江蘇省南京市某中學(xué)2023-2024學(xué)年高三年級(jí)下冊(cè)期初考試數(shù)學(xué)試題（含答案解析）

江蘇省南京市二十九中學(xué)2023-2024學(xué)年高三下學(xué)期期初考試

數(shù)學(xué)試題

學(xué)校:姓名：班級(jí)：考號(hào)：

一、單選題

1.二次函數(shù)了="2（標(biāo)0）的圖像為拋物線，其準(zhǔn)線方程為（）

1a

A.x=-----B.x=—C.y-------D.y=—

4。4^a4

2.某學(xué)校高二年級(jí)選擇“物化生”，“物化地”和“史地政”組合的同學(xué)人數(shù)分別為240,90和

120.現(xiàn)采用分層抽樣的方法選出30位同學(xué)進(jìn)行項(xiàng)調(diào)查研究，貝臚史地政”組合中選出的同學(xué)

人數(shù)為（）

A.8B.12C.16D.6

2sin50°-cos20°

3.---------------------二（)

2sin20°

11V3手

A.——B.—C.--D.—

2222

4.若犯〃表示兩條不重合的直線，％",7表示三個(gè)不重合的平面，下列命題正確的是（）

A.若。門/=加，/riy=〃，Km//n,則?！ㄊ?/p>

B.若加,〃相交且都在生￡外，rn//a,n//a,m//（i.n///?,貝Ija〃尸

C.若m〃n,nua,則冽〃a

D.若冽〃則加〃〃

5.已知耳耳是橢圓。的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，且/用岑=60。/尸周=31尸周，則C的

離心率為（）

V7口屈「布n而

AA?o?>U?

2244

6.“中國(guó)剩余定理”又稱“孫子定理”，原文如下：今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二（除以3

余2）,五五數(shù)之剩三（除以5余3）,七七數(shù)之剩二（除以7余2）,問(wèn)物幾何？現(xiàn)有這樣一

個(gè)相關(guān)的問(wèn)題：已知正整數(shù)機(jī)滿足五五數(shù)之剩三，將符合條件的所有正整數(shù)班按照從小到

大的順序排成一列，構(gòu)成數(shù)列｛%｝,記數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為邑，則1°5，+121的最小值為

5n

（）

試卷第1頁(yè)，共4頁(yè)

231361

A.23B.C.D.33

1015

7.已知(x—1)(2—x)<lnx<x(x—1)對(duì)VXE(1,2)恒成立，且x越接近于1,它們的值也越接

一535.

近.如，取x=一時(shí)，有一<In5-21n2<一,計(jì)算可得：1.5735<ln5<1.6985.則ln5的近似

41616

值為()(附：111220.693,粵^0.025,竺。0.023)

12521252

A.1.60B.1.61C.1.62D.1.63

8.設(shè)的三個(gè)頂點(diǎn)為復(fù)平面上的三點(diǎn)4,z2,z3,滿足z/2Z3=0,Z[+z+z3=8+2i,

ZjZ2+z2z3+ZjZ3=15+lOi,貝IJV4BC內(nèi)心的復(fù)數(shù)坐標(biāo)Z的虛部所在區(qū)間是().

A.(0.5,1)B.(0,0.5)C.(1,2)D.前三個(gè)選項(xiàng)都不對(duì)

二、多選題

9.下列說(shuō)法正確的是()

ry

A.為第一象限角”是“券為第一象限角或第三象限角”的充分不必要條件

兀1

B.“a=—+2析,左EZ”是“sina=—”的充要條件

62

C.設(shè)"=[&&=阮±￡,左ez1,N=jaa=?，左ez),貝l|“6eM”是“0eN”的充分

不必要條件

A

D.“sin8>0”是“tan—>0”的必要不充分條件

2

10.已知數(shù)列｛%｝滿足%=g,a”+i=E^("eN*),則()

A.數(shù)列為等比數(shù)列B.a?<l

1%J

111

C.%〉4+ID.—+—+.??+——<〃+l

axa2an

ii.已知正方體45。。-48cA的棱長(zhǎng)為2,又為空間中任一點(diǎn)，則下列結(jié)論中正確的是(

7T71

A.若〃為線段4C上任一點(diǎn)，則2M與所成角的范圍為匕，不

42

B.若W在正方形。CC4內(nèi)部，S.\MB\=46,則點(diǎn)M軌跡的長(zhǎng)度為日兀

試卷第2頁(yè)，共4頁(yè)

C.若M為正方形的中心，則三棱錐43。外接球的體積為8兀

4兀

D.若三棱錐"-8DG的體積為不=m恒成立，點(diǎn)”的軌跡為橢圓或部分橢圓

36

填空題

12.已知［一展開(kāi)式中第3項(xiàng)和第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，貝“"=’且展開(kāi)式中

的常數(shù)項(xiàng)為.

13.某公司在2016-2021年的銷售額(萬(wàn)元)如下表，根據(jù)表中數(shù)據(jù)用最小二乘法得到的回

歸方程為3=2x+35.

X201620172018201920202021

y

必力y4%歹6

則當(dāng)關(guān)于a,6的表達(dá)式￡(以-尿_4取最小值時(shí)，a+b=.

k=\

14.一民航送客車載有20位旅客自機(jī)場(chǎng)開(kāi)出，旅客有10個(gè)車站可以下車，如到達(dá)一車站沒(méi)

有旅客下車就不停車，設(shè)每位旅客在各個(gè)車站下車是等可能的，并各位旅客是否下車相互獨(dú)

立.以X表示停車次數(shù)，則E(X)=.(已知隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布，且

則葩斗島卜

P（X；=1）=1-尸（X,=0）=%,1=1,2,…，〃,

四、解答題

15.已知圓/:/+「+4》_8=0,"(2,0),G為M上的動(dòng)點(diǎn)，線段G〃的垂直平分線交

直線GW于點(diǎn)0.

(1)求點(diǎn)。的軌跡方程；

(2)設(shè)直線”的傾斜角為a,直線的傾斜角為尸，點(diǎn)。不在x軸上，若a=20,求點(diǎn)。

的坐標(biāo).

JT

16.如圖，在三棱柱斯中，/。=2/5=4,/詡。=—,尸為/。的中點(diǎn)，ABCP為等

3

77

邊三角形，直線ZC與平面45口所成角大小為二.

4

試卷第3頁(yè)，共4頁(yè)

(1)求證：尸￡_1平面2。尸；

(2)求平面ECP與平面PCD夾角的余弦值.

17.已知函數(shù)/(x)=oxe”(。/0),g(x)=-x2.

⑴討論f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)當(dāng)尤＞0時(shí)，函數(shù)y=/(x)的圖象于函數(shù)y=g(x)的圖象有公切線，求實(shí)數(shù)。的最小值.

18.在V48c中，48=2,。為48的中點(diǎn)，CD=2.

(1)若8C=指,求/C的長(zhǎng)；

(2)若/BAC=2NBCD,求NC的長(zhǎng).

19.定義1：通常我們把一個(gè)以集合作為元素的集合稱為族(collection).

定義2：集合X上的一個(gè)拓?fù)?topology)乃是X的子集為元素的一個(gè)族「，它滿足以下條

件：(1)0和X在「中；(2)「的任意子集的元素的并在「中；(3)「的任意有限子集的元

素的交在「中.

⑴族尸={0,X},族0={x|xqX},判斷族尸與族。是否為集合X的拓?fù)洌?/p>

⑵設(shè)有限集X為全集

(i)證明：簿(幺①明口…n4)=(x4)u〉4)u…u("乂』*)；

(ii)族「為集合X上的一個(gè)拓?fù)?，證明：由族「所有元素的補(bǔ)集構(gòu)成的族「/為集合X上

的一個(gè)拓?fù)?

試卷第4頁(yè)，共4頁(yè)

參考答案:

題號(hào)12345678910

答案CADBCBBAACABD

題號(hào)11

答案ABD

1.C

【分析】將了"S0),化為拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程//S0),分類討論即可.

【詳解】將尸蘇①0),化為拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程/=：＞(加0)，

當(dāng)。＞0時(shí)，2p=-,得到？==，由拋物線的準(zhǔn)線方程為y=-4=-［；

a2a24。

當(dāng)。＜0時(shí)，20二」，得到p=-1，由拋物線的準(zhǔn)線方程為了=4=-；；

a2a24。

綜上：其準(zhǔn)線方程為y=-j.

故選：C.

2.A

【分析】利用分層抽樣的概念，對(duì)抽出的30人按比例分配即可.

【詳解】由題意可知，30x=8,故“史地政”組合中選出的同學(xué)人數(shù)為8人.

240+90+120

故選：A

3.D

【分析】根據(jù)條件，利用正弦的和角公式，即可求出結(jié)果.

【詳解】因?yàn)?/p>

,2x-cos20°+—sin200-cos20°

2sin50°-cos20°2sin(30°+20°)—cos20°(22/

2sin20°―2sin20°-2sin20°~

V3sin20°_

-2sin200-2'

故選：D.

4.B

【分析】以三棱柱為例可判斷A；根據(jù)面面平行的判定以及性質(zhì)可判斷B；根據(jù)空間的線面

位置關(guān)系可判斷C；根據(jù)線面平行判斷線線的位置關(guān)系可判斷D.

【詳解】對(duì)于A,如圖示三棱柱中，右側(cè)面為7,后面的側(cè)面為

答案第1頁(yè)，共17頁(yè)

滿足?！?7=冽，尸=〃，且加〃〃，但巴"相交，A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,叫〃相交且都在。外，設(shè)九〃確定的平面為7,即冽〃u7,

因?yàn)榧印ㄒ?jiàn)〃〃a,故可得/〃。，同理7//〃，

故］〃尸，B正確；

對(duì)于C,若m〃n,nua,則加ua或相〃a,c錯(cuò)誤；

對(duì)于D,若加〃a,〃〃a,則冽,〃可能平行或相交或異面，D錯(cuò)誤，

故選：B

5.C

【分析】根據(jù)橢圓的定義及條件，表示出|尸團(tuán),|尸閭，結(jié)合余弦定理可得答案.

【詳解】因?yàn)闅w耳|=3|尸局,由橢圓的定義可得1s|+|尸閭=4|尸閭=2%

所以|叫4,I明言，

因?yàn)镹用岑=60。,由余弦定理可得

222

閨用=附I+1尸國(guó)-2附歸月|cosZFtPF2

所以4c2=—a2+—a2-2x—x—xcos60°,

4422

整理可得4c2=公，所以02===1，^e=—.

4a2164

故選：C.

6.B

【分析】先求出a,=5-(〃T)+3,〃cN*,#S?=(H2+^,則塔土0=5〃+Ul+1,利

225n5n

答案第2頁(yè)，共17頁(yè)

用基本不等式求解，要注意等號(hào)成立時(shí)條件.

【詳解】由題意，可知所有正整數(shù)加為3,8,13,18,...

即數(shù)列｛an｝為5的非負(fù)整數(shù)倍加3,

故=5-(〃-l)+3,〃eN*,

二數(shù)列｛冊(cè)｝是以3為首項(xiàng)，5為公差的等差數(shù)列,

n(n-l)5,1

/.S—3〃H-------------5——n+-n，

222

.10S+121_卜⑵

w

5n5n

當(dāng)且僅當(dāng)5〃=F，即，，時(shí)，等號(hào)成立，

jn5

w”「121121231

當(dāng)〃=2時(shí)，5nH------F1=11-I------=------,

5n1010

、“c—v1211〃121231

當(dāng)幾=3時(shí)，5nH-------F1=16H------>------

5n1510

所以當(dāng)〃=2時(shí)，取得最小值且最小值為2奇31.

故選：B.

7.B

1no

【分析】取工二日|,代入(x-1)(2-計(jì)算化簡(jiǎn)即可.

【詳解】因?yàn)?x-1)(2-x)<lnx<x(x-1)對(duì)VXE(1,2)恒成立，

加128口3122f。，3128

取x=-----,可得--------<7In2-3In5<------------

125125125125125

366f?！笍S384

即nn--不<7In2_3In5<—丁,

12521252

因?yàn)镮n2。0.693,絲。0.025,磐a0.023,

12521252

所以0.023<7x0.693-31n5<0.025

計(jì)算可得1.6087<In5<1.6093,

則In5的近似值為1.61.

答案第3頁(yè)，共17頁(yè)

故選：B.

8.A

【分析】由對(duì)稱性及Z|Z2Z3=0,不妨設(shè)Z3=0,則Z]+z2=8+2i,z/2=15+10i,根據(jù)韋達(dá)

定理知4，Z2是方程z2-（8+2i）z+15+10i=0,可得方程兩根為5、3+2i,不妨設(shè)4=5,

z?=3+2i,則V4BC在復(fù)平面上的頂點(diǎn)坐標(biāo)為4（5,0）,8（3,2）,C（0,0）,設(shè)V/BC的內(nèi)心

為/（須，必），根據(jù)三角形內(nèi)心的性質(zhì)°而+6而+cE=G即可求解.

【詳解】由對(duì)稱性及ZVZ3=0,不妨設(shè)Z3=0,

則Z[+4=8+2i,2仔2=15+10i.

由韋達(dá)定理知Z],Z2是方程z2-（8+2i）z+15+10i=0的兩個(gè)根，

則方程z?-（8+2i）z+15+10i=0的兩根為5、3+2i.

不妨設(shè)多=5,z2=3+2i,

則V/BC在復(fù)平面上的頂點(diǎn)坐標(biāo)為4（5,0）,8（3,2）,C（0,0）,

貝！ja=3C=屈,b=/C=5,c=/3=S,

設(shè)三角形內(nèi)心為/（玉,弘），由內(nèi)心的性質(zhì)Q方+6而+c元^0知

—再,—%）+5（3—再,2—弘）+2卜國(guó)，—必AQ,°），

所以+10—5必-=0,

解得必=5+2詈+&T

又10=5+2+3<5+2屈+疝<5+4+4<20,

所以K?（0.5,1）.

故選：A.

答案第4頁(yè)，共17頁(yè)

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題主要考查了復(fù)數(shù)的幾何意義及三角形的內(nèi)心性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是

要熟悉三角形內(nèi)心性質(zhì)alA+bIB+cIC=O.

9.AC

【分析】對(duì)于A,利用象限角，求得角夕的范圍，可判定充分性，取a=gIT,驗(yàn)證必要性即

可；對(duì)于B,考查sina=1時(shí)，。的取值范圍，可判定必要性不成立；對(duì)于C,根據(jù)集合M,

N的關(guān)系即可判定；對(duì)于D,根據(jù)條件求得a的取值范圍即可判斷.

【詳解】對(duì)于A,因?yàn)?。為第一象限角?/p>

兀

所以2E<a<—+2kji,keZ

2f

兀

則上兀<a<一■I-knjceZ

4

當(dāng)上為偶數(shù)時(shí)，。為第一象限角，

當(dāng)上為奇數(shù)時(shí)，&為第三象限角，

所以充分性成立；

當(dāng)a=：時(shí)，a為第一象限角，貝Ij2a=$,為第二象限角，

即必要性不成立，故A正確；

兀

對(duì)于B,當(dāng)。=—+2kli,左￡Z時(shí)，

6

sina=1成立，則充分性成立；

2

.171、5兀

當(dāng)sina=一時(shí)，a=—+2析或a=F2kli,keZ、

266

故必要性不成立，則B錯(cuò)誤；

[兀]（4左干1）兀

對(duì)于C,M=\aa=kTt±—,k^Z\=\aa=--------GZ>,

I4J〔4

而N=[aa=^-,k&z\,

則MN,故則是“OeN”的充分不必要條件，故C正確；

對(duì)于D,當(dāng)sing>0時(shí)，2kn<6<2kn+n,k&Z,

貝！Jku<—<kjt+—.kGZ,

22

A

則tan5>0,故充分性成立，

2

答案第5頁(yè)，共17頁(yè)

當(dāng)tan2>0時(shí)，ku<—<kTi+—.kGZ,

222

貝!J2左兀<0<2far+it,kGZ,

則sin?！?。成立，

A

所以“sin6>0”是“tan->099的充要條件,故D錯(cuò)誤，

2

故選：AC.

10.ABD

【分析】根據(jù)遞推關(guān)系得［工-1］是以］為首項(xiàng)，:為公比的等比數(shù)列，即可求解其通項(xiàng),

結(jié)合選項(xiàng)即可逐一求解.

3a*12a+1112

【詳解】對(duì)于A,依題意4尸0,由。加=「7可得一==n^1一+々，

2%+1an+l3an3a,3

ii<iAi2

整理得----1=T-----1，*.*-----1=丁，

%+i3“)a,3

數(shù)列是以I為首項(xiàng),g為公比的等比數(shù)列，故A正確;

1o(1?12

對(duì)于B,-----1=--=—,—=/+1，a=-------<1,故B正確;

%3⑶3〃%3〃"n3〃+2

12

對(duì)于C,易知一二￡+1關(guān)于〃單調(diào)遞減,

又見(jiàn)>0,???數(shù)列｛%｝為遞增數(shù)列，故c錯(cuò)誤;

111

++i)+…+停+i2—rH—---1--+n

iT3'323"

++故D正確.

3

故選：ABD

11.ABD

【分析】利用異面直線所成角的定義推理計(jì)算判斷A；判斷軌跡形狀并求出長(zhǎng)度判斷B；求

出三棱錐外接球半徑計(jì)算判斷C；求出滿足兩個(gè)條件的點(diǎn)W分別形成的圖形，再

結(jié)合圓錐曲線的意義判斷D作答.

答案第6頁(yè)，共17頁(yè)

【詳解】對(duì)于A,當(dāng)M與C不重合時(shí)，過(guò)M作MV//BC交CD于N,連接如

圖,

由8C_L平面CD"。1，2Nu平面C。。G，得BC_L2N,有MN1D、N,顯然MN//B、G，

則ND|MN為2M與所成的角，tanZDtMN=^-,當(dāng)M與A重合時(shí)，

MN

"=喧.1

'必…AD'

當(dāng)W由點(diǎn)A向點(diǎn)C移動(dòng)過(guò)程中，QN逐漸增大，兒W逐漸減小，則逐漸增大，

MN

7T7TTT

因此tan/QTWNl,-<ZDtMN<~,當(dāng)W與點(diǎn)C重合時(shí)，有4G，?！?，4D\MN=^,

TTTT

所以2M與4G所成角的范圍為匕，不，A正確；

42

對(duì)于B,由8CL平面CDAG，得△BMC是直角三角形，CM=BM2-BC2=72>如圖，

點(diǎn)w的軌跡是以c為圓心，血為半徑的;圓?。ú缓〉亩它c(diǎn)），軌跡長(zhǎng)度為

1/y

—x2A/271=兀,B正確；

42

對(duì)于C,連接助c/C=。，連接如圖，

答案第7頁(yè)，共17頁(yè)

顯然”,。分別為中點(diǎn)，則OM==4i=OA=OB=OD,

因此點(diǎn)O是三棱錐拉-48。外接球球心，球半徑為血，體積為g兀（夜）3=￥兀，C錯(cuò)誤;

2

對(duì)于D,連接4C,481,2Q,如圖，BD=BCX=DC,=141,面積S=走&J=26,

設(shè)點(diǎn)”到平面BDQ的距離為d,由三棱錐〃-8OG的體積為；得g&Z=g,解得d=當(dāng),

由44]平面48CD,5QU平面48CO,得441_LBD,又ACJ.BD,

AA^AC=A,AAt,AC^平面初。，

則1平面44。，而4Cu平面440,于是BDL4C,同理BCjAfi,

又BDcBC]=B,BD,Bgu平面BDG,從而平面瓦?C「同理平面4與。，則

平面力42〃平面3DC],

三棱錐C-助￡的體積展卜mCG=。于是點(diǎn)C到平面.G距離為孚'

同理點(diǎn)4到平面44。距離為氈，又4c=26,即平面助G與平面工42的距離為38,

33

因此點(diǎn)M在平面ABXDX上或在過(guò)點(diǎn)C與平面BDQ平行的平面a上，

令4c與平面工與。交于點(diǎn)E,連接2E,有&￡=￥，*/44_姬=半,

于是直線2c與平面4BR所成角的余弦得|=，＜],即直線2c與平面ABQi所成角

答案第8頁(yè)，共17頁(yè)

jr

則點(diǎn)”在平面a上，由得點(diǎn)”在以直線為軸，％為頂點(diǎn)，軸截面頂角

為方的圓錐側(cè)面上（除頂點(diǎn)外），

顯然點(diǎn)尸的軌跡是平面a與上述圓錐側(cè)面的交線，所以平面a截上述圓錐側(cè)面為橢圓，D

正確.

故選：ABD

12.6240

【分析】根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)及組合數(shù)公式計(jì)算即可求得第一問(wèn)；對(duì)于第二問(wèn)，先寫(xiě)出展開(kāi)式的

通項(xiàng)公式，令尤的指數(shù)等于零，求出，，進(jìn)一步計(jì)算即可.

【詳解】由題意得C；=C：,所以”=2+4=6.

又（卡-：］6的展開(kāi)式通項(xiàng)公式：

乙=晨（一廣］T=晨（一2yl,《=0,1,2,3,4,5,6）,

令12-3廠=0,得r=4,

所以常數(shù)項(xiàng)為4=C：（-2?=240,

故答案為：①6;②240.

13.4067

2021

【分析】根據(jù)題意結(jié)合最小二乘法可得￡（%2。15-女-哺取到最小值時(shí)，=2,加=35,

x=2016

換元令左=尤-2015,分析運(yùn)算即可.

2021

【詳解】根據(jù)題意結(jié)合最小二乘法可知：E（K-2015-^-^y取到最小值時(shí)，r=2⑷=35,

x=2016

令左=x-2015,即》=左+2015,

66

貝［力一29+2015）—35］=X0k-2k-4065）取到最小，

k—\k-\

即。二40651=2,所以Q+6=4065+2=4067.

故答案為：4067.

14.8.784

20

【分析】根據(jù)條件得到20位旅客都不在第z?站下車的概率為I,在第，?站有人下車的概

答案第9頁(yè)，共17頁(yè)

2020

率為1-I，利用期望的計(jì)算公式得/但）=1-1,1=1,2,…,10,即可求出結(jié)果.

9

【詳解】按題意，任一旅客在第，.站不下車的概率為正，因此20位旅客都不在第，?站下車的

2020

概率為I,在第，站有人下車的概率為1-

2020

所以p{x,=0}=，P{X=1}=1|,1=1,2,…，10,

20

由此E(X,)=1-?,:1,2,…,10,

20

所以*萬(wàn))=后因+乙+…+X1°)=E0r2>.??+￡%。>101-8.784(次)

故答案為：8.784.

15.(1)^--/=1

⑵(]+2^/3,—J15+8拒).

【分析】（1）根據(jù)給定條件，結(jié)合雙曲線的定義確定點(diǎn)。的軌跡，進(jìn)而求出軌跡方程.

（2）由給定條件，可得點(diǎn)。在第一象限，且是腰長(zhǎng)為4的等腰三角形，再結(jié)合（1）

中軌跡方程，求解方程組即得結(jié)果.

【詳解】（1）依題意，圓M:（x+2）2+/=12的圓心M（-2,0）,半徑，=26，

由線段的垂直平分線交直線GW于點(diǎn)。，得|QH|=|QG|,

貝lJ||0M|—|0〃|旦W|T。G||=r=2式＜4qffl/|，

因此點(diǎn)。的軌跡是以為左右焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)為2g的雙曲線，

實(shí)半軸長(zhǎng)4=百，半焦距c=2,則虛半軸長(zhǎng)==Ju?—/=1，

2

所以點(diǎn)。的軌跡方程為--/=1.

3

答案第10頁(yè)，共"頁(yè)

TT

(2)依題意，由?！ㄅcx軸不重合，得0＜。＜兀，貝點(diǎn)。在第一象限,

是以線段QM為底邊的等腰三角形，則|QH|=|MH\=4,

X,=—+2A

又&一療=1,解得.2

設(shè)。(士,必)則(―；=16,

31M=：J15+8j§

所以點(diǎn)0的坐標(biāo)是(|+2V3,|A/15+8V3).

16.(1)證明見(jiàn)解析

(2)|■石

【分析】(1)先利用線面垂直的判定定理證得BP±平面ACM,從而得到AC在平面ABP的

7T

射影在直線4M上，即/◎/=—,進(jìn)而證得力再利用線面垂直的判定定理證得

4

CM_L平面ABED,則CM1PE,接著利用勾股定理證得PE1BP,由此可得PE_L平面BCP；

(2)結(jié)合(1)中結(jié)論，建立空間直角坐標(biāo)系，先求得所需各點(diǎn)坐標(biāo)，再求得平面EC尸與

平面尸CO的法向量，從而利用向量夾角余弦的坐標(biāo)表示即可求得平面ECP與平面PCO夾角

的余弦值.

【詳解】(1)取5P中點(diǎn)連接

因?yàn)锳D=24B,尸為4D的中點(diǎn)，所以4B=4P,故

因?yàn)锳BC尸為等邊三角形，所以CNLAP,

又因?yàn)閏CAf=A/,面/CM,

因此BP_L平面/CM,

因?yàn)?Pu平面尸，所以平面/CM_L平面ZAP,

因?yàn)槠矫鍭CMc平面ABP=AM,

所以直線AC在平面ABP的射影在直線AMh,所以直線AC與平面ABED所成角為

答案第11頁(yè)，共17頁(yè)

7T

/CAM,則/CW=—,

4

因?yàn)?3=4尸=2,/BAD4,所以△ZB尸是正三角形，則/河=百石尸=2,

因?yàn)锳SC尸為等邊三角形，BP=2,則CA/=J§\

所以在△4A/C中，由4Vf=CM=百，/C/M二工得乙4。0=工，

44

71

則NCW=—,所以ZM_LCA/,

2

因?yàn)镃M_L8P,/MnBP=W,/M,APu面48EZ),

所以CM_L平面/BED,因?yàn)镻Eu平面/BEA,所以CM_LPE,

2

因?yàn)?尸=2,在APOE中，PD=ED=2,NPDE=丁,所以PE=2^,又BE=4,

所以8產(chǎn)+PE2=BE1,即PE_LBP,

又。“口3尸=〃,。1/,89<=平面3。尸，

所以PE_L平面8cp.

(2)

由（1）可知MP、MC、兩兩垂直，以M為原點(diǎn)，M4所在直線為x軸，MP所在直線為V

軸，MC所在直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則C（0,0,6）,尸（0,1,0）,A（j3,0,0）,5（0,-1,0）,

由于尸是ND的中點(diǎn)，易得。卜右,2,0卜

又由麗=而可得耳-251,0,

所以定=(0,-1,4),PE=(-273,0,0),PO=(-73,1,0)

一,、nPC=0一必+也Z1=0

設(shè)平面￡CP的法向量為々=（再，必,馬），則，r一，即《

?PE=0—2\/3^1=0

令”=6,得)=(0,6,1),

答案第12頁(yè)，共17頁(yè)

—?-PC—0-%+=0

設(shè)平面尸CD的法向量為%=(9，%，Z2)，則______，即<

n2-PD=0+%=0

令歹2=百，得%

jr

設(shè)平面EC尸與平面尸CD的夾角為<9,易知o<ev不，

2

I/—?—幾1,幾242廠

所以3。二"色,動(dòng)卜耶：二n7r不，

即平面EC尸與平面PCD夾角的余弦值為1石.

17.(1)答案見(jiàn)解析

⑵-,

e

【分析】(1)根據(jù)題意，知/(x)=。尤e，(a*O)的定義域?yàn)镽,求出/(x)分類討論參數(shù)。的

取值，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的符合可判定/(x)=axe'(a片0)的單調(diào)性；

(2)設(shè)出公切線與/(x)=axe，(a*O),83=--的交點(diǎn)分別為(網(wǎng),時(shí)門，伍,孑)，根

據(jù)/'(X)求出公切線方程，根據(jù)g(x)列出切線方程，化簡(jiǎn)等于-。函數(shù)，在對(duì)關(guān)于這個(gè)函數(shù)求

導(dǎo)算出極值即可得解.

【詳解】(1)/(x)=3("0),定義域?yàn)镽,

/'(X)=q(x+l)e",

當(dāng)a>0時(shí)，當(dāng)尤e(---l)時(shí)，f'(x)<0,/(尤)單調(diào)遞減，

xe(-l,+s)時(shí)，f'(x)>0,/(力單調(diào)遞增,

當(dāng)a<0時(shí)，當(dāng)尤e(-s,-l)時(shí)，f'(x)>0,/(尤)單調(diào)遞增，

xe(-l,+s)時(shí)，f(x)<0,/(x)單調(diào)遞減,

綜上，當(dāng)a>0時(shí)，/(x)單調(diào)遞減區(qū)間為(-巴-1),遞增區(qū)間為(-1,+?))；

當(dāng)a<0時(shí)，/(X)單調(diào)遞減區(qū)間為(-1,+8),遞增區(qū)間為(-巴-1).

(2)不妨設(shè)公切線與y=/(x)和y=g(x)的切點(diǎn)分別為國(guó)叫叫，他-")，此時(shí)

答案第13頁(yè)，共17頁(yè)

k=/'(玉)=a(x]+l)eX1,

所以切線方程為>=a(xi+l)e*x-；

因?yàn)間(無(wú))=—1,所以g<x)=-2x,

此時(shí)k=2b,切線方程為y=-2bx+b2

-2b=a(西+1)e*

所以《

b1=-ax^Qx'

4%2

可得。為”(巧>。)，

不妨設(shè)〃(x)=4；?,(x>0),可得"(x)=4(：+1),

77；、：

'(x+1)e'(x+1)e

當(dāng)0<x<l時(shí)，fi'(x)>。,力(無(wú))單調(diào)遞增；

x〉l時(shí)，7z"(x)<0,//(%)單調(diào)遞減，

所以當(dāng)尤=1時(shí)，函數(shù)”(X)取得極大值，也是最大值，為"1)=」，

e

所以實(shí)數(shù)。的最小值為-L

e

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第二問(wèn)的關(guān)鍵是采用設(shè)切點(diǎn)，寫(xiě)出切線方程得

42

一木X;(匕>°)，再設(shè)新函數(shù)求出即可.

(%1+1)e1

18.(1)力。=2；

-1+庖

(2)AC=

2

【分析】(1)在△5。。中，由余弦定理求得cos/HQC,即可得cos//。。，在中利

用余弦定理即可求得答案；

(2)設(shè)/C=x,8C=y,由正弦定理求得sin—=叵,結(jié)合-s乙8。=匕姿口，以

sin/BCDx2J2y

及NBAC=2NBCD,可推出2丁=