河南省信陽(yáng)市息縣息縣一中2025屆數(shù)學(xué)高二上期末統(tǒng)考模擬試題含解析

河南省信陽(yáng)市息縣息縣一中2025屆數(shù)學(xué)高二上期末統(tǒng)考模擬試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書(shū)寫(xiě)，字體工整、筆跡清楚。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效；在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知雙曲線，過(guò)點(diǎn)作直線l與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)，則能使點(diǎn)P為線段AB中點(diǎn)的直線l的條數(shù)為()A.0 B.1C.2 D.32．已知不等式解集為，下列結(jié)論正確的是（）A. B.C D.3．已知數(shù)列滿足，若.則的值是（）A. B.C. D.4．已知兩圓相交于兩點(diǎn)和，兩圓的圓心都在直線上，則的值為A. B.2C.3 D.05．在正項(xiàng)等比數(shù)列中，和為方程的兩根，則等于（）A.8 B.10C.16 D.326．“，”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件7．在中，已知角A，B，C所對(duì)邊為a，b，c，，，，則（）A. B.C. D.18．已知F是拋物線x2＝y(tǒng)的焦點(diǎn)，A、B是該拋物線上的兩點(diǎn)，|AF|＋|BF|＝3，則線段AB的中點(diǎn)到x軸的距離為（）A. B.C.1 D.9．若曲線f(x)＝x2的一條切線l與直線平行，則l的方程為（）A.4x－y－4＝0 B.x＋4y－5＝0C.x－4y＋3＝0 D.4x＋y＋4＝010．橢圓離心率是（）A. B.C. D.11．若，，則下列各式中正確的是（）A. B.C. D.12．已知三棱柱中，，，D點(diǎn)是線段上靠近A的一個(gè)三等分點(diǎn)，則（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知平面，過(guò)空間一定點(diǎn)P作一直線l，使得直線l與平面，所成的角都是30°，則這樣的直線l有______條14．設(shè)，，，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為_(kāi)_____，P到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離的最小值為_(kāi)_____15．給出下列命題：①若兩條不同的直線同時(shí)垂直于第三條直線，則這兩條直線互相平行；②若兩個(gè)不同的平面同時(shí)垂直于同一條直線，則這兩個(gè)平面互相平行；③若兩條不同的直線同時(shí)垂直于同一個(gè)平面，則這兩條直線互相平行；④若兩個(gè)不同的平面同時(shí)垂直于第三個(gè)平面，則這兩個(gè)平面互相垂直.其中所有正確命題的序號(hào)為_(kāi)_______.16．萬(wàn)眾矚目的北京冬奧會(huì)將于2022年2月4日正式開(kāi)幕，繼2008年北京奧運(yùn)會(huì)之后，國(guó)家體育場(chǎng)（又名鳥(niǎo)巢）將再次承辦奧運(yùn)會(huì)開(kāi)幕式.在手工課上，王老師帶領(lǐng)同學(xué)們一起制作了一個(gè)近似鳥(niǎo)巢的金屬模型，其俯視圖可近似看成是兩個(gè)大小不同、扁平程度相同的橢圓.已知大橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為40cm，短軸長(zhǎng)為20cm，小橢圓的短軸長(zhǎng)為10cm，則小橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為_(kāi)_______cm.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）在三棱錐A—BCD中，已知CB=CD=,BD=2，O為BD的中點(diǎn)，AO⊥平面BCD，AO=2，E為AC的中點(diǎn)（1）求直線AB與DE所成角的余弦值；（2）若點(diǎn)F在BC上，滿足BF=BC，設(shè)二面角F—DE—C的大小為θ，求sinθ的值18．（12分）某廠A車(chē)間為了確定合理的工時(shí)定額，需要確定加工零件所花費(fèi)的時(shí)間，為此作了五次試驗(yàn)，得到數(shù)據(jù)如下：加工零件的個(gè)數(shù)x12345加工的時(shí)間y（小時(shí)）1.52.43.23.94.5（1）在給定的坐標(biāo)系中畫(huà)出散點(diǎn)圖；（2）求出y關(guān)于x的回歸方程；（3）試預(yù)測(cè)加工9個(gè)零件需要多少時(shí)間？參考公式：，19．（12分）如圖所示，、分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，A，B為兩個(gè)頂點(diǎn)，已知橢圓C上的點(diǎn)到、兩點(diǎn)的距離之和為4.（1）求a的值和橢圓C的方程；（2）過(guò)橢圓C的焦點(diǎn)作AB的平行線交橢圓于P，Q，求的面積20．（12分）某種機(jī)械設(shè)備隨著使用年限的增加，它的使用功能逐漸減退，使用價(jià)值逐年減少，通常把它使用價(jià)值逐年減少的“量”換算成費(fèi)用，稱(chēng)之為“失效費(fèi)”．某種機(jī)械設(shè)備的使用年限（單位：年）與失效費(fèi)（單位：萬(wàn)元）的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表所示：使用年限（單位：年）1234567失效費(fèi)（單位：萬(wàn)元）2.903.303.604.404.805.205.90（1）由上表數(shù)據(jù)可知，可用線性回歸模型擬合與的關(guān)系．請(qǐng)用相關(guān)系數(shù)加以說(shuō)明；（精確到0.01）（2）求出關(guān)于的線性回歸方程，并估算該種機(jī)械設(shè)備使用8年的失效費(fèi)參考公式：相關(guān)系數(shù)線性回歸方程中斜率和截距最小二乘估計(jì)計(jì)算公式：，參考數(shù)據(jù)：，，21．（12分）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，直線l過(guò)點(diǎn)（1）若點(diǎn)F到直線l的距離為，求直線l的斜率；（2）設(shè)A，B為拋物線上兩點(diǎn)，且AB不與x軸垂直，若線段AB的垂直平分線恰過(guò)點(diǎn)M，求證：線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為定值22．（10分）如圖，拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，圓的圓心恰是拋物線的焦點(diǎn).（1）求拋物線的方程；（2）一條直線的斜率等于2，且過(guò)拋物線焦點(diǎn)，它依次截拋物線和圓于、、、四點(diǎn)，求的值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】先假設(shè)存在這樣的直線，分斜率存在和斜率不存在設(shè)出直線的方程，當(dāng)斜率k存在時(shí)，與雙曲線方程聯(lián)立，消去，得到關(guān)于的一元二次方程，直線與雙曲線相交于兩個(gè)不同點(diǎn)，則，，又根據(jù)是線段的中點(diǎn)，則，由此求出與矛盾，故不存在這樣的直線滿足題意；當(dāng)斜率不存在時(shí)，過(guò)點(diǎn)的直線不滿足條件，故符合條件的直線不存在.詳解】設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線方程為或，①當(dāng)斜率存在時(shí)有，得(*)當(dāng)直線與雙曲線相交于兩個(gè)不同點(diǎn)，則必有：，即又方程(*)的兩個(gè)不同的根是兩交點(diǎn)、的橫坐標(biāo)，又為線段的中點(diǎn)，，即，，使但使，因此當(dāng)時(shí)，方程①無(wú)實(shí)數(shù)解故過(guò)點(diǎn)與雙曲線交于兩點(diǎn)、且為線段中點(diǎn)的直線不存在②當(dāng)時(shí)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線不滿足條件.綜上，符合條件的直線不存在故選：A2、C【解析】根據(jù)不等式解集為，得方程解為或，且，利用韋達(dá)定理即可將用表示，即可判斷各選項(xiàng)的正誤.【詳解】解：因?yàn)椴坏仁浇饧癁?，所以方程的解為或，且，所以，所以，所以，故ABD錯(cuò)誤；，故C正確.故選：C.3、D【解析】由，轉(zhuǎn)化為，再由求解.【詳解】因?yàn)閿?shù)列滿足，所以，即，因?yàn)?，所以，所以，故選：D4、C【解析】根據(jù)條件知：兩圓的圓心的所在的直線與兩圓的交點(diǎn)所在的直線垂直，以及兩圓的交點(diǎn)的中點(diǎn)在兩圓的圓心的所在的直線上，由此得到方程，得解.【詳解】由已知兩圓的交點(diǎn)與兩圓的圓心的所在的直線垂直，，所以，又因?yàn)閮蓤A的交點(diǎn)的中點(diǎn)在兩圓的圓心所在的直線上，所以，解得：，所以，故選.【點(diǎn)睛】此題主要考查圓與圓的位置關(guān)系，解答此題的關(guān)鍵是需知兩圓的圓心所在的直線與兩圓的交點(diǎn)所在的直線垂直，并且兩圓的交點(diǎn)的中點(diǎn)在兩圓的圓心所在的直線上，此題屬于基礎(chǔ)題.5、C【解析】根據(jù)和為方程兩根，得到，然后再利用等比數(shù)列的性質(zhì)求解.【詳解】因?yàn)楹蜑榉匠痰膬筛?，所以，又因?yàn)閿?shù)列是等比數(shù)列，所以，故選：C6、A【解析】由正切函數(shù)性質(zhì)，應(yīng)用定義法判斷條件間充分、必要關(guān)系.【詳解】當(dāng)，，則，當(dāng)時(shí)，，.∴“，”是“”的充分不必要條件.故選：A7、B【解析】利用正弦定理求解.【詳解】在中，由正弦定理得，解得，故選：B.8、B【解析】根據(jù)拋物線的方程求出準(zhǔn)線方程，利用拋物線的定義拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于到準(zhǔn)線的距離，列出方程求出，的中點(diǎn)縱坐標(biāo)，求出線段的中點(diǎn)到軸的距離【詳解】解：拋物線的焦點(diǎn)準(zhǔn)線方程，設(shè)，，，解得，線段的中點(diǎn)縱坐標(biāo)為，線段的中點(diǎn)到軸的距離為，故選：B【點(diǎn)睛】本題考查解決拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離問(wèn)題，利用拋物線的定義將到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離，屬于基礎(chǔ)題9、D【解析】設(shè)切點(diǎn)為，則切線的斜率為，然后根據(jù)條件可得的值，然后可得答案.【詳解】設(shè)切點(diǎn)為，因?yàn)?，所以切線的斜率為因?yàn)榍€f(x)＝x2的一條切線l與直線平行，所以，即所以l的方程為，即故選：D10、C【解析】將方程轉(zhuǎn)化為橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，求得a，c，再由離心率公式求得答案.【詳解】解：由得，所以，則，所以橢圓的離心率，故選：C.11、D【解析】根據(jù)題意，結(jié)合，，利用不等式的性質(zhì)可判斷，從而判斷，再利用不等式性質(zhì)得出正確答案.【詳解】，，，又，，兩邊同乘以負(fù)數(shù)，可知故選：D12、A【解析】在三棱柱中，，轉(zhuǎn)化為結(jié)合已知條件計(jì)算即可.【詳解】在三棱柱中，滿足，且，則，，D點(diǎn)是線段上靠近A的一個(gè)三等分點(diǎn)，則，由向量的減法運(yùn)算得，.故選：A【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：在三棱柱中，，由向量的減法運(yùn)算得，再展開(kāi)利用數(shù)量積運(yùn)算.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、4【解析】設(shè)平面，在平面內(nèi)作于點(diǎn)O，在平面內(nèi)過(guò)點(diǎn)O作，設(shè)OM是的角平分線，過(guò)棱m上一點(diǎn)P作，則過(guò)點(diǎn)O在平面OMQP上存在2條直線l，使得直線l與OB、OA成，直線l與平面且與平面，所成的角都是30°，在的補(bǔ)角一側(cè)也存在2條滿足條件的直線l，由此可得答案.【詳解】解：設(shè)平面，在平面內(nèi)作于點(diǎn)O，在平面內(nèi)過(guò)點(diǎn)O作，因?yàn)槠矫妫?，設(shè)OM是的角平分線，則，過(guò)棱m上一點(diǎn)P作，則過(guò)點(diǎn)O在平面OMQP上存在2條直線l，使得直線l與OB、OA成，此時(shí)直線l與平面且與平面，所成的角都是30°，同理，在的補(bǔ)角一側(cè)也存在2條滿足條件的直線l，所以這樣的直線l有4條，故答案為：4.14、①.②.l【解析】根據(jù)雙曲線的定義得到動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，從而求出到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離的最小值；【詳解】解：因?yàn)?，所以?dòng)點(diǎn)P的軌跡為以A，B為焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)為2的雙曲線的下支．因?yàn)?，，所以，，，所以?dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為故P到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離的最小值為故答案為：；；15、②③【解析】由垂直于同一直線的兩直線的位置關(guān)系判斷①；由直線與平面垂直的性質(zhì)判斷②③；由空間中平面與平面的位置關(guān)系判斷④【詳解】①若兩條不同的直線垂直于第三條直線，則這兩條直線有三種位置關(guān)系：平行、相交或異面，故錯(cuò)誤；②根據(jù)線面垂直的性質(zhì)知，若兩個(gè)不同的平面垂直于一條直線，則這兩個(gè)平面互相平行，故正確；③由線面垂直的性質(zhì)知：若兩條不同的直線同時(shí)垂直于同一個(gè)平面，則這兩條直線互相平行，故正確④若兩個(gè)不同的平面同時(shí)垂直于第三個(gè)平面，這兩個(gè)平面相交或平行，故錯(cuò)誤.其中所有正確命題的序號(hào)為②③故答案為：②③16、20【解析】求出大橢圓的離心率等于小橢圓的離心率，然后求解小橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)【詳解】在大橢圓中，，，則，.因?yàn)閮蓹E圓扁平程度相同，所以離心率相等，所以在小橢圓中，，結(jié)合，得，所以小橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為20.故填：20.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，對(duì)橢圓相似則離心率相等這一基礎(chǔ)知識(shí)的考查三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量數(shù)量積求直線向量夾角，即得結(jié)果；（2）先求兩個(gè)平面法向量，根據(jù)向量數(shù)量積求法向量夾角，最后根據(jù)二面角與向量夾角關(guān)系得結(jié)果.【詳解】（1）連以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則從而直線與所成角的余弦值為（2）設(shè)平面一個(gè)法向量為令設(shè)平面一個(gè)法向量為令因此【點(diǎn)睛】本題考查利用向量求線線角與二面角，考查基本分析求解能力，屬中檔題.18、（1）圖見(jiàn)解析；（2）；（3）小時(shí).【解析】（1）根據(jù)表格數(shù)據(jù)在坐標(biāo)系中描出對(duì)應(yīng)點(diǎn)即可.（2）由表格中的數(shù)據(jù)代入公式算出，再求，即可得到方程；（3）中將自變量為9代入回歸方程可得需用時(shí)間.【小問(wèn)1詳解】【小問(wèn)2詳解】由表中數(shù)據(jù)得：，，，，由x與y之間具有線性相關(guān)關(guān)系，根據(jù)公式知：，，∴回歸直線方程為：【小問(wèn)3詳解】將代入回歸直線方程得，，∴預(yù)測(cè)加工9個(gè)零件需要小時(shí)19、（1）a＝2，（2）【解析】（1）由題意可得a＝2，，求出，從而可求得橢圓方程，（2）由題意可求出的坐標(biāo)，則可求出直線PQ的方程，然后將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消去，利用根與系數(shù)的關(guān)系，求出的值，從而可求出的值【小問(wèn)1詳解】由橢圓定義可得2a＝4，所以a＝2，又因點(diǎn)在橢圓C上，所以，解得：，所以a的值為2，橢圓C的方程為【小問(wèn)2詳解】由橢圓的方程可得，，，所以，所以直線PQ的方程為，設(shè)，，由可得，所以，，所以，所以20、（1）答案見(jiàn)解析；（2）；失效費(fèi)為6.3萬(wàn)元【解析】（1）根據(jù)相關(guān)系數(shù)公式計(jì)算出相關(guān)系數(shù)可得結(jié)果；（2）根據(jù)公式求出和可得關(guān)于的線性回歸方程，再代入可求出結(jié)果.【詳解】（1）由題意，知，，∴結(jié)合參考數(shù)據(jù)知：因?yàn)榕c的相關(guān)系數(shù)近似為0.99，所以與的線性相關(guān)程度相當(dāng)大，從而可以用線性回歸模型擬合與的關(guān)系（2）∵，∴∴關(guān)于的線性回歸方程為，將代入線性回歸方程得萬(wàn)元，∴估算該種機(jī)械設(shè)備使用8年的失效費(fèi)為6.3萬(wàn)元21、（1）（2）證明見(jiàn)詳解.【解析】（1）設(shè)出直線方程，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式，即可求得直線；（2）設(shè)出直線方程，聯(lián)立拋物線方程，根據(jù)韋達(dá)定理，利用直線垂直，從而得到的斜率關(guān)系，即可證明.【詳解】（1）由條件知直線l的斜率存在，設(shè)為，則直線l的方程為：，即從而焦點(diǎn)到直線l的距離為，平方化簡(jiǎn)得：，故直線斜率為：.（2）證明：設(shè)直線AB的方程為，聯(lián)立拋物線方程，消元得：設(shè)，，線段AB的中點(diǎn)為，故因?yàn)?，將M點(diǎn)坐標(biāo)代入后整理得：即可得：故為定值．即證.【點(diǎn)睛】本題考查拋物線中的定值問(wèn)題，涉及直線方程的求解，韋達(dá)定理，屬綜合基礎(chǔ)題.22、（1）圓的圓心坐標(biāo)為，即拋物線的焦點(diǎn)為,……3分∴∴拋物線