上海市曹楊第二中學2024-2025學年高三上學期10月月考數(shù)學試題

曹楊二中高三月考數(shù)學試卷2024.10一.填空題(本大題共有12題，滿分54分，第1-6題每題4分，第7-12題每題5分)1.設a∈R.若(a-2i)(1+i)為純虛數(shù)(i為虛數(shù)單位)，則a=__________2.函數(shù)的定義域為__________3.某校高三年級共有學生525名，其中男生294名，女生231名.為了解該校高三年級學生的體育鍛煉情況，從中抽取50名學生進行問卷調(diào)查.若采用分層隨機抽樣的方法，則要抽取男生的人數(shù)為__________4.設m∈R，若圓.x2+y2-4y+m=0的面積為π，則m=__________5.在無窮等比數(shù)列中，首項(a1=1，公比.記，則.6.設ω>0，.若函數(shù)，的最大值為1，但最小值不為-1，則ω的取值范圍是__________7.已知m為非零常數(shù).若在的二項展開式中，x3的系數(shù)是的系數(shù)的8倍，則m=__________8.設是曲線上一動點，則x+2y的最大值為__________9.設，，則不等式的解集為__________10.已知△ABC是邊長為6的等邊三角形，M是△ABC的內(nèi)切圓上一動點，則的最小值為__________11.若一個正整數(shù)的各位數(shù)碼從左至右是嚴格增或嚴格減的，則稱該數(shù)為“嚴格單調(diào)數(shù)”.在不大于4000的四位數(shù)中，“嚴格單調(diào)數(shù)”共有__________個12.設橢圓的左、右焦點分別為F1、F2，直線l經(jīng)過點F2，且與Γ交于P、Q兩點.若PF1⊥PF2，且|F2Q|=1，則Γ的長軸長的最小值為__________二.選擇題(本大題共4題，滿分18分，第13-14題每題4分，第15-16題每題5分)13.已知x∈R，則“(k∈Z)，是“cosx=0”的()A.充分非必要條件 B.必要非充分條件C.充要條件 D.既非充分又非必要條件14.若、，且αsinα>βsinβ，則()A.α>β B.α<β C.α2>β2 D.α2<β215.在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為2的正方形，且PA=PB=2，PC=2\sqrt{3}，則該四棱錐的高是()A. B. C. D.16.已知定義在上的函數(shù)滿足:對任意，都有.若函數(shù)的零點個數(shù)為有限的n(n∈N)個，則n的最大值是()A.1 B.2 C.3 D.4三.解答題(本大題共有5題，滿分78分)17.如圖，空間幾何體由兩部分構成，上部是一個底面半徑為1的圓錐，下部是一個底面半徑為1，高為2的圓柱，圓錐和圓柱的軸在同一直線上，圓錐的下底面與圓柱的上底面重合.設P是圓錐的頂點，AB是圓柱下底面的一條直徑，AA1、BB1是圓柱的兩條母線，C是圓弧AB的中點.(1)若圓錐的側(cè)面積是圓柱的側(cè)面積，求該幾何體的體積(2)若圓錐的高為1，求直線PB1與平面PAC所成角的大小.18.在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c.設向量，，已知.(1)求角A的大小;(2)設D為BC邊上一點，且.AD⊥AB.若AC=4，，求sinB.19.企業(yè)經(jīng)營一款節(jié)能環(huán)保產(chǎn)品，其成本由研發(fā)成本與生產(chǎn)成本兩部分構成，生產(chǎn)成本固定為每臺130元.根據(jù)市場調(diào)研，若該產(chǎn)品產(chǎn)量為x萬臺時，每萬臺產(chǎn)品的銷售收入為萬元，其中.(1)若甲企業(yè)獨家經(jīng)營，其研發(fā)成本為60萬元，求甲企業(yè)能獲得利潤的最大值；(2)若乙企業(yè)見有利可圖，也經(jīng)營該產(chǎn)品，其研發(fā)成本為40萬元.試問：乙企業(yè)產(chǎn)量多少萬臺時獲得的利潤最大；(假設甲企業(yè)按照原先最大利潤的產(chǎn)量生產(chǎn)，并未因乙的加入而改變)(3)由于乙企業(yè)參與，甲企業(yè)將不能得到預期的最大收益，因此會作相應調(diào)整，之后乙企業(yè)也會隨之作出調(diào)整…，最終雙方達到動態(tài)平衡(在對方當前產(chǎn)量不變的情況下，己方達到利潤最大).求動態(tài)平衡時，兩企業(yè)各自的產(chǎn)量.20.已知雙曲線的離心率e=2，左頂點.A(-1，0).過C的右焦點F作與x軸不重合的直線l，交C于P、Q兩點.(1)求雙曲線C的方程；(2)求證：直線AP、AQ的斜率之積為定值；(3)設.試問：在x軸上是否存在定點T，使得恒成立?若存在，求出點T的坐標；若不存在，說明理由.21.給定函數(shù)，若點P是曲線的兩條互相垂直的切線的交點，則稱點P為函數(shù)的“正交點”.記函數(shù)的所有“正交點”組成的集合為M.(1)若，求證：;(2)若，求證：函數(shù)的所有“正交點”在一條定直線上，并求出該直線的方程；(3)設a∈R，，記函數(shù)的圖像上所有點組成的集合為N.若，求a的取值范圍.

參考答案一.填空題1.-22.(-∞，0]3.284.35.6.7.8.9.[-1，+∞)10.11.11212.二.選擇題13.A14.C15.C16.B三.解答題17.(1).(2).18.(1)即.在△ABC中，由正弦定理得2sinBcosA+sinCcosA=-sinAcosC，即2sinBcosA=-(sinAcosC+sinCcosA)=-sin(A+C)=-sinB.由于B為三角形內(nèi)角，故sinB>0，上式即.由于A為三角形內(nèi)角，解得.(2)在△ADC中，由余弦定理得，故.再由余弦定理，得.因此.19.(1)設甲企業(yè)的產(chǎn)量為x萬臺，利潤為萬元，則.故當且僅當x=45時，取最大值1965.因此當甲企業(yè)的產(chǎn)量為45萬臺時，其獲得的利潤取最大值1965萬元.(2)設乙企業(yè)的產(chǎn)量為x萬臺，利潤為萬元，則故當且僅當時，取最大值.因此當乙企業(yè)的產(chǎn)量為萬臺時，其獲得的利潤取最大值萬元.(3)設甲、乙兩企業(yè)的產(chǎn)量分別為a萬臺和b萬臺，利潤分別為P1萬元和P2萬元，則，當P1最大時，有.，當P2最大時，有，由于達到動態(tài)平衡，故，∴.因此動態(tài)平衡時，甲、乙兩企業(yè)的產(chǎn)量均為30萬臺.20.(1)設雙曲線的半焦距為c.由題意知a=1，c=ea=2.故b2=c2-a2=3，因此.(2)由題意知.設直線，與雙曲線方程聯(lián)立得.設P(x1，y1)、Q(x2，y2)，則，故直線AP、AQ的斜率之積為=.(3)由題意知，得.設，則.即.由于，上式即，解得.利用(*)式，得，因此存在定點滿足題目要求.21.(1)由題意知函數(shù)的定義域.，且.對任意的.x1、x2∈D，都有，因此.(2)設“正交點”是曲線在x=x1與x=x2處切線的交點.由于，故曲線在x=x1與x=x2處的切線方程分別為與.將兩直線方程聯(lián)立，解得.由于曲線在x=x1與x=x2處的切線互相垂直，有2x1?2x2=-1，即.因此為定值，即點P在定直線上.(3)即過曲線上任意一點均無法作曲線的兩條互相