四川省綠然國際學校2025屆數學高二上期末學業(yè)水平測試試題含解析

四川省綠然國際學校2025屆數學高二上期末學業(yè)水平測試試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知雙曲線：的右焦點為，過的直線（為常數）與雙曲線在第一象限交于點.若（為原點），則的離心率為（）A. B.C. D.52．若直線與互相垂直，則實數a的值為（）A.-3 B.C. D.33．若任取，則x與y差的絕對值不小于1的概率為（）A. B.C. D.4．在等差數列中，若，則的值為（）A. B.C. D.5．從裝有2個紅球和2個白球的口袋內任取兩個球，則下列選項中的兩個事件為互斥事件的是（）A.至多有1個白球；都是紅球 B.至少有1個白球；至少有1個紅球C.恰好有1個白球；都是紅球 D.至多有1個白球；至多有1個紅球6．如圖所示，正方體的棱長為2，以其所有面的中心為頂點的多面體的表面積為（）A. B.C.8 D.127．若直線先向右平移一個單位，再向下平移一個單位，然后與圓相切，則c的值為（）A.8或-2 B.6或-4C.4或-6 D.2或-88．在中，內角的對邊分別為，若，則角為A. B.C. D.9．曲線為四葉玫瑰線，這種曲線在苜蓿葉型立交橋的布局中有非常廣泛的應用，苜蓿葉型立交橋有兩層，將所有原來需要穿越相交道路的轉向都由環(huán)形匝道來實現，即讓左轉車輛行駛環(huán)道后自右側切向匯入高速公路，四條環(huán)形匝道就形成了苜蓿葉的形狀.下列結論正確的個數是()①曲線C關于點(0，0)對稱；②曲線C關于直線y＝x對稱；③曲線C的面積超過4π.A.0 B.1C.2 D.310．在四面體中，空間的一點滿足，若共面，則（）A. B.C. D.11．雙曲線（，）的一條漸近線的傾斜角為，則離心率為（）A. B.C.2 D.412．2013年9月7日，總書記在哈薩克斯坦納扎爾巴耶夫大學發(fā)表演講在談到環(huán)境保護問題時提出“綠水青山就是金山銀山”這一科學論新．某市為了改善當地生態(tài)環(huán)境，2014年投入資金160萬元，以后每年投入資金比上一年增加20萬元，從2021年開始每年投入資金比上一年增加10%，到2025屆底該市生態(tài)環(huán)境建設投資總額大約為（）（其中，，）A.2559萬元 B.2969萬元C.3005萬元 D.3040萬元二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知正方體,點在底面內運動,且始終保持平面,設直線與底面所成的角為,則的最大值為______.14．設a為實數，若直線與直線平行，則a值為______.15．已知O為坐標原點，拋物線C：的焦點為F，P為C上一點，PF與x軸垂直，Q為x軸上一點，且，若，則______.16．橢圓的右焦點是，兩點是橢圓的左頂點和上頂點，若△是直角三角形，則橢圓的離心率是________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在平面直角坐標系中，過點的直線的參數方程為（為參數）．以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為（1）求直線的普通方程和曲線的直角坐標方程；（2）設曲線與直線交于，兩點，求線段的中點的直角坐標及的值18．（12分）如圖，在幾何體ABCEFG中，四邊形ACGE為平行四邊形，為等邊三角形，四邊形BCGF為梯形，H為線段BF的中點，，，，，，.（1）求證：平面平面BCGF；（2）求平面ABC與平面ACH夾角的余弦值.19．（12分）在等差數列中，，前10項和（1）求列的通項公式；（2）若數列是首項為1，公比為2的等比數列，求的前8項和20．（12分）命題存在，使得；命題對任意的，都有（1）若命題p為真時，求實數a的取值范圍；若命題q為假時，求實數a的取值范圍；（2）如果命題為真命題，命題為假命題，求實數a的取值范圍21．（12分）已知橢圓的左、右焦點分別為、，離心率，且過點（1）求橢圓C的方程；（2）已知過的直線l交橢圓C于A、B兩點，試探究在平面內是否存在定點Q，使得是一個確定的常數？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，說明理由22．（10分）已知函數（1）求函數的圖象在點處的切線方程；（2）求函數的極值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】取雙曲線的左焦點，連接,計算可得，即.設，則，，解得：，利用勾股定理計算可得，即可得出結果.【詳解】取雙曲線的左焦點，連接,,則因為，所以，即.,.設，則，，解得：.,,..故選：D2、C【解析】根據給定條件利用兩條直線互相垂直的關系列式計算作答.【詳解】因直線與互相垂直，則，解得，所以實數a的值為.故選：C3、C【解析】根據題意，在平面直角坐標系中分析以及與差的絕對值不小于1所對應的平面區(qū)域，求出其面積，由幾何概型公式計算可得答案.【詳解】根據題意，，其對應的區(qū)域為正方形，其面積，若與差的絕對值不小于1，即，即或，對應的區(qū)域為圖中的陰影部分，其面積為，故與差的絕對值不小于1的概率.故選：C4、C【解析】利用等差數列性質可求得，由可求得結果.【詳解】由等差數列性質知：，，解得：；又，.故選：C.5、C【解析】根據試驗過程進行分析，利用互斥事件的定義對四個選項一一判斷即可.【詳解】對于A：“至多有1個白球”包含都是紅球和一紅一白，“都是紅球”包含都是紅球，所以“至多有1個白球”與“都是紅球”不是互斥事件.故A錯誤；對于B：“至少有1個白球”包含都是白球和一紅一白，“至少有1個紅球”包含都是紅球和一紅一白，所以“至少有1個白球”與“至少有1個紅球”不是互斥事件.故B錯誤；對于C：“恰好有1個白球”包含一紅一白，“都是紅球”包含都是紅球，所以“恰好有1個白球”與“都是紅球”是互斥事件.故C錯誤；對于D：“至多有1個紅球”包含都是白球和一紅一白，“至多有1個白球”包含都是紅球和一紅一白，所以“至多有1個白球”與“至多有1個紅球”不是互斥事件.故D錯誤.故選：C6、B【解析】首先確定幾何體的空間結構特征，然后求解其表面積即可.【詳解】由題意知，該幾何體是一個由8個全等的正三角形圍成的多面體，正三角形的邊長為：，正三角形邊上的一條高為：，所以一個正三角形的面積為：，所以多面體的表面積為：.故選：B7、A【解析】求出平移后的直線方程，再利用直線與圓相切并借助點到直線距離公式列式計算作答.【詳解】將直線先向右平移一個單位，再向下平移一個單位所得直線方程為，因直線與圓相切，從而得，即，解得或，所以c的值為8或-2.故選：A8、A【解析】因為，那么結合，所以cosA==，所以A=，故答案為A考點：正弦定理與余弦定理點評：本題主要考查正弦定理與余弦定理的基本應用，屬于中等題.9、C【解析】根據圖像或解析式即可判斷對稱性①②；估算第一象限內圖像面積即可判斷③.【詳解】①將點(－x，－y)代入后依然為，故曲線C關于原點對稱；②將點(y，x)代入后依然為，故曲線C關于y＝x對稱；③曲線C在四個象限的圖像是完全相同的，不妨只研究第一象限的部分，∵，∴曲線C上離原點最遠的點的距離為顯然第一象限內曲線C的面積小于以為直徑的圓的面積，又∵，∴第一象限內曲線C的面積小于，則曲線C的總面積小于4π.故③錯誤.故選：C.10、D【解析】根據四點共面的向量表示，可得結果.【詳解】由共面知，故選：【點睛】本題主要考查空間中四點共面的向量表示，屬基礎題.11、C【解析】根據雙曲線方程寫出漸近線方程，得出，進而可求出雙曲線的離心率.【詳解】因為雙曲線的漸近線方程為，又其中一條漸近線的傾斜角為，所以，則，所以該雙曲線離心率為.故選：C.12、B【解析】前7年投入資金可看成首項為160，公差為20的等差數列，后4年投入資金可看成首項為260，公比為1.1的等比數列，分別求和，即可求出所求【詳解】2014年投入資金160萬元，以后每年投入資金比上一年增加20萬元，成等差數列，則2020年投入資金萬元，年共7年投資總額為，從2021年開始每年投入資金比上一年增加，則從2021年到2025屆投入資金成首項為，公比為1.1，項數為4的等比數列，故從2021年到2025屆投入總資金為，故到2025屆底該市生態(tài)環(huán)境建設投資總額大約為萬元故選：二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】畫出立體圖形,因為面面,在底面內運動,且始終保持平面,可得點在線段上運動,因為面面,直線與底面所成的角和直線與底面所成的角相等,即可求得答案.【詳解】連接和,面面在底面內運動,且始終保持平面可得點在線段上運動,面面,直線與底面所成的角和直線與底面所成的角相等面直線與底面所成的角為:有圖像可知:長是定值,當最短時,,即最大,即角最大設正方體的邊長為,故故答案為:【點睛】本題考查了求線面角的最大值,解題是掌握線面角的定義和處理動點問題時,應畫出圖形,尋找?guī)缀侮P系,考查了分析能力和計算能力,屬于難題.14、【解析】根據兩直線平行得到，解方程組即可求出結果.【詳解】由題意可知，解得，故答案為：.15、3【解析】先求點坐標，再由已知得Q點坐標，由列方程得解.【詳解】拋物線：()的焦點，∵P為上一點，與軸垂直，所以P的橫坐標為，代入拋物線方程求得P的縱坐標為，不妨設，因為Q為軸上一點，且，所以Q在F的右側，又，，，因為，所以，，所以3故答案為：3.16、【解析】由題設易知，應用斜率的兩點式及橢圓參數關系可得，進而求橢圓離心率.【詳解】由題設，，，，又△是直角三角形，顯然，所以，可得，則，解得，又，所以.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）直線的普通方程為，曲線的直角坐標方程.（2）【解析】（1）直接利用轉換關系，在參數方程、極坐標方程和直角坐標方程之間進行轉換；（2）利用中點坐標公式和一元二次方程根和系數關系式的應用求出結果【小問1詳解】解：過點的直線的參數方程為為參數），轉換為普通方程為，即直線的普通方程為；曲線的極坐標方程為，即，即，根據，轉換為直角坐標方程為，即曲線的直角坐標方程【小問2詳解】解：把代入，整理得，所以，設，，；故，代入，解得，故中點坐標為；把直線的參數方程為為參數）代入，設和對應的參數為和，得到，整理得，所以18、（1）證明見解析（2）【解析】（1）在中，由正弦定理知可知，利用三角形內角和可知即，又因為，再根據面面垂直的判定定理，即可證明結果；（2）取BC中點O，由（1）得：平面BCGF，，以O為原點，OB，OH，OA所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標系，利用空間向量求二面角，即可求出結果.【小問1詳解】證明：（1）在中，由正弦定理知：解得因為，所以又因為，所以所以又因為，所以直線平面ABC又因為平面BCGF所以平面平面BCGF【小問2詳解】解：取BC中點O，連結OA，OH，由（1）得：平面BCGF，則以O為原點，OB，OH，OA所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系在中，則，，平面ABC的一個法向量為設平面ACH的一個法向量為因為，所以，取，則設平面APD與平面PDF夾角為，所以.19、（1）；（2）347.【解析】（1）設等差數列的公差為，解方程組即得解；（2）先求出，再分組求和得解.【詳解】解：（1）設等差數列的公差為，則解得所以（2）由題意，，所以所以的前8項和為20、（1）p為真時或，q為假時；（2）{或}.【解析】（1）p為真應用判別式求參數范圍；q為真，根據恒成立求參數范圍，再判斷q為假對應的參數范圍.（2）由題設易得p、q一真一假，討論p、q的真假，結合（1）的結果求a的取值范圍【小問1詳解】若p真，則有實數根，∴，解得或若q為真，則，即故q為假時，實數a的取值范圍為【小問2詳解】∵命題真命題，命題為假命題，∴p，q一真一假，當p真q假時，，可得當p假q真時，，可得綜上，實數a取值范圍為或.21、（1）（2）存在，定點【解析】（1）根據已知條件求得，由此求得橢圓的方程.（2）對直線的斜率是否存在進行分類討論，設出直線的方程并與橢圓方程聯立，結合是常數列方程，從而求得定點的坐標.小問1詳解】，，由題可得：.【小問2詳