2024-2025學(xué)年湖南省長(zhǎng)沙市某中學(xué)高二（上）開(kāi)學(xué)數(shù)學(xué)試卷（含答案）

2024-2025學(xué)年湖南省長(zhǎng)沙市望城一中高二(上)開(kāi)學(xué)數(shù)學(xué)試卷

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求

的。

1.苧cosl5。+苧sini5°=()

A號(hào)B4D

2-1

2.若集合4={x||2比一1|>3},B={x|(2x+l)(x-3)<0},則4。3是()

1

A.{%|-1V%<—5或2<%<3]B.{%|2<%<3]

1

C.{x|-1<%V——}D.{x|--<%<2]

3.已知函數(shù)/。)的部分圖象如如圖所示，則/(%)的解析式可能是()

A./(x)=|^

2

B"⑺得x+l

X2+2

C.f(%)=

e-x-ex

D-f(x)=追-cosx

4.在四面體4BCD中，點(diǎn)M,N滿(mǎn)足宿=2而，麗=2而，若而=x^+y冠+z同，貝收+y+

Z=()

111

A.——B.-C.—D.1

5.已知tan(a-J)=]tan(a+/?)=/則tan(0+J)=()

313I13

A-22B.而C.-D.-

6.四名同學(xué)各擲骰子5次，分別記錄每次骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，根據(jù)四名同學(xué)的統(tǒng)計(jì)結(jié)果，可以判斷出一定沒(méi)

有出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)6的是()

A.平均數(shù)為3,中位數(shù)為2B.中位數(shù)為3,眾數(shù)為2

C.平均數(shù)為2,方差為2.4D.中位數(shù)為3,方差為2.8

7.在正四棱柱力BCD中，AB=/2,AA1=2,設(shè)四棱柱的外接球的球心為。，動(dòng)點(diǎn)P在正方形

4BCD的邊上，射線(xiàn)。P交球。的表面于點(diǎn)M,現(xiàn)點(diǎn)P從點(diǎn)4出發(fā)，沿著力-BTCTD—A運(yùn)動(dòng)一次，則點(diǎn)

M經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為()

4/27T8/27T

B.2/2?rD.4vl兀

33

8.如圖，邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD中，P,Q分別為邊BC,CD上的點(diǎn)，AP-^Q=2|PQ|-則*+焉的最大

值為（）

A.1

B.

3/2

D.罷

二、多選題:本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。

9.已知復(fù)數(shù)zi的虛部與Z2的實(shí)部均為2,則下列說(shuō)法正確的是（）

A.Zi是虛數(shù)

B.若㈤=\z2\=2,則Z]=z2

C.若Zi=Z2,則Z1與Z2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于％軸對(duì)稱(chēng)

D.若Z1/2是純虛數(shù)，則㈤=\z2\

10.一口袋中有大小和質(zhì)地相同的5個(gè)紅球和2個(gè)白球，則下列結(jié)論正確的是（）

A.從中任取3球，恰有一個(gè)紅球的概率是：

B.從中有放回的取球3次，每次任取一球，恰好有兩個(gè)白球的概率為言

C.從中不放回的取球2次，每次任取1球，若第一次已取到了紅球，則第二次再次取到紅球的概率為|

D.從中有放回的取球3次，每次任取一球，則至少有一次取到白球的概率為瑞

11.已知平行六面體ABCD-4B1C1D1的棱長(zhǎng)均為1,ADAB=^AB=^AXAD=60°,E,F分別是棱

BiG和GA的中點(diǎn)，P是4G上的動(dòng)點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（）

A.&C=42

B.若AP=”的，貝必iP〃面EFC

C.若4P=3PG，貝LlffiEFC

D.若M是線(xiàn)段&D的中點(diǎn)，N是線(xiàn)段EF上的動(dòng)點(diǎn)，則MP+PN的最小值是孚

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.已知函數(shù)/(久)=若函數(shù)y=/(久)-僅有一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)TH的值是.

13.《中國(guó)居民膳食指南(2022)》數(shù)據(jù)顯示，6歲至17歲兒童青少年超重肥胖率高達(dá)19.0%.為了解某地中學(xué)

生的體重情況，某機(jī)構(gòu)從該地中學(xué)生中隨機(jī)抽取100名學(xué)生，測(cè)量他們的體重(單位：千克)，根據(jù)測(cè)量數(shù)

據(jù)，按[40,45),[45,50),[50,55),[55,60),[60,65),[65,70]分成六組,得到的頻率分布直方圖如圖所

示，根據(jù)調(diào)查的數(shù)據(jù)，估計(jì)該地中學(xué)生體重的50%分位數(shù)是.

f頻率/組距

0.08-..............I—)

s

S

OS.

。40455055606570體重/千克

14.已知一個(gè)圓臺(tái)的側(cè)面積為356兀，下底面半徑比上底面半徑大1,母線(xiàn)與下底面所成角的正切值為7,

則該圓臺(tái)的外接球(圓臺(tái)的上、下底面圓周上的點(diǎn)均在球面上)的體積為.

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。

15.(本小題13分)

已知X,丫兩組各有5位病人，他們服用某種藥物后的康復(fù)時(shí)間(單位：天)記錄如下：

X組：10,11,12,13,14,y組：12,13,15,14,a

假設(shè)所有病人的康復(fù)時(shí)間相互獨(dú)立，從x,丫兩組隨機(jī)各選1人，x組選出的人記為甲，丫組選出的人記為

乙.

(1)如果a=8,求甲的康復(fù)時(shí)間比乙的康復(fù)時(shí)間長(zhǎng)的概率；

(2)如果a=16,事件M：“甲康復(fù)時(shí)間為11天”，事件N：“甲乙康復(fù)時(shí)間之和為25天”，事件M,N是

否相互獨(dú)立？

16.(本小題15分)

如圖所示，己知CE_L底面ABC,乙ABC=pAB=BC=2CE,AAJ/=BBr//=2CE,。為BC的中點(diǎn).

(1)若CE=1,求三棱錐E-ADC的體積.

(2)求證：DE1ArC；

17.(本小題15分)

已知函數(shù)/(%)=ln(e2x+1)—%.

(1)當(dāng)X20時(shí)，函數(shù)g(%)=/(%)-％-a存在零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)。的取值范圍；

(2)設(shè)函數(shù)h(%)=ln(?n?e%-2血)，若函數(shù)/(%)與九(%)的圖象只有一個(gè)公共點(diǎn)，求m的取值范圍.

18.(本小題17分)

在△ABC中，內(nèi)角力，B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且2cosc=空巴史乎已

sinA

(1)求角4

(2)點(diǎn)P在邊BC上，S.AP1AB,AP=2,求△4BC面積的最小值.

19.(本小題17分)

2

已知正實(shí)數(shù)集力={a1,a2,…，an},定義：A={%引七嗎E4}稱(chēng)為4的平方集,記71(4)為集合力中的元素個(gè)

數(shù).

(1)若4={1,2,3,4},求集合弟和打缶2)；

(2)若71(22)=2016,求n(a)mm；

(3)求證：n(42)>2n(X)-1,并指出取等條件.

參考答案

1.71

2.5

3.2

4.C

5.4

6.C

7.A

8.B

9.ABD

10.AC

U.ACD

12.0

13.53.75

500

14.-^-7T

15J?：(1)當(dāng)a=8時(shí)，從X,丫兩組隨機(jī)各選1人，

樣本空間。={(%,y)|xe{10,11,12,13,14],y6(12,13,15,14,8}),共有25種，

甲的康復(fù)時(shí)間比乙的康復(fù)時(shí)間長(zhǎng)的情況有{(10,8),(11,8),(12,8),(13,12),(13,8),(14,12),(14,13),

(14,8)},共8種，

所以概率為蔡.

(2)當(dāng)a=16時(shí)，P(M)=

事件N的情況有{(10,15),(11,14),(12,13),(13,12)},共4種，則P(N)=去

事件MN：“甲康復(fù)時(shí)間為11天且甲乙康復(fù)時(shí)間之和為25天”的情況為(11,14),則P(MN)=裝，

?144

因此P(M)P(N)=-x—=—^P(MN),

D乙。乙。

所以事件M,N不相互獨(dú)立.

16.1?：(1)當(dāng)CE=1時(shí)，根據(jù)題意可得，AB=BC=2CE=2,

^E-A^D=5_ECO，

???AAr//CE,A4i〃平面CDE,

???三棱錐E-aDC的體積：

111

1112

-X-XXX--

^E-A^D~匕「ECO=3XS^ECDXAB323

證明：(2)連接/C,交DE于F,

???CE1面ABC,AAJ/BBJ/CE,

??.BBi1BC,CE1BC,BrBC^\LEC。為直角三角形，

又BB、=BC,CE=泌=DC,

??.乙B、CB=乙EDC=45。，

???乙CFD=90°,即DE1BC

又CEJ_底面ABC,/-ABC=p

???CELAB,AB1BC,???ABi.^BrBCE,

OEu面B/CE,AB1DE,

又A^BJIAB,A1B11DE,

vA1B1nBiC=Bi，??.DE1面//修，又/傳u面418c

??.DE1ArC.

17.解：(1)v/(%)=ln(e2x+1)—%,當(dāng)%>0時(shí),

函數(shù)g(%)=f(x)-x-Q存在零點(diǎn)，

即a=ln(e2x+1)—2%在%6[0,+8)時(shí)有解,

設(shè)0(x)=ln(e2x+1)—2x(%>0),

即0(%)=In(萬(wàn)+1),v%>0,1<^7+1<2,(p(x)e(0,ln2],

即實(shí)數(shù)a的取值范圍為(0,ln2].

(2)若函數(shù)/(%)與/i(%)的圖象只有一個(gè)公共點(diǎn)，

則關(guān)于％的方程ln(m?ex—2m)=ln(e2x+1)—%只有一解，

???m?ex-2m=ex+?一”只有一解，令t=ex(t>0),

得關(guān)于t的方程(zn-l)t2-2mt-1=0有一正數(shù)解，

①當(dāng)機(jī)=1時(shí)，方程的解為t=-a不合題意；

②當(dāng)TH>1時(shí)，則』=47n2+4(m—1)>0恒成立,

ti-t2=——L＜o(jì),.,.此方程有一正一負(fù)根，負(fù)根舍去，滿(mǎn)足題意；

x4m-1

③當(dāng)時(shí)，滿(mǎn)足420的情況下，因?yàn)橐?2=-高＞0，。，^2同號(hào)，所以得滿(mǎn)足L=12＞。，

只需4m2-4(m-1)x(-1)=0,且染有＞0,

解得根=匚”；

綜上，實(shí)數(shù)zn的取值范圍為或7n＞1}.

18.解：(1)由2cosc=空吧警，根據(jù)正弦定理與余弦定理，可得2x。2+廬-，2=吐,

sinA2aba

整理得爐+?2—a2=一A,所以COS&="+/-〃=—工,結(jié)合。＜4＜兀，可得4=亭；

2bc23

(2)設(shè)NZBP=3,則乙4cB=7T—Z-BAC—0=^—0,

因?yàn)?814P,ABAC=V-NP4C=*，結(jié)合4P=2,可得BP=鑒=馬，

36smdsmd

ADpri71

在△力CP中，由正弦定理得sing_8)=藐，解得PC=sinG-ey所以+PC=三3+而甲p

過(guò)4點(diǎn)作BC的垂線(xiàn)，垂足為M,設(shè)AABC的面積為S,

A

BMPC

因?yàn)镹P4M+乙BAM=^ABM+ABAM=所以NPHM=^.ABM=9,可得AM=APcosd=2cos0,

所以S=2xAMxBC=cos。(焉+-^)=cosd-‘譏'洛)

ny[3cos073<38AT3