2024年中考數(shù)學試題分類匯編：方程及函數(shù)的實際問題（17題）解析版

專題27方程及函數(shù)的實際問題（17題）

一、題型一：實際問題與一次方程（組）

1.（2024?江蘇無錫?中考真題）《九章算術(shù)》中有一道“鳧雁相逢”問題（鳧：野鴨），大意如下：野鴨從南海

飛到北海需要7天，大雁從北海飛到南海需要9天.如果野鴨、大雁分別從南海、北海同時起飛，經(jīng)過多

少天相遇？設(shè)經(jīng)過x天相遇，則下列方程正確的是（）

A.1x+^x=lB.yx-ix=lC.9x+7x=lD.9x-7x=l

【答案】A

【分析】本題考查了一元一次方程的實際應(yīng)用，根據(jù)題意可得野鴨的速度為:，大雁的速度為設(shè)經(jīng)過

x天相遇，則相遇時野鴨的路程+大雁的路程=總路程，據(jù)此即可列出方程.

【詳解】解：設(shè)經(jīng)過x天相遇，

可列方程為：1x+1x=l,

故選：A.

2.（2024.遼寧?中考真題）我國古代數(shù)學著作《孫子算經(jīng)》中有“雉兔同籠”問題：“今有雉兔同籠，上有三

十五頭，下有九十四足，問雉兔各幾何？”其大意是：雞兔同籠，共有35個頭，94條腿，問雞兔各多少只？

設(shè)雞有x只，兔有丁只，根據(jù)題意可列方程組為（）

jx+y=94Jx+y=94卜+y=35jx+y=35

A，[4x+2y=35[2x+4y=35。[4x+2y=94[2x+4y=94

【答案】D

【分析】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，找出等量關(guān)系是解題關(guān)鍵.設(shè)雞有x只，兔有y只，根據(jù)“雞

兔同籠，共有35個頭，94條腿”列二元一次方程組即可.

【詳解】解：設(shè)雞有x只，兔有y只，

x+y=35

由題意得:

2x+4y=94

故選：D.

3.（2024?甘肅蘭州?中考真題）數(shù)學家朱世杰所著的《四元玉鑒》是中國元代重要的數(shù)學著作之一，書中

記載著這樣一個問題，大意是：999文錢買了周果和苦果共1000個，11文錢可買9個甜果，4文錢可買7

個苦果，問甜果，苦果各買了多少個？設(shè)買了甜果x個，苦果y個，則可列方程組為（）

第1頁共20頁

x+y=1000x-y=1000x-y=1000

A.<114B.,114C.411

—x+-y=999—x+-y=999-x+—y=999

97，97，79,

元+y=999

D.<411

-x+—y=1000

179,

【答案】A

【分析】本題考查根據(jù)實際問題列二元一次方程組，根據(jù)999文錢買了周果和苦果共1000個，H文錢可

買9個甜果，4文錢可買7個苦果，列出方程組即可.

【詳解】解：設(shè)買了甜果無個，苦果y個，由題意，得：

x+y=1000

<ii4.

—x+-y=999'

〔97’

故選A.

4.(2024?遼寧?中考真題)甲、乙兩個水池注滿水，蓄水量均為36m3、工作期間需同時排水，乙池的排水

速度是8m3/h.若排水3h,則甲池剩余水量是乙池剩余水量的2倍.

⑴求甲池的排水速度.

(2)工作期間，如果這兩個水池剩余水量的和不少于24m3,那么最多可以排水幾小時？

【答案】⑴4m3/h

(2)4小時

【分析】本題考查了列一元一次方程解應(yīng)用題，一元一次不等式的應(yīng)用，熟練掌握知識點，正確理解題意

是解題的關(guān)鍵.

(1)設(shè)甲池的排水速度為xm3/h,由題意得，36-3x=2(36-8x3),解方程即可；

(2)設(shè)排水。小時，則36x2-(4+8)a224,再解不等式即可.

【詳解】(1)解：設(shè)甲池的排水速度為MI?/鼠

由題意得，36-3x=2(36-8x3),

解得：x=4,

答：甲池的排水速度為4m3/h;

(2)解：設(shè)排水。小時，

貝I]36x2-(4+8)a>24,

解得：a<4,

第2頁共20頁

答：最多可以排4小時.

5.(2024?浙江?中考真題)小明和小麗在跑步機上慢跑鍛煉.小明先跑，10分鐘后小麗才開始跑，小麗跑

步時中間休息了兩次.跑步機上C檔比8檔快40米/分、8檔比A檔快40米/分.小明與小麗的跑步相關(guān)

信息如表所示，跑步累計里程s(米)與小明跑步時間f(分)的函數(shù)關(guān)系如圖所示.

時間里程分段速度檔跑步里程

小明16:00?16:50不分段A檔4000米

第一段2檔1800米

第一次休息

小麗16:10-16:50第二段2檔1200米

第二次休息

第三段C檔1600米

(2)求小麗兩次休息時間的總和(單位：分)；

(3)小麗第二次休息后，在。分鐘時兩人跑步累計里程相等，求。的值.

【答案】⑴80米/分，120米/分，160米/分

⑵5分

(3)42.5

【分析】此題考查函數(shù)圖象獲取信息，一元一次方程的應(yīng)用，讀懂圖象中的數(shù)據(jù)是解本題的關(guān)鍵.

(1)由小明的跑步里程及時間可得A檔速度，再根據(jù)C檔比B檔快40米/分、B檔比A檔快40米/分可得

B,C檔速度；

第3頁共20頁

(2)結(jié)合圖象求出小麗每段跑步所用時間，再根據(jù)總時間即可求解；

(3)由題意可得，此時小麗在跑第三段，所跑時間為。-10-15-1。-5=。-40(分)，可得方程

80o=3000+160(0-40),求解即可.

【詳解】(1)解：由題意可知，A檔速度為4000+50=80米/分，

貝B檔速度為80+40=120米/分,C檔速度為120+40=160米/分；

(2)小麗第一段跑步時間為1800+120=15分，

小麗第二段跑步時間為(3000—1800)+120=10分，

小麗第三段跑步時間為(4600-3000)+160=10分，

則小麗兩次休息時間的總和=50-10-15-10-10=5分；

(3)由題意可得：小麗第二次休息后，在。分鐘時兩人跑步累計里程相等，

此時小麗在跑第三段，所跑時間為：a-10-15-10-5=a-40(分)

可得：80o=3000+160(a-40),

解得：a=42.5.

6.(2024?江西?中考真題)如圖，書架寬84cm,在該書架上按圖示方式擺放數(shù)學書和語文書，已知每本數(shù)

學書厚0.8cm,每本語文書厚1.2cm.

(1)數(shù)學書和語文書共90本恰好擺滿該書架，求書架上數(shù)學書和語文書各多少本；

(2)如果書架上已擺放10本語文書，那么數(shù)學書最多還可以擺多少本？

【答案】(1)書架上有數(shù)學書60本，語文書30本.

(2)數(shù)學書最多還可以擺90本

【分析】本題主要考查了一元一次方程及不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是正確理解題意，找出題目中的等量

關(guān)系，設(shè)出未知數(shù)，列出方程.

(1)首先設(shè)這層書架上數(shù)學書有x本，則語文書有(90-元)本，根據(jù)題意可得等量關(guān)系：尤本數(shù)學書的厚

度+(90-x)本語文書的厚度=84,根據(jù)等量關(guān)系列出方程求解即可；

(2)設(shè)數(shù)學書還可以擺根本，根據(jù)題意列出不等式求解即可.

【詳解】(1)解：設(shè)書架上數(shù)學書有x本，由題意得：

第4頁共20頁

0.8x+1.2(90-x)=84,

解得：x—60,

90-x=30.

書架上有數(shù)學書60本，語文書30本.

(2)設(shè)數(shù)學書還可以擺山本，

根據(jù)題意得：1.2xl0+0.8/7i<84,

解得:〃zW90,

；?數(shù)學書最多還可以擺90本.

7.(2024?黑龍江牡丹江?中考真題)牡丹江某縣市作為猴頭菇生產(chǎn)的“黃金地帶”，年總產(chǎn)量占全國總產(chǎn)量的

50%以上，黑龍江省發(fā)布的“九珍十八品”名錄將猴頭菇列為首位.某商店準備在該地購進特級鮮品、特級

干品兩種猴頭菇，購進鮮品猴頭菇3箱、干品猴頭菇2箱需420元，購進鮮品猴頭菇4箱、干品猴頭菇5

箱需910元.請解答下列問題：

(1)特級鮮品猴頭菇和特級干品猴頭菇每箱的進價各是多少元？

(2)某商店計劃同時購進特級鮮品猴頭菇和特級干品猴頭菇共80箱，特級鮮品猴頭菇每箱售價定為50元,

特級干品猴頭菇每箱售價定為180元，全部銷售后，獲利不少于1560元，其中干品猴頭菇不多于40箱，

該商店有哪幾種進貨方案？

(3)在(2)的條件下，購進猴頭菇全部售出，其中兩種猴頭菇各有1箱樣品打a(a為正整數(shù))折售出，最

終獲利1577元，請直接寫出商店的進貨方案.

【答案】(1)特級鮮品猴頭菇每箱進價為40元，特級干品猴頭菇每箱進價為150元

(2)有3種方案，詳見解析

(3)特級干品猴頭菇40箱，特級鮮品猴頭菇40箱

【分析】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用、一元一次不等式組的應(yīng)用以及一元一次方程的應(yīng)用，解題的

關(guān)鍵是：(1)找準等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組；(2)根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次

不等式組；(3)正確計算求解.

(1)設(shè)特級鮮品猴頭菇和特級干品猴頭菇每箱的進價分別是x元和y元，根據(jù)“購進鮮品猴頭菇3箱、干

品猴頭菇2箱需420元，購進鮮品猴頭菇4箱、干品猴頭菇5箱需910元”，列出方程組求解即可；

(2)設(shè)商店計劃購進特級鮮品猴頭菇加箱，則購進特級干品猴頭菇(80-加)箱，根據(jù)“獲利不少于1560

元，其中干品猴頭菇不多于40箱，”列出不等式組求解即可；

(3)根據(jù)(2)中三種方案分別求解即可；

第5頁共20頁

【詳解】（1）解：設(shè)特級鮮品猴頭菇和特級干品猴頭菇每箱的進價分別是X元和y元,

3x+2y=420

4x+5y=910

元=40

解得:

7=150

故特級鮮品猴頭菇每箱進價為40元，特級干品猴頭菇每箱進價為150元;

（2）解：設(shè)商店計劃購進特級鮮品猴頭菇機箱，則購進特級干品猴頭菇（80-〃。箱,

J（50-40）7w+（80-m）（180-150）>1560

A[80-m<40

解得：40<m<42,

,/m為正整數(shù)，

m=40,41,42,

故該商店有三種進貨方案，

分別為：①購進特級鮮品猴頭菇40箱，則購進特級干品猴頭菇40箱；

②購進特級鮮品猴頭菇41箱，則購進特級干品猴頭菇39箱；

③購進特級鮮品猴頭菇42箱，則購進特級干品猴頭菇38箱；

（3）解：當購進特級鮮品猴頭菇40箱，則購進特級干品猴頭菇40箱時：

全艮據(jù)題意得（40—1）義（50—40）+（40—l）x（180-150）+（50-*-40）+1180-*—150）=1577,

角牟得：。=9；

當購進特級鮮品猴頭菇41箱，則購進特級干品猴頭菇39箱時：

根據(jù)題意得（41-l）x（50—40）+（39—1）><（180—150）+（50-*-40）+180-2—150）=1577,

解得:。。9.9（是小數(shù)，不符合要求）；

當購進特級鮮品猴頭菇42箱，則購進特級干品猴頭菇38箱時：

根據(jù)題意得（42—1卜（5。-40）+（38—1"（180—15。）+15。?木一40）+118。-卷-150）=1577,

解得：a?10.7（不符合要求）；

故商店的進貨方案是特級干品猴頭菇40箱，特級鮮品猴頭菇40箱.

8.（2024.山東威海.中考真題）定義

我們把數(shù)軸上表示數(shù)a的點與原點的距離叫做數(shù)。的絕對值.數(shù)軸上表示數(shù)a,b的點A,2之間的距離

AB=a-b（a>b）.特別的，當。之0時，表示數(shù)a的點與原點的距離等于。-0.當a<0時，表示數(shù)。的點

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與原點的距離等于0-a.

應(yīng)用

如圖，在數(shù)軸上，動點A從表示-3的點出發(fā)，以1個單位/秒的速度沿著數(shù)軸的正方向運動.同時，動點

B從表示12的點出發(fā)，以2個單位/秒的速度沿著數(shù)軸的負方向運動.

AB

—?--------------1------------------------------------------------------1——>

-3O12

⑴經(jīng)過多長時間，點A,8之間的距離等于3個單位長度？

⑵求點A,B到原點距離之和的最小值.

【答案】⑴過4秒或6秒

(2)3

【分析】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，不等式的性質(zhì)，絕對值的意義等知識，解題的關(guān)鍵是：

(1)設(shè)經(jīng)過x秒，則A表示的數(shù)為-3+x,2表示的數(shù)為12-2x,根據(jù)“點A,2之間的距離等于3個單位

長度”列方程求解即可；

(2)先求出點A,B到原點距離之和為卜3+X|+|12-2.,然后分X<3,3<X<6,x>6三種情況討論，利

用絕對值的意義，不等式的性質(zhì)求解即可.

【詳解】(1)解：設(shè)經(jīng)過尤秒，則A表示的數(shù)為-3+x,8表示的數(shù)為12-2x,

根據(jù)題意，得/2_2x-(_3+x)|=3,

解得x=4或6,

答，經(jīng)過4秒或6秒，點A,B之間的距離等于3個單位長度；

(2)解：由(1)知：點A,B到原點距離之和為|-3+x|+|12-2x|,

當X<3時，卜3+x|+|12_2x|=3_;r+12_2x=：15_3x,

Vx<3,

15—3JC>6,BP|-3+x|+112-2x|>6,

當3VxW6時，|—3++口2-2x|=%—3+12—2x=9—x,

V3<x<6,

3<9—x<6,即3W|-3+x|+|12—2,v|<6,

當x>6時，|-3+x|+112-2x|=x-3+2x-12=3x-15,

'：x>6,

3x—15>3,即卜3+1+112—2x|>3,

第7頁共20頁

綜上，|-3+x|+|12-2x|>3,

...點A,B到原點距離之和的最小值為3.

9.(2024?貴州?中考真題)為增強學生的勞動意識，養(yǎng)成勞動的習慣和品質(zhì)，某校組織學生參加勞動實踐.經(jīng)

學校與勞動基地聯(lián)系，計劃組織學生參加種植甲、乙兩種作物.如果種植3畝甲作物和2畝乙作物需要27

名學生，種植2畝甲作物和2畝乙作物需要22名學生.

根據(jù)以上信息，解答下列問題：

(1)種植1畝甲作物和1畝乙作物分別需要多少名學生？

(2)種植甲、乙兩種作物共10畝，所需學生人數(shù)不超過55人，至少種植甲作物多少畝？

【答案】⑴種植1畝甲作物和1畝乙作物分別需要5、6名學生

(2)至少種植甲作物5畝

【分析】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，一元一次不等式的應(yīng)用，

(1)設(shè)種植1畝甲作物和1畝乙作物分別需要x、y名學生，根據(jù)“種植3畝甲作物和2畝乙作物需要27

名學生，種植2畝甲作物和2畝乙作物需要22名”列方程組求解即可；

(2)設(shè)種植甲作物。畝，則種植乙作物畝，根據(jù)“所需學生人數(shù)不超過55人”列不等式求解即可.

【詳解】(1)解：設(shè)種植1畝甲作物和1畝乙作物分別需要x、y名學生，

f3x+2y=27

根據(jù)題意，得,"，

答：種植1畝甲作物和1畝乙作物分別需要5、6名學生；

(2)解：設(shè)種植甲作物a畝，則種植乙作物畝，

根據(jù)題意，得：5fl+6(10-a)<55,

解得a>5,

答：至少種植甲作物5畝.

10.(2024?四川資陽?中考真題)2024年巴黎奧運會將于7月26日至8月11日舉行，某經(jīng)銷店調(diào)查發(fā)現(xiàn):

與吉祥物相關(guān)的42兩款紀念品深受青少年喜愛.已知購進3個A款比購進2個2款多用120元；購進

1個A款和2個B款共用200元.

(1)分別求出4B兩款紀念品的進貨單價；

(2)該商店決定購進這兩款紀念品共70個，其總費用不超過5000元，則至少應(yīng)購買3款紀念品多少個?

第8頁共20頁

【答案】（1）A款紀念品的進貨單價為80元，則B款紀念品的進貨單價為60元

⑵至少應(yīng)購買B款紀念品30個

【分析】本題考查二元一次方程組的應(yīng)用、一元一次不等式的應(yīng)用，（1）設(shè)A款紀念品的進貨單價為x元，

則B款紀念品的進貨單價為y元，根據(jù)題意列二元一次方程組求解即可；

（2）設(shè)購買8款紀念品。個，則購買4款紀念品（70-司個，根據(jù)題意列一元一次不等式求得a的取值范

圍，即可求解.

【詳解】（1）解：設(shè)A款紀念品的進貨單價為x元，則8款紀念品的進貨單價為y元,

3.r-2y=120

由題意得,

x+2y=200

答：A款紀念品的進貨單價為80元，則B款紀念品的進貨單價為60元.

（2）解：設(shè)購買8款紀念品。個，則購買A款紀念品（70-a）個，

由題意得，80（70-a）+60a<5000,

解得，a>30,

答：至少應(yīng)購買3款紀念品30個.

二、題型二：實際問題與函數(shù)

11.（2024?山東濰坊?中考真題）2024年6月，某商場為了減少夏季降溫和冬季供暖的能源消耗，計劃在商

場的屋頂和外墻建造隔熱層，其建造成本P（萬元）與隔熱層厚度Mem）滿足函數(shù)表達式：尸=10x.預(yù)計

該商場每年的能源消耗費用T（萬元）與隔熱層厚度x（cm）滿足函數(shù)表達式：7=21-（x+2）（x+4）,其中

8

0WxW9.設(shè)該商場的隔熱層建造費用與未來8年能源消耗費用之和為y（萬元）.

（1）若y=148萬元，求該商場建造的隔熱層厚度；

（2）已知該商場未來8年的相關(guān)規(guī)劃費用為f（萬元），且f=y+f,當172Vdi92時，求隔熱層厚度x（cm）

的取值范圍.

【答案】（1）該商場建造的隔熱層厚度為6cm

（2）3<x<8

第9頁共20頁

【分析】本題主要考查了一次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)以及解一元二次方程，掌握一次函數(shù)的性質(zhì)，

二次函數(shù)的性質(zhì)以及解一元二次方程，弄清楚題意是解題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)題意可以得出y=-/+4x+160,再令y=148,解一元二次方程求解即可；

(2)將(1)中y=-/+4x+160代入t=y+尤,，可得出f與x的關(guān)系式/=4x+160,然后利用一次函數(shù)的

性質(zhì)，即可求出x的取值范圍.

(x+2)(x+4)

【詳解】(1)由題意得：>=尸+87=10元+8x21-^_?_2

O

整理得y=-Y+4x+i60,

當y=148時，則一/+4a+160=148,

解得：尤］=6,毛=一2.

Q0<x<9,

.?.%=-2不符合題意，舍去，

該商場建造的隔熱層厚度為6cm.

(2)由(1)得y=-尤?+4x+160,

t=y+x2,

t=—x2+4A：+160+x2=4x+160(172</<192).

4>0,

隨x的增大而增大，

當7=172時，4x+160=172,解得x=3；

當上192時，4x+160=192,解得x=8；

?X的取值范圍為34xW8.

12.(2024.江蘇無錫?中考真題)某校積極開展勞動教育，兩次購買AB兩種型號的勞動用品，購買記錄如

下表：

A型勞動用品(件)B型勞動用品(件)合計金額(元)

第一次20251150

第二次1020800

⑴求A3兩種型號勞動用品的單價;

第10頁共20頁

（2）若該校計劃再次購買48兩種型號的勞動用品共40件，其中A型勞動用品購買數(shù)量不少于10件且不

多于25件.該校購買這40件勞動用品至少需要多少元？（備注：A,B兩種型號勞動用品的單價保持不

變）

【答案】（1）4種型號勞動用品單價為20元，B種型號勞動用品單價為30元

（2）該校購買這40件勞動用品至少需要1100元

【分析】本題考查了二元一次方程組的實際應(yīng)用，不等式的實際應(yīng)用，一次函數(shù)的實際應(yīng)用.

（1）設(shè)A種型號勞動用品單價為x元，2種型號勞動用品單價為y元，根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，列出方程組求

解即可；

（2）設(shè)夠買A種型號勞動用品。件，則夠買8種型號勞動用品（4。-。）件，根據(jù)題意得出104a425,設(shè)

購買這40件勞動用品需要W元，列出W關(guān)于。的表達式，根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)，即可解答.

【詳解】（1）解：設(shè)A種型號勞動用品單價為x元，8種型號勞動用品單價為y元，

j20x+25y=1150

110.r+20y=800'

答：A種型號勞動用品單價為20元，B種型號勞動用品單價為30元.

（2）解：設(shè)夠買A種型號勞動用品。件，則夠買2種型號勞動用品（40-a）件，

根據(jù)題意可得：10<a<25,

設(shè)購買這40件勞動用品需要W元，

W=20a+30（40-a）=-10a+1200,

-10<0,

隨。的增大而減小，

.?.當a=10時，W取最大值，W=-10xl0+1200=1100,

該校購買這40件勞動用品至少需要1100元.

13.（2024?黑龍江大慶?中考真題）“爾濱”火了，帶動了黑龍江省的經(jīng)濟發(fā)展，農(nóng)副產(chǎn)品也隨之暢銷全國.某

村民在網(wǎng)上直播推銷某種農(nóng)副產(chǎn)品，在試銷售的30天中，第x天（1VXV30且x為整數(shù)）的售價為y（元/千

克）.當l<x420時，y=kx+b.當20<龍（30時，y=15.銷量火千克）與左的函數(shù)關(guān)系式為z=x+10,

已知該產(chǎn)品第10天的售價為20元/千克，第15天的售價為15元/千克，設(shè)第x天的銷售額為M（元）.

⑴%=_,b=；

第11頁共20頁

⑵寫出第無天的銷售額M與龍之間的函數(shù)關(guān)系式；

⑶求在試銷售的30天中，共有多少天銷售額超過500元?

【答案】⑴-1,30

-r+20A:+300(1<X<20)

⑵M=I'7

'，[15^+150(20<^<30)

(3)在試銷售的30天中，共有7天銷售額超過500元

【分析】本題考查了一次函數(shù)與二次函數(shù)的綜合應(yīng)用；

(1)待定系數(shù)法求解析式，即可求解；

(2)根據(jù)銷售額等于銷量乘以售價，分段列出函數(shù)關(guān)系式，即可求解;

(3)根據(jù)題意，根據(jù)加>500,列出方程，解方程，即可求解.

【詳解】(1)解：依題意，將20),(15,15)代入、=履+》，

.[10k+b=20

?115左+6=15

k=-l

解得:

b=30

y=-x+30(l<x<20)

故答案為：-1,30.

⑵解：依題意，尸]15(2。<二3。)

當1WXW20時，M=yz=(x+10)(-"尤+30)=—無？+20x+30。

當20<xW30時，M=yz=15(jc+10)=15x+150

._f-x2+20x+300(1<x<20)

""[15x+150(20<x<30)

(3)解：依題意，當1WXW20時，M=yz=(x+10)(-x+30)=-x2+20x+300=-(x-10)2+400V400

當20VxW30時，15x+150>500

解得：x>—

x為正整數(shù)，

第24天至第30天，銷售額超過500元

第12頁共20頁

30-24+1=7（天）

答：在試銷售的30天中，共有7天銷售額超過500元

14.（2024?內(nèi)蒙古赤峰?中考真題）如圖，是某公園的一種水上娛樂項目.數(shù)學興趣小組對該項目中的數(shù)學

問題進行了深入研究.下面是該小組繪制的水滑道截面圖，如圖1,人從點A處沿水滑道下滑至點B處騰

空飛出后落入水池.以地面所在的水平線為x軸，過騰空點8與無軸垂直的直線為y軸，。為坐標原點，

建立平面直角坐標系.他們把水滑道和人騰空飛出后經(jīng)過的路徑都近似看作是拋物線的一部分.根據(jù)測量

和調(diào)查得到的數(shù)據(jù)和信息，設(shè)計了以下三個問題，請你解決.

7

（1）如圖1,點B與地面的距離為2米，水滑道最低點C與地面的距離為了米，點C到點8的水平距離為3

O

米，則水滑道ACB所在拋物線的解析式為；

（2）如圖1,騰空點3與對面水池邊緣的水平距離OE=12米，人騰空后的落點。與水池邊緣的安全距離DE

不少于3米.若某人騰空后的路徑形成的拋物線5D恰好與拋物線ACB關(guān)于點8成中心對稱.

①請直接寫出此人騰空后的最大高度和拋物線30的解析式；

②此人騰空飛出后的落點。是否在安全范圍內(nèi)？請說明理由（水面與地面之間的高度差忽略不計）；

（3）為消除安全隱患，公園計劃對水滑道進行加固.如圖2,水滑道已經(jīng)有兩條加固鋼架，一條是水滑道距

地面4米的點M處豎直支撐的鋼架另一條是點M與點8之間連接支撐的鋼架2M.現(xiàn)在需要在水滑

道下方加固一條支撐鋼架，為了美觀，要求這條鋼架與及W平行，且與水滑道有唯一公共點，一端固定在

鋼架上，另一端固定在地面上.請你計算出這條鋼架的長度（結(jié)果保留根號）.

17

【答案】⑴>=6（》+3）9-+6

OO

（2）①此人騰空后的最大高度是李米，解析式為了=-：（尤②此人騰空飛出后的落點。在安全范

OOO

圍內(nèi)，理由見解析

第13頁共20頁

(3)這條鋼架的長度為2舊米

【分析】(1)根據(jù)題意得到水滑道ACS所在拋物線的頂點坐標為且過點3(0,2),設(shè)水滑道ACB

所在拋物線的解析式為y=a(x+3y+；將3(0,2)代入，計算求出a的值即可；

O

1

(2)①根據(jù)題意可設(shè)人騰空后的路徑形成的拋物線的解析式為y=-((x+6)~9+c,由拋物線的頂點為

O

175

,即可得出結(jié)果；②由①知人騰空后的路徑形成的拋物線3。的解析式為：j=-i(x-3)92+^,令

OO

y=o,求出了的值，即點。的坐標，即可得出結(jié)論；

17

(3)根據(jù)題意可得M點的縱坐標為4,令y=((x+3)9-+(中y=4,求出符合實際的x值，得到點M的

OO

坐標，求出所在直線的解析式為>=-：尤+2,設(shè)這條鋼架為G",與MN交于點G,與地面交于X,

根據(jù)這條鋼架與8M平行，設(shè)該鋼架所在直線的解析式為y=-；x+〃，由該鋼架與水滑道有唯一公共點，

4

1

y=——x+n

41

聯(lián)立/「，根據(jù)方程組有唯一解，求出〃=0,即該鋼架所在直線的解析式為y=-二%，點H

「小1/+23)+可74

與點。重合，根據(jù)GN=-%(-8)=2,NO=8,/GNO=90。,利用勾股定理即可求解.

【詳解】(1)解：根據(jù)題意得到水滑道ACB所在拋物線的頂點坐標為C13彳)，且過點3(0,2),

設(shè)水滑道ACB所在拋物線的解析式為y=a(x+3)2+：

O

7Q

將3(0,2)代入，得：2=a(0+3)9'+，，gp9a=J,

88

1

:.a=一,

8

17

???水滑道ACB所在拋物線的解析式為y=7(%+3『9+(；

OO

(2)解：①，人騰空后的路徑形成的拋物線血)恰好與拋物線ACB關(guān)于點2成中心對稱，

1

則設(shè)人騰空后的路徑形成的拋物線的解析式為y=-：(x+6)9+c,

O

人騰空后的路徑形成的拋物線8。的頂點坐標與拋物線ACB的頂點坐標關(guān)于點8(0,2)成中心

對稱,

，人騰空后的路徑形成的拋物線8。的頂點坐標為［3,即6=3,c=1,

第14頁共20頁

2

.??此人騰空后的最大高度是*米，人騰空后的路徑形成的拋物線8。的解析式為：y=-1(x-3)+^;

OOO

175

由①知人騰空后的路徑形成的拋物線8。的解析式為：y=-1(x-3)~9+今，

OO

令y=0,貝|一，(尤一3『+"=0,即(尤_3/=25

88

，%=8或1=-2(舍去，不符合題意),

「?點。(8,0),

，OD=8,

OE=12,

:.DE=OE-OD=4>3,

此人騰空飛出后的落點D在安全范圍內(nèi)；

(3)解：根據(jù)題意可得M點的縱坐標為4,

令y=g(x+3)2+(=4,即(x+3『=25,

:.x=2(舍去，不符合題意)或了=-8,

M(-8,4),

設(shè)BM所在直線的解析式為y=kx+bf,

將M(—8,4)*(0,2)代入得：1/8%+加

bf=2

解得：,1,

I4

所在直線的解析式為y=-1x+2,

4

如圖，設(shè)這條鋼架為G”，與MN交于點、G,與地面交于

這條鋼架與平行,

'設(shè)該鋼架G"所在直線的解析式為y=x+"'

1

y=——x+n

4

聯(lián)立,BPx+n=—(x+3)2+—,

12748V78

>=晶(尤+3)I+-

O8

整理得：+8x+16—8〃=0,

第15頁共20頁

該鋼架GH與水滑道有唯一公共點，

.-.A=82-4xlx(16-8n)=0,

〃=0即該鋼架所在直線的解析式為y=

.,.點”與點O重合，

GN=-：x(-8)=2,NO=8,ZGNO=90。,

:.GH=~JGN2+NO2=2^7，

???這條鋼架的長度為2舊米.

【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，其中涉及點的坐標的求法，二次函數(shù)的實際應(yīng)用，一次函

數(shù)與二次函數(shù)交點問題，勾股定理，借助二次函數(shù)解決實際問題，體現(xiàn)了數(shù)學建模思想.

(2)糖果銷售單價定為多少元時，所獲日銷售利潤最大，最大利潤是多少？

(3)若超市決定每銷售一盒糖果向兒童福利院贈送一件價值為加元的禮品，贈送禮品后，為確保該種糖果日

銷售獲得的最大利潤為392元，求機的值.

【答案】(l)y=-2x+80

(2)糖果銷售單價定為25元時，所獲日銷售利潤最大，最大利潤是450元

(3)2

【分析】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：

(1)利用待定系數(shù)法求解即可；

(2)設(shè)日銷售利潤為w元，根據(jù)利潤=單件利潤x銷售量求出卬關(guān)于x的函數(shù)表達式，然后利用二次函數(shù)

的性質(zhì)求解即可；

(3)設(shè)日銷售利潤為w元，根據(jù)利潤=單件利潤x銷售量-%x銷售量求出w關(guān)于x的函數(shù)表達式，然后利用

二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可.

【詳解】(1)解：設(shè)y與x的函數(shù)表達式為、=履+》，

第16頁共20頁

12%+6=56

把x=12,y=56；x=20,y=40代入，得

20%+6=40’

k=-2

解得

6=80

與x的函數(shù)表達式為y=-2x+80；

（2）解：設(shè)日銷售利潤為卬元,

根據(jù)題意，得w=（x—10）-y

=(x-10)(-2x+80)

=—2x?+1OOx—800

--2(X-25)2+450,

...當x=25時，卬有最大值為450,

糖果銷售單價定為25元時，所獲日銷售利潤最大，最大利潤是450元;

（3）解：設(shè)日銷售利潤為w元,

根據(jù)題意，得w=（x-10-機）

=(%-10-m)(-2x+80)

=-2x2+(100+2〃?)x-800-80m,

100+2m帶”時，W有最大值為一21和2）+（100+2機）1秒2）-800-80根,

???當"一萬而

：糖果日銷售獲得的最大利潤為392元,

-2日產(chǎn))+(100+2加)^^］一800—80m=392

化簡得加2-60m+116=0

解得叫=2,m2=58

b

當機=58時，兀=——=54,

2a

則每盒的利潤為：54—10—58<0,舍去，

，力的值為2.

16.（2024.湖北武漢.中考真題）16世紀中葉,我國發(fā)明了一種新式火箭“火龍出水”,它是二級火箭的始祖.火

箭第一級運行路徑形如拋物線，當火箭運行一定水平距離時，自動引發(fā)火箭第二級，火箭第二級沿直線運

第17頁共20頁

行.某科技小組運用信息技術(shù)模擬火箭運行過程.如圖，以發(fā)射點為原點，地平線為X軸，垂直于地面的

直線為y軸，建立平面直角坐標系，分別得到拋物線丁=依2+》和直線y=+其中，當火箭運行的

水平距離為9km時，自動引發(fā)火箭的第二級.

圖1

(1)若火箭第二級的引發(fā)點的高度為3.6km.

①直接寫出a,b的值;

②火箭在運行過程中，有兩個位置的高度比火箭運行的最高點低L35km,求這兩個位置之間的距離.

(2)直接寫出。滿足什么條件時，火箭落地點與發(fā)射點的水平距離超過15km.

【答案】⑴①。=-&,6=8.1；②8.4km