2024-2025學(xué)年陜西省某中學(xué)高二年級(jí)上冊(cè)第一次月考數(shù)學(xué)試題+答案解析

2024-2025學(xué)年陜西省西安工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)高二上學(xué)期第一次月考

數(shù)學(xué)試題

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.已知集合4={1,2,3,4,5,9},_8={司五C4},則CA(AC_8)=()

A.{1,4,9}B.{3,4,9}C.{1,2,3}D.{2,3,5}

2.已知函數(shù)〃乃=［在R上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是().

Ie~I~in(~|~1),tic》0

A.(-oo,0]B.[-1,0]C.[-1,1]D.[0,+oc)

3.若向量~CL=(2,3)T=(-i,i),則了在言上的投影向量的坐標(biāo)是()

A.2四+1B.2\/3-1C.JD.1-A/3

2

5.某人拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子一次，記事件4="出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)"，B="出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)不大于3”，

事件。="出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)為3的倍數(shù)”，則下列說法正確的是()

A.A與B互為對(duì)立事件B.P(AUB)=尸(4)+P(B)

_2

C.P(C)=-D.P(4)=P(C)

o

6.一道競(jìng)賽題，A,B,C三人可解出的概率依次為］,若三人獨(dú)立解答，則僅有1人解出的概率為

234

()

11117

A.—B.—C.—D.1

242424

7.下列說法不正琥的是()

61

A.8個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)為5,另3個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)為7,則這11個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)是首

B.用抽簽法從含有20個(gè)個(gè)體的總體中抽取一個(gè)容量為4的樣本，則個(gè)體甲和乙被抽到的概率均為0.2

C.一組數(shù)據(jù)4,3,2,6,5,8的60%分位數(shù)為6

D.若樣本數(shù)據(jù)的，妝，…，的0的平均數(shù)為2,則數(shù)據(jù)一1,23一1,…，2皿0—1的平均數(shù)為3

第1頁，共20頁

8.如圖所示，在三棱柱AB?！?51cl中，若E,尸分別為/瓦/C的中點(diǎn)，平面EBiGF將三棱柱分成

體積為匕，匕的兩部分，則%:匕=()

A.7:5B.5:7C.3:2D.4:7

二、多選題：本題共4小題，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得5分,

部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分。

9.下列是基本事實(shí)的是()

A.過三個(gè)點(diǎn)有且只有一個(gè)平面

B,平行于同一條直線的兩條直線平行

C.如果一條直線上的兩個(gè)點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在這個(gè)平面內(nèi)

D.如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線

10.已知函數(shù)/(/)=sin(2rr—1),g(rr)=cos(2a;+：),貝i]()

o0

A./(立)與g(x)的圖象有相同的對(duì)稱中心

B.與g(r)的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱

C./(①)與gQ)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱

TT27r

D.f[x)》g(?)的解集為[-+A;%,--+k7v](keZ)

b3

11.在△AB。中，48=47=5,BC=6,尸為△AB。內(nèi)的一點(diǎn)，設(shè)/=出：石+4前，則下列說法

正確的是()

A.若尸為△4_BC的重心，貝！]2力+g=1

B.若尸為△ABC的外心，貝1」樂?不甘=18

C.若P為的垂心，則力+沙=二

16

5

D.若尸為△ABC的內(nèi)心，則立+9=3

O

12.在菱形48CD中，AB=1,ZABC=120°,將△AB。沿對(duì)角線8。折起，使點(diǎn)/至點(diǎn)P(P在平面

488外)的位置，貝女)

第2頁，共20頁

A.在折疊過程中，總有RCLLP。

B.存在點(diǎn)P,使得PC=2

37r

C.當(dāng)PC=1時(shí)，三棱錐P—B。。的外接球的表面積為E

D.當(dāng)三棱錐P—BCD的體積最大時(shí)，PC='

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

2

13.已知虛數(shù)z,其實(shí)部為1,且z+￡=7n(meH),則實(shí)數(shù)機(jī)為.

14.為了迎接2025年第九屆亞冬會(huì)的召開，某班組織全班學(xué)生開展有關(guān)亞冬會(huì)知識(shí)的競(jìng)賽活動(dòng).已知該班

男生30人，女生20入、按照分層抽樣的方法從該班共抽取10人，進(jìn)行一輪答題.相關(guān)統(tǒng)計(jì)情況如下：男

生答對(duì)題目的平均數(shù)為10,方差為1：女生答對(duì)題目的平均數(shù)為15,方差為0.5,則這10人答對(duì)題目的方

差為.

/—后a

15.已知銳角△AB。中，——=2cosC.則右一z早的取值范圍________.

c22bcosB

-lf(i—l)5+2]+sin(i-1)=3,

16.設(shè)egeR,滿足i，，則i+__________.

5

(y-l)+2y+sin(2/-l)=l

四、解答題：本題共6小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

17.(本小題12分)

某地教育研究中心為了調(diào)查該地師生對(duì)“高考使用全國(guó)統(tǒng)一命題的試卷”這一看法，對(duì)該市區(qū)部分師生進(jìn)

行調(diào)查，先將調(diào)查結(jié)果統(tǒng)計(jì)如下：

(1)請(qǐng)將表格補(bǔ)充完整，若該地區(qū)共有教師30000人，用頻率估計(jì)概率，試估計(jì)該地區(qū)教師反對(duì)''高考使用

全國(guó)統(tǒng)一命題的試卷”這一看法的人數(shù)；

(2)先按照比例分配的分層隨機(jī)抽樣從“反對(duì)”的人中抽取6人，再從中隨機(jī)選出3人進(jìn)行深入調(diào)研，求深

入調(diào)研中恰有1名學(xué)生的概率.

贊成反對(duì)合計(jì)

教師120

學(xué)生40

合計(jì)280120

18.(本小題12分)

記△4BC的內(nèi)角N,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知sinA+y^cosA=2.

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⑴求力;

(2)若Q=2,\/26sinC=csin2B>求△/?BC周長(zhǎng)?

19.(本小題12分)

如圖，在四棱錐P—4BCD中，P4,平面45CD,AB//CD,CD=4,PA=AB=BC=AD=2,

0為棱PC上的一點(diǎn)，MFQ=|PC.

o

(l)證明：平面QBO_L平面N8CA

(n)求直線。。與平面P3C所成角的正弦值.

20.(本小題12分)

現(xiàn)有兩種投資方案，一年后投資盈虧的情況如下表:

投資股市：

投資結(jié)果獲利40%不賠不賺虧損20%

113

概率

288

購買基金:

投資結(jié)果獲利20%不賠不賺虧損10%

1

概率

P3q

(1)當(dāng)p時(shí)，求q的值；

(2)已知甲、乙兩人分別選擇了“投資股市”和“購買基金”進(jìn)行投資，如果一年后他們中至少有一人獲利

的概率大于1求p的取值范圍.

5

21.(本小題12分)

如圖，在三棱臺(tái)中，乙54。=90°，AB=AC=^,小4=4小=2,側(cè)棱平面

A8C,點(diǎn)。是棱CG的中點(diǎn).

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(1)證明：平面481。；

(2)求平面BCD與平面ABD的夾角的余弦值.

22.(本小題12分)

已知函數(shù)f⑺=(cosx+sinx)(cosx-sina;)-2asinx-2a的最大值為一：.

(1)求實(shí)數(shù)a的值；

⑵若向量記了滿足同=性/(叫，時(shí)=a,立?苦=|2/(/)+1],設(shè)汽，向的夾角為0,求cos。的取

值范圍.

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答案和解析

1.【答案】D

【解析】【分析】由集合3的定義求出3,結(jié)合交集與補(bǔ)集運(yùn)算即可求解.

【詳解】因?yàn)?={1,2,3,4,5,9},5={2|近64},所以B={1,4,9,16,25,81},

則2nB={l,4,9},“ACB)={2,3,5}

故選：D

2.【答案】B

【解析】【分析】

本題考查了指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，一元二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)和分段函數(shù)的單調(diào)性，屬

于基礎(chǔ)題.

利用指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和一元二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，結(jié)合分段函數(shù)的單調(diào)性得

|一。j?「最后計(jì)算得結(jié)論.

[-ae°+In1=1

【解答】

解：因?yàn)楹瘮?shù)y=€“+In3+1)(Z10)是增函數(shù),

所以要函數(shù)/(2)在R上單調(diào)遞增，則{[；j：o+]nl=l，解得一1<0<0,

因此a的取值范圍是[—1,0].

3.【答案】B

【解析】【分析】

本題考查投影向量，向量模的坐標(biāo)表示，向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算可得|/|=，蚤，了=1，再結(jié)合投影向量的定義運(yùn)算求解.

【解答】

解：因?yàn)?=(2,3),b=(-1,1),

則口|=\/22+32=A/13,N.7=-2+3=1,

所以了在區(qū)上的投影向量(蒙用=.=(AA).

故選：B.

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4.【答案】B

【解析】【分析】

先將--------:一弦化切求得tana,再根據(jù)兩角和的正切公式即可求解.

cosa—sma

【解答】

解：因?yàn)?---c-o--s-a-;—=通r-

cosa—sma

1V3,otana=l—g

所以

1—tana

(無、tana+1、/--

所以tanIct+—I=--------=2\/3—1,

\4/1—tana

故選：B.

5.【答案】C

【解析】【分析】

本題考查古典概型及其計(jì)算，對(duì)立事件的概率公式，屬于中檔題.

列舉所有基本事件，根據(jù)對(duì)立事件的定義可判定由古典概型概率公式，即可結(jié)合選項(xiàng)逐一求解

【解答】

解:拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)構(gòu)成的樣本空間為{⑴，⑵，⑶，⑷，⑸,(6)},

則a={(1),(3),(5)},B={⑴,(2),(3)},C={⑹,⑶},

對(duì)于事件46可同時(shí)發(fā)生，故不是對(duì)立事件，故/錯(cuò)誤；

2

對(duì)于8,HUB={(1),(2),(3),(5)},P(于UB)=y(4)+P⑸=1,故寸錯(cuò)誤;

O

_2

對(duì)于C,F(c)=1-F(C)=-,故C正確；

O

對(duì)于D,尸⑷=.P(C)=\,故。錯(cuò)誤.

故選：C.

6.【答案】B

【解析】【分析】

本題考查相互獨(dú)立事件的概率乘法公式，注意先按互斥事件分類，再按相互獨(dú)立事件的概率乘法公式進(jìn)行

計(jì)算，屬于中檔題.

根據(jù)題意，只有一人解出的試題的事件包含三個(gè)互斥的事件：/解出而其余兩人沒有解出，2解出而其余兩

人沒有解出，C解出而其余兩人沒有解出，而三人解出答案是相互獨(dú)立的，進(jìn)而計(jì)算可得答案.

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【解答】

解：根據(jù)題意，只有一人解出試題的事件包含三個(gè)互斥的事件：

N解出而其余兩人沒有解出，5解出而其余兩人沒有解出，C解出而其余兩人沒有解出，

而三人解出答案是相互獨(dú)立的，

則P(只有一人解出試題)=；x(U)x(l-|)+(l-1)x3(W)+(l-；)x(U)x卜號(hào)

故選：B.

7.【答案】C

【解析】【分析】由平均數(shù)的概念求解判斷出由簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的概念判斷8由百分位數(shù)的定義判斷C；

由平均數(shù)的性質(zhì)判斷O.

【詳解】8個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)為5,另3個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)為7,則這11個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)是'=,,

故/正確；

用抽簽法從含有20個(gè)個(gè)體的總體中抽取一個(gè)容量為4的樣本，則每個(gè)個(gè)體抽到的概率均為之=0.2,故2

20

正確；

數(shù)據(jù)4,3,2,6,5,8由小到大排列：2,3,4,5,6,8,

?;6x60%=3.6,.?.這組數(shù)據(jù)的60%分位數(shù)為第4個(gè)數(shù)5,故C錯(cuò)誤；

若樣本數(shù)據(jù)的，Z2,…，勺0的平均數(shù)為2,則數(shù)據(jù)2叼一1,2政—1,…，2的0-1的平均數(shù)為2x2-1=3,

故。正確.

故選：C.

8.【答案】A

【解析】【分析】

本題考查了棱柱、棱錐的體積，屬于中檔題.

延長(zhǎng)4遣到人,為B到瑪，到。2,延長(zhǎng)BiE,CiF,則8］與G尸相交于點(diǎn)兒，推導(dǎo)出

7

%=—-由此可得體積之比.

【解答】

解：如圖，延長(zhǎng)4遇到4，8田到四，CC到。2，

且小4=442，BiB=BB2,CrC=CC2,

連接A2。2，A2B2,B2c2,得到三棱柱—ABC,

貝!1VABC-A-IB-ICX=VA2B2C2-ABC-

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延長(zhǎng)BiE,CiF,則BiE與GF相交于點(diǎn)兒.

G

因?yàn)?人：A2AI=1:2,所以VA2-AEF=■|匕2-43?！?/p>

O

又VA-2-AEF=-^Ai-ABC=4X-VABC-ABC=mLB?！?BC1，

222

、7

所以％=7VA2-4EF=冠匕IBC-ABG'

故%:必=7:5.

故選：A.

9.【答案】BCD

【解析】【分析】根據(jù)基本事實(shí)判斷即可.

【詳解】對(duì)于/，基本事實(shí)1是過不在一條直線上的三個(gè)點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面，故/錯(cuò)誤；

對(duì)于5,“平行于同一條直線的兩條直線平行”是基本事實(shí)4,故8正確；

對(duì)于C,“如果一條直線上的兩個(gè)點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在這個(gè)平面內(nèi)”是基本事實(shí)2,故C正確;

對(duì)于。，“如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線”是基本事實(shí)3,

故。正確.

故選：BCD

10.【答案】ABD

【解析】【分析】

本題主要考查正弦型函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題.

分別利用正弦型函數(shù)的對(duì)稱軸、對(duì)稱中心，正弦型函數(shù)的值域，正弦型函數(shù)的單調(diào)性一一判斷即可.

【解答】

第9頁，共20頁

解：令2力—3=ki7r(kieZ),得力=，+與江的ez),

J62

所以/(力)圖象的對(duì)稱中心為d+竺,0)(所eZ)；

62

令2)+3=5+k27r的eZ),得力=1+舄r(%GZ)，

。/o2

所以g(c)圖象的對(duì)稱中心為g+等,0)(總eZ),

O/

所以/(乃與g(①)的圖象有相同的對(duì)稱中心，故/正確;

[(7([(7(

g3)=cos(2x+-)=cos(2x-sin(2x--)=-f⑸,

所以/Q)與g(①)的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱,故切正確;

。(仍)#/(一①)，故c不正確;

7T

由/(z)2g(2)，得/(2)》。，即sin(2rr—耳)》0,

O

7T

所以2k?r<2c—w<2上開+開，keZ,

o

7T27r

解得工+卜開(，(k+k7r(keZ),故。正確.

b3

故選ABD.

11.【答案】ACD

【解析】【分析】對(duì)于/CD：先求出三角形各種心的坐標(biāo)，然后代入坐標(biāo)列方程求解；對(duì)于所利用

P^-B^=(pd+3可?w展開計(jì)算即可.

【詳解】如圖建立平面直角坐標(biāo)系，A(0,4),B(-3,0),C(3,0),

對(duì)于出若尸為的重心，則(。1)，

所以/=k|}4§=(_3,—4),/=(3,—4)

(-3c+3y=01

若=+u/，則《..8,解得2=沙=弓，所以2①+沙=1,/正確;

"—4x—4y=--3

對(duì)于公若尸為△48。的外心，其必在直線/。上,

第10頁，共20頁

所以四.睨=(pd+-B^=pd-B^+O^-B^=3x6x(-1)=-18,8錯(cuò)誤；

對(duì)于C：若尸為△AB。的垂心，其必在NO上，設(shè)P(0,m),

則?Jg=(-3,m)?(―3,—4)=9—46=0，解得巾=

此時(shí)R=(0,—血=(―3,—4),加=⑶―4),

(-3了+3g=077

若/=/溫+g粉，則(AA7,解得l=所以i+g=C正確；

”I—4x-=--3216

對(duì)于。：若尸為△4_B。的內(nèi)心，設(shè)內(nèi)切圓半徑為尸，

11Q/3\

則5乂6*4=5*/*(5+5+6),得7=司，則^(。，萬)，

此時(shí)萬5=(0廠|),笳=(―3,—4),就=⑶―4),

[_3/+3g=055

若瓦聲=+則，_5,解得力=沙=.，所以力+沙=?，。正確；

|—4A/-4Ay=――loo

故選：ACD.

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：判斷C選項(xiàng)的關(guān)鍵是利用垂心的性質(zhì)、數(shù)量積垂直的坐標(biāo)表示求出垂心的坐標(biāo)，由此即可順

利得解.

12.【答案】AC

【解析】【分析】

本題主要考查折疊問題，考查了線面垂直的判定及性質(zhì)，棱錐的體積公式及球的表面積公式，屬于中等題.

畫出折疊后的圖象，根據(jù)相關(guān)知識(shí)點(diǎn)逐項(xiàng)分析，即可得出結(jié)論.

【解答】解：如圖所示，取PC的中點(diǎn)￡,連接DE,

則BELPC，DELPC，

因?yàn)锽ECDE=E,BE,OEU平面ADE,

所以PC!平面3DE,

第H頁，共20頁

又平面8DE，所以BOLP。，N項(xiàng)正確；

在菱形ABCZ）中，AB=1,Z4BC=120°，所以4。=追，

當(dāng)△4BO沿對(duì)角線8。折起時(shí)，0＜「。＜孤，

所以不存在點(diǎn)尸，使得尸。=2,8項(xiàng)錯(cuò)誤；

當(dāng)PC=1時(shí)，將正四面體補(bǔ)成正方體，根據(jù)正方體的性質(zhì)可知，三棱錐P-B。。的外接球就是該正方體

的外接球.

因?yàn)檎襟w的各面的對(duì)角線長(zhǎng)為1.

所以正方體的棱長(zhǎng)為避，

設(shè)外接球的半徑為R,

則4a=12+（g）2=|,

所以三棱錐P-BCD的外接球的表面積

37r

S球=4在屈=2，C項(xiàng)正確；

當(dāng)三棱錐P-BCD的體積最大時(shí)，

平面PAD_L平面8cD,取AD的中點(diǎn)。,

連接尸O,OC,易知POJ_平面3a）,

則PO1。。，又。。=0。=1人。=避

所以PC=

故選AC.

第12頁，共20頁

13.【答案】2

【解析】【分析】

本題考查復(fù)數(shù)的分類，復(fù)數(shù)的運(yùn)算，屬于中檔題.

設(shè)2=1+歷，直接根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算結(jié)合復(fù)數(shù)分類即可得到答案.

【解答】

解：設(shè)2=1+慶，bGR&b^Q.

22

則z+-=l+〃+i=m，

z1+bi+(

y+3

1+#=m

,mGR,.；3：，解得6=2.

b6-b八

G二o

故答案為2.

14.【答案】6.8

【解析】【分析】根據(jù)分層抽樣，均值與方差公式計(jì)算即可.

【詳解】男生30人，女生20人，則抽取的時(shí)候分層比為3:2.

則10個(gè)人中男女分別抽取了6人和4人.

這10人答對(duì)題目的平均數(shù)為吃x(6x10+4x15)=12.

所以這10人答對(duì)題目的方差為驟[1+(10—12)2]+,x[0.5+(15—12)2]=6&

故答案：6.8

15.【答案】(1,；)

【解析】【分析】由正弦定理、余弦定理結(jié)合兩角和與差的正弦公式化簡(jiǎn)己知等式知sin2。=sin(a-B),

7T7TQ

分別討論2C=4—B或20+4-8=八結(jié)合題意即可求出臺(tái)＜3＜『由正弦定理將而西化簡(jiǎn)為

sin3B1

2-，代入即可求出答案.

2sinBcos2B2cos2B

【詳解】因?yàn)樨皣?guó)=20)5。，所以一十。2—2竽os__.=2cosC，

c2cz

所以￡2bc°sA—2cosC，由正弦定理可得：sinC-2sinBcosA=2sinCeos。,

c

在△AB。中，因?yàn)閟inC=sin(7r-A-B)=sin(A+B),

又sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB,

所以sin4cosB-sinBcosA=2sinCcosC

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所以sin2c=sir(4—B),

①當(dāng)2C=4—6時(shí)，且4+B+C=7T,

7T

若△/BC是銳角三角形，則AV],

所以24=7T+C＜7T,不成立；

②當(dāng)2C+A—5=7T時(shí)，且4+6+。=a,

7T

所以。=25,所以38＞萬,

則占3寸,MC=2BE

asinAsin3Bsin(2B+B)sin2BcosB+cos2BsinB

2bcos2B2sinBcos2B2sinBcos2Bsin2BcosBsin2BcosB

cos2BsinB(2cos2B-1)sinB1

I-I------------1-j-------------------2---------，

sin2BcosB2sinBcos2B2cos2B

2~2^BE(1'；)'所以黑布e(1(

故答案為：(11)

16.【答案】2

(x-I)5+2(x—1)+sin(a?—1)=1

【解析】【分析】根據(jù)式子結(jié)構(gòu)，構(gòu)造同構(gòu)的形式＜,定義函數(shù)

(y~球+2?-1)+sin@-1)=-1

/儂)=/+2工+sinor,判斷出/(2)在尺上單調(diào)遞增且為奇函數(shù)，即可得到z—1+?！?=0,即可求出

結(jié)果.

(x—I)5+2a:+sin(a;-1)=3八，(x—I)5+2(n—1)+sin(①—1)=1

【詳解】,、5,、可化為

(y-1)+2y+sm(沙-1)=1(y—Ip+2(9-1)+sin(y_1)=—1

記/(立)=/+2z+sine,函數(shù)定義域?yàn)镽.

因?yàn)?⑺=5/+2+cose>0,所以/(為在7?上單調(diào)遞增.

又f(-x)=(-4+2x(-2)+sin(-z)=-(a;5+2x+sinx]=-于⑺,所以/(，)為奇函數(shù).

所以由|乎—可得"l+5一1=0,所以立+沙=2.

(/(y-1)=-1

故答案為：2.

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17.【答案】⑴

表格補(bǔ)充如下：

贊成反對(duì)合計(jì)

教師12080200

學(xué)生16040200

合計(jì)280120400

30000x—=12000人,

即可估計(jì)該地區(qū)教師反對(duì)“高考使用全國(guó)統(tǒng)一命題的試卷”這一看法的人數(shù)為12000人;

6X—=4,6x—=2,即這6人中有4人為教師，2人為學(xué)生，

J.4U

記這2名學(xué)生為a,b,4名教師記為1,2,3,4,

則隨機(jī)選出3人進(jìn)行深入調(diào)研，不同選法有：(a,6,1),(a,b,2),(a,b,3),(a,b,4),(a,l,2),(a,l,3),

(a,1,4),(a,2,3),(a,2,4),(a,3,4),(b,l,2),(b,1,3),(6,1,4),

(b,2,3),(b,2,4),(b,3,4),(1,2,3),(1,2,4),(1,3,4),(2,3,4),共20種，

恰有1名學(xué)生的選法有(a,l,2),(a,l,3),(a,l,4),(a,2,3),(a,2,4),(a,3,4),

(b,l,2),(b,l,3),(b,l,4),(b,2,3),(b,2,4),(6,3,4)共12種，

19Q

故深入調(diào)研中恰有一名學(xué)生的概率p=磊=:

/UO

【解析】(1)根據(jù)數(shù)據(jù)直接完善表格即可，以頻率為概率，按比例計(jì)算人數(shù)；

(2)先按分層抽樣得4名教師2名學(xué)生，利用枚舉法得所有事件總數(shù)，再從中挑出恰有1名學(xué)生事件數(shù)，最

后根據(jù)古典概型概率公式求概率.

18.【答案】解：(1)sinA+V3cosA=2=>sin(A+勺=1,

o

7T7F、

4+W=2k"+—(keZ),

o/

又4e(0,7r),.■〃=1

o

(2)由正弦定理可知9=嗎

csmC

結(jié)合，sinC=csin2_B=2csin_Bcos_B得

cosB=，而BG右=%

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由A+_B+C=7T得sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=逐：霹

則的周長(zhǎng)為a+b+。=。(1+SMB+:近°)=2+通+3松

sin力

【解析】本題考查解三角形，涉及正弦定理、兩角和的正弦公式等，屬于中檔題.

7F

(1)逆用兩角和與差的正弦公式，可得sin(A+可)=1,即可求解/的值.

O

(2)由正弦定理可得、/^,sin。=csin2B=ZcsinBcosB，可求得8的值，再根據(jù)

a+b+c=a(l+*：廣°)即可求得三角形的周長(zhǎng).

19.【答案】(I)連結(jié)NC,BD,交于點(diǎn)O,

則由AABOs,得40=-AC,

3

-：PQ=IPC,：.QO//PA,

o

；平面/BCD,Q。，平面/BCD,

又QOU平面QBD,平面QBDmABCD.

(n)過。作平面P3C的垂線，垂足為X,

則/OQH即為直線。〃與平面網(wǎng)。所成角，設(shè)為仇

設(shè)DH=h，VQ-BCD=VD-BCQ>

.5s△BCD-QO=-S/^BCQ-h,

即Wx2A/3x—=—x—A/7xh,

oooo

解得％=M包,

7

■.■QD2=QO2+OD2=l，

o

二直線。。與平面P8C所成角的正弦值sin。=芻=煙.

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【解析】(I)連結(jié)4。、BD，交于點(diǎn)。，推導(dǎo)出QO〃PA,Q。，平面/8CO,由此能證明平面平

面/BCD；(H)過。作平面P8C的垂線，垂足為〃則/。QH即為直線。D與平面依。所成角，設(shè)為仇

設(shè)DH=h,由％-BCD=W)-BCQ,求出拉="倒，由此能求出直線0D與平面心C所成角的正弦值.

7

本題考查面面垂直的證明，考查線面角的正弦值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基

礎(chǔ)知識(shí)，考查數(shù)形結(jié)合思想與空間想象能力，是中檔題.求線面角的方法：1、傳統(tǒng)法：根據(jù)圖形正確作出

線面角是解決問題的關(guān)鍵，這要求學(xué)生必須具有較強(qiáng)的空間想象能力，同時(shí)還應(yīng)寫出必要的作、證、算過

程；2、向量法：對(duì)于特殊的幾何體，如長(zhǎng)方體、正方體等當(dāng)比較容易建立空間直角坐標(biāo)系時(shí)，也可采用向

量法求解.

20.【答案】解：(1)I?“購買基金”的投資結(jié)果只有“獲利”“不賠不賺”“虧損”三種，且三種投資結(jié)果

相互獨(dú)立，

115

p+9+。=1.乂p=屋q=—.

(2)記事件/為“甲投資股市且獲利”，事件2為“乙購買基金且獲利”，事件C為“一年后甲、乙兩人中

至少有一人獲利”，

則。=4百UZBUAB，且/，2相互獨(dú)立.

由題意可知P(4)=；,P⑻=p.

——11111

P?=P(AB)+P(AB)+P(AB)={i-p)=+.

/X+/p+ZpNNp

1143

,''P(C)=2+2P>5J

1232

又p+5+q=i，q》°，

3:.PW3Q，53

【解析】本題考查相互獨(dú)立的概率的求法，屬于中檔題.

(1)根據(jù)相互獨(dú)立的概率求法可得出結(jié)論；

(2)記事件N為“甲投資股市且獲利”，事件8為“乙購買基金且獲利”，事件。為“一年后甲、乙兩人中

至少有一人投資獲利"，則。=4豆UNBIJA0,且/,3獨(dú)立.

21.【答案】解：(1)證明：NBA。=90°,，ABLA。，

ApU平面AB。,ABcnABC,ACc平面AB。,AxALAB,AXA1AC,

」.48,AC,44i兩兩垂直，

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以/為坐標(biāo)原點(diǎn)，以AC,A4所在直線為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

根據(jù)題意可得4(0,0,0),8(4,0,0),0(0,4,0),3(2,0,2),Q(0,2,2),0(0,3,1),

.,.麗=(—2,0,2)，15=(0,4,0).麗=(2,0,2)，

設(shè)平面的法向量為療=(d,e"),

[7至=4e=0,

[r?-ABr=2d+2f=0

令d=l