2025屆浙江省杭州北斗聯(lián)盟數(shù)學高一上期末預測試題含解析

2025屆浙江省杭州北斗聯(lián)盟數(shù)學高一上期末預測試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．若函數(shù)是函數(shù)（且）的反函數(shù)，且，則（）A. B.C. D.2．設(shè)θ為銳角，，則cosθ=（）A. B.C. D.3．已知函數(shù)，則（）A. B.3C. D.4．和函數(shù)是同一函數(shù)的是（）A. B.C. D.5．已知是第三象限角，則是A.第一象限角 B.第二象限角C.第一或第四象限角 D.第二或第四象限角6．一個多面體的三視圖如圖所示，則該多面體的表面積為（）A.21+ B.18+C.21 D.187．函數(shù)的一條對稱軸是（）A. B.C. D.8．設(shè)集合，3，，則正確的是A.3， B.3，C. D.9．下列命題不正確的是（）A.若，則的最大值為1 B.若，則的最小值為4C.若，則的最小值為1 D.若，則10．如圖是函數(shù)在一個周期內(nèi)的圖象，則其解析式是（）A. B.C. D.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知向量，，若，則與的夾角為______12．設(shè)函數(shù)和函數(shù)，若對任意都有使得，則實數(shù)a的取值范圍為______13．命題“”的否定是______.14．已知圓心為（1,1），經(jīng)過點（4,5），則圓的標準方程為_____________________.15．若，，則=______；_______16．的單調(diào)增區(qū)間為________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知函數(shù)是偶函數(shù)，且，.（1）當時，求函數(shù)的值域；（2）設(shè)，，求函數(shù)的最小值；（3）設(shè)，對于（2）中的，是否存在實數(shù)，使得函數(shù)在時有且只有一個零點？若存在，求出實數(shù)的取值范圍；若不存在，請說明理由.18．年新冠肺炎仍在世界好多國家肆虐，并且出現(xiàn)了傳染性更強的“德爾塔”變異毒株、拉姆達”變異毒株，盡管我國抗疫取得了很大的成績，疫情也得到了很好的遏制，但由于整個國際環(huán)境的影響，時而也會出現(xiàn)一些散發(fā)病例，故而抗疫形勢依然艱巨，日常防護依然不能有絲毫放松．在日常防護中，口罩是必不可少的防護用品．已知某口罩的固定成本為萬元，每生產(chǎn)萬箱，需另投入成本萬元，為年產(chǎn)量單位：萬箱；已知通過市場分析，如若每萬箱售價萬元時，該廠年內(nèi)生產(chǎn)的商品能全部售完．利潤銷售收入總成本（1）求年利潤與萬元關(guān)于年產(chǎn)量萬箱的函數(shù)關(guān)系式；（2）求年產(chǎn)量為多少萬箱時，該口罩生產(chǎn)廠家所獲得年利潤最大19．如圖，已知直線//，是直線、之間的一定點，并且點到直線、的距離分別為1、2，垂足分別為E、D，是直線上一動點，作，且使與直線交于點.試選擇合適的變量分別表示三角形的直角邊和面積S，并求解下列問題：（1）若為等腰三角形，求和的長；（2）求面積S最小值.20．如圖，在三棱柱中，平面，，在線段上，，.（1）求證：；（2）試探究：在上是否存在點，滿足平面，若存在，請指出點的位置，并給出證明；若不存在，說明理由.21．如圖，在幾何體中，，均與底面垂直，且為直角梯形，，，，，分別為線段，的中點，為線段上任意一點.（1）證明：平面.（2）若，證明：平面平面.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、B【解析】由題意可得出，結(jié)合可得出的值，進而可求得函數(shù)的解析式.【詳解】由于函數(shù)是函數(shù)（且）的反函數(shù)，則，則，解得，因此，.故選：B.2、D【解析】為銳角，故選3、D【解析】根據(jù)分段函數(shù)的解析式，令代入先求出，進而可求出的結(jié)果.【詳解】解：，則令，得，所以.故選：D.4、D【解析】根據(jù)相同的函數(shù)定義域，對應法則，值域都相同可知ABC不符合要求，D滿足.【詳解】的定義域為，值域為，對于A，與的對應法則不同，故不是同一個函數(shù)；對于B，的值域為，故不是同一個函數(shù)；對于C，的定義域為，故不是同一個函數(shù)；對于D,，故與是同一個函數(shù).故選：D5、D【解析】因為是第三象限角，所以，所以，當為偶數(shù)時，是第二象限角，當為奇數(shù)時，是第四象限角.故選：D．6、A【解析】由題意，該多面體的直觀圖是一個正方體挖去左下角三棱錐和右上角三棱錐，如下圖，則多面體的表面積.故選A.考點：多面體的三視圖與表面積.7、B【解析】由余弦函數(shù)的對稱軸為，應用整體代入法求得對稱軸為，即可判斷各項的對稱軸方程是否正確.【詳解】由余弦函數(shù)性質(zhì)，有，即，∴當時，有.故選：B8、D【解析】根據(jù)集合的定義與運算法則，對選項中的結(jié)論判斷正誤即可【詳解】解：集合，3，，則，選項A錯誤；2，3，，選項B錯誤；，選項C錯誤；，選項D正確故選D【點睛】本題考查了集合的定義與運算問題，屬于基礎(chǔ)題9、D【解析】選項A、B、C通過給定范圍求解對應的值域即可判斷正誤，選項D通過移向做差，化簡合并，即可判斷.【詳解】對于A，若，則，即的最大值為1，故A正確；對于B，若，則，當且僅當，即時取等號，所以最小值為4，故B正確；對于C，若，則，即的最小值為1，故C正確；對于D，∵，，∴，故D不正確故選：D.10、B【解析】通過函數(shù)的圖象可得到：A=3，，，則，然后再利用點在圖象上求解.，【詳解】由函數(shù)的圖象可知：A=3，，，所以，又點在圖象上，所以，即，所以，即，因為，所以所以故選：B【點睛】本題主要考查利用三角函數(shù)的圖象求解析式，還考查了運算求解的能力，屬于中檔題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、##【解析】先求向量的模，根據(jù)向量積，即可求夾角.【詳解】解：，，所以與的夾角為.故答案為：12、【解析】先根據(jù)的單調(diào)性求出的值域A，分類討論求得的值域B，再將條件轉(zhuǎn)化為A，進行判斷求解即可【詳解】是上的遞減函數(shù)，∴的值域為，令A=，令的值域為B，因為對任意都有使得，則有A，而，當a=0時，不滿足A；當a>0時，，∴解得；當a<0時，，∴不滿足條件A,綜上得.故答案為.【點睛】本題考查了函數(shù)的值域及單調(diào)性的應用，關(guān)鍵是將條件轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)值域的關(guān)系，運用了分類討論的數(shù)學思想，屬于中檔題13、【解析】根據(jù)全稱命題的否定是特稱命題，寫出結(jié)論.【詳解】原命題是全稱命題，故其否定是特稱命題，所以原命題的否定是“”.【點睛】本小題主要考查全稱命題的否定是特稱命題，除了形式上的否定外，還要注意否定結(jié)論，屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】設(shè)出圓的標準方程，代入點的坐標，求出半徑，求出圓的標準方程【詳解】設(shè)圓的標準方程為（x-1）2+（y-1）2=R2，由圓經(jīng)過點（4,5）得R2=25，從而所求方程為（x-1）2+（y-1）2=25，故答案為（x-1）2+（y-1）2=25【點睛】本題主要考查圓的標準方程，利用了待定系數(shù)法，關(guān)鍵是確定圓的半徑15、①.②.【解析】首先指對互化，求，再求；第二問利用指數(shù)運算，對數(shù)，化簡求值.【詳解】，，所以；,，所以故答案為：；16、【解析】求出給定函數(shù)的定義域，由對數(shù)函數(shù)、正弦函數(shù)單調(diào)性結(jié)合復合函數(shù)單調(diào)性求解作答.【詳解】依題意，，則，解得，函數(shù)中，由得，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，當時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，又函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為.故答案為：【點睛】關(guān)鍵點睛：函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是定義域的子區(qū)間，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，正確求出函數(shù)的定義域是解決問題的關(guān)鍵.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）（3）存在，【解析】(1)由條件求出，由此求出，利用單調(diào)性求其在時的值域；(2)利用換元法，考慮軸與區(qū)間的位置關(guān)系求，(3)令，由已知可得函數(shù)，，在上有且僅有一個交點，由此列不等式求的取值范圍.【小問1詳解】因為函數(shù)是偶函數(shù)，故而，可得，則，故易知在上單調(diào)遞增，故，；故【小問2詳解】令，故；則，對稱軸為①當時，在上單增，故；②當時，在上單減，在上單增，故；③當時，在上單減，故；故函數(shù)的最小值【小問3詳解】由（2）知當時，；則，即令，，問題等價于兩個函數(shù)與的圖象在上有且只有一個交點；由，函數(shù)的圖象開口向下，對稱軸為，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，可圖知；故【點睛】函數(shù)的零點個數(shù)與函數(shù)和的圖象的交點個數(shù)相等，故可通過函數(shù)圖象研究形如函數(shù)的零點問題.18、（1）（2）萬箱【解析】（1）分，兩種情況，結(jié)合利潤銷售收入總成本公式，即可求解（2）根據(jù)已知條件，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，以及基本不等式，分類討論求得最大值后比較可得【小問1詳解】當時，，當時，，故關(guān)于的函數(shù)解析式為小問2詳解】當時，，故當時，取得最大值，當時，，當且僅當，即時，取得最大值，綜上所述，當時，取得最大值，故年產(chǎn)量為萬箱時，該口罩生產(chǎn)廠家所獲得年利潤最大19、（1），；（2）2.【解析】（1）根據(jù)相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理，結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理進行求解即可；（2）根據(jù)直角三角形面積公式，結(jié)合基本不等式進行求解即可.【小問1詳解】由點到直線、的距離分別為1、2，得AE=1、AD=2，由，得，則，由題意得，在中，，從而，由和，得∽，則，即，在中，，在中，，由為等腰三角形，得，則且，故，.【小問2詳解】由，，，得在中，，當且僅當即時等號成立，故面積S的最小值為2.20、(1)證明見解析；(2)答案見解析.【解析】（1）因為面，所以，結(jié)合就有面，從而.（2）取，在平面內(nèi)過作交于，連結(jié).可以證明四邊形為平行四邊形，從而，也就是平面.我們還可以在平面內(nèi)過作，交于，連結(jié).通過證明平面平面得到平面.【詳解】解析：（1）∵面，面，∴.又∵，，面，，∴面，又面，∴.（2）（法一）當時，平面.理由如下：在平面內(nèi)過作交于，連結(jié).∵，∴，又，且，∴且，∴四邊形為平行四邊形，∴，又面，面，∴平面.（法二）當時，平面.理由如下：在平面內(nèi)過作，交于，連結(jié).∵，面，面，∴平面，∵，∴，∴，又面，面，∴平面.又面，面，，∴平面平面.∵面，∴平面.點睛：證明線面平行，我們既可以在已知平面中找出與已知直線平行的直線，通過線面平行的判定定理去考慮，也可以利用構(gòu)造過已知直線的平面，證明該平面與已知平面平行.21、（1）詳見解析；（2）詳見解析.【解析】（1）由題可得，進而可得平面，因為，，所以四邊形為平行四邊形，即，從而得出平面，平面平面，進而證得平面（2）由題可先證明四邊形為正方形，連接，則，再證得平面