一點(diǎn)作已知直線的平行線和垂線的畫(huà)圖能力．6．（2022·廣東湛江·七年級(jí)期末）如圖，P是∠ABC內(nèi)一點(diǎn)，按要求完成下列問(wèn)題：(1)過(guò)點(diǎn)P作AB的垂線，垂足為點(diǎn)D；(2)過(guò)點(diǎn)P作BC的平行線，交AB于點(diǎn)E；(3)比較線段PD和PE的大小，并說(shuō)明理由【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析(3)PD＜PE，見(jiàn)解析理由【分析】（1）根據(jù)要求作出圖形即可；（2）根據(jù)要求作出圖形即可；（3）根據(jù)垂線段最短判斷即可．【詳解】（1）如圖所示：PD即為所求；（2）如圖所示：PE即為所求；（3）PD＜PE，理由：直線外一點(diǎn)和直線上各點(diǎn)連接的所有線段中，垂線段最短．【點(diǎn)睛】本題考查作圖復(fù)雜作圖，垂線段最短等知識(shí)，解題關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題．題型6、平行線的判定1．（2022·山東·樂(lè)陵市七年級(jí)階段練習(xí)）下列圖形中，由能得到ABCD的是（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】根據(jù)平行線的判定定理，即兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行；兩條直線被第三條直線所截，如果內(nèi)錯(cuò)角相等，那么這兩條直線平行；兩條直線被第三條直線所截，如果同旁內(nèi)角互補(bǔ)，那么這兩條直線平行，進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：A．由∠1=∠2，不能得到ABCD，故該選項(xiàng)不符合題意；B．由∠1=∠2，能得到ABCD，故該選項(xiàng)符合題意；C．由∠1=∠2，能得到ACBD，但不能得到ABCD，故該選項(xiàng)不符合題意；D．由∠1=∠2，不能得到ABCD，故該選項(xiàng)不符合題意．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定定理，熟練掌握平行線的判定定理是解題的關(guān)鍵．2．（2022·重慶市秀山七年級(jí)期末）如圖，點(diǎn)E在BC的延長(zhǎng)線上，下列條件中能判斷的是（）A．∠l＝∠2B．∠3＝∠4C．∠ADC＝∠DCED．∠A+∠ABC＝180°【答案】B【分析】根據(jù)平行線的判定定理對(duì)四個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行逐一分析即可．【詳解】解：A、由∠1＝∠2可以判定，不能判斷，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、由∠3＝∠4可以判定，依據(jù)是“內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行”，故本選項(xiàng)正確；C、由∠ADC＝∠DCE可以判定，不能判斷，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、由∠A+∠ABC＝180°可以判定，不能判斷，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：B．【點(diǎn)睛】此題考查的是平行線的判定定理，解答此題的關(guān)鍵是正確區(qū)分兩條直線被第三條直線所截形成的內(nèi)錯(cuò)角及同旁內(nèi)角．3．（2022·河南安陽(yáng)·七年級(jí)期末）如圖，下列條件中不能判定直線的是（

）A．∠ABD＝∠CDB B．∠A＋∠ABC＝180°C．∠ADB＝∠DBC D．∠A＝∠CBE【答案】A【分析】根據(jù)平行線的判定定理逐項(xiàng)判斷即可．【詳解】∠ABD＝∠CDB，只能判定，不能證明，故A符合題意；∠A＋∠ABC＝180°，根據(jù)同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行，即可證明，故B不符合題意；∠ADB＝∠DBC，根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行，即可證明，故C不符合題意；∠A＝∠CBE，根據(jù)同位角相等，兩直線平行，即可證明，故D不符合題意．故選A．【點(diǎn)睛】本題考查平行線的判定．掌握平行線的判定定理：同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；同位角相等，兩直線平行是解題關(guān)鍵．4．（2022·貴州·凱里學(xué)院附屬中學(xué)七年級(jí)階段練習(xí)）如圖，在下列四組條件中，能判定ABCD的是（）A．∠1＝∠2B．∠ABD＝∠BDCC．∠3＝∠4D．∠BAD+∠ABC＝180°【答案】B【分析】根據(jù)平行線的判定定理對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行逐一判斷即可．【詳解】解：A．若∠1=∠2，則ADBC，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；B．若∠ABD=∠BDC，則ABCD，故本選項(xiàng)正確；C．若∠3=∠4，則ADBC，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；D．若∠BAD+∠ABC=180°，則ADBC，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查的是平行線的判定，熟知平行線的判定定理是解答此題的關(guān)鍵．5．（2022·湖北·蘄春縣七年級(jí)階段練習(xí)）如圖，不添加輔助線，請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè)能判定ABCD的條件__【答案】∠1=∠4##∠B=∠5##∠B+∠BCD=180°【分析】根據(jù)平行線的判定定理即可解答．【詳解】解：由“內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行”可以添加條件∠1=∠4．由“同位角相等，兩直線平行”可以添加條件∠B=∠5．由“同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行”可以添加條件∠B+∠BCD=180°．綜上所述，滿足條件的有：∠1=∠4或∠B=∠5或∠B+∠BCD=180°．故答案是：∠1=∠4或∠B=∠5或∠B+∠BCD=180°．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的判定．解答此類要判定兩直線平行的題，可圍繞截線找同位角、內(nèi)錯(cuò)角和同旁內(nèi)角．本題是一道探索性條件開(kāi)放性題目，能有效地培養(yǎng)學(xué)生“執(zhí)果索因”的思維方式與能力．6．（2022·廣東·廣州市七年級(jí)期末）如圖，∠1=30°，AB⊥AC，要使，需再添加的一個(gè)條件是____________．（要求：添加這個(gè)條件后，其它條件也必不可少，才能推出結(jié)論）【答案】∠B=60°（答案不唯一）【分析】由題意可求出∠BAD=120°，再根據(jù)“同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行”即可知需添加的條件為：∠B=60°．【詳解】可添加條件：∠B=60°．∵∠1=30°，AB⊥AC，∴∠BAD=30°+90°=120°．∵∠B=60°，∴∠B+∠BAD=180°，∴．故答案為：∠B=60°．（答案不唯一）【點(diǎn)睛】本題考查垂線的定義，平行線的判定．掌握同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行是解題關(guān)鍵．題型7、平行線的判定綜合1．（2022·浙江·杭州市大關(guān)中學(xué)七年級(jí)期中）將一塊三角板ABC（∠BAC=90°，∠ABC=30°）按如圖方式放置，使A，B兩點(diǎn)分別落在直線m，n上，對(duì)于給出的五個(gè)條件：①∠1=25.5°，∠2=55°；②∠1+∠2=90°；③∠2=2∠1；④∠ACB=∠1+∠3；⑤∠ABC=∠2∠1．能判斷直線mn的有__．（填序號(hào)）【答案】①④⑤【分析】根據(jù)平行線的判定方法和題目中各個(gè)小題中的條件，逐一判斷是否可以得到m∥n，從而可以解答本題．【詳解】解：∵∠1=25.5°，∠2=55°，∠ABC=30°，∴∠ABC+∠1=55.5°=55°=∠2，∴mn，故①符合題意；∵∠1+∠2=90°，∠ABC=30°，∴∠1+∠ABC不一定等于∠2，∴m和n不一定平行，故②不符合題意；∵∠2=2∠1，∠ABC=30°，∴∠1+∠ABC不一定等于∠2，∴m和n不一定平行，故③不符合題意；過(guò)點(diǎn)C作CEm，∴∠3=∠4，∵∠ACB=∠1+∠3，∠ACB=∠4+∠5，∴∠1=∠5，∴ECn，∴mn，故④符合題意；∵∠ABC=∠2∠1，∴∠2=∠ABC+∠1，∴mn，故⑤符合題意；故答案為：①④⑤．【點(diǎn)睛】本題考查平行線的判定，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．2．（2022·河南鄭州·七年級(jí)期末）利用如圖所示的方法，可以折出“過(guò)已知直線外一點(diǎn)和已知直線平行”的直線，請(qǐng)說(shuō)明其中的道理______．【答案】?jī)?nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行（答案不唯一）【分析】由題意可得，，利用內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行可得，從而得解．【詳解】解：如圖，由題意得：，，∵與是內(nèi)錯(cuò)角，故（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）．故答案為：內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行．（答案不唯一）【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線的判定，解答的關(guān)鍵是對(duì)平行線的判定條件的掌握與靈活運(yùn)用．3．（2022·江蘇·南京外國(guó)語(yǔ)學(xué)校七年級(jí)期中）如圖，a、b、c三根木棒釘在一起，，現(xiàn)將木棒a、b同時(shí)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周，速度分別為18度/秒和3度/秒，兩根木棒都停止時(shí)運(yùn)動(dòng)結(jié)束，則___________秒后木棒a，b平行．【答案】2或14或50或110【分析】設(shè)t秒后木棒a，b平行，分四種情況討論：當(dāng)秒時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，即可求解．【詳解】解：設(shè)t秒后木棒a，b平行，根據(jù)題意得：當(dāng)秒時(shí)，，解得：t=2；當(dāng)時(shí)，，解得：t=14；當(dāng)時(shí)，木棒a停止運(yùn)動(dòng)，當(dāng)時(shí)，，解得：t=10；（不合題意，舍去）當(dāng)時(shí)，或，解得：t=50或t=110；綜上所述，2或14或50或110秒后木棒a，b平行．故答案為：2或14或50或110【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的判定，一元一次方程的應(yīng)用，明確題意，利用分類討論思想解答是解題的關(guān)鍵．4．（2022·吉林·大安市七年級(jí)階段練習(xí)）如圖，在四邊形ABCD中，，，點(diǎn)E、F分別在DC、AB上，且BE、DF分別平分∠ABC、∠ADC，判斷BE、DF是否平行，并說(shuō)明理由．【答案】平行，理由見(jiàn)解析【分析】先根據(jù)角平分線的定義可得，從而可得，再結(jié)合可得，然后根據(jù)平行線的判定即可得．【詳解】解：，理由如下：分別平分，，，，又，，．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線、平行線的判定，熟練掌握平行線的判定方法是解題關(guān)鍵．5．（2022·河南·七年級(jí)期末）如圖，已知點(diǎn)O在直線AB上，射線OE平分∠AOC，過(guò)點(diǎn)O作OD⊥OE，G是射線OB上一點(diǎn)，連接DG，使∠ODG+∠DOG=90°．(1)求證：∠AOE=∠ODG；(2)若∠ODG=∠C，試判斷CD與OE的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)CDOE，理由見(jiàn)解析【分析】（1）由OD⊥OE得到∠EOC+∠COD=∠AOE+∠DOG=90°，再利用等角的余角相等即可證明∠AOE=∠ODG；（2）證明∠EOC=∠C，利用內(nèi)錯(cuò)角相等兩直線平行，即可證明CDOE．（1）證明：∵OD⊥OE，∴∠EOC+∠COD=∠AOE+∠DOG=90°，∵∠ODG+∠DOG=90°，∴∠AOE=∠ODG；（2）解：CDOE．理由如下：由（1）得∠AOE=∠ODG，∵射線OE平分∠AOC，∴∠AOE=∠EOC，∵∠ODG=∠C，∴∠EOC=∠C，∴CDOE．【點(diǎn)睛】本題考查角平分線定義，垂直的定義，平行線的判定，等角的余角相等，正確識(shí)圖是解題的關(guān)鍵．6．（2022·湖北十堰·七年級(jí)期末）在△ABC中，∠C＝90°，AM平分∠BAC，D為直線BC上一點(diǎn)，DE⊥AB于點(diǎn)E，∠CDE的平分線交直線AC于點(diǎn)F．

(1)如圖①，當(dāng)點(diǎn)D在邊BC上時(shí)，判斷DF與AM的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；(2)①如圖②，當(dāng)點(diǎn)D在邊BC延長(zhǎng)線上時(shí)，則DF與AM的位置關(guān)系是______；②如圖③，當(dāng)點(diǎn)D在邊CB延長(zhǎng)線上時(shí)，則DF與AM的位置關(guān)系是______；(3)請(qǐng)就（2）中①或②中的一種情況，給出證明．【答案】(1)DF//AM，理由見(jiàn)解析(2)①DF⊥AM；②DF⊥AM．(3)選①證明見(jiàn)解析；選②證明見(jiàn)解析．【分析】（1）先判斷出∠BAC+∠CDE=180°，可得∠CAM+∠CDF=90°，進(jìn)而判斷出∠CDF=∠CMA即可得出結(jié)論；（2）①，先判斷出∠BAC=∠CDE，可得∠CAM=∠CDF,進(jìn)而判斷出∠CDF+∠AMC=90°,即可得出結(jié)論解答;選②，先判斷出∠BAC=∠CDE，可得∠CAM=∠CDF，進(jìn)而判斷出∠CAM+∠F=90°,即可得解答；（3）（2）中任選一個(gè)進(jìn)行證明即可．（1）解：（1）DF//AM．理由如下：∵∠C=90°，DE⊥AB，∴∠BAC+∠CDE=360°﹣90°×2=180°，∵AM平分∠BAC，DF平分∠CDE，∴∠CAM=∠BAC，∠CDF=∠CDE，∴∠CAM+∠CDF=（∠BAC+∠CDE）=90°，又∵∠CAM+∠CMA=90°，∴∠CDF=∠CMA，∴BD//MF．（2）①∵∠C=90°，DE⊥AB，∴∠BAC+∠B=∠BDE+∠B=90°，∴∠BAC=∠CDE，∵AM平分∠BAC，DF平分∠CDE，∴∠CAM=∠CDF，∵∠CAM+∠AMC=90°，∴∠CDF+∠AMC=90°，∴DF⊥AM．故答案為DF⊥AM．②∵∠C=90°，DE⊥AB，∴∠BAC+∠B=∠BDE+∠B=90°，∴∠BAC=∠CDE，∵AM平分∠BAC，DF平分∠CDE，∴∠CAM=∠CDF，∵∠CDF+∠F=90°，∴∠CAM+∠F=90°，∴DF⊥AM．故答案為DF⊥AM．（3）解：選②證明．證明如下：∵∠C=90°，DE⊥AB，∴∠BAC+∠B=∠BDE+∠B=90°，∴∠BAC=∠CDE，∵AM平分∠BAC，DF平分∠CDE，∴∠CAM=∠CDF，∵∠CDF+∠F=90°，∴∠CAM+∠F=90°，∴DF⊥AM．【點(diǎn)睛】本題屬于三角形綜合題，主要考查了角平分線的定義、同角的余角線段、平行線的判定、垂直的判定等知識(shí)點(diǎn)，說(shuō)明∠CAM=∠CDF是解答本題的關(guān)鍵．題型8、平行線間的距離及運(yùn)用解題技巧：兩條平行線之間，距離相等。故同底三角形，因高也相等，所以面積相等。在解此類題型時(shí)，先確定公共底，然后在與底平行的直線上尋找三角形的另一個(gè)頂點(diǎn)，這樣組成的三角形面積相等。1．（2022·湖南·新化縣教育科學(xué)研究所七年級(jí)期末）如圖，直線，，，a與b的距離是5cm，b與c距離是2cm，則a與c的距離（

）A．2cm B．3cm C．5cm D．7cm【答案】B【分析】根據(jù)平行線間的距離進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：由題意可知，，，，則直線a與c的距離為5?2＝3（cm），故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查平行線間的距離，理解平行線間的距離的意義是正確解答的前提．2．（2022·廣西貴港·七年級(jí)期末）在同一平面內(nèi)，已知直線a，b，c兩兩平行，且a與b的距離為3cm，a與c的距離為4cm，則b與c的距離為（

）A．3cm或4cm B．1cm C．7cm D．7cm或1cm【答案】D【分析】分類討論：當(dāng)直線b在a、c之間或直線b不在a、c之間，后利用平行線間的距離的意義分別求解．【詳解】解：當(dāng)直線b在a、c之間時(shí)，∵a、b、c是三條平行直線，而a與b的距離為3cm，a與c的距離為4cm，∴b與c的距離=43=1（cm）；當(dāng)直線b不在a、c之間時(shí)，∵a、b、c是三條平行直線，而a與b的距離為3cm，a與c的距離為4cm，∴b與c的距離=3+4=7（cm），綜上所述，b與c的距離為1cm或7cm．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線之間的距離：從一條平行線上的任意一點(diǎn)到另一條直線作垂線，此垂線段的長(zhǎng)度叫兩條平行線之間的距離．平行線間的距離處處相等．注意分類討論．3．（2022·湖北恩施·七年級(jí)期中）如圖所示的3×3的網(wǎng)格中，每個(gè)小方格都是邊長(zhǎng)為1的正方形，A和B兩點(diǎn)在小方格的頂點(diǎn)上，點(diǎn)C也在小正方形的頂點(diǎn)上，若以A，B，C為頂點(diǎn)的三角形的面積為1個(gè)平方單位，則C點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（

）個(gè)A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】按照點(diǎn)C所在的直線分情況：①當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)A在同一條豎直直線上時(shí)，AC邊上的高為2，AC=1，符合條件的點(diǎn)C有2個(gè)；②當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)A在同一條水平直線上時(shí)，AC邊上的高為1，AC=2，符合條件的點(diǎn)C有1個(gè)；③當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)B在同一條豎直直線上時(shí)，BC邊上的高為2，BC=1，符合條件的點(diǎn)C有2個(gè)，結(jié)合圖象可知有一個(gè)重復(fù)，④當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)B在同一條水平直線上時(shí)，BC邊上的高為1，BC=2，符合條件的點(diǎn)C有1個(gè)，結(jié)合圖象可知與已有點(diǎn)重復(fù)，結(jié)合圖象即可求出點(diǎn)C個(gè)數(shù)【詳解】解：①當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)A在同一條豎直直線上時(shí)，AC邊上的高為2，AC=1，符合條件的點(diǎn)為；②當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)A在同一條水平直線上時(shí)，AC邊上的高為1，AC=2，符合條件的點(diǎn)為；③當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)B在同一條豎直直線上時(shí)，BC邊上的高為2，BC=1，符合條件的點(diǎn)為和；④當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)B在同一條水平直線上時(shí)，BC邊上的高為1，BC=2，符合條件的點(diǎn)為；如圖：∴符合條件的C點(diǎn)的個(gè)數(shù)為4，故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形的面積，圖形規(guī)律問(wèn)題，此類題應(yīng)選取分類的標(biāo)準(zhǔn)，才能做到不遺不漏．4．（2022·湖南岳陽(yáng)·七年級(jí)期末）如圖，點(diǎn)P、D在直線a上，點(diǎn)A、C在直線b上，于點(diǎn)B，，，，，則直線a與b之間的距離是________．【答案】12【分析】根據(jù)平行線間的距離的定義即可求解．【詳解】解：∵，∴直線a與b之間的距離就是垂線段PB的長(zhǎng)度，∵，∴直線a與b之間的距離就是12cm．故答案為12．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線間的距離，從平行線上任意一點(diǎn)到另一條直線的垂線段長(zhǎng)度稱為平行線間的距離，平行線之間的距離處處相等，熟練掌握平行線間的距離的定義是解題的關(guān)鍵．5．（2022·山東聊城·七年級(jí)期末）如圖，直線，且a、b之間相距，點(diǎn)P是直線a上一定點(diǎn)，點(diǎn)Q在直線b上運(yùn)動(dòng)，則在Q點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，線段的最小值是____________．【答案】4【分析】通過(guò)平行線之間垂線段最短的理論可知PQ垂直于兩條直線時(shí)，PQ的值最小，再根據(jù)a、b之間距離求出PQ即可．【詳解】當(dāng)時(shí)，根據(jù)垂線段最短，可以知道此刻PQ取最小值，且a、b之間的距離為4cm，的最小值是4cm，故答案為：4．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線之間的距離的定義，牢記平行線之間距離的定義和垂線段最短是本題的關(guān)鍵．6．（2022·湖南邵陽(yáng)·七年級(jí)期末）如圖：，AD＝BC＝2CE，△DCE的面積為4，則四邊形ABCD的面積為_(kāi)____．【答案】16【分析】過(guò)D作DF⊥BC于F，根據(jù)△DCE的面積為4求出CE×DF＝8，求出四邊形ABCD的面積，再代入求出答案即可．【詳解】解：過(guò)D作DF⊥BC于F，∵△DCE的面積為4，∴，∴CE×DF＝8，∵，AD＝BC＝2CE，∴四邊形ABCD的面積S＝＝×（2CE＋2CE）×DF＝2CE×DF＝2×8＝16，答案為：16．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，三角形的面積和梯形的面積等知識(shí)點(diǎn)，能求出四邊形ABCD的面積＝2CE×DF是解此題的關(guān)鍵．題型9、根據(jù)平行線的性質(zhì)求角的度數(shù)解題技巧：平行線與角的關(guān)系非常密切，平行線的性質(zhì)都是以角的關(guān)系來(lái)提現(xiàn)的。1）3類角的大小關(guān)系都是平行線的性質(zhì)的一部分內(nèi)容，切不可忽視前提條件“兩直線平行”，當(dāng)兩直線不平行時(shí)，3類角無(wú)大小關(guān)系。2）如果要從角的關(guān)系得到的結(jié)論是兩直線平行，用平行線的判定；如果已知兩直線平行，從平行線得到角相等或互補(bǔ)關(guān)系，用平行線的性質(zhì)。填寫(xiě)理由時(shí)，要防止把性質(zhì)與判定混淆。1．（2022·廣東·深圳市龍崗區(qū)宏揚(yáng)學(xué)校七年級(jí)期中）某同學(xué)在研究傳統(tǒng)文化“抖空竹”時(shí)有一個(gè)發(fā)現(xiàn)：他把它抽象成數(shù)學(xué)問(wèn)題，如圖所示，已知，，，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】延長(zhǎng)交于，依據(jù)，，可得，再根據(jù)三角形外角性質(zhì)，即可得到．【詳解】解：如圖，延長(zhǎng)交于，∵，，，又，，．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是掌握：兩直線平行，同位角相等．2．（2022·陜西·商洛市山陽(yáng)信毅九年制學(xué)校七年級(jí)期末）如圖，AB//CD，AC//BH，點(diǎn)M在直線BA上，且∠MAC=30°，∠D=78°，BE平分∠DBA，則∠EBH的度數(shù)為（

）A．20° B．22° C．24° D．21°【答案】D【分析】首先根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，，再根據(jù)角平分線的定義得出，根據(jù)，即可求得答案．【詳解】解：∵AC//BH，∴，∵AB//CD，∴，∴，∵BE平分∠DBA，∴，∴．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平行線的性質(zhì)：兩直線平行，同位角相等，內(nèi)錯(cuò)角相等，同旁內(nèi)角互補(bǔ)．3．（2022·廣東·東莞市中堂中學(xué)七年級(jí)期中）如圖，已知，，則__．【答案】【分析】根據(jù)平行線判定：同位角相等兩直線平行，得到，再根據(jù)平行線性質(zhì)：兩直線平行同位角相等，得到，從而得到答案．【詳解】解：如圖所示：，，，，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查平行線的判定與性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合，熟練掌握平行線的判定與性質(zhì)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．4．（2021·寧夏固原·七年級(jí)期末）如圖，，，，則的度數(shù)是_____．【答案】##100度【分析】通過(guò)作平行線的方式，將∠G分成∠EGQ和∠QGF，利用平行線的性質(zhì)求出∠EGQ和∠QGF，度數(shù)即可求解．【詳解】解：過(guò)G點(diǎn)作，∴，∵，，∴，∴，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)，屬于經(jīng)典題目，學(xué)會(huì)作輔助線是關(guān)鍵．5．（2022·吉林·東北師大附中明珠學(xué)校七年級(jí)期末）如圖，D為中延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，，若，，則_____．【答案】72【分析】由，，求出，，，由得，即可得到答案．【詳解】解：∵，，∴，∵，∴，∵，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】此題主要考查了平行線性質(zhì)，熟練掌握平行線性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．6．（2022·黑龍江·哈爾濱七年級(jí)期中）如圖，于點(diǎn)C，交于點(diǎn)B，若，則的度數(shù)是_______度．【答案】30【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)求出∠3，根據(jù)垂直的定義可得∠HCE＝90°，根據(jù)角的和差計(jì)算即可．【詳解】解：如圖，∵，∴∠3＝∠1＝60°，∵，∴∠HCE＝90°，∴∠2＝90°－∠3＝90°－60°＝30°，故答案為：30．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，掌握兩直線平行，同位角相等是解題的關(guān)鍵．題型10、根據(jù)平行線的性質(zhì)與判定探究角的關(guān)系1．（2022·上海·七年級(jí)期中）如圖，AB∥CD，EF⊥DB，垂足為點(diǎn)E，則∠1與∠2的關(guān)系是_____________．【答案】∠1+∠2＝90°或互余【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠2＝∠CDE，根據(jù)垂直的定義可得∠1+∠FDE＝90°，即可求解．【詳解】解：∵AB∥CD，∴∠2＝∠CDE．∵EF⊥BD，∴∠FED＝90°．∴∠1+∠FDE＝90°．∴∠1+∠2＝90°．故答案為：∠1+∠2＝90°或互余．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（2022·廣東·廣州九年級(jí)開(kāi)學(xué)考試）下列各圖中，當(dāng)a∥b時(shí)，符合∠1＝∠2+∠3關(guān)系的是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)，以及三角形的外角性質(zhì)，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【詳解】解：A.如圖：∵∠ACD是△ABC的一個(gè)外角，∴∠ACD=∠1+∠3，∵ab，∴∠ACD=∠2，∴∠2=∠1+∠3，故A不符合題意；B.如圖：延長(zhǎng)AD交BF于點(diǎn)C，∵ab，∴∠1=∠ACF，∵∠ACF=∠3+∠2，∴∠1=∠3+∠2，故B符合題意；C.如圖：過(guò)點(diǎn)A作ABa，∴∠2+∠CAB=180°，∵ab，∴ABb，∴∠1+∠BAD=180°，∴∠2+∠CAB+∠1+∠BAD=360°，∴∠1+∠2+∠3=360°，故C不符合題意；D.如圖：延長(zhǎng)DA交直線b于點(diǎn)C，∵ab，∴∠2=∠DCB，∵∠3=∠1+∠DCB，∴∠3=∠1+∠2，故D不符合題意；故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．3．（2022·浙江·七年級(jí)期中）如圖，ABCD，PG平分∠EPF，∠A+∠AHP＝180°，下列結(jié)論：①CDPH；②∠BEP+∠DFP＝2∠EPG；③∠FPH＝∠GPH；④∠A+∠AGP+∠DFP﹣∠FPG＝180°；其中正確結(jié)論是（

）A．①②③④ B．①②④ C．①③④ D．①②【答案】B【分析】由∠A+∠AHP＝180°，可得PHAB，根據(jù)ABCD，可得ABCDPH，再根據(jù)平行線的性質(zhì)以及角的和差關(guān)系進(jìn)行計(jì)算，即可得出正確結(jié)論．【詳解】解：∵∠A+∠AHP＝180°，∴PHAB，∵ABCD，∴CDPH，故①正確；∴ABCDPH，∴∠BEP＝∠EPH，∠DFP＝∠FPH，∴∠BEP+∠DFP＝∠EPF，又∵PG平分∠EPF，∴∠EPF＝2∠EPG，∴∠BEP+∠DFP＝2∠EPG，故②正確；∵∠GPH與∠FPH不一定相等，∴∠FPH＝∠GPH不一定成立，故③錯(cuò)誤；∵∠AGP＝∠HPG+∠PHG，∠DFP＝∠FPH，∠FPH+∠GPH＝∠FPG，∠FPG＝∠EPG，∴∠A+∠AGP+∠DFP﹣∠FPG＝∠A+∠HPG+∠PHG+∠DFP﹣∠EPG＝∠A+∠HPG+∠PHG+∠FPH﹣∠FPG＝∠A+∠HPG+∠PHG+∠FPH﹣（∠FPH+∠GPH）＝∠A+∠PHG，∵ABPH，∴∠A+∠PHG＝180°，即∠A+∠AGP+∠DFP﹣∠FPG＝180°．故④正確；綜上所述，正確的選項(xiàng)①②④，故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)以及角平分線的定義的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是注意：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等．4．（2022·深圳市高級(jí)中學(xué)初二月考）已知：如圖，，則，，之間的關(guān)系是A．B．C．D．【答案】C【分析】分別過(guò)C、D作AB的平行線CM和DN，由平行線的性質(zhì)可得到∠α+∠β=∠C+∠γ，可求得答案．【解析】解：如圖，分別過(guò)C、D作AB的平行線CM和DN，

，，，，，

，

又，，，即，故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)，掌握平行線的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，即①兩直線平行?同位角相等，②兩直線平行?內(nèi)錯(cuò)角相等，③兩直線平行?同旁內(nèi)角互補(bǔ)，④a//b，b//c?a//c．5．（2022·山東·德州市第五中學(xué)七年級(jí)期中）（1）如圖1，直線l1l2，直線EF與l1和l2分別相交于C、D兩點(diǎn)，點(diǎn)P在線段CD上（不與C、D重合）運(yùn)動(dòng)，A、B分別是直線l1和l2上兩個(gè)定點(diǎn)，連接A、P和B、P，直接寫(xiě)出∠1，∠2，∠3之間的數(shù)量關(guān)系：；（2）若點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到射線DF上，∠1，∠2，∠3之間的數(shù)量關(guān)系怎樣？寫(xiě)出結(jié)論，并證明．（3）若點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到射線CE上，請(qǐng)?jiān)趫D3中畫(huà)出圖形并直接寫(xiě)出∠PAC，∠APB，∠PBD之間的數(shù)量關(guān)系？【答案】（1）∠2＝∠3+∠1，證明見(jiàn)解析；（2）∠1＝∠2+∠3，理由見(jiàn)解析；（3）圖見(jiàn)解析，∠PBD＝∠BPA+∠PAC，理由見(jiàn)解析【分析】（1）如圖1中．延長(zhǎng)BP交AC于H，利用平行線的性質(zhì)以及三角形的外角的性質(zhì)即可解決問(wèn)題．（2）分點(diǎn)P在射線DF上時(shí)及點(diǎn)P在射線CE上時(shí)兩種情況進(jìn)行討論，再利用平行線的性質(zhì)以及三角形的外角的性質(zhì)進(jìn)行證明即可；（3）結(jié)論：∠PBD＝∠BPA+∠PAC，利用平行線的性質(zhì)以及三角形的外角的性質(zhì)進(jìn)行證明即可；【詳解】（1）結(jié)論：∠2＝∠3+∠1．理由：如圖1中．延長(zhǎng)BP交AC于H，∵BDAH，∴∠3＝∠4，∵∠2＝∠1+∠4，∴∠2＝∠1+∠3，故答案為∠2＝∠1+∠3．（2）若點(diǎn)P在射線DF上時(shí)，結(jié)論：∠1＝∠2+∠3．理由：如圖2中，設(shè)AF與BD交于點(diǎn)H．∵BDAC，∴∠AHB＝∠1，∵∠AHB＝∠2+∠3，∴∠1＝∠2+∠3．（3）若點(diǎn)P在射線CE上時(shí)，結(jié)論：∠PBD＝∠BPA+∠PAC，理由：如圖3中，設(shè)BE與CA交于點(diǎn)H∵BDAC，∴∠PBD＝∠PHC，∵∠PHC＝∠PAC+∠BPA，∴∠PBD＝∠BPA+∠PAC，【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是記住平行線的性質(zhì)，學(xué)會(huì)條件常用輔助線，屬于中考?？碱}型．6．（2022·河北·武邑七年級(jí)期末）【發(fā)現(xiàn)】如圖1，CE平分∠ACD，AE平分∠BAC．(1)當(dāng)∠EAC＝∠ACE＝45°時(shí)，AB與CD的位置關(guān)系是______；當(dāng)∠EAC＝50°，∠ACE＝40°時(shí)，AB與CD的位置關(guān)系是______；當(dāng)∠EAC+∠ACE＝90°，請(qǐng)判斷AB與CD的位置關(guān)系并說(shuō)明理由；(2)【探究】如圖2，AB∥CD，M是AE上一點(diǎn)，∠AEC＝90°保持不變，移動(dòng)頂點(diǎn)E，使CE平分∠MCD，∠BAE與∠MCD存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說(shuō)明理由，(3)【拓展】如圖3，AB∥CD，P為線段AC上一定點(diǎn)，Q為直線CD上一動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)Q不與點(diǎn)C重合．直接寫(xiě)出∠CPQ+∠CQP與∠BAC的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)AB∥CD；AB∥CD；AB∥CD，理由見(jiàn)解析(2)∠BAE+∠MCD＝90°，理由見(jiàn)解析(3)∠BAC＝∠PQC+∠QPC或∠PQC+∠QPC+∠BAC＝180°【分析】（1）由角平分線的定義得∠BAC＝2∠EAC，∠ACD＝2∠ACE，則∠BAC+∠ACD＝180°，可得結(jié)論AB∥CD；（2）過(guò)點(diǎn)E作EF∥AB，利用平行線的性質(zhì)可得答案；（3）利用平行線的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理可得答案．（1）解：當(dāng)∠EAC＝∠ACE＝45°時(shí)，AB∥CD，理由如下：∵CE平分∠ACD，AE平分∠BAC，∴∠BAC＝2∠EAC，∠ACD＝2∠ACE，∵∠EAC＝∠ACE＝45°，∴∠BAC＝∠ACD＝90°，∴∠BAC+∠ACD＝180°，∴AB∥CD，故答案為：AB∥CD；當(dāng)∠EAC＝50°，∠ACE＝40°時(shí)，AB∥CD，理由如下：∵CE平分∠ACD，AE平分∠BAC，∴∠BAC＝2∠EAC，∠ACD＝2∠ACE，∵∠EAC＝50°，∠ACE＝40°∴∠BAC＝100°，∠ACD＝80°，∴∠BAC+∠ACD＝180°，∴AB∥CD，故答案為：AB∥CD；當(dāng)∠EAC+∠ACE＝90°，AB∥CD，理由如下：∵CE平分∠ACD，AE平分∠BAC，∴∠BAC＝2∠EAC，∠ACD＝2∠ACE，∵∠EAC+∠ACE＝90°，∴∠BAC+∠ACD＝180°，∴AB∥CD；(2)解：∠BAE+∠MCD＝90°，理由如下：過(guò)點(diǎn)E作EF∥AB，如圖所示，∵AB∥CD，∴EF∥AB∥CD，∴∠BAE＝∠AEF，∠FEC＝∠DCE，∵∠AEC＝90°，∴∠AEF+∠FEC＝∠BAE+∠ECD＝90°，∵CE平分∠MCD，∴∠ECD＝∠MCD，∴∠BAE+∠MCD＝90°；（3）解：分兩種情況分類討論，第一種情況如圖，當(dāng)點(diǎn)Q在射線CD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠BAC＝∠PQC+∠QPC，理由：過(guò)點(diǎn)P作PE∥AB，∵AB∥CD，∴EP∥AB∥CD，∴∠BAC＝∠EPC，∠PQC＝∠EPQ，∵∠EPC＝∠EPQ+∠QPC∴∠BAC＝∠PQC+∠QPC；第二種情況如圖，當(dāng)點(diǎn)Q在射線CD的反向延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)時(shí)（點(diǎn)C除外）∠PQC+∠QPC+∠BAC＝180°，理由：∵AB∥CD，∴∠BAC＝∠PCQ，∵∠PQC+∠QPC+∠PCQ＝180°，∴∠PQC+∠QPC+∠BAC＝180°，綜上，∠BAC＝∠PQC+∠QPC或∠PQC+∠QPC+∠BAC＝180°．【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)，解題關(guān)鍵需要根據(jù)題意作出相關(guān)的輔助線，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法，從圖形中尋找角之間的位置關(guān)系，根據(jù)平行線的性質(zhì)從而判斷角之間的大小關(guān)系，同時(shí)注意運(yùn)用分類討論的思想方法．題型11、平行線的性質(zhì)與判定的綜合證明1．（2022·湖北武漢·七年級(jí)期中）如圖，E在線段BA的延長(zhǎng)線上，∠EAD＝∠D，∠B＝∠D，，連FH交AD于G，∠FGA的余角比∠DGH大16°，K為線段BC上一點(diǎn)，連CG，使∠CKG＝∠CGK，在∠AGK內(nèi)部有射線GM，GM平分∠FGC．則下列結(jié)論：①；②GK平分∠AGC；③；④∠MGK＝16°．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)有（

）A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)【答案】C【分析】根據(jù)平行線的判定定理得到，故①正確；由平行線的性質(zhì)得到∠AGK=∠CKG，等量代換得到∠AGK=∠CGK，求得GK平分∠AGC；故②正確；根據(jù)平行線同旁內(nèi)角互補(bǔ)得，再根據(jù)題目已知∠CKG＝∠CGK，得，又根據(jù)，得，但根據(jù)現(xiàn)有條件無(wú)法證明GD=GC，故③錯(cuò)誤；設(shè)∠AGM=α，∠MGK=β，得到∠AGK=α+β，根據(jù)角平分線的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【詳解】解：∵∠EAD=∠D，∠B=∠D，∴∠EAD=∠B，∴，故①正確；∴∠AGK=∠CKG，∵∠CKG=∠CGK，∴∠AGK=∠CGK，∴GK平分∠AGC；故②正確；∵，∴，∵∠CKG＝∠CGK，∴，∴，又∵，∴，∴，要使，就要使且，∴就要GD=GC，但題目沒(méi)給出這個(gè)條件且利用現(xiàn)有條件也無(wú)法證明GD=GC，∴故③錯(cuò)誤；設(shè)∠AGM=α，∠MGK=β，∴∠AGK=α+β，∵GK平分∠AGC，∴∠CGK=∠AGK=α+β，∵GM平分∠FGC，∴∠FGM=∠CGM，∴∠FGA+∠AGM=∠MGK+∠CGK，∴37°+α=β+α+β，∴β=18.5°，∴∠MGK=18.5°，故④錯(cuò)誤，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，對(duì)頂角性質(zhì)，正確的識(shí)別圖形是解題的關(guān)鍵．2．（2022·河南·漯河市七年級(jí)期中）如圖，已知，BF平分∠ABC，DC平分∠ADE，則下列結(jié)論中：①；②；③；④．正確的有()（填序號(hào)）【答案】①②④【分析】由平行線的性質(zhì)可得出，直接判斷①正確；根據(jù)角平分線的定義結(jié)合平行線的性質(zhì)可得出，可證，得出，從而證明，②正確；由，得出，進(jìn)而得出，判斷④正確；由可得出，得出．再根據(jù)，得出．由，即可判斷，判斷③錯(cuò)誤．【詳解】∵，∴，故①正確；∵，∴，∵BF平分∠ABC，DC平分∠ADE，∴，∴，∴，∴，故②正確；∵，∴，∴，故④正確；∵，∴，∴．∵，∴．∵，∴，故③錯(cuò)誤．綜上可知正確的有①②④．故答案為：①②④．【點(diǎn)睛】本題考查平行線的判定和性質(zhì)，角平分線的定義．利用數(shù)形結(jié)合的思想是解題關(guān)鍵．3．（2022·福建龍巖·七年級(jí)期中）如圖，AF∥CD，CB平分∠ACD，BD平分∠EBF，且BC⊥BD，下列結(jié)論：①BC平分∠ABE；②AC∥BE；③∠CBE+∠D＝90°；④∠DEB＝2∠ABC，其中結(jié)論正確的有_____（填寫(xiě)序號(hào)）．【答案】①②③④【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)、角平分線定義和垂直的定義求出∠ECB＝∠EBC＝∠ABC＝∠BCA，然后對(duì)各個(gè)結(jié)論進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：∵AF∥CD，∴∠ABC＝∠ECB，∠EDB＝∠DBF，∠DEB＝∠EBA，∵CB平分∠ACD，BD平分∠EBF，∴∠ECB＝∠BCA，∠EBD＝∠DBF，∴∠D＝∠DBE，∵BC⊥BD，∴∠D＋∠ECB＝90°，∠DBE＋∠EBC＝90°，∴∠ECB＝∠EBC，∴∠CBE+∠D＝90°，故③正確；∴∠ECB＝∠EBC＝∠ABC＝∠BCA，∴BC平分∠ABE，∠DEB＝∠EBA＝2∠ABC，故①④正確；∵∠EBC＝∠BCA，∴AC∥BE，故②正確；故答案為：①②③④．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)和判定，垂直定義，角平分線定義，能綜合運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵．4．（2022·江蘇·儀征市古井中學(xué)七年級(jí)階段練習(xí)）如圖，是的角平分線，，是的角平分線，有下列四個(gè)結(jié)論：?①；?②；?③；?④．其中，正確的是（

）A．①② B．①②③ C．②③④ D．①②④【答案】D【分析】利用，BD平分，EF平分，可以判斷出①②正確；再根據(jù)與不一定相等，再利用與相等，可判斷出③不一定正確；根據(jù)，推出與是等底等高的三角形，最后利用等式性質(zhì)可得到④正確．【詳解】∵，∴，，∵BD平分，EF平分，∴，，∴，，∴，故①②正確；∴與不一定相等，由題意可知，∴與不一定相等，故③錯(cuò)誤；∵，∴與是等底等高的三角形，∴，∴，故④正確，∴①②④正確．故選：D．【點(diǎn)睛】此題考查了角平分線的定義，平行線的判定及性質(zhì)，平行線間的距離處處相等等相關(guān)內(nèi)容，熟練掌握平行線的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．5．（2022·黑龍江·哈爾濱七年級(jí)期中）點(diǎn)E在射線DA上，點(diǎn)F、G為射線BC．上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足∠DBF＝∠DEF，∠BDG＝∠BGD，DG平分∠BDE．（1）如圖，當(dāng)點(diǎn)G在F右側(cè)時(shí)，求證：；（2）如圖，當(dāng)點(diǎn)G在BF左側(cè)時(shí)，求證：；（3）如圖，在（2）的條件下，P為BD延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，DM平分∠BDG，交BC于點(diǎn)M，DN平分∠PDM，交EF于點(diǎn)N，連接NG，若DG⊥NG，，求∠B的度數(shù)．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；（3）60°【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義即可得到∠BDG＝∠ADG，從而可得∠ADG＝∠DGB，則，可得∠DEF＝∠EFG，即可得到∠DBF＝∠EFG，從而證明；（2）過(guò)點(diǎn)G作交AD于K，則，可得∠BDG＝∠DGK，∠GEF＝∠KGE，即可得到∠DGE＝∠BDG＋∠FEG；（3）設(shè)，則，，由角平分線的定義可得，然后分別求出，，進(jìn)行求解即可．【詳解】解：（1）∵DG平分∠BDE，∴∠BDG＝∠ADG，又∵∠BDG＝∠BGD，∴∠ADG＝∠DGB，∴，∴∠DEF＝∠EFG，∵∠DBF＝∠DEF，∴∠DBF＝∠EFG，∴；（2）過(guò)點(diǎn)G作交AD于K，同理可證，∴，∴∠BDG＝∠DGK，∠GEF＝∠KGE，∴∠DGE＝∠DGK＋∠KGE，∴∠DGE＝∠BDG＋∠FEG；（3）設(shè)，則，，，∵DN平分∠PDM，∴，∴，，∵DG⊥NG，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)與判定，角平分線的定義，垂直的定義，余角的計(jì)算，解題的關(guān)鍵在于能夠熟知平行線的性質(zhì)與判定條件．6．（2022·山東新泰·七年級(jí)期末）（1）已知：如圖1，．求證：（2）如圖2，已知，在的平分線上取兩個(gè)點(diǎn)M、N，使得，求證：．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析【分析】（1）過(guò)點(diǎn)E作，則由平行線的性質(zhì)可得，再由即可推出，即可判斷，即可得到；（2）過(guò)點(diǎn)N作，交于點(diǎn)G，則由平行線的性質(zhì)可得，，再由三角形外角的性質(zhì)可得，即可推出，再由角平分線的定義，由此即可證明．【詳解】解：（1）證明：如圖1，過(guò)點(diǎn)E作．∴，∵，（已知），∴（等量代換），∴（等式性質(zhì)），∴，∵，∴（平行于同一條直線的兩條直線互相平行）；（2）證明：過(guò)點(diǎn)N作，交于點(diǎn)G，如圖2所示：則，∴，，∵是的一個(gè)外角，∴，又∵，，∴，∴，∵平分，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)與判定，三角形外角的性質(zhì)，角平分線的定義，解題的關(guān)鍵在于能夠準(zhǔn)確作出輔助線進(jìn)行求解．題型12、尺規(guī)作圖（北師大版）1．（2022·河南初一課時(shí)練習(xí)）尺規(guī)作圖的工具是（）．A．刻度尺和圓規(guī)B．三角尺和圓規(guī)C．直尺和圓規(guī)D．沒(méi)有刻度的直尺和圓規(guī)【答案】D【分析】根據(jù)尺規(guī)作圖的定義作答．【解析】解：“尺規(guī)作圖”中的尺是指沒(méi)有刻度的直尺，即使有刻度也不能使用上面的刻度．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了尺規(guī)作圖的定義，解題的關(guān)鍵是掌握尺規(guī)作圖是指用沒(méi)有刻度的直尺和圓規(guī)作圖．2．（2022·山西初一期中）下列對(duì)尺規(guī)作圖步驟的描述不準(zhǔn)確的是（）A．作，使 B．作，使C．以點(diǎn)為圓心，線段的長(zhǎng)為半徑作弧 D．以點(diǎn)為圓心作弧【答案】D【分析】尺規(guī)作圖是指用沒(méi)有刻度的直尺和圓規(guī)作圖，據(jù)此逐項(xiàng)分析即可．【解析】解：A.作，使，此選項(xiàng)描述準(zhǔn)確；B.作一個(gè)角等于已知角的倍數(shù)是常見(jiàn)的尺規(guī)作圖，此選項(xiàng)描述準(zhǔn)確；C.以點(diǎn)為圓心，線段的長(zhǎng)為半徑作弧，此選項(xiàng)描述準(zhǔn)確；D.畫(huà)弧既需要圓心，還需要半徑，缺少半徑長(zhǎng)，此選項(xiàng)描述不準(zhǔn)確．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是尺規(guī)作圖，主要內(nèi)容有：作線段等于已知線段；作角等于已知角；作角的平分線；作線段的垂直平分線（中垂線）或中點(diǎn)；過(guò)直線外一點(diǎn)作直線的垂線．3．（2022·山西壽陽(yáng)·期末）下面出示的的尺規(guī)作圖題，題中符號(hào)代表的內(nèi)容正確的是（）如圖，已知∠AOB，求作：∠DEF，使∠DEF=∠AOB作法：（1）以①為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，分別交OA、OB于點(diǎn)P、Q；（2）作射線EG，并以點(diǎn)E為圓心②長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧交EG于點(diǎn)D；（3）以點(diǎn)D為圓心③長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧交（2）步中所畫(huà)弧于點(diǎn)F；（4）作④，∠DEF即為所求作的角．A．①表示點(diǎn)E B．②表示PQ C．③表示OQ D．④表示射線EF【答案】D【分析】根據(jù)尺規(guī)作圖作一個(gè)角等于已知角的方法即可判斷．【解析】尺規(guī)作圖作一個(gè)角等于已知角作法：（1）以點(diǎn)O為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，分別交OA、OB于點(diǎn)P、Q；（2）作射線EG，并以點(diǎn)E為圓心OP長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧交EG于點(diǎn)D；（3）以點(diǎn)D為圓心PQ長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧交（2）步中所畫(huà)弧于點(diǎn)F；（4）作射線EF，∠DEF即為所求作的角．所以A，B，C選項(xiàng)都錯(cuò)誤，D選項(xiàng)正確．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了作圖基本作圖，解決本題的關(guān)鍵是掌握基本作圖方法．4．（2022·四川龍泉驛·初一期中）用直尺和圓規(guī)作∠HDG＝∠AOB的過(guò)程中，?、谑牵ǎ〢．以D為圓心，以DN為半徑畫(huà)弧 B．以M為圓心，以DN長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧C．以M為圓心，以EF為半徑畫(huà)弧 D．以D為圓心，以EF長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧【答案】C【分析】根據(jù)作一個(gè)角等