三角函數(shù)的概念與三角公式應(yīng)用（含答案）-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

專題06三角函數(shù)的概念與三角公式應(yīng)用

（思維構(gòu)建+知識盤點(diǎn)+重點(diǎn)突破+方法技巧）

維構(gòu)建?耀蓿陳紿

K角的概念）--（象限角]

L（終邊相同的角）

—（。知識點(diǎn)一任意角與弧度看轆10耘

凝02梯紀(jì)知角凝舞的范圉

>型03豌逋

型04扇拗磯I長與面陲用

/aTtrfrttnt

弧長公式）

L（扇七公式）

三角函數(shù)的定義

—±IE.二1E^、

三角函數(shù)在各象限符號

。知識點(diǎn)二任意角的三角函數(shù)三正切、四舞鋰01三角函統(tǒng)定義及應(yīng)用

轆02判虻角函數(shù)的符號

1E^避03三角函數(shù)殘的應(yīng)用

三角函數(shù)的概念三角函數(shù)線余弦線

與三角公式應(yīng)用

二平方關(guān)一：si-a+co^Gl）j

SSJ01sina、8Sa、tan卻一求二

「同角三角函數(shù)基本關(guān)系式,一

,知識點(diǎn)三同角三角函數(shù)基本關(guān)系式^sinWcosGtana轆02sina、8由次式（圓徹

一*關(guān)碇SSjQ3sina=CQ5a.sinacosafi

—與誘導(dǎo)公式型04利用誘導(dǎo)公式化簡求值

一三角函數(shù)的語~'奇變偶不變、符號看象限

鋰01兩翩I雯的三角公式正麻晦用

兩角和與差的正弦、余弦、正切公式超02二-

轆埔助角公式的簡隼應(yīng)用

。知識點(diǎn)四三角恒等變換公式03

型04三角恒級螃值求值

埔助角近型05三角恒基按給值求角

型06三角恒基靖含化茴

口識盤點(diǎn)?查福訃與

知識點(diǎn)1任意角與弧度制

1、角的概念

（1）任意角：①定義：角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所成的圖形；②

分類：角按旋轉(zhuǎn)方向分為正角、負(fù)角和零角.

（2）象限角：以角的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，角的始邊為無軸正半軸，建立平面直角坐標(biāo)系.這樣，角的終邊（除

端點(diǎn)外）在第幾象限，就說這個(gè)角是第幾象限角；如果角的終邊在坐標(biāo)軸上，就認(rèn)為這個(gè)角不屬于任何一個(gè)

象限.

（3）終邊相同的角：所有與角a終邊相同的角，連同角a在內(nèi)，

構(gòu)成的角的集合是S=｛用乃=4-36（r+a,kRZ].

2、弧度制

定義把長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做1弧度的角，弧度記作rad

|。|=:(弧長用1表示)

角a的弧度數(shù)公式

①?！虎冢ㄘ＃?/p>

角度與弧度的換算1180radIrad—

弧長公式弧長l=\a\r

2

扇形面積公式S=^lr=^a\r

知識點(diǎn)2任意角的三角函數(shù)

三角函數(shù)正弦余弦正切

設(shè)a是一個(gè)任意角，它的終邊與單位圓交于點(diǎn)Pa，y),那么

定義

》叫做a的正弦，記作sinax叫做a的余弦，記作cosa士叫做a的正切，記作tana

I+++

II+一一

各象限符號

III一一+

IV一+一

由入

八認(rèn)冰L0)一4力'斗(1，0)_

三角函數(shù)線

有向線段反尸為正弦線有向線段為余弦線有向線段AT為正切線

知識點(diǎn)3同角三角函數(shù)基本關(guān)系式與誘導(dǎo)公式

1、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式

(1)平方關(guān)系：sin2a+cos2a=l.

(3)商數(shù)關(guān)系：黑：=tan/+E,左GZ).

(3)基本關(guān)系式的幾種變形

①sin20=1—cos2a=(1+cosa)(l一cosa)；cos2a=1—sin2a=(1+sina)(1—sina).

②(sino(±cosa)2=l±2sinacosa.

③sina=tanacos祈+],左￡Z).

2、三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式

公式―-二三四五六

71

角兀+。匹+_Lot

2E+a(%￡Z)~a7i—a2~a2

正弦sina-sina-sinasinacosacosa

余弦cosa-cosacosa—cosasina-sina

正切tanatana—tana—tana

口訣函數(shù)名改變，符號看象限函數(shù)名不變，符號看象限

奇變偶不變，符號看象限”中的奇、偶是指n/2的奇數(shù)倍和偶數(shù)倍，變與不變指函數(shù)名稱的變化。

知識點(diǎn)4三角恒等變換公式

1、兩角和與差的正弦、余弦、正切公式

C(a-B)cos(a-j8)=cosacos』+sinasin￡

C(a+￡)cos(a+4)=cosacosjS-sinasin^S

S(a-?)sin(a一4)=sinacos夕—cosasin^

S(a+j8)sin(a+4)=sinacos夕+cosasin夕

tan——tan0

tan(aB)I_ptanatan〃

T(a-￡)

變形：tana—tanyS=tan(a—)5)(1+tanoctan0)

tanoc+tanP

tan(a+0—i—tanatan/

T(a+#

變形：tana+tanP=tan(a+￡)(1—tanatan0)

.TT

【注意】在公式T（a±s）中a,0,a土我都不等于far+］（%￡Z）,即保證tana,tan",tan（a土夫）者B有意義.

2、二倍角公式

sin2a=2sinacosa；

S2a

變形：1+sin2a=(sina+cosa)2,1—sin2a=(sina—cosa)2

cos2a=cos2a-sin2ot=2cos2a_1=1—2sin2oc；

C2a61+cos2a.1—cos2a

：cos9a2，siii9ex2

2tana

T2atan2a—o

1I-tana

3、輔助角公式

一般地，函數(shù)/（a）=4sina+bcosa（a,b為常數(shù)）可以化為加）="層+必皿0+0）（其中tan9=\

a\

tan(p=%).

X重點(diǎn)突破?看分■必拓

重難點(diǎn)01sina,cosa齊次式中“切弦互化”的技巧

1、弦化切：把正弦、余弦化成切的結(jié)構(gòu)形式，統(tǒng)一為“切”的表達(dá)式，進(jìn)行求值.常見的結(jié)構(gòu)有：

（1）sina,cosa的二次齊次式（如?sin2a+/?sinotcosa+ccos?。）的問題常采用“切”代換法求解；

（zjeinn/7COS

（2）sina,cosa的齊次分式如公力“上耳劭”的問題常采用分式的基本性質(zhì)進(jìn)行變形?

2、切化弦：利用公式tana=f^,把式子中的切化成弦.一般單獨(dú)出現(xiàn)正切的時(shí)候，采用此技巧.

【典例1］（23-24高三下.河南洛陽?模擬預(yù)測）已知tana=2,則對…儂J（）

2smcr—coscr

A.—B.—C.—D.2

333

【典例2］（23-24高三下?四川?模擬預(yù)測）已知tana=2,則sin2q+cos2a=（）

A.--B.-C.-D.-

2345

【典例3］（23-24高三下?廣東?月考）若tana=2,則5皿2。+'吆=（）

tana

重難點(diǎn)02sina土cosa與sinacosa關(guān)系的應(yīng)用

對于sina+cosa,sina-cosa,sinacosa這三個(gè)式子，矢口一可求二，

f-—\____

若令sinot+cosa=t（t^［一/，地］）,則sinacosa——2-，sina—cosa—心7（注意根據(jù)a的范圍選取正、

負(fù)號），體現(xiàn)了方程思想的應(yīng)用.

已知ac（0,兀），且sina+cosi=[,則sin2a

【典例1］（23-24高三下.吉林長春.三模）

sin6-cose=^^,貝Utan〃=（）

【典例2］（23-24高三上?山東?開學(xué)考試）若8e（03,

5

A—B.2cD.3

A，2-I

rm、則（）

【典例3］（23-24高三下?湖南岳陽?二模）已知HGZ,sinI—+6Z+COS--6Z

g

A.cos。+sina△C.sin2a=-9

B.cosa+sina=--D.sin2a=一

3399

重難點(diǎn)03三角函數(shù)式的化簡要遵循“三看”原則

一看通過看三角函數(shù)式中各角之間的差別與聯(lián)系,

式中各角把角進(jìn)行合理的拆分，從而正確使用公式

二看!看函數(shù)名稱之間的差異，從而確定使用的公式,

函數(shù)名稱「常見的有“切化弦”

0

分析結(jié)構(gòu)特征，找到變形的方向，常見的有

三看

“遇到分式要通分”“整式因式分解”“二次

結(jié)構(gòu)特征

式配方”等

【注意】化簡三角函數(shù)式的常見方法有弦切互化，異名化同名，異角化同角，降塞與升塞等.

【典例1］（23-24高三下?廣東?二模）tan7.5°-tan82.5°+2tanl5°=（）

A.-2B.-4C.一2班D.-473

2cos65°cosl5°

【典例21（23-24局三下?重慶?模擬預(yù)測）的值為（）

tanl50cosl0°+sin10°

A.22+A/31+A/3

B.RD.

2244

【典例3］（23-24高三下?河南焦作?月考）sin80°+c°s50°一"=（）

sin25°2tan25°

A."B.好C.3D.克

2222

法技巧?逆境學(xué)霸

一、確定角上（〃￡"+）終邊所在象限的方法

n

ry

法1分類討論法：利用已知條件寫出a的范圍（用女表示），由此確定土的范圍，在對左進(jìn)行分類討論，從

n

而確定里所在象限。

n

法2幾何法：先把各象限分為〃等份，再從工軸的正方向的上方起，逆時(shí)針依次將各區(qū)域標(biāo)上一、二、三、

四……則a原來是第幾象限的角，標(biāo)號為幾的區(qū)域即角區(qū)終邊所在的區(qū)域。

n

【典例1］（23-24高三下?四川綿陽?三模）已知sin0?tan0〈0,且cosHsinevO,則萬為（）

A.第一或二象限角B.第二或三象限角C.第一或三象限角D.第二或四象限角

Cf

【典例2］（23-24高三上.廣東廣州.二調(diào)）己知sina>0,cosa<0,則l的終邊在（）

A.第一、二、三象限B.第二、三、四象限

C.第一、三、四象限D(zhuǎn).第一、二、四象限

【典例3］（23-24高三上?甘肅天水?月考）設(shè)4角屬于第二象限，且cos,=-cosw，則|■角屬于（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

二、扇形的弧長與面積應(yīng)用

1、利用扇形的弧長和面積公式解題時(shí)，要注意角的單位必須是弧度.

2、求扇形面積最大值的問題時(shí)，常轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問題.

3、在解決弧長問題和扇形面積問題時(shí)，要合理地利用圓心角所在的三角形.

7T

【典例1］（23-24高三上.黑龍江哈爾濱?月考）已知扇形弧長為耳，圓心角為2,則該扇形面積為（）

【典例2］（23-24高三上.江蘇徐州?月考）已知某扇形的面積為3,則該扇形的周長最小值為（）

A.2B.4C.273D.

【典例3］（23-24高三下.湖南?一模）出土于魯國故城遺址的“出廓雙龍勾玉紋黃玉璜”（圖1）的璜身滿刻

勾云紋，體扁平，呈扇面狀，黃身外樓空雕飾“S”型雙龍，造型精美.現(xiàn)要計(jì)算璜身面積（厚度忽略不計(jì)），

3

測得各項(xiàng)數(shù)據(jù)（圖2）：ABq8cm,AD?2cm,A。25cm,若sin37、丁na3.14,則璜身（即曲邊四邊形ABCD）

面積近似為（）

圖1

A.6.8cm2B.D.22.4cm2

三、三角函數(shù)的定義中常見的三種題型及解決辦法

1、已知角a的終邊上一點(diǎn)P的坐標(biāo)，求角a的三角函數(shù)值

方法：先求出點(diǎn)尸到原點(diǎn)的距離，再利用三角函數(shù)的定義求解。

2、已知角e的一個(gè)三角函數(shù)值和終邊上一點(diǎn)P的橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo)，求與角a有關(guān)的三角函數(shù)值

方法：先求出點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離（帶參數(shù)），根據(jù)已知三角函數(shù)值及三角函數(shù)的定義建立方程，求出未

知數(shù)，從而求解問題。

3、已知角的終邊所在的直線方程（,=依/。0）,求角的三角函數(shù)值

方法：先設(shè)出終邊上一點(diǎn)P（a,Aa）,awO,求出點(diǎn)尸到原點(diǎn)的距離，再利用三角函數(shù)的定義求解，注意a

的符號，對”進(jìn)行討論。若直線的傾斜角為特殊角，也可直接寫出角a的三角函數(shù)值。

【典例1］（23-24高三下.江西?二模）己知角a的終邊經(jīng)過點(diǎn)貝!jcosa=（）

A.逅B.追C.應(yīng)D.正

332

【典例2］（23-24高三下?北京朝陽?二模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，銳角a以。為頂點(diǎn)，。尤為始邊.將a的

終邊繞。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)：后與單位圓交于點(diǎn)尸（x,y）,若cosa=走，則'=（）

410

A.--B.--C.-D.-

5555

【典例3］（23-24高三下?河南?一模）以坐標(biāo)原點(diǎn)為頂點(diǎn)，x軸非負(fù)半軸為始邊的角a,其終邊落在直線>=*

上，則有（）

A.sina=B.cos?=^-C.sina+cosa=+>/2D.tana=±1

四、對sina,cosa,tana的知一求二問題

1、知弦求弦：利用誘導(dǎo)公式及平方關(guān)系si/a+cos2a=1求解

2、知弦求切：常通過平方關(guān)系，與對稱式sina±cosa,sina?cosa建立聯(lián)系，注意tan:的靈活應(yīng)用

cosa

cinCL

3、知切求弦：先利用商數(shù)關(guān)系得出sina=tana-cosa或cosa=￡署，然后利用平方關(guān)系求解

Ldll（A

【典例1］（23-24高三上?河北邢臺?期末）若sina=-且，且。為第三象限角，貝!jtana=（）

4

AV39Q后「屈

13134

3

【典例2］（23-24高三上?上海松江?期中）已知cos6=y,且singvO,則tan。的值為（）

44「3D.二

A.——B.—C.-

3344

3?？?.

【典例3】（23-24高三上?內(nèi)蒙古赤峰?期中）已知tana=3,n<a<一,則cosa—sma=.

2

五、利用誘導(dǎo)公式把任意角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為銳角三角函數(shù)的步驟

0?2兀的I

任意負(fù)角利用誘導(dǎo)公式任意正角利用誘導(dǎo)公式一利用誘導(dǎo)公式二

的三角函1I銳角三I

的三角函角的三角I角函數(shù)I

三或一1數(shù)1函數(shù)1~或四或五~

也就是：“負(fù)化正，大化小，化到銳角就好了”.

【典例1】（23-24高三下.河北.三模）已知點(diǎn)P.in20*,cos”型］在角&的終邊上，則產(chǎn)嗎=

)

I46）2l+cos（9

A.逅B.也C.—逅D.—逅

3232

.（兀）（3K）

1sinccH——cos-----cc

【典例2］（23-24高三下?遼寧?三模）已知tana=2,則I2）【2（）

-COS（-6Z）-sin（7l-6Z）

A.-1B.1C.-3D.3

sin（兀一a）cos（2兀一a）cos（龍一a

【典例3］（23-24高三下?全國?專題練習(xí)）已知〃a）=------------

COS

（1）化簡〃a）；

（2）若a是第三象限角，且sin（a-7i）=g,求〃￡）的值.

六、給值求值問題的求解策略

1、“給值求值”關(guān)鍵是找出已知式與待求式之間的聯(lián)系及函數(shù)的差異.

①一般可以適當(dāng)變換已知式，求得另外函數(shù)式的值，以備應(yīng)用；

②變換待求式，便于將已求得的函數(shù)值代入，從而達(dá)到解題的目的.

2、“湊配角”：用已知角和特殊角將所求角表示出來，例如：

a=(a+B)一氏a=a);~+a

a=2%,o=g[(a+/)+(a_,)];,=；[(o+/)_(a_尸)]等.

【典例1］（23-24高三上?全國?專題練習(xí)）已知sina=g,cos（a+夕）=-1,貝ljsin（2a+分）=（）

【典例2］（23-24高三下?山西?三模）若sin2a=立,sin（4-a）="，且。￡9,兀，尸￡兀，孚，則

3▽）614」L2J

cos（a+0=（）

AA/5+A/2Ran275-72

6636

【典例3】（23-24高三下?貴州貴陽二模）已知3夕-3夕=4^11。-$也夕=-：，則13119+0的值為（）

A.-46B.4人C.-275D.2小

七、給值求角問題的求解策略

“給值求角”實(shí)質(zhì)就是轉(zhuǎn)化為“給值求值”.解決此類題的關(guān)鍵是:

（1）求值：求出所求角的某種三角函數(shù)值.

（2）界定范圍：根據(jù)題設(shè)（隱含條件）確定所求角的取值范圍.

（3）求角：由所得函數(shù)值結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性及角的取值范圍確定角的大小.

【典例1］（23-24高三上海南?月考）已知tan（夕-a）=；,tana=-；，a,77e（0,兀），則2尸-a的值是（）

【典例2］（23-24高三上.河北廊坊?期中）設(shè)tze］，匹,且sina+cosa=V5cos/?,則（）

c兀

A.a+,=1B.oc—/3=-^

TT

C.a+/?=5D.a-/3=~~

【典例3］（23-24高三上?河北石家莊.月考）若",匹［嗚］，cosL-^=^,sin^-^=4,則

a+p=.

參考答案與試題解析

專題06三角函數(shù)的概念與三角恒等變換

（思維構(gòu)建+知識盤點(diǎn)+重點(diǎn)突破+方法技巧）

思維構(gòu)建?建精向紿

「［角的概念），象限角；

X終邊相同的角）

耀01^9醴的痂

o知識點(diǎn)一任意角與弧度制耀02根環(huán)知角般舞的范圉

>遜03nfSgn5^］軸j誦

型04

K副送）

三角函數(shù)的定義

一三教在.跟臉一蠢

。知識點(diǎn)二任意角的三角函數(shù)

1E^

三角函數(shù)的概念三角函數(shù)線

與三角公式應(yīng)用線

T平方關(guān)系：sinb+/a=1

^^01sim.cosa.tan卻~~求二

廠:同備三備函數(shù)8*3^^［）：BS?S￡jina/cosa=tana）

整02sina,co訪EH鮑j切

知識點(diǎn)三同角三角函數(shù)基本關(guān)系式U基本關(guān)系式的幾種變形^^03sina=cosa.sna-cosaftj?^

與誘導(dǎo)公式峨04利用法導(dǎo)公式化簡求值

匚三角函數(shù)的誘導(dǎo)近7）~~■,談黑不變、醋者象眼

轆oi兩腦］"虻角公式正序n逆用

兩角和與差的正芟、余變、正電公m超02二倍角公式的簡單應(yīng)用

型靖助角公式的簡單應(yīng)用

。知識點(diǎn)四三角恒等變換公式二聯(lián)近03

型04三角恒登螃值求值

埔助角融型05三角恒基按給值求角

型06三角恒級屐合化簡

口識盤點(diǎn)?查福訃與

知識點(diǎn)1任意角與弧度制

1、角的概念

（1）任意角：①定義：角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所成的圖形；②

分類：角按旋轉(zhuǎn)方向分為正角、負(fù)角和零角.

（2）象限角：以角的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，角的始邊為x軸正半軸，建立平面直角坐標(biāo)系.這樣，角的終邊（除

端點(diǎn)外）在第幾象限，就說這個(gè)角是第幾象限角；如果角的終邊在坐標(biāo)軸上，就認(rèn)為這個(gè)角不屬于任何一個(gè)

象限.

（3）終邊相同的角：所有與角a終邊相同的角，連同角a在內(nèi)，

構(gòu)成的角的集合是S={用乃=k36（T+a,kGZ}.

2、弧度制

定義把長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做1弧度的角，弧度記作rad

|a|=:（弧長用1表示）

角a的弧度數(shù)公式

①廣一出山②（兀）

角度與弧度的換算1801rad—

弧長公式弧長l—\a\r

S=^lr=^\a\r2

扇形面積公式

知識點(diǎn)2任意角的三角函數(shù)

三角函數(shù)正弦余弦正切

設(shè)a是一個(gè)任意角，它的終邊與單位圓交于點(diǎn)尸（無，y）,那么

定義

y叫做a的正弦，記作sinax叫做。的余弦，記作cosa初做a的正切，記作tana

I+++

II+一一

各象限符號

III一一+

IV一+一

小

斗（助小人冰1,0）一

三角函數(shù)線

有向線段MP為正弦線有向線段為余弦線有向線段AT為正切線

知識點(diǎn)3同角三角函數(shù)基本關(guān)系式與誘導(dǎo)公式

1、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式

(1)平方關(guān)系:sin2a+cos2a=l.

(3)商數(shù)關(guān)系：‘in、=tan巖+E,AGZ).

(3)基本關(guān)系式的幾種變形

①sin2a=1—cos2a=(1+cosa)(l—cosa)；cos2a=1—sin2a=(1+sina)(1—sina).

②(sina±cosa)2=l±2sinacosa.

③sina=tanacoso{a^kn+.%￡Z

2、三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式

公式—*二三四五六

712E1

角兀+Q+ct

2E+a/￡Z)~a7i—a2-ot2

正弦sina—sina-sinasinacosacosa

余弦cosa-cosacosa-cosasina-sina

正切tanatana-tana—tana

口訣函數(shù)名改變，符號看象限函數(shù)名不變，符號看象限

“奇變偶不變，符號看象限”中的奇、偶是指兀/2的奇數(shù)倍和偶數(shù)倍，變與不變指函數(shù)名稱的變化。

知識點(diǎn)4三角恒等變換公式

1、兩角和與差的正弦、余弦、正切公式

C(a-汽)cos(a-yff)=cosacos夕+sinasinp

C(a+￡)cos(a+夕)=cosacos夕一sinasin夕

S(a-.)sin(a—/J)=sinacos夕—cosasin4

S(a+為sin(a+夕)=sinacos夕+cosasin夕

tana—tan§

tan(a夕)】_ptanatan代

T(a-.)

變形：tana—tanP=tan(a一￡)Q+tanatanp)

tana+tan

tan(a+夕)-1++萬

T(a+0l1—tanatanp

變形：tana+tan/3=tan(ot+￡)(1—tanatan0)

.TT

【注意】在公式T?±#中a,B，a±在都不等于析+/(%￡Z),即保證1211。，12114，1211(0(±我)者|5有意義.

2、二倍角公式

sin2a=