人教A版高中數(shù)學(xué)(必修第一冊)培優(yōu)講義+題型檢測專題5.2 三角函數(shù)的概念-重難點題型精講及檢測（教師版）

第第頁專題5.2三角函數(shù)的概念-重難點題型精講1．任意角的三角函數(shù)(1)利用單位圓定義任意角的三角函數(shù)設(shè)SKIPIF1<0是一個任意角，SKIPIF1<0∈R，它的終邊OP與單位圓相交于點P(x,y).

①把點P的縱坐標y叫做SKIPIF1<0的正弦函數(shù)，記作SKIPIF1<0，即y=SKIPIF1<0；

②把點P的橫坐標x叫做SKIPIF1<0的余弦函數(shù)，記作SKIPIF1<0，即x=SKIPIF1<0；

③把點P的縱坐標與橫坐標的比值SKIPIF1<0叫做SKIPIF1<0的正切，記作SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0=SKIPIF1<0(x≠0).我們將正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)統(tǒng)稱為三角函數(shù)，通常將它們記為：(2)用角的終邊上的點的坐標表示三角函數(shù)

如圖，設(shè)SKIPIF1<0是一個任意角，它的終邊上任意一點P(不與原點O重合)的坐標為(x,y)，點P與原點的距離為r.則SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，SKIPIF1<0=SKIPIF1<0.2．三角函數(shù)的定義域和函數(shù)值的符號(1)三角函數(shù)的定義域(2)三角函數(shù)值在各象限的符號由于角的終邊上任意一點P(x,y)到原點的距離r是正值，根據(jù)三角函數(shù)的定義，知

①正弦函數(shù)值的符號取決于縱坐標y的符號；

②余弦函數(shù)值的符號取決于橫坐標x的符號；

③正切函數(shù)值的符號是由x,y的符號共同決定的，即x,y同號為正，異號為負.

因此，正弦函數(shù)(SKIPIF1<0)、余弦函數(shù)(SKIPIF1<0)、正切函數(shù)(SKIPIF1<0)的值在各個象限內(nèi)的符號如圖所示.

3．誘導(dǎo)公式一由三角函數(shù)的定義，可以知道：終邊相同的角的同一三角函數(shù)的值相等.

由此得到一組公式(公式一)：4．同角三角函數(shù)的基本關(guān)系(1)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系(2)基本關(guān)系式的變形公式【題型1任意角的三角函數(shù)的定義及應(yīng)用】【方法點撥】解決此類問題的關(guān)鍵是正確理解任意角的三角函數(shù)的定義.【例1】（2022·廣東·高一開學(xué)考試）已知角α的終邊經(jīng)過點M1,2，則cosα=A．63 B．33 C．2 【解題思路】利用三角函數(shù)的定義可求得cosα【解答過程】由三角函數(shù)的定義可得cosα=【變式1-1】（2022·陜西·高三階段練習(xí)（文））設(shè)α是第二象限角，Px,8為其終邊上的一點，且sinα=45，則A．?3 B．?4 C．?6 D．?10【解題思路】由任意角的三角函數(shù)定義即可求解【解答過程】因為Px,8為其終邊上的一點，且sinα=45，所以因為α是第二象限角，所以x=?6，故選：C.【變式1-2】（2022·河南·高三階段練習(xí)（文））已知角α的終邊經(jīng)過點P?4m,3mm≠0，則2sinA．?35 B．25 C．1或?25【解題思路】先求得點P與原點間的距離r=5m，再根據(jù)正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的定義，分m>0，m<0【解答過程】由題意可得：點P與原點間的距離r=?4m∴sinα=3m5m,cosα=當(dāng)m<0時，則sinα=?35【變式1-3】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知角θ的頂點與原點重合，始邊與x軸非負半軸重合，若A?1,y是角θ終邊上一點，且sinθ=?31010A．3 B．?3 C．1 D．?1【解題思路】根據(jù)三角函數(shù)的定義得到方程，解得即可.【解答過程】解：因為sinθ=?31010<0，A由三角函數(shù)的定義，得yy2+1故選：B.【題型2三角函數(shù)值在各象限的符號】【方法點撥】對于確定角SKIPIF1<0是第幾象限角的問題，應(yīng)先確定題目中所有三角函數(shù)值的符號，然后依據(jù)上述三角函數(shù)值的符號來確定角SKIPIF1<0是第幾象限角，則它們的公共部分即所求；對于已知角SKIPIF1<0的終邊所在的象限來判斷角SKIPIF1<0的三角函數(shù)值的符號問題，則常依據(jù)三角函數(shù)的定義，或利用口訣“一全正、二正弦、三正切、四余弦”來解決.【例2】（2022·全國·高一課時練習(xí)）已知α為第二象限角，則（

）A．sinα<0 B．tanα>0 C．cosα<0【解題思路】根據(jù)三角函數(shù)在各象限的符號求解即可.【解答過程】因為α為第二象限角，所以sinα>0,【變式2-1】（2022·全國·高一課時練習(xí)）已知α為第二象限的角，則1?cos2αA．sinα B．?sinα C．±【解題思路】根據(jù)α所在的象限，可以定sinα【解答過程】因為α為第二象限角，所以sinα>0所以1?【變式2-2】（2022·全國·高三專題練習(xí)）若sinθ<0且tanθ<0，則角θ所在的象限是（A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【解題思路】根據(jù)三角函數(shù)的正負，確定角θ所在的象限.【解答過程】sinθ<0，則角θ在第三，四象限，tanθ<0，則角所以滿足sinθ<0且tanθ<0，角【變式2-3】（2022·北京高一期中）設(shè)α是第一象限的角，且cosα2=cosαA．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【解題思路】由α的范圍進而得出α2的范圍，結(jié)合cos【解答過程】因為α是第一象限的角，所以2kπ<α<π所以kπ<α2<π4+kπ,k∈Z，即α2【題型3誘導(dǎo)公式一的應(yīng)用】【方法點撥】1.誘導(dǎo)公式一的實質(zhì)是終邊相同的角的同名三角函數(shù)值相等.2.利用誘導(dǎo)公式一可將負角或大于等于2π的角的三角函數(shù)化為0~2π之間的角的同名三角函數(shù)，實現(xiàn)了“負化正，大化小”.【例3】（2022·湖南·高一課時練習(xí)）求值：3cos【解題思路】利用誘導(dǎo)公式及特殊角的三角函數(shù)計算可得；【解答過程】解：3cos=3cos60°?【變式3-1】（2021·全國·高一課前預(yù)習(xí)）計算下列各式的值：(1)tan405°?sin450°+cos750°【解題思路】利用誘導(dǎo)公式化簡，再根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值計算可得；【解答過程】(1)解：tan==tan(2)解：sin25π3+tan【變式3-2】（2021·全國·高一課時練習(xí)）化簡下列各式：(1)sin760°1?cos240°【解題思路】（1）利用誘導(dǎo)公式結(jié)合同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可求得結(jié)果；（2）利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系化簡可得結(jié)果.【解答過程】(1)解：sin760(2)解：∵α為第二象限角，則sinα>0，cosα<0，則【變式3-3】（2021·全國·高一課前預(yù)習(xí)）求下列各式的值：(1)cos25π3＋tan?(2)sin810°＋tan1125°＋cos420°.【解題思路】三角函數(shù)誘導(dǎo)公式的一個很大作用是把一個角的三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化為某個相關(guān)銳角的三角函數(shù)值，以便于化簡或求值.【解答過程】(1)cos25π3＋tan?15π4(2)sin810°＋tan1125°＋cos=sin【題型4根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求值】【方法點撥】第一步：由已知三角函數(shù)的符號，確定其角終邊所在的象限；第二步：依據(jù)角的終邊所在象限進行分類討論；第三步：利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式及其變形公式，求出其余三角函數(shù)值.【例4】（2022·江西省高三階段練習(xí)（理））已知tanα=?2，則sinα?3cosA．?7 B．?53 C．?【解題思路】根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系將弦化切，再代入即可.【解答過程】解：因為tanα=?2，所以sin【變式4-1】（2022·貴州·高三階段練習(xí)（文））已知sinα?cosα=12A．?34 B．34 C．?【解題思路】先把已知的等式平方得到sinα【解答過程】由sinα?cosα=12，所以所以sinα【變式4-2】（2021·河北·高二期中）已知sinα+cosα=15，且α∈A．±75 B．?75 C．【解題思路】將已知等式兩邊平方，利用三角函數(shù)的基本關(guān)系求得2sinαcosα的值，結(jié)合α的范圍確定sinα【解答過程】因為sinα+cosα=故2sinαcosα=?2425<0，所以sinα與所以sinα?【變式4-3】（2022·山東·高二階段練習(xí)）已知tanθ=2,則cosθ?sinA．?13 B．13 C．?3【解題思路】利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系,分子分母同時除以cosθ【解答過程】∵tanθ=2,∴cos【題型5三角函數(shù)式的化簡】【方法點撥】1.化簡原則：三角函數(shù)式的化簡就是代數(shù)式的恒等變形，使結(jié)果盡可能簡單，也就是項數(shù)盡可能少，次數(shù)盡可能低，函數(shù)種類盡可能少，式子中盡量不含根號，能求值的一定要求值.2.化簡常用的方法：(1)對于含有根號的，常把被開方數(shù)(式)化成完全平方數(shù)(式)，然后去根號達到化簡的目的；(2)化切為弦，從而減少函數(shù)種類，達到化簡的目的；(3)對于含高次的三角函數(shù)式，往往借助于因式分解或構(gòu)造SKIPIF1<0，以降低次數(shù)，達到化簡的目的.【例5】（2021·福建·高一階段練習(xí)）（1）已知cosα+2sinα=0（2）已知sinβ+cosβ=23【解題思路】（1）先求出tanα=?12，進而由1=（2）由(sin【解答過程】（1）由cosα+2sinα=0，得?1?2cos2（2）(sinβ+cos又β為第四象限角，所以sinβ<0,cosβ>0【變式5-1】（2022·全國·高一課時練習(xí)）已知3sin(1)求tanα的值；(2)求sin【解題思路】（1）利用“1”的代換及弦切互化可求tanα=（2）利用“1”的代換及弦切互化可求三角函數(shù)式的值.【解答過程】（1）解法一：∵sin2α+cos2α=1，3sin分子分母同時除以cos2α，得3tan2α?4解法二：∵3sin2α?4sin即(2sinα?cosα)2=0（2）∵tanα=12，【變式5-2】（2022·全國·高一課時練習(xí)）已知tanα=2(1)1sinαcosα；【解題思路】（1）利用1=sin2α+（2）通分化簡后，再利用1=sin2α+【解答過程】（1）因為tanα=2所以原式（2）因為tanα=2，所以11?=2【變式5-3】（2022·天津·模擬預(yù)測）已知3π4<α<π(1)求tanα(2)求sinα+(3)求2sin【解題思路】（1）根據(jù)tanα＋1tana（2）利用弦化切，將sinα+cosα（3）利用1=sin2α+cos2α【解答過程】（1）由tanα＋1tana=?10因為3π4<α<π，故?1<（2）sinα+（3）2sin2【題型6三角恒等式的證明】【方法點撥】三角恒等式的證明方法非常多，其主要方法有：(1)從左向右推導(dǎo)或從右向左推導(dǎo)，一般由繁到簡；(2)左右歸一法，即證明左右兩邊都等于同一個式子；(3)化異為同法，即針對題設(shè)與結(jié)論間的差異，有針對性地變形，以消除差異.【例6】（2022·全國·高一課時練習(xí)）求證：(1)(1?cosαsinα+【解題思路】（1）（2）利用同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系、平方關(guān)系，將等式左側(cè)化簡，證明結(jié)論即可.【解答過程】（1）(1?cosα=sinα?cosα+1（2）sinα(1+tanα)+cosα(1+1tanα)=所以原式成立.【變式6-1】（2021·全國·高一課時練習(xí)）求證：(1)1?2sinxcos【解題思路】（1）根據(jù)同角的三角函數(shù)關(guān)系進行轉(zhuǎn)化證明即可．（1）根據(jù)同角的三角函數(shù)關(guān)系進行轉(zhuǎn)化證明即可．【解答過程】(1)左邊=cosx?sin(2)左邊=sin2即證：tan2【變式6-2】（2021·全國·高一專題練習(xí)）求證：sin4α+cos4α＝1﹣2sin2αcos2α【解題思路】利用同角三角函數(shù)平方關(guān)系進行證明，利用等式左邊完全平方公式變形，計算得到結(jié)果與右邊相等【解答過程】證明：左邊＝（sin2α+cos2α）2﹣2sin2αcos2α＝1﹣2sin2αcos2α＝右邊，則sin4α+cos4α＝1﹣2sin2αcos2α．【變式6-3】（2022·全國·高一課時練習(xí)）求證：(1)sinα?cosα+1sinα+cos【解題思路】（1）將左邊化為sinα?（2）用立方和公式與完全平方公式并結(jié)合同角三角函數(shù)的平方關(guān)系將式子化簡.【解答過程】（1）左邊=sinα?cos（2）左邊=2sin2=2=21?3專題5.2三角函數(shù)的概念-重難點題型檢測參考答案與試題解析一．選擇題（共8小題，滿分24分，每小題3分）1．（3分）（2021·福建·高一階段練習(xí)）cos?23πA．?12 B．12 C．?【解題思路】由誘導(dǎo)公式一即可值【解答過程】cos?2．（3分）（2022·全國·高一課時練習(xí)）已知P?2,y是角θ終邊上一點，且sinθ=225A．?225 B．225 【解題思路】根據(jù)sinθ>0，可判斷點P(?2,y)【解答過程】解：因為P(?2,y)是角θ終邊上一點，sinθ=22所以y>0，sinθ=y(?2)2+y23．（3分）（2022·湖北·高三期中）已知tanα=2，則sinαcosA．?25 B．?52 C．【解題思路】由條件利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求得sinα【解答過程】因為tanα=2，則sin4．（3分）（2022·寧夏·高三期中（理））已知角α的終邊經(jīng)過點P1,3，則sinα+cosA．43 B．53 C．2 【解題思路】根據(jù)角α的終邊經(jīng)過點P1,3，求得tanα=3【解答過程】由角α的終邊經(jīng)過點P1,3，則tanα=35．（3分）（2022·四川·高三開學(xué)考試（文））已知cosα?3sinα=0A．?54 B．?45 C．【解題思路】根據(jù)給定條件，求出tanα【解答過程】因cosα?3sinα=0，則tan6．（3分）（2023·四川資陽·模擬預(yù)測（文））已知角α的頂點與坐標原點O重合，始邊與x軸的非負半軸重合．若角α終邊上一點P的坐標為cos2π3,sinA．?32 B．?32 C．【解題思路】計算得到P?【解答過程】Pcos2π3,sin2故sinα7．（3分）如果θ是第二象限角，且滿足cosθ2?sinθA．是第一象限角 B．是第三象限角C．可能是第一象限角，也可能是第三象限角 D．是第二象限角【解題思路】由θ是第二象限角，有2kπ+π2<θ<2k【解答過程】因為1?sinθ所以cosθ2?sinθ2≥0，即cosθ∴kπ+π4<θ2<kπ∴2kπ+5π4<θ8．（3分）（2022·江蘇揚州·高三期中）我國古代數(shù)學(xué)家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》一書時介紹了“趙爽弦圖”，它是由四個全等的直角三角形與一個小正方形拼成的大正方形如圖所示，記直角三角形較小的銳角為α，大正方形的面積為S1，小正方形的面積為S2，若S1S2A．355 B．255 C．【解題思路】設(shè)大正方形的邊長為a，則直角三角形的兩直角邊分別為asinα,acosα，分別求出S1,S【解答過程】解：設(shè)大正方形的邊長為a，則直角三角形的兩直角邊分別為asin故S1=a2,又α為銳角，則sinα>0,cosα>0二．多選題（共4小題，滿分16分，每小題4分）9．（4分）（2022·福建省高三階段練習(xí)）給出下列各三角函數(shù)值：①sin?100°；②cos?220°；③tanA．① B．② C．③ D．④【解題思路】根據(jù)三角函數(shù)在各象限的符號即可判斷.【解答過程】解：對①：因為?180°<?對②：因為?270°<?對③：因為?7π2對④：因為π3是第一象限角，所以cosπ3故選：ABC.10．（4分）（2022·廣西欽州·高一期末）已知θ∈(0,π)，sinθ+cosθ=A．sinθcosθ<0 B．sinθ?cosθ=【解題思路】考慮角θ所在的象限，以及同角關(guān)系和題目所給的條件即可.【解答過程】由sinθ+cosθ=55…對等式①兩邊取平方得1+2sinθcosθ=1∵θ∈0,π，∴sinθ＞0由①②sinθ，cosθ可以看作是一元二次方程解得sinθ=2511．（4分）（2021·江蘇·高一課時練習(xí)）閱讀下列命題：其中正確的命題為（

）A．終邊落在x軸上的角的集合αB．同時滿足sinα=12C．設(shè)tanα=12且D．1?【解題思路】A,利用終邊相同的角即可判斷；B,利用特殊角的三角函數(shù)值及誘導(dǎo)公式判斷即可得到結(jié)果；C,由tanα的值及α的范圍，利用同角三角函數(shù)間基本關(guān)系求出cosα的值，進而求出【解答過程】對于A,終邊落在x軸上的角的集合αα=180°k,k∈Z對于B,同時滿足sinα=12，cos對于C.設(shè)tanα=12且π<α<3π2對于D,1?sin故選：ACD.12．（4分）（2022·遼寧·高一期中）下列四個選項，正確的有（

）A．Ptanα,cosB．已知扇形OAB的面積為4，周長為10，則扇形的圓心角（正角）的弧度數(shù)為1C．若角α的終邊經(jīng)過點a,2aa≠0，則D．sin【解題思路】根據(jù)三角函數(shù)在各個象限的正負，扇形周長和面積的計算公式，三角函數(shù)的定義，三角函數(shù)值的正負，對每個選項進行逐一分析，即可判斷和選擇.【解答過程】對A：由題可得tanα<0，則cosα<0，則α屬于第二或者第三象限或角度終邊落在x軸的負半軸上；故α對B：設(shè)扇形OAB的圓心角為α(α>0)，半徑為R，圓心角對的弧長為l，則12lR=4，l+2R=10，解得l=2,R=4，又l=αR，即2=4α，解得對C：根據(jù)題意可得sinα對D：因為3∈(π2,π)，4∈故sin3三．填空題（共4小題，滿分16分，每小題4分）13．（4分）（2022·黑龍江·高二期中）若角α的終邊過點P(m,?1)，且cosα=?255，則m=【解題思路】根據(jù)已知條件及三角函數(shù)的定義即可求解.【解答過程】因為角α的終邊過點P(m,?1)，所以cosα=mm2+1所以mm2+1=?255，即m2=4，解得m=214．（4分）（2022·陜西·高一期中）比較大小：cos?174π【解題思路】化簡可得cos?174【解答過程】cos?cos?235π=cos6π?15．（4分）（2022·全國·高三專題練習(xí)）若A∈0,π，且sinA+cosA=7【解題思路】根據(jù)題中條件，利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系，先求出sinA?cosA，進而求得sin【解答過程】由sinA+cosA=713得，sin因為A∈0,π，所以A∈π2,因此sinA?cosA=1713.聯(lián)立sinA+cos16．（4分）（2022·遼寧·高一期中）若α，β∈0,π2，且1+sin2αsin【解題思路】由題意結(jié)合商數(shù)關(guān)系及平方關(guān)系可得tanβ=【解答過程】解：由1+sin2α因為α∈0,π2，所以tan當(dāng)且僅當(dāng)2tanα=1tanα，即tanα=2四．解答題（共6小題，滿分44分）17．（6分）（2022·全國·高一課時練習(xí)）已知頂點在原點，始邊與x軸非負半軸重合的角α的終邊上有一點P?3,m，且sinα=24m【解題思路】根據(jù)三角函數(shù)定義可由sinα=m3+m2=2【解答過程】∵sinα=m當(dāng)m=5時，cosα=?3當(dāng)m=?5時，cosα=?318．（6分）（2022·湖南·高一課時練習(xí)）確定下列各三角函數(shù)值的符號：(1)sin4π3；(2)cos3；(3)tan250°【解題思路】（1）