北京市北方交通大學(xué)附屬中學(xué)2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末復(fù)習(xí)檢測(cè)試題含解析

北京市北方交通大學(xué)附屬中學(xué)2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末復(fù)習(xí)檢測(cè)試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫(xiě)考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書(shū)寫(xiě)在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（）A. B.8C.1或 D.或2．集合，則集合A的子集個(gè)數(shù)為（）A.2個(gè) B.4個(gè)C.8個(gè) D.16個(gè)3．積分（）A. B.C. D.4．若集合，，則A. B.C. D.5．胡蘿卜中含有大量的胡蘿卜素，攝入人體消化器官后，可以轉(zhuǎn)化為維生素，現(xiàn)從，兩個(gè)品種的胡蘿卜所含的胡蘿卜素（單位：）得到莖葉圖如圖所示，則下列說(shuō)法不正確的是A. B.的方差大于的方差C.品種的眾數(shù)為 D.品種的中位數(shù)為6．在正方體中，下列幾種說(shuō)法不正確的是A. B.B1C與BD所成的角為60°C.二面角的平面角為 D.與平面ABCD所成的角為7．設(shè)a，b，c非零實(shí)數(shù)，且，則（）A. B.C. D.8．直線(xiàn)的傾斜角為（）A.150° B.120°C.60° D.30°9．在某次賽車(chē)中，名參賽選手的成績(jī)（單位：）全部介于到之間（包括和），將比賽成績(jī)分為五組：第一組，第二組，···，第五組，其頻率分布直方圖如圖所示.若成績(jī)?cè)趦?nèi)的選手可獲獎(jiǎng)，則這名選手中獲獎(jiǎng)的人數(shù)為A. B.C. D.10．若函數(shù)在上為單調(diào)增函數(shù)，則m的取值范圍（）A. B.C. D.11．已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線(xiàn)為，是上一點(diǎn)，是直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的一個(gè)交點(diǎn)，若，則（）A. B.3C. D.212．已知數(shù)列是公差為等差數(shù)列，，則（）A.1 B.3C.6 D.9二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)相交于，兩點(diǎn)，，則直線(xiàn)的方程為_(kāi)_____.14．某甲、乙兩人練習(xí)跳繩，每人練習(xí)10組，每組不間斷跳繩計(jì)數(shù)的莖葉圖如圖，則下面結(jié)論中所有正確的序號(hào)是___________.①甲比乙的極差大；②乙的中位數(shù)是18；③甲的平均數(shù)比乙的大；④乙的眾數(shù)是21.15．記為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和．若，則__________16．如果橢圓上一點(diǎn)P到焦點(diǎn)的距離等于6，則點(diǎn)P到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離為_(kāi)___三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓的上一點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為，橢圓C上的點(diǎn)與其右焦點(diǎn)F的最短距離為，離心率為（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若點(diǎn)P為直線(xiàn)上任一點(diǎn)，過(guò)P作橢圓的兩條切線(xiàn)PA，PB，切點(diǎn)為A，B，求證：18．（12分）如圖，在三棱錐中，平面平面，且，（1）求證：；（2）求直線(xiàn)與所成角的余弦值19．（12分）如圖，在三棱錐中，平面，，，為的中點(diǎn).（1）證明：平面；（2）求平面與平面所成二面角的正弦值.20．（12分）已知某電器市場(chǎng)由甲、乙、丙三家企業(yè)占有，其中甲廠(chǎng)產(chǎn)品的市場(chǎng)占有率為40％，乙廠(chǎng)產(chǎn)品的市場(chǎng)占有率為36％，丙廠(chǎng)產(chǎn)品的市場(chǎng)占有率為24％，甲、乙、丙三廠(chǎng)產(chǎn)品的合格率分別為，，（1）現(xiàn)從三家企業(yè)的產(chǎn)品中各取一件抽檢，求這三件產(chǎn)品中恰有兩件合格的概率；（2）現(xiàn)從市場(chǎng)中隨機(jī)購(gòu)買(mǎi)一臺(tái)該電器，則買(mǎi)到的是合格品的概率為多少？21．（12分）已知數(shù)列是等差數(shù)列，為其前n項(xiàng)和，，（1）求的通項(xiàng)公式；（2）若，求證：為等比數(shù)列22．（10分）四棱錐中，平面，四邊形為平行四邊形，（1）若為中點(diǎn)，求證平面；（2）若，求面與面的夾角的余弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】根據(jù)等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式及等比數(shù)列通項(xiàng)公式即可求解.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則因?yàn)?，所以，即，解得或，所以?故選：C.2、C【解析】取，再根據(jù)的周期為4，可得，即可得解.【詳解】因?yàn)椋?時(shí),，時(shí),，時(shí),，時(shí),，所以集合，所以的子集的個(gè)數(shù)為，故選：C.3、B【解析】根據(jù)定積分的幾何意義求值即可.【詳解】由題設(shè)，定積分表示圓在x軸的上半部分，所以.故選：B4、A【解析】通過(guò)解不等式得出集合B，可以做出集合A與集合B的關(guān)系示意圖，可得出選項(xiàng).【詳解】因?yàn)椋獠坏仁郊?，所以或，所以集合，作出集合A與集合B的示意圖如下圖所示：所以：，故選A【點(diǎn)睛】本題考查集合間的交集運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.5、C【解析】讀懂莖葉圖，分別計(jì)算出眾數(shù)、中位數(shù)、方差，然后對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行判斷【詳解】由莖葉圖知，品種所含胡蘿卜素普遍高于品種，所以，故A正確；品種的數(shù)據(jù)波動(dòng)比品種的數(shù)據(jù)波動(dòng)大，所以的方差大于的方差，故B正確；品種的眾數(shù)為與，故C錯(cuò)誤；品種的數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，故D正確.故選.【點(diǎn)睛】本題主要考查了對(duì)數(shù)據(jù)的分析，首先要讀懂莖葉圖，然后計(jì)算出眾數(shù)、中位數(shù)、方差，即可對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行判斷，較為基礎(chǔ)6、D【解析】在正方體中，利用線(xiàn)面關(guān)系逐一判斷即可.【詳解】解：對(duì)于A(yíng)，連接AC，則AC⊥BD，A1C1∥AC，∴A1C1⊥BD，故A正確；對(duì)于B，∵B1C∥D，即B1C與BD所成的角為∠DB，連接△DB為等邊三角形，∴B1C與BD所成的角為60°，故B正確；對(duì)于C，∵BC⊥平面A1ABB1，A1B?平面A1ABB1，∴BC⊥A1B，∵AB⊥BC，平面A1BC∩平面BCD＝BC，A1B?平面A1BC，AB?平面BCD，∴∠ABA1是二面角A1﹣BC﹣D的平面角，∵△A1AB是等腰直角三角形，∴∠ABA1＝45°，故C正確；對(duì)于D，∵C1C⊥平面ABCD，AC1∩平面ABCD＝A，∴∠C1AC是AC1與平面ABCD所成的角，∵AC≠C1C，∴∠C1AC≠45°，故D錯(cuò)誤故選D【點(diǎn)睛】本題考查了線(xiàn)面的空間位置關(guān)系及空間角，做出圖形分析是關(guān)鍵,考查推理能力與空間想象能力7、C【解析】對(duì)于A(yíng)、B、D：取特殊值否定結(jié)論；對(duì)于C：利用作差法證明.【詳解】對(duì)于A(yíng)：取符合已知條件，但是不成立.故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：取符合已知條件，但是，所以不成立.故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：因?yàn)?，所?故C正確；對(duì)于D：取符合已知條件，但是，所以不成立.故D錯(cuò)誤；故選：C.8、D【解析】由斜率得傾斜角【詳解】直線(xiàn)的斜率為，所以?xún)A斜角為30°.故選：D9、A【解析】先根據(jù)頻率分布直方圖確定成績(jī)?cè)趦?nèi)的頻率，進(jìn)而可求出結(jié)果.【詳解】由題意可得：成績(jī)?cè)趦?nèi)的頻率為，又本次賽車(chē)中，共名參賽選手，所以，這名選手中獲獎(jiǎng)的人數(shù)為.故選A【點(diǎn)睛】本題主要考查頻率分布直方圖，會(huì)根據(jù)頻率分布直方圖求頻率即可，屬于?？碱}型.10、B【解析】用函數(shù)單調(diào)性確定參數(shù)，使用參數(shù)分離法即可.【詳解】，在上是增函數(shù)，即恒成立，；設(shè)，；∴時(shí)，是增函數(shù)；時(shí)，是減函數(shù)；故時(shí)，，∴；故選：B.11、D【解析】根據(jù)拋物線(xiàn)的定義求得，由此求得的長(zhǎng).【詳解】過(guò)作，垂足為，設(shè)與軸交點(diǎn)為.根據(jù)拋物線(xiàn)的定義可知.由于，所以，所以，所以，所以.故選：D【點(diǎn)睛】本小題主要考查拋物線(xiàn)定義，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，屬于基礎(chǔ)題.12、D【解析】結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求得.【詳解】設(shè)公差，.故選：D二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、##【解析】根據(jù)拋物線(xiàn)方程可得焦點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而點(diǎn)P為拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，設(shè)，利用拋物線(xiàn)的定義可得，有軸，即可得出結(jié)果.【詳解】由題意知，拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)，又，所以點(diǎn)P為拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，設(shè)，由，由拋物線(xiàn)的定義得，解得，所以AB垂直與x軸，所以直線(xiàn)AB的方程為：.故答案為：14、①③④【解析】根據(jù)莖葉圖提供的數(shù)據(jù)求出相應(yīng)的極差、中位數(shù)、均值、眾數(shù)再判斷【詳解】由莖葉圖，甲的極差是37－8＝29，乙的極差是23－9＝14，甲極差大，①正確；乙中位數(shù)是，②錯(cuò)；甲平均數(shù)是：，乙的平均數(shù)為：16.9，③正確；乙的眾數(shù)是21，④正確故答案為：①③④15、【解析】因?yàn)槭堑炔顢?shù)列，根據(jù)已知條件，求出公差，根據(jù)等差數(shù)列前項(xiàng)和，即可求得答案.【詳解】是等差數(shù)列，且，設(shè)等差數(shù)列的公差根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式：可得即：整理可得：解得：根據(jù)等差數(shù)列前項(xiàng)和公式：可得：.故答案：.【點(diǎn)睛】本題主要考查了求等差數(shù)列的前項(xiàng)和，解題關(guān)鍵是掌握等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式，考查了分析能力和計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.16、14【解析】根據(jù)橢圓的定義及橢圓上一點(diǎn)P到焦點(diǎn)的距離等于6，可得的長(zhǎng).【詳解】解：根據(jù)橢圓的定義，又橢圓上一點(diǎn)P到焦點(diǎn)的距離等于6，，故，故答案：.【點(diǎn)睛】本題主要考查橢圓的定義及簡(jiǎn)單性質(zhì)，相對(duì)簡(jiǎn)單.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）（2）證明見(jiàn)解析【解析】（1）設(shè)為橢圓上的點(diǎn)，為橢圓的右焦點(diǎn)，求出然后求解最小值，推出，，，得到雙曲線(xiàn)方程（2）設(shè)，，，，，即可得到，依題意可得以、為切點(diǎn)的切線(xiàn)方程，從而得到直線(xiàn)的方程，再分與兩種情況討論，即可得證；【小問(wèn)1詳解】解：設(shè)為橢圓上的點(diǎn)，為橢圓的右焦點(diǎn)，因?yàn)?，所以，又，所以?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，所以，，因?yàn)?，所以，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為【小問(wèn)2詳解】解：由（1）知，設(shè)，，，，，所以，由題知，以為切點(diǎn)的橢圓切線(xiàn)方程為，以為切點(diǎn)的橢圓切線(xiàn)方程為，又點(diǎn)在直線(xiàn)、上，所以、，所以直線(xiàn)的方程為，當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)的斜率不存在，直線(xiàn)斜率為，所以，當(dāng)時(shí)，，所以，所以，綜上可得；18、（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解析】（1）過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)，連接，由，，證出平面，即可證出.（2）以為原點(diǎn)，的方向分別為軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，寫(xiě)出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用，即可得到答案.【小問(wèn)1詳解】過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)，連接，因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以，所以，即?因?yàn)?，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以【小?wèn)2詳解】因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，所以平面，以為原點(diǎn)，的方向分別為軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，可得，因?yàn)?，所以直線(xiàn)與所成角的余弦值為19、（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】（1）根據(jù)勾股定理先證明，然后證明，進(jìn)而通過(guò)線(xiàn)面垂直的判定定理證明問(wèn)題；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，進(jìn)而求出兩個(gè)平面的法向量，然后通過(guò)空間向量的夾角公式求得答案.【小問(wèn)1詳解】∵，，∴，∴，∵平面，平面，∴，∵，，，∴平面.【小問(wèn)2詳解】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，向量，的方向分別為，軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，設(shè)平面的法向量為，由，，有取，可得平面的一個(gè)法向量為.設(shè)平面的一個(gè)法向量為，由，，有取，可得平面的一個(gè)法向量為，所以，故平面與平面的夾角的正弦值為.20、（1）（2）【解析】（1）由相互獨(dú)立事件的概率可得；（2）根據(jù)各產(chǎn)品的市場(chǎng)占有率和合格率，由條件概率公式計(jì)算可得.【小問(wèn)1詳解】記隨機(jī)抽取甲乙丙三家企業(yè)的一件產(chǎn)品，產(chǎn)品合格分別為事件，，，則三個(gè)事件相互獨(dú)立，恰有兩件產(chǎn)品合格為事件D，則故從三家企業(yè)的產(chǎn)品中各取一件抽檢，則這三件產(chǎn)品中恰有兩件合格的概率是【小問(wèn)2詳解】記事件B為購(gòu)買(mǎi)的電器合格，記隨機(jī)買(mǎi)一件產(chǎn)品，買(mǎi)到的產(chǎn)品為甲乙丙三個(gè)品牌分別為事件，，，，，，，，，故在市場(chǎng)中隨機(jī)購(gòu)買(mǎi)一臺(tái)電器，買(mǎi)到的是合格品的概率為21、（1）（2）證明見(jiàn)解析【解析】（1）由已知條件列出關(guān)于的方程組，解方程組求出，從而可求出的通項(xiàng)公式，（2）由（1）可得，然后利用等比數(shù)列的定義證明即可【小問(wèn)1詳解】設(shè)數(shù)列的公差為，則由，，得，解得，所以【小問(wèn)2詳解】證明：由（