2025屆遼寧省阜新市蒙古族自治縣第二高級中學數(shù)學高三上期末考試模擬試題含解析

2025屆遼寧省阜新市蒙古族自治縣第二高級中學數(shù)學高三上期末考試模擬試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．集合，，則()A． B． C． D．2．中國古代用算籌來進行記數(shù)，算籌的擺放形式有縱橫兩種形式（如圖所示），表示一個多位數(shù)時，像阿拉伯記數(shù)一樣，把各個數(shù)位的數(shù)碼從左到右排列，但各位數(shù)碼的籌式需要縱橫相間，其中個位、百位、方位……用縱式表示，十位、千位、十萬位……用橫式表示，則56846可用算籌表示為（）A． B． C． D．3．已知直線與圓有公共點，則的最大值為（）A．4 B． C． D．4．設(shè)為等差數(shù)列的前項和，若，，則的最小值為（）A． B． C． D．5．已知函數(shù)，，若對，且，使得，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．6．為得到y(tǒng)=sin(2x-πA．向左平移π3個單位B．向左平移πC．向右平移π3個單位D．向右平移π7．若單位向量，夾角為，，且，則實數(shù)（）A．－1 B．2 C．0或－1 D．2或－18．已知復(fù)數(shù)是正實數(shù)，則實數(shù)的值為()A． B． C． D．9．已知為定義在上的奇函數(shù)，若當時，（為實數(shù)），則關(guān)于的不等式的解集是（）A． B． C． D．10．《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學名著，書中有如下問題：“今有勾六步，股八步，問勾中容圓，徑幾何？”其意思為：“已知直角三角形兩直角邊長分別為6步和8步，問其內(nèi)切圓的直徑為多少步？”現(xiàn)從該三角形內(nèi)隨機取一點，則此點取自內(nèi)切圓的概率是（）A． B． C． D．11．如圖，正三棱柱各條棱的長度均相等，為的中點，分別是線段和線段的動點（含端點），且滿足，當運動時，下列結(jié)論中不正確的是A．在內(nèi)總存在與平面平行的線段B．平面平面C．三棱錐的體積為定值D．可能為直角三角形12．若的內(nèi)角滿足，則的值為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知二項式的展開式中各項的二項式系數(shù)和為512，其展開式中第四項的系數(shù)__________．14．已知橢圓的離心率是，若以為圓心且與橢圓有公共點的圓的最大半徑為，此時橢圓的方程是____.15．已知盒中有2個紅球，2個黃球，且每種顏色的兩個球均按，編號，現(xiàn)從中摸出2個球（除顏色與編號外球沒有區(qū)別），則恰好同時包含字母，的概率為________.16．在平面直角坐標系中，雙曲線的焦距為，若過右焦點且與軸垂直的直線與兩條漸近線圍成的三角形面積為，則雙曲線的離心率為____________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知圓,定點,為平面內(nèi)一動點，以線段為直徑的圓內(nèi)切于圓，設(shè)動點的軌跡為曲線（1）求曲線的方程（2）過點的直線與交于兩點，已知點，直線分別與直線交于兩點，線段的中點是否在定直線上，若存在，求出該直線方程；若不是，說明理由.18．（12分）設(shè)函數(shù).（1）時，求的單調(diào)區(qū)間；（2）當時，設(shè)的最小值為，若恒成立，求實數(shù)t的取值范圍.19．（12分）在多面體中，四邊形是正方形，平面，，，為的中點.（1）求證：；（2）求平面與平面所成角的正弦值.20．（12分）為響應(yīng)“堅定文化自信，建設(shè)文化強國”，提升全民文化修養(yǎng)，引領(lǐng)學生“讀經(jīng)典用經(jīng)典”，某廣播電視臺計劃推出一檔“閱讀經(jīng)典”節(jié)目.工作人員在前期的數(shù)據(jù)采集中，在某高中學校隨機抽取了120名學生做調(diào)查，統(tǒng)計結(jié)果顯示：樣本中男女比例為3:2，而男生中喜歡閱讀中國古典文學和不喜歡的比例是7:5，女生中喜歡閱讀中國古典文學和不喜歡的比例是5:3.（1）填寫下面列聯(lián)表，并根據(jù)聯(lián)表判斷是否有的把握認為喜歡閱讀中國古典文學與性別有關(guān)系？男生女生總計喜歡閱讀中國古典文學不喜歡閱讀中國古典文學總計（2）為做好文化建設(shè)引領(lǐng)，實驗組把該校作為試點，和該校的學生進行中國古典文學閱讀交流.實驗人員已經(jīng)從所調(diào)查的120人中篩選出4名男生和3名女生共7人作為代表，這7個代表中有2名男生代表和2名女生代表喜歡中國古典文學.現(xiàn)從這7名代表中任選3名男生代表和2名女生代表參加座談會，記為參加會議的人中喜歡古典文學的人數(shù)，求5的分布列及數(shù)學期望附表及公式：.21．（12分）已知函數(shù)，其中．（1）討論函數(shù)的零點個數(shù)；（2）求證：．22．（10分）選修4-4：坐標系與參數(shù)方程在平面直角坐標系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.以原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，且曲線的極坐標方程為.（1）寫出直線的普通方程與曲線的直角坐標方程；（2）設(shè)直線上的定點在曲線外且其到上的點的最短距離為，試求點的坐標.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】

解一元二次不等式化簡集合A，再根據(jù)對數(shù)的真數(shù)大于零化簡集合B，求交集運算即可.【詳解】由可得，所以，由可得,所以,所以，故選A．【點睛】本題主要考查了集合的交集運算，涉及一元二次不等式解法及對數(shù)的概念，屬于中檔題.2、B【解析】

根據(jù)題意表示出各位上的數(shù)字所對應(yīng)的算籌即可得答案．【詳解】解：根據(jù)題意可得，各個數(shù)碼的籌式需要縱橫相間，個位，百位，萬位用縱式表示；十位，千位，十萬位用橫式表示，用算籌表示應(yīng)為：縱5橫6縱8橫4縱6，從題目中所給出的信息找出對應(yīng)算籌表示為中的．故選：．【點睛】本題主要考查學生的合情推理與演繹推理，屬于基礎(chǔ)題．3、C【解析】

根據(jù)表示圓和直線與圓有公共點，得到，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解.【詳解】因為表示圓，所以，解得，因為直線與圓有公共點，所以圓心到直線的距離，即，解得，此時，因為，在遞增，所以的最大值.故選：C【點睛】本題主要考查圓的方程，直線與圓的位置關(guān)系以及二次函數(shù)的性質(zhì)，還考查了運算求解的能力，屬于中檔題.4、C【解析】

根據(jù)已知條件求得等差數(shù)列的通項公式，判斷出最小時的值，由此求得的最小值.【詳解】依題意，解得，所以.由解得，所以前項和中，前項的和最小，且.故選：C【點睛】本小題主要考查等差數(shù)列通項公式和前項和公式的基本量計算，考查等差數(shù)列前項和最值的求法，屬于基礎(chǔ)題.5、D【解析】

先求出的值域，再利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)值域，由方程有兩個根求參數(shù)范圍即可.【詳解】因為，故，當時，，故在區(qū)間上單調(diào)遞減；當時，，故在區(qū)間上單調(diào)遞增；當時，令，解得，故在區(qū)間單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增.又，且當趨近于零時，趨近于正無窮；對函數(shù)，當時，；根據(jù)題意，對，且，使得成立，只需，即可得，解得.故選：D.【點睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究由方程根的個數(shù)求參數(shù)范圍的問題，涉及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性以及函數(shù)值域的問題，屬綜合困難題.6、D【解析】試題分析：因為，所以為得到y(tǒng)=sin(2x-π3)的圖象，只需要將考點：三角函數(shù)的圖像變換．7、D【解析】

利用向量模的運算列方程，結(jié)合向量數(shù)量積的運算，求得實數(shù)的值.【詳解】由于，所以，即，，即，解得或.故選：D【點睛】本小題主要考查向量模的運算，考查向量數(shù)量積的運算，屬于基礎(chǔ)題.8、C【解析】

將復(fù)數(shù)化成標準形式，由題意可得實部大于零，虛部等于零，即可得到答案.【詳解】因為為正實數(shù)，所以且，解得.故選：C【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的基本定義，屬基礎(chǔ)題.9、A【解析】

先根據(jù)奇函數(shù)求出m的值，然后結(jié)合單調(diào)性求解不等式.【詳解】據(jù)題意，得，得，所以當時，.分析知，函數(shù)在上為增函數(shù).又，所以.又，所以，所以，故選A.【點睛】本題主要考查函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用，側(cè)重考查數(shù)學抽象和數(shù)學運算的核心素養(yǎng).10、C【解析】

利用直角三角形三邊與內(nèi)切圓半徑的關(guān)系求出半徑，再分別求出三角形和內(nèi)切圓的面積，根據(jù)幾何概型的概率計算公式，即可求解.【詳解】由題意，直角三角形的斜邊長為，利用等面積法，可得其內(nèi)切圓的半徑為，所以向次三角形內(nèi)投擲豆子，則落在其內(nèi)切圓內(nèi)的概率為.故選：C.【點睛】本題主要考查了面積比的幾何概型的概率的計算問題，其中解答中熟練應(yīng)用直角三角形的性質(zhì)，求得其內(nèi)切圓的半徑是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力.11、D【解析】

A項用平行于平面ABC的平面與平面MDN相交，則交線與平面ABC平行；B項利用線面垂直的判定定理；C項三棱錐與三棱錐體積相等，三棱錐的底面積是定值，高也是定值，則體積是定值;D項用反證法說明三角形DMN不可能是直角三角形.【詳解】A項，用平行于平面ABC的平面截平面MND，則交線平行于平面ABC，故正確；B項，如圖：當M、N分別在BB1、CC1上運動時,若滿足BM=CN,則線段MN必過正方形BCC1B1的中心O,由DO垂直于平面BCC1B1可得平面平面，故正確；C項,當M、N分別在BB1、CC1上運動時,△A1DM的面積不變,N到平面A1DM的距離不變,所以棱錐N-A1DM的體積不變,即三棱錐A1-DMN的體積為定值,故正確；D項,若△DMN為直角三角形,則必是以∠MDN為直角的直角三角形,但MN的最大值為BC1,而此時DM,DN的長大于BB1,所以△DMN不可能為直角三角形,故錯誤.故選D【點睛】本題考查了命題真假判斷、棱柱的結(jié)構(gòu)特征、空間想象力和思維能力，意在考查對線面、面面平行、垂直的判定和性質(zhì)的應(yīng)用，是中檔題.12、A【解析】

由，得到，得出，再結(jié)合三角函數(shù)的基本關(guān)系式，即可求解.【詳解】由題意，角滿足，則，又由角A是三角形的內(nèi)角，所以，所以，因為，所以.故選：A.【點睛】本題主要考查了正弦函數(shù)的性質(zhì)，以及三角函數(shù)的基本關(guān)系式和正弦的倍角公式的化簡、求值問題，著重考查了推理與計算能力.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

先令可得其展開式各項系數(shù)的和，又由題意得，解得，進而可得其展開式的通項，即可得答案.【詳解】令，則有，解得，則二項式的展開式的通項為，令，則其展開式中的第4項的系數(shù)為，故答案為：【點睛】此題考查二項式定理的應(yīng)用，解題時需要區(qū)分展開式中各項系數(shù)的和與各二項式系數(shù)和，屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】

根據(jù)題意設(shè)為橢圓上任意一點,表達出,再根據(jù)二次函數(shù)的對稱軸與求解的關(guān)系分析最值求解即可.【詳解】因為橢圓的離心率是,,所以,故橢圓方程為.因為以為圓心且與橢圓有公共點的圓的最大半徑為,所以橢圓上的點到點的距離的最大值為.設(shè)為橢圓上任意一點,則.所以因為的對稱軸為.(i)當時,在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.此時,解得.(ii)當時,在上單調(diào)遞減.此時,解得舍去.綜上,橢圓方程為.故答案為：【點睛】本題主要考查了橢圓上的點到定點的距離最值問題,需要根據(jù)題意設(shè)橢圓上的點,再求出距離,根據(jù)二次函數(shù)的對稱軸與區(qū)間的關(guān)系分析最值的取值點分類討論求解.屬于中檔題.15、【解析】

根據(jù)組合數(shù)得出所有情況數(shù)及兩個球顏色不相同的情況數(shù)，讓兩個球顏色不相同的情況數(shù)除以總情況數(shù)即為所求的概率．【詳解】從袋中任意地同時摸出兩個球共種情況，其中有種情況是兩個球顏色不相同；故其概率是故答案為：．【點睛】本題主要考查了求事件概率，解題關(guān)鍵是掌握概率的基礎(chǔ)知識和組合數(shù)計算公式，考查了分析能力和計算能力，屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】

利用即可建立關(guān)于的方程.【詳解】設(shè)雙曲線右焦點為，過右焦點且與軸垂直的直線與兩條漸近線分別交于兩點，則，，由已知，，即，所以，離心率.故答案為：【點睛】本題考查求雙曲線的離心率，做此類題的關(guān)鍵是建立的方程或不等式，是一道容易題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）存在，.【解析】

（1）設(shè)以為直徑的圓心為，切點為，取關(guān)于軸的對稱點，連接，計算得到，故軌跡為橢圓，計算得到答案.（2）設(shè)直線的方程為，設(shè)，聯(lián)立方程得到，，計算，得到答案.【詳解】（1）設(shè)以為直徑的圓心為，切點為，則，取關(guān)于軸的對稱點，連接，故，所以點的軌跡是以為焦點，長軸為4的橢圓，其中，曲線方程為.（2）設(shè)直線的方程為，設(shè)，直線的方程為，同理，所以，即，聯(lián)立，所以，代入得，所以點都在定直線上.【點睛】本題考查了軌跡方程，定直線問題，意在考查學生的計算能力和綜合應(yīng)用能力.18、（1）的增區(qū)間為，減區(qū)間為；（2）.【解析】

（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由于參數(shù)的范圍對導(dǎo)數(shù)的符號有影響，對參數(shù)分類，再研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）由（1）的結(jié)論，求出的表達式，由于恒成立，故求出的最大值，即得實數(shù)的取值范圍的左端點．【詳解】解：（1）解：，當時，，解得的增區(qū)間為，解得的減區(qū)間為.（2）解：若，由得，由得，所以函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為；，因為，所以，，令，則恒成立，由于，當時，，故函數(shù)在上是減函數(shù)，所以成立；當時，若則，故函數(shù)在上是增函數(shù)，即對時，，與題意不符；綜上，為所求．【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)在最大值與最小值問題中的應(yīng)用，求解本題關(guān)鍵是根據(jù)導(dǎo)數(shù)研究出函數(shù)的單調(diào)性，由最值的定義得出函數(shù)的最值，本題中第一小題是求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，第二小題是一個求函數(shù)的最值的問題，此類題運算量較大，轉(zhuǎn)化靈活，解題時極易因為變形與運算出錯，故做題時要認真仔細．19、（1）證明見解析（2）【解析】

（1）首先證明，，，∴平面.即可得到平面，.（2）以為坐標原點，，，所在的直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標系，分別求出平面和平面的法向量，帶入公式求解即可.【詳解】（1）∵平面，平面，∴.又∵四邊形是正方形，∴.∵，∴平面.∵平面，∴.又∵，為的中點，∴.∵，∴平面.∵平面，∴.（2）∵平面，，∴平面.以為坐標原點，，，所在的直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標系.如圖所示：則，，，.∴，，.設(shè)為平面的法向量，則，得，令，則.由題意知為平面的一個法向量，∴，∴平面與平面所成角的正弦值為.【點睛】本題第一問考查線線垂直，先證線面垂直時解題關(guān)鍵，第二問考查二面角，建立空間直角坐標系是解題關(guān)鍵，屬于中檔題.20、（1）見解析，沒有（2）見解析，【解析】

（1）根據(jù)題目所給數(shù)據(jù)填寫列聯(lián)表，計算出的值，由此判斷出沒有的把握認為喜歡閱讀中國古典文學與性別有關(guān)系.（2）先判斷出的所有可能取值，然后根據(jù)古典概型概率計算公式，計算出分布列并求得數(shù)學期望.【詳解】（1）男生女生總計喜歡閱讀中國古典文學423072不喜歡閱讀中國古典文學301848總計7248120所以，沒有的把握認為喜歡閱讀中國古典文學與性別有關(guān)系.（2）設(shè)參加座談會的男生中喜歡中國古典文學的人數(shù)為，女生中喜歡古典文學的人數(shù)為，則.且；；.所以的分布列為則.【點睛】本小題主要考查列聯(lián)表獨立性檢驗，考查隨機變量分