新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義：基本不等式及其應(yīng)用（原卷版+解析）

專題04基本不等式及其應(yīng)用

【命題方向目錄】

命題方向一：基本不等式及其應(yīng)用

命題方向二：直接法求最值

命題方向三：常規(guī)湊配法求最值

命題方向四：消參法求最值

命題方向五：雙換元求最值

命題方向六：“1”的代換求最值

命題方向七：齊次化求最值

命題方向八：利用基本不等式證明不等式

命題方向九：利用基本不等式解決實(shí)際問題

命題方向十：利用權(quán)方和不等式求最值

命題方向H：與a+b、/+沙2和ah有關(guān)問題的最值

uab+時）c+

命題方向十二：待定系數(shù)法求Jl最值

命題方向十三：A法求最值

【2024年高考預(yù)測】

基本不等式作為工具，常結(jié)合其他知識點(diǎn)進(jìn)行考察，如解析幾何、函數(shù)求最值，實(shí)際應(yīng)用等求范圍題

型，難度為基礎(chǔ)題或中檔題.

【知識點(diǎn)總結(jié)】

1、基本不等式：疝，—

2

(1)基本不等式成立的條件：a>0,b>0

(2)等號成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng)。=〃時，等號成立.

(3)其中巴吆叫做正數(shù)a,6的算術(shù)平埋數(shù)，J法叫做正數(shù)a,b的幾何平均數(shù).

2

2、幾個重要的不等式

(1)a2+Z?2?2ab(a,beR).

(2)-+-=2(a,b同號).

ab

(3)ab?[2J(a,beR).

，八a2+b2/a+b^

以上不等式等號成立的條件均為a=b.

3、利用基本不等式求敢值

(1)已知x,y都是正數(shù)，如果積孫等于定值尸，那么當(dāng)x=y時，和尤+y有最小值2丁萬

(2)已知x,y都是正數(shù)，如果和x+y等于定值S,那么當(dāng)x=y時，積平有最大值

注意：利用不等式求最值應(yīng)滿足三個條件“一正、二定、三相等”.

【方法技巧與總結(jié)】

1、常見求最值模型

模型一：/心+‘22V^面(〃2>0,">0),當(dāng)且僅當(dāng)x=、口~時等號成立；

xYm

模型二：mx-\———=m(x—a)-\——-——I-ma>2y/mn+ma(m>0,n>0),當(dāng)且僅當(dāng)x-a二J二時等號成

x—ax—avm

立；

模型三：一=—1—4——(a>0,c>0),當(dāng)且僅當(dāng)x時等號成立；

叱+法+c辦+"￡2而+b

X

模型四：尤("-向=一"一一/1(爾+"二)2=工(心。,，>。,0<尤<勺，當(dāng)且僅當(dāng)x="時等

mm24mm2m

號成立.

2、權(quán)方和不等式

若%>0,b->0,m>0,

則%+*++晅"(q+%+%]一成立.當(dāng)勾=幾偽的時，等號成立.

以3+仇+b,x

【典例例題】

命題方向一：基本不等式及其應(yīng)用

【通性通解總結(jié)】

熟記基本不等式成立的條件，合理選擇基本不等式的形式解題，要注意對不等式等號是否成立進(jìn)行驗(yàn)

證.

例1.(2023?全國?高三專題練習(xí))《幾何原本》卷2的幾何代數(shù)法(以幾何方法研究代數(shù)問題)成了后世西

方數(shù)學(xué)家處理問題的重要依據(jù)，通過這一原理，很多的代數(shù)的公理或定理都能夠通過圖形實(shí)現(xiàn)證明，也稱

之為無字證明.現(xiàn)有如圖所示圖形，點(diǎn)尸在半圓。上，點(diǎn)C在直徑A3上，且。尸，設(shè)AC=。,

BC=b,則該圖形可以完成的無字證明為（）

A.~~~-4ab(a>0,b>0)B.a2+b2>2y[ab{a>0,Z?>0)

aa+b

C.<y/'ab(ci>0,Z?>0)D.<(a>0,Z?>0)

a+b

例2.（2023?全國?高三專題練習(xí)）《幾何原本》第二卷中的幾何代數(shù)法（以幾何方法研究代數(shù)問題）成了后

世西方數(shù)學(xué)家處理問題的重要依據(jù)，通過這一原理，很多代數(shù)的定理都能夠通過圖形實(shí)現(xiàn)證明，并稱之為

無字證明.現(xiàn)有如圖所示的圖形，點(diǎn)尸在半圓。上，且O廠，點(diǎn)。在直徑上運(yùn)動.作CD,反交

則由/C2CD可以直接證明的不等式為（)

B.a2+b2>lab^a>0,Z?>0)

c

洋號…＞。）D.yfab<(tz>0,Z?>0)

例3.（2023?全國?高三專題練習(xí)）若非零實(shí)數(shù)a,匕滿足，＞。，則下列不等式一定成立的是（）

11

A.—>—B.a+b>2y[abC.Igd：2>1g/?2D.a3>b3

ab

變式L（2023?全國?高三專題練習(xí)）下列不等式的證明過程正確的是（）

A.若a/eR,則幺22、.=2

ab\ab

B.若1>0,貝UCOSXH——-->2,/cosx---二2

cosxVcosx

4

C.若xvO貝■+—?2

x

變式2.（2023?全國?高三對口高考）下列結(jié)論正確的是（）

A.y=x+1■有最小值2B.y=+2+G+2有最小值2

C.必<0時，y=2+f有最大值-2D.x>2時，y=x+—有最小值2

abx—2

命題方向二：直接法求最值

【通性通解總結(jié)】

直接利用基本不等式求解，注意取等條件.

例4.（2023?廣西柳州?柳州高級中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）若。>0,b>0,a+b=2,則斗的最小值為

ab

（）

6

A.—B.JlC.1D.2

2

例5.（2023?全國?高三專題練習(xí)）己知x,ye（0,+oo）,2A,則孫的最大值為（

A9「9「3

A.—B.一C.—D.一

2824

例6.（2023?云南文山?高三馬關(guān)縣第一中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知正數(shù)。力滿足4+2尸=1,則的最大值

變式3.（2023?全國?高三專題練習(xí)）若實(shí)數(shù)x,y滿足一+4>2=1,則孫的最大值是（）.

A.—B.-C.—D.1

428

變式4.（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知〃>0,b>0,且4+2A=Q。，則次?的最小值是（）

A.4B.8C.16D.32

/74〃

變式5.（2。23?廣西柳州?高三柳州高級中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）若八°‘6>°,則/+了+5的最小值為

A.y/2B.2C.2V2D.4

命題方向三：常規(guī)湊配法求最值

【通性通解總結(jié)】

1、通過添項、拆項、變系數(shù)等方法湊成和為定值或積為定值的形式.

2、注意驗(yàn)證取得條件.

例7.（2023?全國?高三專題練習(xí)）函數(shù)y=3x+—尤>1）的最小值是（）

x-1

A.4B.26-3

C.2A/3D.2國3

x2y

例8.（2023?全國?高三專題練習(xí)）若％>0,>>0且冗+y=孫，則;+―L的最小值為（）

x—1y-1

A.3B.5+^/^C.3+^6D.3+2^/2

例9.（2023?上海?高三專題練習(xí)）若x>l,則函數(shù)y=的最小值為.

命題方向四：消參法求最值

【通性通解總結(jié)】

消參法就是對應(yīng)不等式中的兩元問題，用一個參數(shù)表示另一個參數(shù)，再利用基本不等式進(jìn)行求解.解題

過程中要注意“一正，二定，三相等”這三個條件缺一不可！

3

例10.（2023?江蘇蘇州?高二統(tǒng)考期中）已知實(shí)數(shù)x,>滿足且6孫一9x+2y—4=。，貝iJ3x+y的最小

值是.

例11.（2023?江蘇蘇州?高二統(tǒng)考競賽）已知正實(shí)數(shù)a,b,c滿足2（a+6）=a6,Ka+b+c=abc,則c的

最大值為.

例12.（2023?浙江?高三專題練習(xí)）若正實(shí)數(shù)。，b滿足b+3a=2",則祟的最大值為

命題方向五：雙換元求最值

【通性通解總結(jié)】

若題目中含是求兩個分式的最值問題，對于這類問題最常用的方法就是雙換元，分布運(yùn)用兩個分式的分

母為兩個參數(shù)，轉(zhuǎn)化為這兩個參數(shù)的不等關(guān)系.

1、代換變量，統(tǒng)一變量再處理.

2、注意驗(yàn)證取得條件.

例13.（2023?全國?高三專題練習(xí)）己知。>0,b>0,a+2b=l,則“',+-7取到最小值為

3a+46a+3b

例14.（2。23?全國?高三專題練習(xí)）設(shè)…22且—，則5r七的最小值是----------.

命題方向六：“1”的代換求最值

【通性通解總結(jié)】

1的代換就是指湊出1,使不等式通過變形出來后達(dá)到運(yùn)用基本不等式的條件，即積為定值，湊的過程

中要特別注意等價變形.

1、根據(jù)條件,湊出“1”,利用乘“1”法.

2、注意驗(yàn)證取得條件.

41

例15.（2023?貴州黔東南?凱里一中?？既＃┱龜?shù)滿足一+7=1,若不等式病-8根<〃+〃恒成立，則

ab

實(shí)數(shù)加的取值范圍__________.

1?

例16.（2023?上海金山?統(tǒng)考二模）已知正實(shí)數(shù)。/滿足一+7=1,則2a+b的最小值為_________.

ab

例17.（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知實(shí)數(shù)b>l,且3〃+2b=6,則二+三的最小值是

。一1b-l

變式6.（2023?全國?高三專題練習(xí)）若正實(shí)數(shù)a,Z?滿足a+2〃=",則次?+〃+匕的最小值為

41

變式7.（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知乂丁都是正數(shù)，且x+y=2,則一-+一；的最小值為

x+2y+1

變式8.（2023?陜西渭南?統(tǒng)考二模）設(shè)。若￡+6=1,則工v+J的最小值是___________.

2a+1b

變式9.（2023.安徽蚌埠.統(tǒng)考三模）已知實(shí)數(shù)“>?！怠?，且T=5,則士+￡的最小值為

變式10.（2023?全國?高三專題練習(xí)）正實(shí)數(shù)滿足4a+b=4",則a+48的最小值為.

_21

變式11.（2023?天津?高三校聯(lián)考期末）已知a,6eR+M+2Z7=l,則一的最小值為_________.

a+2b+1

21

變式12.（2023?全國?高三專題練習(xí)）若三個正數(shù)％%z滿足3%+12y+2z=4,則——+-——的最小值為

x+2y3y+z

變式13.（2023?重慶?高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）已知%>1,>>0,尤+工=4,則工+y的最小值為___________.

yx-1

變式14.（2023?天津南開?高三南開中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知正實(shí)數(shù)%,y滿足4x+7y=4,貝|

21

——+----的最小值為_______.

x+3y2x+y

命題方向七：齊次化求最值

【通性通解總結(jié)】

齊次化就是含有多元的問題，通過分子、分母同時除以得到一個整體，然后轉(zhuǎn)化為運(yùn)用基本不等式進(jìn)行

求解.

例18.（2023?江蘇?高一專題練習(xí)）已知x>0,y>0,則二表,2+產(chǎn)工_2的最大值是.

例19.（2023?河南?高三信陽高中校聯(lián)考階段練習(xí)）已知實(shí)數(shù)。力>。，若a+2b=l,則學(xué)+4的最小值為

bab

（）

A.12B.2百C.673D.8

例20.（2023?天津南開?高三統(tǒng)考期中）已知正實(shí)數(shù)a,b,c滿足/-2必+9/-c=0,則或的最大值為

C

命題方向八：利用基本不等式證明不等式

【通性通解總結(jié)】

類似于基本不等式的結(jié)構(gòu)的不等式的證明可以利用基本不等式去組合、分解、運(yùn)算獲得證明.

例21.(2023?貴州?高三校聯(lián)考期中)已知a>0,b>0,且a+b=2.

⑴求4+b2的最小值；

⑵證明：Va+1+-Jb+1<2-J2.

例22.(2023?廣西南寧?統(tǒng)考二模)已知a,b,c均為正數(shù)，且4+2尸+3c?=4,證明:

⑴若a=c,則"4走；

2

(2)a+2b+3c42".

例23.(2023?貴州黔西??？家荒?設(shè)。，b,c均為正數(shù)，且a+b+c=l,證明：

(l)a2+&2+c2>j；

(2)03c+b3a+c3b>abc.

/h2

變式15.(2023?全國?高三專題練習(xí))證明：如果a>l、b>l,那么—+工一28.

b-\a-1

變式16.(2023?江西?高三校聯(lián)考階段練習(xí))已知。也。都是正數(shù)，且就c=l,證明:

(l)-+y>2^;

ab

21]____

(2)—I----1—2+d2b+J2c.

abc

命題方向九：利用基本不等式解決實(shí)際問題

【通性通解總結(jié)】

1、理解題意，設(shè)出變量，建立函數(shù)模型，把實(shí)際問題抽象為函數(shù)的最值問題.

2、注意定義域，驗(yàn)證取得條件.

3、注意實(shí)際問題隱藏的條件，比如整數(shù)，單位換算等.

例24.（2023?全國?高三專題練習(xí)）某工廠的產(chǎn)值第二年比第一年的增長率是第三年比第二年的增長率

是鳥，而這兩年的平均增長率為P,在q+巴為定值的情況下，P的最大值為（用《、［表

示）

例25.（2023?全國?高三專題練習(xí)）薪春縣內(nèi)有一路段A長325米，在某時間內(nèi)的車流量y（千輛/小時）與

汽車的平均速度v（千米/小時）之間的函數(shù)關(guān)系為y=,交通部門利用大數(shù)據(jù)，采用“信號燈

V+2V+1600

流S*

不再固定長短，交通更加智能化”策略，紅燈設(shè)置時間7（秒）=路段長x近出"魯塞?、，那么在車流

平均速度（術(shù)/秒）

量最大時，路段A的紅燈設(shè)置時間為秒.

例26.（2023?全國?高三專題練習(xí)）某校生物興趣小組為開展課題研究，分得一塊面積為32m口的矩形空

地，并計劃在該空地上設(shè)置三塊全等的矩形試驗(yàn)區(qū)（如圖所示）.要求試驗(yàn)區(qū)四周各空0.5m,各試驗(yàn)區(qū)之

間也空0.5m.則每塊試驗(yàn)區(qū)的面積的最大值為m2.

變式17.（2023?上海長寧?統(tǒng)考二模）某小學(xué)開展勞動教育，欲在圍墻邊用柵欄圍城一個2平方米的矩形植

物種植園，矩形的一條邊為圍墻，如圖.則至少需要米柵欄.

變式18.（2023?全國?高三專題練習(xí)）黨的二十大報告將“完成脫貧攻堅、全面建成小康社會的歷史任務(wù)，實(shí)

現(xiàn)第一個百年奮斗目標(biāo)”作為十年來對黨和人民事業(yè)具有重大現(xiàn)實(shí)意義和深遠(yuǎn)歷史意義的三件大事之一.某

企業(yè)積極響應(yīng)國家的號召，對某經(jīng)濟(jì)欠發(fā)達(dá)地區(qū)實(shí)施幫扶，投資生產(chǎn)A產(chǎn)品，經(jīng)過市場調(diào)研，生產(chǎn)A產(chǎn)品

的固定成本為200萬元，每生產(chǎn)x萬件，需可變成本/（力萬元，當(dāng)產(chǎn)量不足50萬件時，

0（口=言尤3+6（）無；當(dāng)產(chǎn)量不小于50萬件時，p（x）=10h+52-1360.每件A產(chǎn)品的售價為100元，通

過市場分析，生產(chǎn)的A產(chǎn)品可以全部銷售完，則生產(chǎn)該產(chǎn)品能獲得的最大利潤為萬元.

變式19.（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知一扇形的圓心角為a（a>0）,扇形的周長是一定值C

（C>0）,當(dāng)a為弧度時，該扇形面積取得最大值.

變式20.（2023?全國?高三專題練習(xí)）設(shè)計用32小的材料制造某種長方體形狀的無蓋車廂，按交通部門的

規(guī)定車廂寬度為2〃z,則車廂的最大容積是（）

A.（38-3773）nPB.16m3C.4&m3D.14m3

命題方向十：利用權(quán)方和不等式求最值

【通性通解總結(jié)】

若at>0,Z?;>0,m>0,

則能『+爛成立.當(dāng)…的時’等號成立.

I0

例27.已知為正實(shí)數(shù)，若x+y=l,則上+士的最小值為

尤y

19

例28.設(shè)若a+b=2,貝1J——+—的最小值為()

a-1b

A.3+2A/2B.6C.40D.2忘

71

例29.已知實(shí)數(shù)滿足x>y>0且％+y=l,則-----+——的最小值是__________________

x+3yx-y

/b1

變式21.已知”1力>1，則—+4的最小值是______________________.

b-1a-1

變式22.已知x,y>0」+逑=1,則J2+y2的最小值是.

%y

1Q1

變式23.已知。，&ceR+且一r+初+==1,貝!Ia+b+c的最小值是.

命題方向H—：與a+b、/+。2和a。有關(guān)問題的最值

【通性通解總結(jié)】

利用基本不等式變形求解

例30.（多選題）（2023?廣東惠州?統(tǒng)考一模）若6"=2,6〃=3,則（）

b1

A.—>1B.cib<一

a4

11

C.a9+b7v—D.b—a>一

25

例31.（多選題）（2023?山東聊城?統(tǒng)考一模）設(shè)a>0,b>0,且a+2b=2,則（）

A.他的最大值為《B.a+b的最小值為1

C.的最小值為自D.二的最小值為：

5ab2

例32.（多選題）（2023?廣東深圳?深圳中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）設(shè)。>0,b>0,滿足3a+力=1,下列說法

正確的是（）

1o1

A.湖的最大值為5B.4+；的最小值為8石

24ab

C.Y+k的最小值為:D.9a2+4匕2的最小值為1

變式24.（多選題）（2023?云南?高三云南師大附中?？茧A段練習(xí)）已知a>0,b>0,且2a+b=l,則下

列不等式一定成立的有（）

11,,1414、歷

A.ab〈—B.a+b>—C.—D.-------1—>3H-------

824a+lb~3

變式25.（多選題）（2023?遼寧朝陽?校聯(lián)考一模）設(shè)正實(shí)數(shù)滿足a+2b=1,則（）

A.工+J有最小值4B.a：有最大值;

C.血+四有最大值夜D.4+4〃2有最小值!

變式26.（多選題）（2023?江蘇?統(tǒng)考一模）已知正數(shù)。，人滿足曲=。+人+1,則（）

A.a+b的最小值為2+20B.而的最小值為1+及

c.1+：的最小值為2點(diǎn)-2D.2"+4"的最小值為16c

ab

變式27.（多選題）（2023?全國?模擬預(yù)測）若V+2孫+5/=4,尤,yeR,則（）

A./<1B.x2>2C.（x-y）2<8D.x2+3y2>2

變式28.（多選題）（2023?湖南?高三長郡中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知。>08>0,。+，=1,則下列結(jié)論正確

的是（）

A.+的最大值為gB.&+揚(yáng)的最大值為1

4

C."+2,+2的最小值為7+46D.「二的最小值為3

ab2a+ba+2b

piab+/u*+

命題方向十二：待定系數(shù)法求x最值

4〃2++4c2

例33.（2023?全國?高三競賽）設(shè)工,兒z,w是不全為零的實(shí)數(shù)，且滿足

xy+2yz+zw<A（x2+y2+z2+w2）.則A的最小值是.

例34.（2023?全國?高三競賽）設(shè)x、y、z是不全是0的實(shí)數(shù).則三元函數(shù)/（xjz）=?孫;"的最大值

x+y+z

是.

例35.（2023?天津和平?高三耀華中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若實(shí)數(shù)滿足2k+孫-y2=i,則x-2y

的最大值為.

oh+hr

變式29.（2。23?全國?高三專題練習(xí)）已知正數(shù)皿,則ET7的最大值為

V2+2X7

變式30.（2。23.浙江.校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知實(shí)數(shù)x,九z不全為。，則仁吉▼的最小值是

最大值是_.

命題方向十三：△法求最值

例36.（2。23?全國?高三專題練習(xí)）若函數(shù)小）=下丁的最大值為.,最小值為6,則i=（）

A.4B.6

C.7D.8

例37.（2023?山東青島?統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知實(shí)數(shù)。，。滿足lga+lg人=lg（a+2A）,則的最小值是

例38.（2023?全國?高三專題練習(xí)）設(shè)a,3e2>0,若1+2^=4,且的最大值是石，則彳=

變式31.（2023?江蘇?高三專題練習(xí)）若正實(shí)數(shù)滿足（2孫-l>=（5y+2Xy-2）,則x+4的最大值為

變式32.（2023?全國?高三專題練習(xí)）若x,y為實(shí)數(shù)且滿足/+/+2孫+x-y=0,試分別求x、y的最值.

【過關(guān)測試】

一、單選題

1.（2023?新疆喀什?高三統(tǒng)考期末）已知。>0*>0,且a+b=l,則/十〃的最小值為（）

A.-B.：C.1D.2

42

2.（2023?河南?校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知正實(shí)數(shù)。，6,點(diǎn)”（1,4）在直線2+；=1上，則。+人的最小值為

ab

（）

A.4B.6C.9D.12

3.（2023?廣西南寧?南寧三中校考模擬預(yù)測）已知實(shí)數(shù)x,y滿足2元+y=2,則9'+2x3>的最小值為

（）

A.6夜B.4&C.372D.2立

4.（2023?廣西南寧?統(tǒng)考二模）某單位為提升服務(wù)質(zhì)量，花費(fèi)3萬元購進(jìn)了一套先進(jìn)設(shè)備，該設(shè)備每年管

理費(fèi)用為0.1萬元，已知使用x年的維修總費(fèi)用為士^萬元，則該設(shè)備年平均費(fèi)用最少時的年限為

27

（）

A.7B.8C.9D.10

5.（2023?重慶渝中?高三重慶巴蜀中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知%>0,丁>0,且孫+x-2y=4,則2x+y的最

小值是（）

A.4B.5C.7D.9

6.（2023?河南?高三校聯(lián)考階段練習(xí)）下列選項正確的是（）

ab4

A.-+->2B.x+->4

baX

D.Y+r二的最小值為J

c.sin-a+.的最小值為20

sinaX2+22

7.（2023?全國?模擬預(yù)測）己知“為非零實(shí)數(shù)，b,。均為正實(shí)數(shù)，則的最大值為（）

4a4+b2+c2

rV2nV3

A—B

-T24

8.（2023?河南開封?統(tǒng)考三模）已知a>0,b>0,且。+6=1,b,則下列不等式成立的是（）

A.y/a+^fb<V2+B.y[a+4b+V2

C.<^/2<+yjb

二、多選題

21

9.（2023?黑龍江大慶?大慶中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知。>08>0,且為+人1,若不等式4+不之加恒成

ab

立，則加的值可以為（）

A.10B.9C.8D.7

10.（2023?山西?校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知正實(shí)數(shù)。，b滿足4b=2,則（）

A.ab<—B.2a+16^>4C.—F—>D.y[a+2y[b>4

4ab2

H.（2023?江蘇揚(yáng)州?高三統(tǒng)考開學(xué)考試）已知實(shí)數(shù)〃，b>0,2〃+/?=4,則下列說法中正確的有（）

113

A.工+；有最小值;B.。2+〃有最小值1

ab2

C.4。+28有最小值8D.Ina+lnb有最小值ln2

12.（2023?全國?模擬預(yù)測）已知％>0,y>0,且％+2y=肛.則下列選項正確的是（）

41

A.%+y的最小值為3+2血B.—+—的最小值為1

%y

yv81

C.log2x+log2（2j7）>5D.e——>e-l

X

三、填空題

4

13.（2023?貴州貴陽?校聯(lián)考模擬預(yù)測）若x>0,則x的最小值為

x+1

14.（2023?遼寧沈陽?高三校聯(lián)考學(xué)業(yè)考試）已知1<。<4,則六+一二的最小值是

4一〃a—1

15.（2023?全國?高三專題練習(xí)）函數(shù)y=x：；3（x>2）的最小值為

16.（2023?天津?統(tǒng)考二模）已知實(shí)數(shù)x、y滿足41+4孫+7/=3,則F+y2的最小值為.

四、解答題

17.（2023?全國?高三專題練習(xí)）某鄉(xiāng)鎮(zhèn)響應(yīng)“綠水青山就是金山銀山”的號召，因地制宜的將該鎮(zhèn)打造成“生

態(tài)水果特色小鎮(zhèn)”.經(jīng)調(diào)研發(fā)現(xiàn)：某珍惜水果樹的單株產(chǎn)量W（單位：千克）與施用肥料單位：千克）滿足

5（X2+3）,0<X<2

如下關(guān)系：卬。）=50x，肥料成本投入為10x元，其它成本投入（如培育管理、施肥等人工

-----,2<x?5

J+x

費(fèi)）20x元.已知這種水果的市場售價大約15元/千克，且銷售暢通供不應(yīng)求，記該水果單株利潤為〃x）（單

位：元）

⑴寫單株利潤/⑺（元）關(guān)于施用肥料x（千克）的關(guān)系式；

（2）當(dāng)施用肥料為多少千克時，該水果單株利潤最大？最大利潤是多少？

18.（2023?寧夏銀川?銀川一中?？级＃┮阎瘮?shù)/（x）=|x+4+|x+3a|.

（1）當(dāng)a=-l時，求不等式/（“<4的解集；

⑵若的最小值為2,且（a-⑹（4+加）=:，求上+〃2的最小值.

nm

19.（2023?四川南充?高三四川省南充市高坪中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知函數(shù)〃司=卜-9卜段+3]

⑴求的最大值；

21

（2）正實(shí)數(shù)a,b滿足,+石=1,若對任意的a>03>0恒成立，求x的取值范圍.

20.（2023?河南?高三洛寧縣第一高級中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）己知a,b,c都是正數(shù)，且/+獷+°3=1,證

明：

(l)aZ?c<|；

⑵+(ac)5'

21.(2023.陜西銅川?統(tǒng)考二模)設(shè)函數(shù)〃x)=|2x-2|+|x+2].

⑴解不等式〃X)46T；

(2)令/'(x)的最小值為T,正數(shù)a,0,c滿足a+b+c=T,證明：+

abc3

22.(2023?四川遂寧?統(tǒng)考三模)已知函數(shù)/(X)=|XT|+|X+4，twR.

⑴若t=l,求不等式〃x)v8-x2的解集；

(2)已知加+〃=4,若對任意xeR,都存在m>0,”>0使得/(月=叫二0,求實(shí)數(shù)f的取值范圍.

mn

專題04基本不等式及其應(yīng)用

【命題方向目錄】

命題方向一：基本不等式及其應(yīng)用

命題方向二：直接法求最值

命題方向三：常規(guī)湊配法求最值

命題方向四：消參法求最值

命題方向五：雙換元求最值

命題方向六：“1”的代換求最值

命題方向七：齊次化求最值

命題方向八：利用基本不等式證明不等式

命題方向九：利用基本不等式解決實(shí)際問題

命題方向十：利用權(quán)方和不等式求最值

命題方向H'-—：與a+匕、/+/和ah有關(guān)問題的最值

命題方向十二:待定系數(shù)法求最值

命題方向十三：△法求最值

【2024年高考預(yù)測】

基本不等式作為工具，常結(jié)合其他知識點(diǎn)進(jìn)行考察，如解析幾何、函數(shù)求最值，實(shí)際

應(yīng)用等求范圍題型，難度為基礎(chǔ)題或中檔題.

【知識點(diǎn)總結(jié)】

1、基本不等式：血,巴吆

2

(1)基本不等式成立的條件：a>0,b>0

(2)等號成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng)。=〃時，等號成立.

(3)其中竺叫做正數(shù)a,b的算術(shù)平堤數(shù)，J拓叫做正數(shù)a,6的幾何平均數(shù).

2

2、幾個重要的不等式

(1)a2+/?2?2ab(a,beR).

(2)-+-=2(a,b同號).

ab

(3)ab?(a,)(?,Z?GR).

，八a2+b2Ca+b^.

(4)——-——2J(?,PeR).

以上不等式等號成立的條件均為a=b.

3、利用基本不等式求敢值

(1)已知x,y都是正數(shù)，如果積犯等于定值尸，那么當(dāng)x=y時，和x+y有最小值

14P

(2)已知尤，y都是正數(shù)，如果和尤+y等于定值S,那么當(dāng)x=y時，積孫有最大值

-S2

4

注意：利用不等式求最值應(yīng)滿足三個條件“一正、二定、三相等”.

【方法技巧與總結(jié)】

1、常見求最值模型

模型一：小+422^^藐(機(jī)>0,〃>0),當(dāng)且僅當(dāng)％=時等號成立；

xVm

模型二：mx-\——=m(x—a)——-—Fma>2y[mn+ma(m>0,n>0),當(dāng)且僅當(dāng)

x-ax-a

=時等號成立;

Vm

Y]i當(dāng)且僅當(dāng)彳=「時等號成

模型三:—----=---------V—產(chǎn)—(a>0,c>0)

^-+bx+cax+b+L2y[ac+b

X

立;

模型四：x(〃-如)=-*<L(〃”"〃、2=W(”0,-0,0<x<n，當(dāng)且

mm24mm

僅當(dāng)X=」_時等號成立.

2m

2、權(quán)方和不等式

若at>0,Z?>0,m>0,

m+lm+\

貝|吼+1++d2(4+。2+凡)成立.當(dāng)a九匕的時，等號成立.

4"紛圖(偽+%+次

【典例例題】

命題方向一：基本不等式及其應(yīng)用

【通性通解總結(jié)】

熟記基本不等式成立的條件，合理選擇基本不等式的形式解題，要注意對不等式等號

是否成立進(jìn)行驗(yàn)證.

例1.（2023?全國?高三專題練習(xí)）《幾何原本》卷2的幾何代數(shù)法（以幾何方法研究代數(shù)問

題）成了后世西方數(shù)學(xué)家處理問題的重要依據(jù)，通過這一原理，很多的代數(shù)的公理或定理

都能夠通過圖形實(shí)現(xiàn)證明，也稱之為無字證明.現(xiàn)有如圖所示圖形，點(diǎn)尸在半圓。上，點(diǎn)

C在直徑A2上，且上，Afi,設(shè)AC=。，BC=b,則該圖形可以完成的無字證明為

a+

A.^>4ab(a>0,b>0)B.a2+b2>2y[ab((2>0,Z?>0)

2

22

C.a<y[ab(a>0,Z?>0)na+ba+bn7八、

a+b

【答案】D

【解析】設(shè)ACiBCm可得圓。的半徑為一8cA八皇,

a+b,a—b

又由=—5C=--------b=------

22

在Rt_OCF中，WFC2=OC2+OF2=十]等)=^T~

因?yàn)槭琌V/C,所以"J"+”?,當(dāng)且僅當(dāng)a=6時取等號.

2V2

故選：D.

例2.（2023?全國?高三專題練習(xí)）《幾何原本》第二卷中的幾何代數(shù)法（以幾何方法研究代

數(shù)問題）成了后世西方數(shù)學(xué)家處理問題的重要依據(jù)，通過這一原理，很多代數(shù)的定理都能

夠通過圖形實(shí)現(xiàn)證明，并稱之為無字證明.現(xiàn)有如圖所示的圖形，點(diǎn)P在半圓。上，且

OF±AB,點(diǎn)C在直徑A3上運(yùn)動.作CD,他交半圓。于點(diǎn)D.設(shè)AC=a,BC=b,

則由FC2a）可以直接證明的不等式為（）

B.a1+b2>2ab(<a>0,Z?>0)

lab<a；”(q>0,6>0)a+b2

C.D.y[ab<(a>0,Z?>0)

a+b2

【答案】D

【解析】連接A。/。，由題知CDLAB,AD±DB,

所以ZADC+NCDB=NCDB+NCBD,即ZADC=NCaD,

因?yàn)镹ACD=NQCB=90，

所以"CD△DCS,

匚匚IACCD/—

所以，即CD=4ab，

/JCnC

因?yàn)锳C=a,BC=b,

在2“a+ba+ba-b

所以。尸=