2025中考數(shù)學(xué)專項復(fù)習(xí)：垂線段最短模型（含答案）

2025中考數(shù)學(xué)專項復(fù)習(xí)垂線段

最短模型含答案

模型展現(xiàn)

類型垂線段最短兩條線段和的最小值問題

A

圖示

B'BB〃0N、,B

直線/外一定點A和直線/上一動點P是/A98內(nèi)部一點，點”,N分別是

特點

點BOAO8上的動點

作點P關(guān)于08的對稱點P,過點P作

過點A作于點此時

結(jié)論OA的垂線，分別與08,OA交于點N,M,itk

AB的值最小

時PN+MN的值最小

@怎么用

1.找模型

遇到“一定點兩動點”求線段和（其中一條線段為兩動點的連線）最值問題,考慮垂線段最短模型

2.用模型

通過對稱的性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系及垂線段最短確定最值點位置

滿分技法:求線段和最值實質(zhì)上是將線段和轉(zhuǎn)化到一條直線上，結(jié)合垂線段最短解決問題

結(jié)論:作點尸關(guān)于OB的對稱點過點P作OA的垂線，分別與O8,OA交于點此時

PN+MN的值最小

證明:如圖，若尸為04,06上任意一點,連接N'P',M'P',

則PN'=P'Nr,

PN'+M'N'=P'N'+M'N'>P'M'>P'M,

：.當P'M±OA時,PN+MN的值最小.

思考延伸:經(jīng)典的“胡不歸”就是垂線段最短問題

模型典例

1.如圖，在電△4BC中,/C=90°,4D是/R4C的平分線，點E是AB上任意一點，若4D=5,AC=4,

則。E的最小值為（）

C

例1題圖

A.3B.4C.5D.6

2.模型構(gòu)造如圖，在中,A8=42氏4。=45°,/84。的平分線交石。于點。,

E,F分別是ARAB上的動點，則BE+EF的最小值是

___________________針對訓(xùn)練_______________________

1.如圖，在Rt/XABC中,/。=90°,4。=6,及7=2,點P是AB邊上的一點（異于48兩點），過點P

分別作邊的垂線，垂足分別為M,N,連接MV,則AW的最小值是

2.如圖,在Rt/\ABC中,NZCB=90°,NB=30°,人。=2,點D是BC邊上一個動點,連接AD,過點D

作DE_LAD交AB于點E,則線段AE的最小值為

3.如圖，正方形ABCD的邊長為10,E為。A延長線上一動點，連接3E,以BE為邊作等邊△8ER連

接AR,則A尸的最小值為

第3題解圖

4.模型遷移如圖，在平面直角坐標系中，04=3,06=4,點P的坐標為（4,0）,點河,N分別在線段

AB,y軸上,求PN+MN的最小值.

第4題圖

5./拔高如圖，某小區(qū)有一塊圓形的空地。O,在。。上點ABC,。處安裝四個景觀燈.已經(jīng)修好一

條長為20米的經(jīng)過圓心O的直路8。,根據(jù)設(shè)計需要在邊A。，CD之間再修一條小路即,使得點

E,F分別在邊CD,4D上，為了美觀使得CE=D斤出是AC的中點，經(jīng)測量46=12米，并以4B

C,E,斤為頂點整修一塊周長最小的五邊形綠化地.試問，是否存在符合要求的周長最小的五邊形

ABCEF7若存在，請求出五邊形AB-CEF周長的最小值;若不存在,請說明理由.

A

_______________________課后練習(xí)________________________

1.（2021-棗莊）如圖，四邊形ABCD是菱形，對角線47,8。相交于點O,AC=60,8。=6,點P是

47上一動點，點E是的中點，則PD+PE的最小值為（）

DC

AEB

A.3A/3B.6V3C.3D.6A/2

2.如圖，在矩形ABCD中，AC=8,ABAC=30°,點P是對角線/。上一動點,連接BP.

(1)線段8P的最小值為；

(2)若以AP,為鄰邊作OAPfiQ,連接PQ,則線段PQ的最小值為.

ADAD

SE

BCBC

備用圖

3.如圖，在△ABC中，AC=8C=6,S△/巫=12,點。為AB中點，點分別是CD和BC上的動點,

則BM+MN的最小值是____.

A

BNC

4.如圖，在①△ABC中,ZC=90°,ZB==30°,BC=6,AD平分NC4B交于點。，點E為邊4B上

一點，則線段OE長度的最小值為_

AEB

【答案】解:在①△ABC中，

,_AC

tanBRBC9

AC-x6=2V3.

o

???ZC=90°,ZB=30°,

AZCAB=60°,

???AO平分/CAB,

ZCAD=^-x60°=30°.

在Rt/XACD中，

tanZCA￡>=O,

AC

.-.CD=^x2V3=2.

o

???4D平分NCAB,且。C，AC,

點D到48邊的距離等于線段CD的長,

即線段OE長度的最小值為2.

5.（3分）如圖，在矩形4BCD中，4B=4,8。=6,點E是對角線上一點，ER，于點斤，EG，

CD于點G,連接尸G,則EF+斤G的最小值為.

6.如圖，在電ZVIBC中，//CB=90°,AC=6,BC=8,AD是N8AC的平分線，若P,Q分別是4D

和AC上的動點,求PC+PQ的最小值.

【思路引領(lǐng)】過點。作CM±AB交43于點交AO于點P,過點P作PQ，AC于點Q,由人。是

ABAC的平分線.得出PQ=,這時PC+PQ有最小值，即CA1的長度，運用勾股定理求出AB,

再運用S^ABC=^-AB-CM=得出CM的值，即PC+PQ的最小值.

7.（2023?江門三模）如圖,△ABC中，AACB=90°,AB+BC=8,tanA=彳■，點。分別是邊AB.

AC上的動點，則OC+OD的最小值為（）

96

,125

【思路引領(lǐng)】如圖，作。關(guān)于48的對稱點。，連接CO,交4B于及過。作O。，AC于。，交AB

于。，則OC=此時OC+OD的值最小，就是CD的長，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊的比可得結(jié)論.

8.（2021春?龍崗區(qū)月考）如圖，點P是乙40。的角平分線上一點，垂足為點。，且P0=5,

點M是射線OC上一動點，則PN的最小值為.

°-VC

【思路引領(lǐng)】根據(jù)垂線段最短可知當PMLOC時，PA1最小，再根據(jù)角的平分線的性質(zhì)，即可得出答

案.

9.（2024春?北京期中）如圖，菱形ABCD的周長為24,2ABD=30°,點P是對角線BD上一動點，Q是

的中點，則PC+PQ的最小值是（）

B.3V3C.3V5D.6V3

【思路引領(lǐng)】點Q和點。是定點，點P在直線BD上一動點，是軸對稱最值問題，連接CQ，由菱形的對

稱性可知，點A和點。關(guān)于BD對稱，連接AQ,AQ即為所求.

10.（2021春?金寨縣期末）如圖，在邊長為2的正方形ABCD中，點〃為對角線8。上一動點,ME±BC

于點于點尸，連接EF,則EF的最小值為（）

【思路引領(lǐng)】連接,證出四邊形MECF為矩形，由矩形的性質(zhì)得出即=MC，當，8。時，MC

取得最小值，此時是等腰直角三角形，得出MC即可得出結(jié)果.

11.在銳角△ABC中，4,ZABC=30°,RD平分/43C,點河、N分別是BD、上的動點，連接

MN、CM,則CM+AW的最小值是多少？

【思路引領(lǐng)】過點。作CE，于點瓦交口。于點M'，過點M'作M'N'±BC,則CE即為CM+

的最小值,再根據(jù)BC=4,NABC=30°,由銳角三角函數(shù)的定義即可求出CE的長.

12.如圖，在AABC中，AC=6,S4ABe=12,點。為4B中點，點河，N分別是CD和上的動點,

則BM+MN的最小值是.

【解答】解:如圖所示：

A

P

???49，％于點0，

/.AP是點A到直線I的最短距離.

13.如圖，在菱形ABCD中，入。=6,口。=8,對角線AC與8。交于點。，點E是人口的中點，點A1,N分

別在上，則EM+AW的最小值為.

14.如圖，已知二次函數(shù)y=-y?2++2的圖象與宓軸交于A,B（點A在點B的左側(cè)）兩點，與沙軸交

于點C,河為直線上一動點，N為立軸上一動點，連接⑷W,ARV,求+MN的最小值.

y

15.如圖，等邊△ABC中，AB=6,點P是BC邊上一點，則4P的最小值是

解析提示:

16.如圖,在銳角三角形4BC中，8。=4方，/4BC=45°,BD平分/ABC,M、N分別是上的

動點，則CM+AW的最小值是

解析提示:

17.如圖，△ABC中，乙4cB=90°,AC=3,BC=4,AB=5,P為直線AB上一動點，連接PC,則線段

PC的最小值是

18.如圖，點/的坐標為(―1,0),點B(a,a),當線段AB最短時,點B的坐標為

19.如圖，菱形ABCD的邊長為9，面積為18V3,尸、E分別為線段BD、上的動點，則PE+PC的最小

值為

20.如圖，等邊△ABC的邊長為4,4D是邊上的中線，M是4D上的動點，E是邊上點，若AE=

1,EM+CA1的最小值為o

21.如圖，ZVIBC中，AB=AC=13,BC^IO,AD是邊上的中線且AD=12,R是AD上的動點，E

是AC邊上的動點，則CF+EF的最小值為。

22.如圖，正方形4BCD的邊長是2,/D4C的平分線交。。于點E,若點P、Q分別是AO和AE上的動

點，則DQ+PQ的最小值為?

23.如圖，在AABC中，ZB=90°,43=12,BC=5,。為邊AC上一動點，DE，43于點E,DF±BC

于點尸，則即的最小值為（）

?M

A.4.8B.瑞~C?置D.13

-LoJ.O

24.如圖，在A4BC中，乙4=90°,ZB=60°,AB=2,若。是邊上的動點，則240+。。的最小值

()

A.2V3+6B.6C.V3+3D.4

25.如圖，在銳角三角形ABC中，AB=4,△ABC的面積為10,平分乙4BC,若M、N分別是

上的動點，則CM+AW的最小值為()

A.4B.5C.4.5D.6

26.如圖，△4BC中，ABAC=75°,ZACB=60°,AC=4,則△4BC的面積為；點、D,點、E,點、F

分別為BC,AB,AC上的動點，連接DE,EF,FD,則的周長最小值為

備用圖

10

模型展現(xiàn)

類型垂線段最短兩條線段和的最小值問題

A

圖示

B'BB〃0N、,B

直線/外一定點A和直線/上一動點P是/A98內(nèi)部一點，點”,N分別是

特點

點BOAO8上的動點

作點P關(guān)于08的對稱點P,過點P作

過點A作于點此時

結(jié)論OA的垂線，分別與08,OA交于點N,M,itk

AB的值最小

時PN+MN的值最小

@怎么用

1.找模型

遇到“一定點兩動點”求線段和（其中一條線段為兩動點的連線）最值問題,考慮垂線段最短模型

2.用模型

通過對稱的性質(zhì),三角形的三邊關(guān)系及垂線段最短確定最值點位置

滿分技法:求線段和最值實質(zhì)上是將線段和轉(zhuǎn)化到一條直線上，結(jié)合垂線段最短解決問題

結(jié)論:作點P關(guān)于OB的對稱點P,過點P作04的垂線，分別與OE,04交于點MM,此時

PN+MN的值最小

證明:如圖，若“為04,06上任意一點，連接N'P',M'P',

則PN'=P'Nr,

PN'+M'N'=P'N'+M'N'>P'M'>P'M,

：.當P'M±OA時,PN+MN的值最小.

思考延伸:經(jīng)典的“胡不歸”就是垂線段最短問題

模型典例

1.如圖，在電△4BC中,/C=90°,4D是/R4C的平分線，點E是AB上任意一點，若4D?=5,?AC=4?,

則。E的最小值為（）

C

AEB

例1題圖

A.3B.4C.5D.6

思路點撥:遇到角平分線和垂直，想到角平分線上的點到角的兩邊的距離相等.

A【解析】在Rt/\ACD中，人。=5,4。=4,ACD=y/AD2-AC2=V52-42=3,當DE_LAB時,DE

的值最?。ù咕€段最短），：AD是/A4C的平分線,/。=90°,CD=DE（角平分線性質(zhì)），.?._0￡的最小

值為3.

2.模型構(gòu)造如圖,在△ABC中,48=4,/84。=45°,/艮4。的平分線交8。于點。,

E,F分別是ARAB上的動點，則BE+EF的最小值是.

例2題圖

思路點撥：求線段和最小值，一定點兩動點，先轉(zhuǎn)化在一條線段，再利用垂線段

最短求解即可。

____________________針對訓(xùn)練_______________________

1.如圖，在加△48。中,/。=90°,4。=6,口。=2,點尸是48邊上的一點（異于人,口兩點），過點？

分別作AC,邊的垂線，垂足分別為雙，N,連接MN,則MN的最小值是.

第1題圖

【答案】絲①

5

【解析】如解圖，連接PC在△4BC中，

???AACB=90°,AC=6,BC=2,

/.AB=y/AC2+BC2=V62+22=2V10.

?：PM°AC,PN±BC,

：.ZPMC=ZPNC=AACB=90°,

r.四邊形PMCN是矩形（三個角是直角的四邊形是矩形），

MN=PC（矩形的對角線相等），_第1題解圖

當POLB時,PC的值最?。ù咕€段最短），此時PC=AC；gC6x2_3V10

2V10—5

（直角三角形等面積轉(zhuǎn)化），

AMN的最小值為3

5

2.如圖，在Rt/XABC中，乙4CB=90°,/B=30°,AC=2,點D是邊上一個動點，連接4D,過點D

作DE_LAD交AB于點E,則線段AE的最小值為.

C

AEB

第2題圖

【答案】《

O

【解析】如解圖，取AE的中點F,連接FD,過點F作FGYBC于點G.設(shè)=則AF=DF=

^-AE=^~,-：AC=2,ZB=30°,AACB=90°,：.AB=4,BF=AB-AF=4-：.GF=^BF=2-

?GF&DF,；.2-子Wy,解得.?.線段AE的最小值為一*

第2題解圖

3.如圖，正方形ABCD的邊長為10,E為D4延長線上一動點，連接班;，以BE為邊作等邊連

接AF,則AF的最小值為.

第3題解圖

【答案】5

【解析】如解圖，以點B為旋轉(zhuǎn)中心，將逆時針方向旋轉(zhuǎn)60°,得到△GBE,連接AG,Z.AABG=

60°,AB=BG,AF=GE（旋轉(zhuǎn)性質(zhì)），.?.△ABG是等邊三角形，且點G與直線AD的位置保持不變，當EG

±DA時,GE的長最短（垂線段最短），?：AB=AG=10,,最短長度為GE=^-AG=5,故AF的最

小值為5.

第3題圖

4.模型遷移如圖，在平面直角坐標系中，04=3,08=4,點P的坐標為（4,0）,點分別在線段

AB,y軸上，求PN+MN的最小值.

第4題圖

【答案】解:：OA=3,05=4,

AB=5,

如解圖，過點P作PM'±AB于點M',交夕軸于點N,.

?：PN+MN>PN'+N'M',,即PN+MNNPM',根據(jù)垂線段最短可知，PN+AW的最小值為線段刊W7

的長，

?/ABAO=APAM',AAOB=AAM'P=90°,

△ABO?△APAT,

黑=相似三角形的判定與性質(zhì)），

.5-4

"7PM，'

：.PM'=備

5第4題解圖

.?.PN+7W的最小值為24

5

5./拔高如圖，某小區(qū)有一塊圓形的空地OO,在。O上點處安裝四個景觀燈.已經(jīng)修好一

條長為20米的經(jīng)過圓心O的直路80,根據(jù)設(shè)計需要在邊CD之間再修一條小路EF,使得點

E,F分別在邊CD,AD上，為了美觀使得尸，口是AC的中點，經(jīng)測量48=12米，并以

C,E,F為頂點整修一塊周長最小的五邊形綠化地.試問，是否存在符合要求的周長最小的五邊形

ABCEF?若存在，請求出五邊形AB-CEF周長的最小值;若不存在,請說明理由.

A

F

第5題圖

【答案】解:存在，

如解圖，是AC的中點，且BD是OO的直徑，BC=AB=12米,/BAD=ABCD=90°,ZADB

=/CDS（圓周角定理），由勾股定理得,人。=CD=16米，

?/CE=DF,：.AF+CE=16^,

：.L五邊形ABCEF=AB+BC+CE+EF+AF^12+12+16+EF=40+EF,

：.當EF取最小值時,Z/五邊形ABCEF就有最小值.

延長CD至點G,使DG=CE,連接GF并延長，過E作EH±GF于點H.

?：CE=DF,DG=CE,

:.DF=DG,

：.ZGFD=NDGF,

又?/AADB=NCDB,ZADC=ZGFD+ZDGF,

：.ZCDB=ZEGH,

大?：CE=DF,

.?.EG=CD=16米.

在RtNBDC中，sinZGDB=條=4,

BD5

HE

:,在RtAEGH中,sin/EGH=3

~EG5

：EF>EH=摯，當點重合時，取等號,

5

??./in=%=9.6米.

5

??上有用形ABCEF（min）=40+EF=49.6米，

存在符合要求的周長最小的五邊形4BCEF,它的周長最小值為49.6米.

_______________________課后練習(xí)________________________

1.（2021.棗莊）如圖，四邊形ABCD是菱形，對角線47,8。相交于點O,AC=6*,8。=6,點P是

/C上一動點，點E是48的中點，則PD+PE的最小值為（）

A.3V3B.6A/3C.3D.6V2

【答案】A

【解答】解:如圖，連接DE,

在/\DPE中，DP+PE>DE,

：.當點P在DE上時，尸。+PE的最小值為DE的長,

?.?四邊形ABCD是菱形，

/.AO=CO=3?BO=DO=3,AC±BD,AB^AD,

：.tanZABO==VS,

130

：./ABO=60°,

.?.△ABD是等邊三角形，

?.?點E是AB的中點，

：.DE±AB,

sinAABD—,

DU

.DE_V3

：.DE^3V3,

故選：4

2.如圖,在矩形ABCD中，AC=8,ABAC=30°,點P是對角線力。上一動點,連接BP.

⑴線段B尸的最小值為；

(2)若以4P,為鄰邊作LJAPBQ，連接PQ,則線段PQ的最小值為.

備用圖

【答案】(1)當時，BF取最小值,

VAC=8,ZBAC=30°,

AB—AC?cos30°=4V3,

BP最小=AB?sin30o=2V3;

故答案為：26；

(2)根據(jù)題意，作圖如下：

四邊形APBQ是平行四邊形,

,/AO==2A/3,PQ=2OP,

要求PQ的最小值，即求0P的最小值，當0P_LAC時，QP取最小值,

OP—A0,sin30°=V3,

.,.PQ的最小值為W

3.如圖，在△ABC中，AC=BC=6,S4ABe=12,點。為AB中點，點雙，N分別是CD和上的動點，

則BM+MN的最小值是.

【答案】解:如圖，???C4=CB,。是的中點,

.?.CD是乙4cB的平分線，

.?.點N關(guān)于CD的對稱在上，

過點B作_L力。于點H.

,**4。=6,S4ABC~12,

Ayx6-BH=12,

解得BH=4,

?/BM+MN=BM+MN'>9=4,

.?.BAZ+TIW的最小值為4.

故答案為：4.

方法二：；CA=CB,。是48的中點，

.?.CD是的垂直平分線，

:.BM=AM,

BM+MN=AM+MN,

當4M_LBC時最小,

.?.BM+AW的最小值為4.

4.如圖，在A力ZVIB。中，ZC=90°,ZB=30°,BC=6,AD平分/CAR交BC于點。，點E為邊AB上

一點，則線段。E長度的最小值為.

【答案】解:在放A4BC中,

,AC

tanRB=BC，

/.AC=^-x6=2V3.

o

ZC=90°,ZB=30°,

ZCAB=60°,

AD平分NCAB,

ACAD=^-x60°=30°.

在母△ACD中，

tanZGAZ?=??，

AC

*.CD—x2^/3^—2?

o

?/AD平分NCAB,且。C，AC,

.?.點D到48邊的距離等于線段CD的長,

即線段。石長度的最小值為2.

5.（3分）如圖，在矩形4BCD中，48=4,8。=6,點E是對角線上一點，EF，8C于點斤，EG，

CD于點G,連接尸G,則EF+9G的最小值為

【答案】解：如圖，在人。上取一點P,使得PD=P8,連接BP,PC,EC,過點。作CJ±BP于點J,過點E

作EK_LBP于點K.

?.?四邊形ABCD是矩形，

,AD=BC=6,ADIIBC,乙4=90°,

設(shè)PD—PB=2，則a?=(6—re)?+4?,

...X—1—3,

O

SAPBC=；.PB?C7=/x6x4,

72

???AD//CB,

：./ADB=/DBC,

?：PD=PB,

??."DB=/PBD,

???APBD=APBC,

?：EK.LBC,EK_LBP,

:?EF=EK,

?：EG±CD9

：.4EFC=AFCG=ACGF=90°,

???四邊形EFCG是矩形，

:?FG=EC,

??.EF+FG=EK+CE,CJ=,,

io

：.EF+FG的最小值為3.

-LO

6.如圖，在AtZVLBC中，ZACS=90°,AC=6,BC=8,AD是乙BAC的平分線，若P,Q分別是4D

和AC上的動點，求PC+PQ的最小值.

【思路引領(lǐng)】過點。作CM1.交于點M,交4D于點P,過點P作PQ，AC于點Q,由AD是

ZBAC的平分線.得出PQ=,這時PC+PQ有最小值，即CA1的長度，運用勾股定理求出AB,

再運用S^ABC=^-AB-CM=，4C?8C,得出CA1的值，即PC+PQ的最小值.

【解答】解:如圖，過點。作CM±AB交AB于點/■，交AD于點P,過點P作PQ_LAC于點Q,

AD是/BAG的平分線.

.?.PQ=PM,這時PC+PQ有最小值，即CM的長度，

,.?AC=6,BC=8,乙4cB=90°,

/.AB=y/AC2+BCP=V62+82=10.

VSMBC=^AB-CM=^AC-BC,

.eAC-EC6x824

??加二^二kF

即PC+PQ的最小值為”.

一5

【總結(jié)提升】本題主要考查了軸對稱問題，解題的關(guān)鍵是找出滿足PC+F。有最小值時點P和。的位置.

7.（2023-江門三模）如圖，ZVIB。中，乙4cB=90°,AB+BC=8,tanA=彳■，點O、。分別是邊AB、

AC上的動點，則OC+OD的最小值為（）

B

R26「9696

A24CD

5B-T-125-f

【思路引領(lǐng)】如圖，作。關(guān)于AB的對稱點C,連接，交人口于及過。作。。，AC于。，交

于。，則OC=00,此時OC+OD的值最小，就是C79的長，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊的比可得結(jié)論.

【解答】解：作。關(guān)于的對稱點C,連接，交于E,過。作CD_LAC于。，交AB于。，則OC

=。0,此時OC+QD的值最小，就是。。的長;

,△ABC中,/ACB=90。,tanA=1，

...BC3

"tanA=AC=4

.BC_3

?.?AB+BC=8,

：.BC^3,AB=5,AC=4,

：S4ABe=:BC*AC=^AB-CE,

.?.3X4=5CE,

:?CE=S19

5

24

:?CC=2CE=3

5

?//C'EO=AODA=90°,ACfOE=AAOD,

??.N4=NC,

???/CD。=乙4（汨=90°,

???△CD。?△ACS,

24

,CrD_CCr即CfD_V

,?記一衍即3TF

■ST,

即OC+OD的最小值為是黑;

故選：。.

【總結(jié)提升】本題考查軸對稱一最短問題、三角形相似的性質(zhì)和判定、兩點之間線段最短、垂線段最短等知

識，解題的關(guān)鍵是靈活運用軸對稱以及垂線段最短解決最短問題，屬于中考填空題中的壓軸題.

8.（2021春?龍崗區(qū)月考）如圖，點P是AAOC的角平分線上一點，PD，04,垂足為點。，且P0=5,

點河是射線OC上一動點，則的最小值為5.

上

工

0MC

【思路引領(lǐng)】根據(jù)垂線段最短可知當PM，OC時，PA1最小，再根據(jù)角的平分線的性質(zhì)，即可得出答

案.

【解答】解:根據(jù)垂線段最短可知：當PM±OC時，最小，

當_FW_LOC時，

又1/0P平分AAOC,PD±OA,PD^3,

:.PM=PD=5,

故PM的最小值為5,

故答案為：5.

【總結(jié)提升】本題考查了垂線段最短、角平分線的性質(zhì)，熟練掌握角平分線上的點到角兩邊的距離相等是解

題的關(guān)鍵.

9.（2024春?北京期中）如圖，菱形ABCD的周長為24,AABD=30°,點P是對角線上一動點，Q是

的中點，則PC+PQ的最小值是（）

C.3V5D.6V3

【思路引領(lǐng)】點Q和點。是定點，點P在直線上一動點，是軸對稱最值問題，連接CQ,由菱形的對

稱性可知，點A和點。關(guān)于BD對稱，連接匐，AQ即為所求.

【解答】解:如圖，由菱形的對稱軸可知，點力和點。關(guān)于BD對稱，連接AQ,AQ即為所求.

連接A。，

???=30°,四邊形ABCD是菱形,

ZABC=60°,AB^BC,

.?.△AB。是等邊三角形，

?.?點Q為BC的中點，?M

：.AQ±BC,

■：菱形ABOD的周長為24,

AB—BC—6,

在RtLABQ中，AABC=60°,

ZBAQ=30°,

BQ=-^-AB=；x6=3,

.,.AQ=V3BQ=3V3.

故選：B.

【總結(jié)提升】本題考查的是軸對稱-最短路線問題及菱形的性質(zhì)，熟知兩點之間線段最短的知識是解答此

題的關(guān)鍵.

10.（2021春?金寨縣期末）如圖，在邊長為2的正方形ABCD中，點M為對角線BD上一動點,ME上BC

于點E,北下上①于點尸，連接ER,則EF的最小值為（）

B.2V2C.V3D.V2

【思路引領(lǐng)】連接證出四邊形MECF為矩形,由矩形的性質(zhì)得出EF=MCMC±BD^,MC

取得最小值,此時△BCA1是等腰直角三角形，得出即可得出結(jié)果.

（解答］解：連接,如圖所示：

?.?四邊形ABCD是正方形，

/.ZC=90o,/DBC=45°,

；ME工BC于E,MF_LCD于F

：.再邊形MECF為矩形,

：.EF=MC,

當MC，BD時，MC取得最小值,

此時△BCM是等腰直角三角形，

：.MC=~BC=V2,

.?.EF的最小值為四；

故選：。.

【總結(jié)提升】本題考查了正方形的性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)以及最小值問

題；熟練掌握矩形的對角線相等是解決問題的關(guān)鍵.

11.在銳角△4BC中，BC=4,ZABC=30°,BD平分乙4及7,點Af、N分別是RD、上的動點，連接

MN、GM,則CAf+AW的最小值是多少？

【思路引領(lǐng)】過點。作CE，于點E,交口。于點AT,過點M'作M'N'±BC,則CE即為CAf+

MN的最小值,再根據(jù)BC=4,乙4BC=30°,由銳角三角函數(shù)的定義即可求出CE的長.

【解答】解：過點。作CE_L于點E,交BO于點AT,過點M'作M'N'±BC,

?.?BD平分/ABC,

/.M'N'+CM'=EM'+CM'=CE,

則CE即為CM+AW的最小值，

1.?BC=4,ZAB。=30°,

CE=BC.sinSO0=4X-1-=2.

.?.CM+AW的最小值是2.

【總結(jié)提升】本題考查的是軸對稱一最短路線問題，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形，利用銳角三

角函數(shù)的定義求解是解答此題的關(guān)鍵.

12.如圖，在4ABC中，AC=BC=6,SAABC=12,點。為AB中點，點M,N分別是CD和BC上的動點,

則BM+MN的最小值是.

【解答】解:如圖所示:

???49，/于點9，

4P是點A到直線I的最短距離.

13.如圖，在菱形4BCD中，47=6,口。=8,對角線入。與8。交于點。,點后是48的中點，點“，代分

別在47,反7上,則￡70+1亞的最小值為.

【答案】（1）2遍（2）73

14.如圖，在矩形ABCD中，4B=4,BC=6,點E是對角線BD上一點，EF_LBC于點F,EG_LCD于

點G,連接FG,則EF+FG的最小值為.

【答案】噂

14.如圖，已知二次函數(shù)5=—方/+1_劣+2的圖象與立軸交于A,B（點A在點B的左側(cè)）兩點，與沙軸交

于點C,河為直線8。上一動點，N為立軸上一動點,連接⑷W,MN,求AM+MN的最小值.

A/0NB\x

【答案】M

15.如圖,等邊AABC中，=6,點P是BC邊上一點,則AP的最小值是

BP解析提示：B

【解答】解:過A點作于H,如圖,?M

???△ABC為等邊三府形，.?.S=3,

.?.A//=A/62-32=3V3,

當P點與〃點重合時，AP的值最小，AP的最小值是3/W.

16.如圖,在銳角三角形ABC中，BC=4v*乙48c=45°,BD平分NABC,M、N分別是BD、上的

動點，則CAf+AW的最小值是

解析提示:

【解答】解：過點。作CE_LAB于點、E,交BD于點M'，過點AT作M'N'_LBC于AT,則CE即為CM+

MN的最小值，

???BC=，ZABC=45°,BD平分2ABC,

八8無是等腰直角三角形，

/.CE=BC?cos45°=4V2x夸=4.

故CM+MN的最小值為4.

17.如圖，△ABC中，ZACB=90°,AC=3,8C=4,AB=5,P為直線AB上一動點，連接PC,則線段

PC的最小值是O

【解答】解:在中，乙4cB=90°,AC=3,BC=4,AB=5,

V當PC_LAB時，PC的值最小，

此時:△ABC的面積=-1~.4B.PC制.ACBC,

5PC=3x4,

/.PC=2.4,

18.如圖，點A的坐標為(一1,0),點B(a,a),當線段AB最短時,點B的坐標為

y

【解答】解:過點A作AD_L03于點。，過點。作OE_Lc軸于點E,

?.?垂線段最短，

當點B與點D重合時線段AB最短.

?.?直線OB的解析式為夕=c,

A△AOD是等腰直角三角形，

：.OE=^-OA=1,

19.如圖，菱形ABCD的邊長為9，面積為18V3,P、E分別為線段BD、BC上的動點,則PE+PC的最小

值為

?.?四邊形ABCD是菱形，.?.A,。關(guān)于BD對稱,

/.PA=PC,：.PE+PC=AP+PE,

?：AP+PE>AHf：.PE+POAH,

,**S爰形ABCD~BC*AH,

.L=J^1=2島

：.PE+PO2V3,

.?.PE+PC的最小值為2心，故答案為：2遍.

20.如圖，等邊△4BC的邊長為4,40是邊上的中線，M?是4D上的動點，E是？1。邊上點，若AE=

1,EM+CM的最小值為o

【解答】解:連接BE,與AD交于點、M.則BE就是EM+CM的最小值,

過B作BN_LA。于N,

△ABC是等邊三角形，

：.AN=^-AC,

?.?等邊△ABC的邊長為4,

/.AC=4,vAE=l,

:.NE=1,BN=4AB=2V3,

BE=^BN2+NE2=V(2V3)2+12=V13,

.?.EA1+CM的最小值為V13,

故答案為：J*.

21.如圖，△ABC中，AB=AC=13,BC=10,4D是BC邊上的中線且AD=12,尸是AD上的動點，E

是47邊上的動點，則CF+EF的最小值為。

【解答】解:作E關(guān)于AD的對稱點“，連接CM交AD于F,連接EF,過。作CN±AB于N,

-：AB=4。=13,5。=10,AD是5。邊上的中線，

BD=DC=5,AD±BC,AD平分ABAC,

二”在AB上，

在Rt/\ABD中，AD=12,

SAABC=。xBCxAD=^-xABxCN,

.?rBCxAD10x12120

???E關(guān)于AD的對稱點河，

??.EF=FM,

:?CF+EF=CF+FM=CM,

根據(jù)垂線段最短得出：C/W>CN,

即CF+EF>號，

J-O

即CF+EF的最小值是等,

JLo

故答案為：粵.

13

A

BD-C

22.如圖,正方形ABCD的邊長是2,ADAC的平分線交。。于點瓦若點P、Q分別是4D和AE上的動

點，則DQ+PQ的最小值為__?

（解答］解:作。關(guān)于AE1的對稱點。，再過D作D'P'_LAO于P,

?/DD'±AE,NAFD=AAFD',

?：AF^AF,ADAE=NCAE,

：./\DAF^/\D'AF,

。是D關(guān)于AE的對稱點，AZ7=AD=2,

D'P'即為。Q+PQ的最小值，

1/四邊形ABCD是正方形，

ADAD'=45°,

:.AP=PD,

：.在REAP'D'中，

P'D'-+AP'2=AD'2,AD'2=4,

?：AP'^P'D',

2Pz=AD'2，即2P'D'2=4,

：.P'D'DQ+PQ的最小值為V2.故答案為：V2.

23.如圖，在A4BC中，ZB=90°,46=12,BC=5,D為邊AC上一動點，DE_LAB于點E,DF±BC

于點尸，則即的最小值為（）

A.4.8B.署C.患D.13

J-OJ-O

【答案】B

【分析】

根據(jù)三個角都是直角的四邊形是矩形，得四邊形EDFB是矩形，根據(jù)矩形的對角線相等，得EF=BD,則

EF的最小值即為BD的最小值，根據(jù)垂線段最短，知：BD的最小值即等于直角三角形ABC斜邊上的高.

【詳解】

解:如圖，連接

AB2+BC?=3,即人。=7122+52=13.

又DE_LAB于點E,DF_LBC于點、F,

r.四邊形EDFB是矩形，

：.EF=BD.

的最小值即為Rt^ABC斜邊上的高，

AyAB-BC=yAC-BD,即BD="廿=黨^=瞿，