人教版九年級數(shù)學上冊專項復習：正多邊形和圓（解析版）

24.3正多邊形和圓

【基礎(chǔ)訓練】

一、單選題

i.正十邊形的中心角是（）

A.18°B.36°C.72°D.144°

【答案】B

【分析】

正多邊形的每個中心角相等，且其和是360。，故一個中心角的度數(shù)為360。除以正多邊形的邊數(shù).

【詳解】

正十邊形的每個中心角相等，且其和是360。，故一個中心角的度數(shù)為：360。-10=36。

故選：B

【點睛】

本題考查了求正多邊形中心角，這時要清楚正多邊形的中心角都相等且它們的和組成一個周角.

2.如圖，正五邊形ABCDE內(nèi)接于:。，點P為DE上一點（點尸與點。，點E不重合），連接PC,PD,

DG±PC,垂足為G,則ZPDG等于（）

C.36°D.64°

【答案】B

【分析】

根據(jù)正五邊形ABCDE內(nèi)接于《O,可得NCOD,再根據(jù)同弧所對的圓周角和圓心角的關(guān)系，可得NCPD,

再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可得NPDG.

【詳解】

解：：正五邊形ABCDE內(nèi)接于〔O,

360°

/COD=——=72°

5

：NCP。與NCOD所對的弧相同

：.ZCPD=-ZCOD=36°

2

ZPDG=180°-90°-36°=54°

故選：B.

【點睛】

本題主要考查了圓內(nèi)接正多邊形的性質(zhì)及同弧所對的圓周角和圓心角的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是求出CD所對的

圓心角.

3.如圖，四邊形ABC。內(nèi)接于>0,若々">=100。，則NDW的度數(shù)為（）

A.50°B.80°C.100°D.130°

【答案】D

【分析】

綜合圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)及圓周角定理即可求解.

【詳解】

根據(jù)圓周角定理可得，ZBCD=-ZBOD=50°,

2

又由圓的內(nèi)接四邊形性質(zhì)可知，ZC+ZA=180°,

.,.ZDAB=180°-50o=130°,

故選：D.

【點睛】

本題考查圓周角定理和圓的內(nèi)接四邊形性質(zhì)，熟記性質(zhì)并靈活運用是解題關(guān)鍵.

4.如圖，四邊形ABC。內(nèi)接于。。，E在延長線上，若/DCE=50。,則NA等于（）

A.40°B.50°C.70°D.80°

【答案】B

【分析】

根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可直接得出結(jié)論.

【詳解】

:四邊形A2C。是圓內(nèi)接四邊形，ZDCE=50°,

：.ZA+ZBC￡)=180°,

,/ZDCE+ZBCD=180°,

/A=/￡?CE=50°.

故選：B.

【點睛】

本題考查圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，熟練掌握基本性質(zhì)并運用求解是解題關(guān)鍵.

5.如圖，四邊形ABCD是：。的內(nèi)接四邊形，ZA=125°,則的度數(shù)為（）

B.65°C.110°D.125°

【答案】C

【分析】

根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求出/C的度數(shù)，根據(jù)圓周角定理計算即可.

【詳解】

解：：四邊形ABCD為。O的內(nèi)接四邊形，ZA=125°,

.".ZC=180°-ZA=55°,

.../BOD=2NC=110°.

故選：C.

【點睛】

本題考查的是圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)和圓周角定理，掌握圓內(nèi)接四邊形的對角互補是解題的關(guān)鍵.

6.如圖，四邊形ABCD是園內(nèi)接四邊形，E是BC延長線上一點，若/BAD=110。，則/DCE的大小是（

A.70°B.105°C.110°D.120°

【答案】C

【分析】

由NDW+NDCB=180，便可計算/DCE的大小了.

【詳解】

解：四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形

???ZDAB+ZDCB=1SO

NDCE+NDCB=180

:.ZBAD^ZDCE=110

故選C

【點睛】

本題考查圓內(nèi)接四邊形對角互補的性質(zhì)，理解是關(guān)鍵.

7.如圖，。。是正六邊形A3CDEE的外接圓，P是弧上一點，則NCP。的度數(shù)是（）

A.30°B.40°C.45°D.60°

【答案】A

【分析】

連接OC,OD,構(gòu)造圓心角，利用同弧所對的圓周角是圓心角的一半求得答案即可.

【詳解】

解：連接oc,OD,

,/六邊形ABCDEF是正六邊形，

360°

；./COD=-------=60°,

6

/.ZCPD=—ZCOD=30°.

2

故選A.

【點睛】

本題考查正多邊形和圓以及圓周角定理，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造圓心角.

8.如圖，在。。中，四邊形A3CD測得ZABC=150°，連接AC,若的半徑為4,則AC的長為（）

B.273D.473

【答案】C

【分析】

連接OA,OC,利用內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得出ND=30。，進而得出NAOC=60。，利用等邊三角形性質(zhì)解答即

可.

【詳解】

解：連接OA,OC,

四邊形ABCD是。O的內(nèi)接四邊形，

.../B+ND=180。，ZABC=150°

解得：ND=30°,

.".ZAOC=60°,

又OC=OA,

.?.△OAC是等邊三角形,

又AC=4,

半徑OC=OA=4.

【點睛】

此題考查內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，關(guān)鍵是利用內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得出/D=30。.

9.如圖，在由邊長相同的7個正六邊形組成的網(wǎng)格中，點A,8在格點上.再選擇一個格點C,使AABC

是以A8為腰的等腰三角形，符合點C條件的格點個數(shù)是（）

【答案】B

【分析】

確定AB的長度后即可確定點C的位置.

【詳解】

AB的長等于六邊形的邊長+最長對角線的長,

據(jù)此可以確定共有2個點C,位置如圖，

故選:B.

【點睛】

本題考查了正多邊形和圓以及等腰三角形的判定，解題的關(guān)鍵是確定AB的長，難度不大.

10.圓的內(nèi)接四邊形ABCD的四個內(nèi)角之比的可能的值是()

A.1:2:3：4B.1:3:2:4C.1:4:2:3D.1：2:4:3

【答案】D

【分析】

因為圓的內(nèi)接四邊形對角互補，則兩對角的和應該相等，比值所占份數(shù)也相同，據(jù)此求解.

【詳解】

解：圓的內(nèi)接四邊形對角互補，

ZA+ZC=ZB+ZD=180°,

.?./4:々:/。:/。的可能的值是1:2:4:3.

故選：D.

【點睛】

本題考查了圓的內(nèi)接多邊形的性質(zhì)，此題比較簡單，注意圓的內(nèi)接四邊形的對角互補定理的應用是解此題

的關(guān)鍵.

11.在圓內(nèi)接四邊形ABCD中，若NA:NB:NC=2:3:4,則ND=()

A.90°B.120°C.150°D.240°

【答案】A

【分析】

根據(jù)NA:NB:NC=2:3:4可設(shè)/A=2x,則N3=3x,NC=4x,然后利用圓內(nèi)接四邊形對角互補可得

ZA+ZC=180°,解得無，從而求出各角度數(shù).

【詳解】

解:設(shè)NA=2x,因為NA:NB:NC=2:3:4,

則NB—3x,/C—4-x,

根據(jù)圓內(nèi)接四邊形對角互補可得NA+NC=180°,

所以2x+4x=180°,

解得x=30°,

所以NB=90。，ZD=180°-ZB=90°.

故選A.

【點睛】

本題主要考查圓內(nèi)接四邊形對角互補的性質(zhì).熟練掌握圓內(nèi)接四邊形對角的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵.

12.如圖，四邊形ABC。是。。的內(nèi)接四邊形，BE平分/A8C,若/。=110。，則/A8E的度數(shù)是（）

A.30°B.35°C.50°D.55°

【答案】B

【分析】

根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到加C=18O。-2=70。，根據(jù)角平分線的定義計算即可.

【詳解】

解：一四邊形ABCD是（。的內(nèi)接四邊形，

ZABC=180°-ZD=70°,

BE平分NABC,

:.ZABE^~ZABC=35°,

2

故選：B.

【點睛】

本題考查的是圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，掌握圓內(nèi)接四邊形的對角互補是解題的關(guān)鍵.

13.如圖，四邊形A3CD是圓內(nèi)接四邊形，E是延長線上一點，若NBAD=105%則的大

小是（）

A.25B.65C.75D.105

【答案】D

【分析】

根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的對角互補得到NBA￡>+/BCD=180。，而/BCD與/DEC為鄰補角，得到

ZDCE=ZBAD=\Q5°.

【詳解】

四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形，

：.ZBAD+ZBCD=1SO°,

而ZBCD+ZDCE=180°,

ZDCE=ZBAD.

'：ZBAD=105°,

：.ZDCE=W5°.

故選：D.

【點睛】

本題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)：圓內(nèi)接四邊形的對角互補.也考查了鄰補角的定義以及等角的補角相等.

14.將正方形紙片按圖①方式依次對折得圖②的ABC,點。是AC邊上一點，沿線段6D剪開，展開后

得到一個正八邊形，則點。應滿足（）

A.BDLACB.AD=ABC.ZADB=6O°D.AD=DB

【答案】B

【分析】

根據(jù)折疊的性質(zhì)易得/A4C=45。，然后由正多邊形的性質(zhì)可進行排除選項.

【詳解】

解：由題意得：ZBAC=45°,

二沿線段8。剪開，展開圖即為八邊形，

若使展開后得到的是一個正八邊形，則需滿足以點A為圓心，AD,為半徑即可,

AD=AB-

故選B.

【點睛】

本題主要考查正多邊形和圓、正方形的性質(zhì)及折疊的性質(zhì)，熟練掌握正多邊形和圓、正方形的性質(zhì)及折疊

的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

15.如圖，正方形ABCD內(nèi)的圖形來自中國古代的太極圖，正方形內(nèi)切圓中的黑色部分和白色部分關(guān)于正

方形的中心成中心對稱，設(shè)正方形ABCD的面積為S,黑色部分面積為跖，則S/S的比值為()

【答案】A

【分析】

根據(jù)題意，設(shè)正方形的邊長為2°,則圓的半徑為°,分別表示出黑色部分面積和正方形ABCD的面積，進

而即可求得S]：S的比值.

【詳解】

設(shè)正方形的邊長為2a,則圓的半徑為a

S=4a2＞圓的面積為萬/

:正方形內(nèi)切圓中的黑色部分和白色部分關(guān)于正方形的中心成中心對稱

黑色部分面積為圓面積的一半

?c1]?2

??3―兀a

12

S.:(4a2)=-,

128

故選：A.

【點睛】

本題主要考查了陰影部分面積的求解，準確運用字母表示正方形面積和圓形面積并結(jié)合多邊形內(nèi)切圓性質(zhì)、

中心對稱圖形性質(zhì)等相關(guān)知識點是解決本題的關(guān)鍵.

16.一個適當大的正六邊形，它的一個頂點與一個邊長為定值的小正六邊形A3CDEF的中心。重合，且

與邊A3、CD相交于G、H(如圖).圖中陰影部分的面積記為S,三條線段GB、BC、的長度之

和記為/,在大正六邊形繞點。旋轉(zhuǎn)過程中，下列說法正確的是()

A.S變化，/不變B.S不變，/變化

C.S變化，/變化D.S與/均不變

【答案】D

【分析】

如解析圖，利用全等三角形的判定與性質(zhì)，證明AAOG四△(%)//,從而得到AG=C8,最終將所求問題轉(zhuǎn)換

到四邊形OABC中進行判斷即可.

【詳解】

如圖所示，連接。4,0C,

由正六邊形的性質(zhì)可知，

OA=OC,ZAOC=ZGOH=120°,ZOAG=ZOCH=GO0,

：.ZAOG=ZCOH,

在△4。3與小CO"中，

ZAOG=ZCOH

<OA=OC

ZOAG=ZOCH

：.AAOG^/\COH(ASA),

??^AAOG=S&COH，AG=CH,

：.I=GB+BC+CH=GB+BC+AG=AB+BC=2AB,

S=SCOH+S四邊形OGBC=SAOG+S四邊形OGBC=S四邊形OABC，

正六邊形ABCDEF的邊長為定值，

不改變，四邊形0ABe的面積不改變，即S不改變,

故選：D.

【點睛】

本題考查正多邊形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)，理解正六邊形的性質(zhì)，熟練運用全等三角形的判

定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

17.如圖，正五邊形內(nèi)接于C。，點P為（點尸與點。，點E不重合），連接PC,PD,DG1PC,

垂足為G,則NPDG等于（）

A.72°B.54°C.36°D.64°

【答案】B

【分析】

連接OC,OD.求出正五邊形的中心角，再利用圓周角定理可得結(jié)論.

【詳解】

解：連接。C,0D.

360°

在正五邊形ABCDE中,NCOD=-------=72°,

5

：.ZCPD=—ZCOD=36°,

2

'：DGLPC,

：.ZPGD=90°,

/PDG=90°-36°=54°,

故選：B.

【點睛】

本題考查正多邊形的性質(zhì)，圓周角定理等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考常考題型.

18.如圖①，直六棱柱的底面是正六邊形，側(cè)面ABC。中，10cm,BC=20cm,現(xiàn)用一塊矩形紙板EFGH

制作圖①中的直六棱柱，按圖②中的方案裁剪，則GP的長是（）

%~「--------1G

圖①圖②

A.(20+1073)cmB.(30+1073)cmC.(20+20逝)cmD.40出cm

【答案】C

【分析】

直接利用正六邊形的性質(zhì)結(jié)合六棱柱側(cè)面展開圖的性質(zhì)分析得出答案.

【詳解】

如圖所示:

圖①圖②

可得MN=BC=20ctn,

△是等邊三角形，邊長為10。小，

則它的高為：^/102-52=573（cm）,

故FG=20+4x5相=（20+20石）cm.

故選：C.

【點睛】

本題主要考查了正多邊形，正確掌握正六邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

19.如圖，在一張正六邊形紙片中剪下兩個全等的直角三角形（陰影部分），拼成一個四邊形，若拼成的四

邊形的周長為12,則紙片的剩余部分拼成的五邊形的面積為（）

A.2473B.2073C.8D.16

【答案】B

【分析】

由題可知，求解剩余部分拼成的五邊形的面積，需要利用R3OBC,求解正六邊形面積和兩個直角三角形

面積；最后正六邊形面積減去兩倍RSOBC的面積即可.

【詳解】

依題意，如圖,

根據(jù)題意得：ZBOC=30°,設(shè)BC=尤，貝|OB=2x,0C=氐，

：.2(x+2x)=12,

解得x=2,

，OC=25

5A0BC=|xBCx(?C=1x2x2V3=273；

?1?正六邊形的面積=12XSAOEC=12X2指=24有；

..?拼成一個四邊形的面積為：2XSA@C=4石；

，紙片的剩余部分拼成的五邊形的面積為：246-4省=204；

故選：B.

【點睛】

本題考查正六邊形的性質(zhì)及面積求法，重點在于利用正六邊形分解成12個全等直角三角形的方法.

20.如圖，AB，AC分別為。的內(nèi)接正三角形和內(nèi)接正四邊形的一邊，若恰好是同圓的一個內(nèi)接

正〃邊形的一邊，則”的值為()

A.8B.10C.12D.14

【答案】C

【分析】

連接OB,OC,OA,根據(jù)圓內(nèi)接正三角形，正方形可求出NAC歸，NAOC的度數(shù)，進而可求N3OC的

度數(shù)，利用N50C=吧360L°，即可求得答案.

n

【詳解】

如圖：連接OB,OC,OA,

AABE為圓內(nèi)接正三角形

360°

:.ZAOB=^~=120°

3

-四邊形ACDF為圓內(nèi)接正方形

360°

ZAOC=——=90°

4

ZBOC=ZAOB-ZAOC=120°-90°=30°

360°

若以BC為邊的圓內(nèi)接正〃邊形，則有NBOC=——=30°

n

n-12.

故選：C.

【點睛】

本題考查了圓內(nèi)接正多邊形中心角的求法，熟練掌握圓內(nèi)接正多邊形的中心角等于3二60三°（“為正多邊形的

n

邊數(shù)）是解題關(guān)鍵.

21.如圖，螺母的外圍可以看作是正六邊形ABCDEF,己知這個正六邊形的半徑是2,則它的周長是（）

A.673B.1273C.12D.24

【答案】C

【分析】

如圖，先求解正六邊形的中心角NAO3,再證明4AQB是等邊三角形，從而可得答案.

【詳解】

解：如圖，。為正六邊形的中心，為正六邊形的半徑，

.?.ZA（9B=-x360°=60°,

6

OA=OB=2,

為等邊三角形，

:.AB=2,

正六邊形ABCDEF的周長為6x2=12.

故選：C.

【點睛】

本題考查的是正多邊形與圓，正多邊形的半徑，中心角，周長，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵.

EF

22.如圖，正方形ABCD和正△AEF都內(nèi)接于。O,EF與BC、CD分別相交于點G、H,則——的值是（）

GH

A.2B.JlC.6D.2

2

【答案】C

【分析】

連接AC、BD、OF,由角平分線性質(zhì)解得NOAF=30。，再根據(jù)等邊對等角性質(zhì)，解得/OFA=NOAF=30。，

「HCJ1

繼而得到/COF=60。，再根據(jù)60。的正弦值解得FI的值，從而得到EI的值，繼而得到——=——=—,再

BDCO2

解得GH的值即可解題.

【詳解】

如圖，連接AC、BD、OF,

設(shè)。。的半徑是r,

則OF=r,

?；AO是/EAF的平分線,

.../OAF=60°+2=30°,

VOA=OF,

?.ZOFA=ZOAF=30°,

ZCOF=30°+30°=60°,

FI=r*sin60°=r，

2

.*.EF=—rx2=，

2

VAO=201,

111

??-01=-r,CI=r--r=-r,

GHCI1

------=------=-,

BDCO2

11c

GH=-BO=-x2r=r,

22

.EFV3r瓜

,?----=----=7*

GHr

即則變的值是

GH

故選：C.

【點睛】

本題考查正多邊形與外接圓的綜合，涉及角平分線的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、正弦等知識，是重要考點，難

度較易，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵?

23.如圖，四邊形ABCD是。O的內(nèi)接四邊形，若NBOD=130。，則/A的度數(shù)為（）

A.50°B.65°C.115°D.130°

【答案】C

【分析】

先根據(jù)圓周角定理求出NBCD的度數(shù)，再根據(jù)圓的內(nèi)接四邊形對角互補的性質(zhì)求出結(jié)果.

【詳解】

解：,：NBOD=130。,

ZBCD=-ZBOD=65°,

2

四邊形ABCD是。。的內(nèi)接四邊形，

ZA+ZBCD=1SO°,

AZA-1150.

故選：C.

【點睛】

本題考查圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握圓的內(nèi)接四邊形對角互補的性質(zhì).

24.如圖，四邊形A5CD是。。的內(nèi)接四邊形，ZC=130°,則N3OD的度數(shù)為（）

A.70°B.90°C.100°D.110°

【答案】C

【分析】

先根據(jù)圓內(nèi)接四邊形內(nèi)對角的和為180度，解得NDW的度數(shù)，再根據(jù)同圓中，同弧所對的圓周角等于其

圓心角的一半解題即可.

【詳解】

?「四邊形ABC。是。。的內(nèi)接四邊形，ZC=130°,

ZJn4B=180°-130°=50°

NBOD=2ZDAB=2x50°=100°,

故選：C.

【點睛】

本題考查圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、圓周角定理及其推論等知識，是重要考點，難度較易，掌握相關(guān)知識是解

題關(guān)鍵.

25.如圖，CD是。O的弦，O是圓心，把。。的劣弧沿著CD對折，A是對折后劣弧上的一點，則NCAD與

ZB的關(guān)系是（）

A.ZCAD=2ZBB.ZCAD+ZB=120°

C.ZCAD+ZB=180°D.無法確定

【答案】C

【分析】

還原點A折疊前的位置，然后利用圓的內(nèi)接四邊形對角互補的性質(zhì)得到結(jié)論.

【詳解】

解:如圖，點A'為點A折疊前的位置，

???折疊，

ACAD=ACAD,

??,四邊形A'CBD是。的內(nèi)接四邊形，

ZCAD+ZB=1SO°,

：.ZCAD+ZB=180°.

故選：C.

B

【點睛】

本題考查圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握圓的內(nèi)接四邊形對角互補的性質(zhì).

26.如圖，AB是。O的直徑，0為圓心，C是。。上的點，D是AC上的點，若/D=120。，則/BOC的

大小為（）

A.60°B.55°C.58°D.40°

【答案】A

【分析】

利用圓內(nèi)接四邊形對角互補可得NB的度數(shù)，然后再判定△COB是等邊三角形，進而可得答案.

【詳解】

解：VZD=120°,

：.ZB=60°,

VCO=BO,

AACOB是等邊三角形，

.".ZCOB=60°,

故選：A.

【點睛】

此題主要考查了圓周角定理，關(guān)鍵是掌握圓內(nèi)接四邊形對角互補.

27.如圖，五邊形ABCDE是。。的內(nèi)接正五邊形，則正五邊形中心角NCOQ的度數(shù)是（）

D.72°

【答案】D

【分析】

根據(jù)圓內(nèi)接正多邊形的性質(zhì)及題意可直接進行求解.

【詳解】

解：：五邊形A2COE是。。的內(nèi)接正五邊形，

360°

五邊形A2CL比的中心角NCOD的度數(shù)為有一=72。,

故選：

【點睛】

本題主要考查圓內(nèi)接正多邊形，熟練掌握圓內(nèi)接正多邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

28.如圖，已知點C,。是以為直徑的半圓上的兩個點，且AC=3。，下列結(jié)論中不一定成立的是（

A.AC=BDB.ZABC=ZCBD

C.ZABD+ZACD=1SQ°D.CD//AB

【答案】B

【分析】

根據(jù)圓的性質(zhì)，內(nèi)接四邊形和平行線的性質(zhì)對選項逐一判定即可.

【詳解】

AC=BD<

；.AC=BD,故本選項成立;

B、要使=則AC=CD，即AC=CD,根據(jù)題意無法得出這個條件，故本選項不成立;

C、:四邊形ABCD是圓的內(nèi)接四邊形,

：.ZABD+ZACD^1SQ0,故本選項成立;

D>'-'AC=BD>

.".ZCBA=ZDCB,

CD//AB；

故選：B.

【點睛】

本題考查了圓的性質(zhì)，內(nèi)接四邊形和平行線的性質(zhì)，掌握這些知識點是解題關(guān)鍵.

29.如圖，正五邊形ABCDE內(nèi)接于0,則NZME的度數(shù)是（）

A.36°B.26°C.30°D.45°

【答案】A

【分析】

連接OD,OE,求出/DOE=72。，再根據(jù)圓周角定理即可求出NZME的值.

【詳解】

解：如圖所示，連接OD,OE,

「ABCDE是正五邊形，

360°

AZDOE=-------=72°,

5

/.ZDAE^—/DOE=36。,

2

故選：A.

【點睛】

本題考查正多邊形和圓、圓周角定理等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識.

30.如圖AB是。O的直徑，點C、D、E在0O上，ZAEC=25°,ZBDC=()

D

A.100°B.110°C.120°D.115°

【答案】D

【分析】

連接BE,由題意易得/AEB=90。，則有/CEB=65。，然后根據(jù)圓內(nèi)接四邊形可求解.

【詳解】

解：連接BE,如圖所示：

D

：AB是。O的直徑，

ZAEB=90°,

VZAEC=25°,

ZCEB=65°,

,/四邊形ECDB是圓內(nèi)接四邊形，

AZCEB+ZBDC=180°,

.".ZBDC=115°；

故選D.

【點睛】

本題主要考查圓周角及圓內(nèi)接四邊形，熟練掌握圓周角及圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

二、填空題

31.如圖，將邊長相等的正六邊形和正五邊形拼接在一起，則NABC的度數(shù)為<

【答案】132

【分析】

根據(jù)正多邊形的內(nèi)角和定理求得正五邊形和正六邊形的內(nèi)角，根據(jù)周角的定義即可得到結(jié)論.

【詳解】

由題意得：正六邊形的每個內(nèi)角都等于工x(6-2)xl80°=120。，正五邊形的每個內(nèi)角都等于

6

|x(5-2)xl80°=108°,

ZABC=360°-120°-108°=132°,

故答案為：132.

【點睛】

本題考查的是正多邊形的內(nèi)角計算4(〃-2)x180°,圓周角概念，正確的理解題意，通過圖形分析求解是

n

解題的關(guān)鍵.

32.六個帶30。角的直角三角板拼成一個正六邊形，直角三角板的最短邊為1,求中間正六邊形的面積

【答案］巫.

2

【分析】

由六個帶30。角的直角三角板拼成一個正六邊形，直角三角板的最短邊為1,可以得到中間正六邊形的邊長

為1,做輔助線以后，得到△ABC、△CDE,AAE尸為以1為邊長的等腰三角形，AACE為等邊三角形，再

根據(jù)等腰三角形與等邊三角形的性質(zhì)求出邊長，求出面積之和即可.

【詳解】

解：如圖所示，連接AC、AE、CE,作BG_LAC、DILCE.FH±AE,AILCE,

在正六邊形ABCOE/中，

???直角三角板的最短邊為1,

正六邊形ABCDEF為1,

...△ABC、△CDE.AAE尸為以1為邊長的等腰三角形，AACE為等邊三角形,

VZABC=ZCDE^ZEFA=120°,AB=BC=CD=DE=EF=FA=\,

：.ZBAG=ZBCG=ZDCE=ZDEC=ZFAE=ZFEA=3Q°,

：.BG=DI=FH=—,

2

...由勾股定理得：AG=CG=CI=EI=EH=AH=2,

2

：.AC=AE=CE=43，

3

???由勾股定理得：AI=—,

2

5=3x—xy/3x—+—x6x—=,

22222

故答案為：bH.

2

【點睛】

本題主要考查了含30度角的直角三角形的性質(zhì)、正多邊形形與圓以及等邊三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵在于知識點：

在直角三角形中，30度角所對的直角邊等于斜邊的一半的應用.

33.已知一個正六邊形的外接圓半徑為2,則這個正六邊形的周長為.

【答案】12.

【分析】

畫出符合題意的圖形，先求解正六邊形的中心角NAQB,證明-AQB是等邊三角形，求解AB=2,從而可

得答案.

【詳解】

解：如圖，由題意得：OA=OB=2,

正六邊形ABCDEF,

360°

ZAOB=——=60°,AB=BC=CD=DE=EF=AF,

6

.?qAOB是等邊三角形，

..AB=2,

???正六邊形ABCDEF的周長是6x2=12.

故答案為：12.

【點睛】

本題考查的是正多邊形與圓的關(guān)系，正多邊形的中心角，正多邊形的半徑，等邊三角形的判定與性質(zhì)，掌

握正多邊形中的基本概念的含義是解題的關(guān)鍵.

34.如圖，四邊形A3CD為＜。的內(nèi)接正四邊形，.AE"為］。的內(nèi)接正三角形，若"'恰好是同圓的一

個內(nèi)接正〃邊形的一邊，則九的值為

【答案】12

【分析】

連接。4、OB.OC,如圖，利用正多邊形與圓，分別計算。。的內(nèi)接正四邊形與內(nèi)接正三角形的中心角得

360°

到乙4。。=90。，ZAOF=}2Q°,則/。。尸=30。，然后計算----即可得到w的值.

30°

【詳解】

'.'AD,AF分別為。。的內(nèi)接正四邊形與內(nèi)接正三角形的一邊,

360°360°

ZAOD=-------=90°,ZAOF=--------=120°,

43

ZDOF=ZAOF-ZAOD=30°,

即恰好是同圓內(nèi)接一個正十二邊形的一邊.

故選：C.

【點睛】

本題考查了正多邊形與圓：把一個圓分成”（〃是大于2的自然數(shù)）等份，依次連接各分點所得的多邊形是

這個圓的內(nèi)接正多邊形，這個圓叫做這個正多邊形的外接圓；熟練掌握正多邊形的有關(guān)概念.

35.我國魏晉時期的數(shù)學家劉徽首創(chuàng)“割圓術(shù)”，利用圓的內(nèi)接正多邊形來確定圓周率.若設(shè)。。的半徑為R,

圓內(nèi)接正W邊形的邊長、面積分別為的，S",圓內(nèi)接正2w邊形邊長、面積分別為02",劉徽用以下公式

QO的內(nèi)接正八邊形AEBFCGDH的面積為

【答案】2年

【分析】

求出正四邊形的邊長，利用公式求出面積即可.

【詳解】

解：連接AC,四邊形A3CD是圓內(nèi)接正四邊形，ZADC=90°,

，AC是圓的直徑，AC=2,

AD-+DC-=AC2,

:?AD=DC=6,

Sq=—x4xyflx1=20,

2

故答案為：2夜.

G

C

0E

【點睛】

本題考查了圓內(nèi)接正多邊形，解題關(guān)鍵是利用圓內(nèi)接正多邊形的性質(zhì)求出正方形邊長.

三、解答題

36.如圖，已知圓。內(nèi)接正六邊形A3CDEF的邊長為6cm,求這個正六邊形的邊心距小面積S.

【答案】n-3y/3cm，S=54J5c機？

【分析】

連接OA、OB,過點O作OHLAB于點H,由題意易得△OAB是等邊三角形，則有OA=6cm,然后根據(jù)勾

股定理可求解邊心距OH=n,然后利用三角形面積求解六邊形的面積即可.

【詳解】

解：連接OA、OB,過點O作OHLAB于點H,即邊心距n=OH,如圖所示：

D

，AH=HB,ZAOH=BOH,

:六邊形ABCDEF是正六邊形，

ZAOB=60°,AB=BC=CD=DE=EF=AF=6cm,

VOA=OB,

...AAOB是等邊三角形，

.".AH=3cm,ZAOH=30°,OA=AB=6cm,

''n=OH=VOA1—AH~=3y/3cm，

2

S)=—AB-OH=—x6x3A/3=9y/3cm,

VArR22

2

S=6SVAOB=6x9V3=54V3cm.

【點睛】

本題主要考查正多邊形與圓，熟練掌握正多邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

37.如圖，A5c是。。上的三個點，A6=AC,點。在(。上運動(不與點45c重合)，連接ZM,

DB，DC.

(1)如圖1,當點。在上時，求證：ZADB^ZADC；

(2)如圖2,當點。在A8上時，求證：ZADB+ZADC=180°；

25

(3)如圖2,已知。的半徑為一，BC=12,求A3的長.

4

【答案】(1)見解析；(2)見解析；(3)AB=10

【分析】

(1)根據(jù)同圓中等弦所對的圓周角相等可求證；

(2)根據(jù)題意易得/ADB+/ACB=180。，ZACB=ZADC,進而問題可證；

(3)連接0B,過點A作AELBC交于點E,由題意易得圓心0在線段AE上，然后可得BE=EC=6,然后

根據(jù)勾股定理可求解.

【詳解】

(1)證明：VAB=AC,

二弧AB=MAC

ZADB=ZADC；

(2)證明：：四邊形ADBC是圓內(nèi)接四邊形，

ZADB+ZACB=180°,

VAB=AC,

；./ABC=/ACB,

/ADC=NABC

AZACB=ZADC,

：.ZADB+ZADC=180°；

(3)解：連接OB,過點A作AELBC交于點E,如圖所示：

VAB=AC,BC=12,

；.BE=EC=6,

；.AE是線段BC的垂直平分線,

：△ABC是0O的內(nèi)接三角形,

.?.圓心O在線段AE上，

VOB=OA=——,

4

在RtABEO中，OE=y/OB--BE2=-,

4

257

AE=OA+OE=-+-=8,

44

在RtAAEB中，AB=y/AE2+BE2=10.

【點睛】

本題主要考查圓內(nèi)接四邊形、垂徑定理及圓周角，熟練掌握圓內(nèi)接四邊形、垂徑定理及圓周角是解題的關(guān)

鍵.

38.如圖，ABCDE是］。的內(nèi)接正五邊形.求證：AEBD.

【答案】證明見解析

【分析】

根據(jù)正五邊形的性質(zhì)求出NA=108°=NA3C=NC，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，可得/CBD的度數(shù)，進

而可得出/ABD的度數(shù)，然后根據(jù)同旁內(nèi)角互補，兩直線平行可證得結(jié)論.

【詳解】

證明：是正五邊形，

.(5-2)-180°

??ZA=--------------=108°o=ZABC=ZC.

5

又：BC=CD,

?…八/…180°-108°“

,,N—Ny^Dij—----------------30,

2

；?ZABD=108°-36°=72°，

???ZA+ZABD=108°+72°=180°，

AEBD.

【點睛】

本題考查的是正多邊形和圓，熟知正五邊形的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵.

39.如圖，四邊形AB即是圓的內(nèi)接四邊形，延長A。、助相交于點C,已知NC=NEDC.

（1）求證：AB=AC；

（2）若A3是四邊形ABED外接圓的直徑，求證：BE=ED-

【答案】（1）見解析；（2）見解析.

【分析】

（1）根據(jù)圓內(nèi)接四邊形對角互補證得/B=/C,從而利用等角對等邊證得AB=AC；

（2）連接AE,將證明弧相等轉(zhuǎn)化為弧相對的圓周角相等來實現(xiàn).

【詳解】

（1）,??四邊形ABED是圓內(nèi)接四邊形，

AZB+ZADE=180°

XVZEDC+ZADE=180°

ZEDC=ZB

又：NEDC=NC

ZB=ZC

；.AB=AC

ZAEB=90°

又：AB=AC

；.AE平分NBAC

.\ZBAE=ZEAD

?*-BE=DE

【點睛】

本題考查圓內(nèi)接四邊形及圓的有關(guān)性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是知道圓內(nèi)接四邊形及圓的有關(guān)性質(zhì).

40.如圖，四邊形A3CD內(nèi)接于圓，AD，8C的延長線交于點E，產(chǎn)是3。延長線上任意一點，AB=AC.

(1)求證：DE平分NCDF；

(2)求證：ZACD=AAEB.

【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析.

【分析】

(1)根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到/CDE=NABC,根據(jù)圓周角定理和等腰三角形的性質(zhì)證明即可；

(2)根據(jù)三角形外角的性質(zhì)和圖形得到NCAE+NEn/ABD+NDBC,得到根據(jù)圓周角定理證

明即可.

【詳解】

(1):四邊形ABCZ)內(nèi)接于圓，

ZCDE=ZABC.

由圓周角定理得：ZACB^ZADB,又NADB=NFDE,

：.ZACB=ZFDE.

"：AB=AC,

ZACB^ZABC,

：.ZFDE=ZCDE,即￡>E平分/CDF；

(2)VZACB=ZABC,ZACB=ZCAE+ZE,ZABC=ZABD+ZDBC,

：.ZCAE+ZE=ZABD+ZDBC.

ZCAE=ZDBC,

：.ZE=ZABD,

ZACD=ZAEB.

【點睛】

本題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)以及三角形外角的性質(zhì)，掌握圓內(nèi)接四邊形的任意一

個外角等于它的內(nèi)對角是解答本題的關(guān)鍵.

41.如下圖，在△ABC中，ZACB=90°,D是AB的中點，以DC為直徑的。O交△ABC的邊于G,F,E

點.求證：（1）NA=NGEF；（2）△BDF咨FEC.

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【分析】

（1）由CD是。。的直徑，所以NDFC=NACB=90。，貝IDF〃AC,由平行線的性質(zhì)可得NA=NBDF,

再由圓周角定理得NBDF=NGEF,即可得/A=/GEF；

（2）連接DE,可證出四邊形DECF是矩形，根據(jù)矩形的性質(zhì)得DF=EC,EF=CD,再由直角三角形斜邊

上的中線得EF=CD=-AB=DB,根據(jù)HL即可得RtABDF^RtAFEC.

2

【詳解】

證明：（1）：CD是。O直徑，

/DFC=90°又NACB=90°,

；.DF〃AC,

AZA=ZBDF,

VZBDF=ZGEF（圓周角定理），

；.NA=/GEF；

（2）連接DE,

,/四邊形DECF內(nèi)接于。O,

ZACB=90°,

ZEDF=ZDFC=ZACB=90°,

四邊形DECF是矩形，

；.DF=EC,EF=CD,又D是AB的中點，

1

；.EF=CD=-AB=DB,

2

RtABDF絲RtAFEC.

【點睛】

本題考查直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，圓周角定理，熟練掌握定理及性質(zhì)是解題的

關(guān)鍵.

42.如圖，A8為。。的直徑，點C、。都在。。上，且CZ)平分/AC8,交于點E.

(2)若。E=13,AE=17,求。。的半徑；

(3)。尸，AC于點尸，試探究線段ARDF、BC之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

【答案】(1)見解析；(2)12；(3)AF+BC=DF,理由見解析

【分析】

(1)由C。平分/ACS,根據(jù)圓周角定理，可得/ACO=/8CO=/A8。；

(2)過點E作￡加，4。于點河，求出AO長，則可求出A氏則答案得出；

(3)過點。作IWLCB,交CB的延長線于點N,可證明AD4/學△Z5BN,則AP=BN,￡>B=CF則結(jié)論

AF+BC=。/可得出.

【詳解】

(1)證明：：CZ)平分NACB,

???ZACD=ZBCD,

丁ZACD=ZABD,

：.ZABD=ZBCD；

(2)解：如圖1,過點E作EMLAD于點

圖1

?「AB為。。的直徑，

AZACB=90°,ZADB=90°,

：.ZDAB=ZBCD=45°,

9：AE=17,

：.ME=AM=17x叵=,

22

"：DE=13,

:.DM=dDE?—ME?=小=Z^l

：.AD=AM+DM=12.72，

：.AB=y[lAD=1272x72=24

.\AO=-AB=12；

2

(3)AF+BC=DF.理由如下：

如圖2,過點。作ONLCB,交的延長線于點N,

?..四邊形D4cB內(nèi)接于圓，

ZDBN=ZDAF,

■:DFLAC,DNLCB,C￡>平分NACB,

；.NAFD=NDNB=90°,DF=DN,

:.ADAF學ADBN(.AAS),

：.AF=BN,CF=CN,

'：ZFCD=45°,

:.DF=CF,

：.CN=BN+BC=AF+BC=DF.

即AF+BC=DF.

【點睛】

本題主要考查圓周角定理，勾股定理，圓內(nèi)接四邊形，全等三角形的判定及性質(zhì)，掌握圓的有關(guān)性質(zhì)，學

會對知識融會貫通是解題的關(guān)鍵.

43.如圖，△ABC中，AB^AC,以AB為直徑作。。，AC,BC分別交。。于￡、D,求證：DC=DE.

【答案】見解析

【分析】

根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

【詳解】

證明：???四邊形ABDE是圓內(nèi)接四邊形,

???NCED=NB,

?「AB=AC,

.*.ZB=ZC,

???NC=NCED,

ADC=DE.