浙江省數(shù)海漫游2025屆高三第一次模擬考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1浙江省數(shù)海漫游2025屆高三第一次模擬考試數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合合題目要求的.1.（）A.0 B.1 C.2024 D.2025〖答案〗A〖解析〗令，則，所以.故選：A.2.已知，，則（）A.1 B.2 C. D.〖答案〗C〖解析〗因?yàn)?，且，所?故選：C.3.已知長(zhǎng)方體中，，則四面體的體積是（）A. B.16 C. D.32〖答案〗A〖解析〗如圖所示：可知四面體即為長(zhǎng)方體中去掉4個(gè)全等的三棱錐，所以四面體的體積為.故選：A.4.設(shè)，是單位向量，則的最小值是（）A. B.0 C. D.1〖答案〗D〖解析〗設(shè)，的夾角為，因，則，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值是1.故選：D.5.天上有三顆星星，地上有四個(gè)孩子．每個(gè)孩子向一顆星星許愿，如果一顆星星只收到一個(gè)孩子的愿望，那么該愿望成真，若一顆星星收到至少兩個(gè)孩子的愿望，那么向這顆星星許愿的所有孩子的愿望都無法成真，則至少有兩個(gè)孩子愿望成真的概率是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗四個(gè)孩子向三顆星星許愿，一共有種可能的許愿方式.由于四個(gè)人選三顆星星，那么至少有一顆星星被兩個(gè)人選，這兩個(gè)人愿望無法實(shí)現(xiàn)，至多只能實(shí)現(xiàn)兩個(gè)人的愿望，所以至少有兩個(gè)孩子愿望成真，只能是有兩顆星星各有一個(gè)人選，一顆星星有兩個(gè)人選，可以先從四個(gè)孩子中選出兩個(gè)孩子，讓他們共同選一顆星星，其余兩個(gè)人再選另外兩顆星，有種情況，所以所求概率為.故選：C.6.若數(shù)列滿足：對(duì)于任意正整數(shù)n，，則稱，互為交錯(cuò)數(shù)列．記正項(xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知1，，成等差數(shù)列，則與數(shù)列互為交錯(cuò)數(shù)列的是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由1，，成等差數(shù)列，可得，，當(dāng)時(shí)，，解得，當(dāng)時(shí)，由，可得，上面兩式相減可得，化為，由，即有，是3為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，可得，對(duì)A，，，與數(shù)列不互為交錯(cuò)數(shù)列，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)B，由，可得，與數(shù)列不互為交錯(cuò)數(shù)列，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)C，由，，與數(shù)列不互為交錯(cuò)數(shù)列，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)D，由可得，與數(shù)列互為交錯(cuò)數(shù)列，故D正確．故選：D．7.已知，分別為橢圓C：的左右焦點(diǎn)，過的一條直線與C交于A，B兩點(diǎn)，且，，則橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)的最小值是（）A. B. C.6 D.〖答案〗B〖解析〗設(shè)，則，，，由，可得，則，有，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)．則橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)的最小值是.故選：B．8.已知，則（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗因?yàn)?，整理可得，則，如圖所示：且當(dāng)2-1可知：與有3個(gè)交點(diǎn)，依次為，可知的解集為，即，此時(shí)，可得，則，即，整理可得，注意到20可知與有3個(gè)交點(diǎn)，依次為，則不等式的解集為，即；對(duì)比選項(xiàng)可知：一定成立的只有選項(xiàng)D.故選：D二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知正方形ABCD在平面直角坐標(biāo)系xOy中，且AC：，則直線AB方程可能為（）A. B.C. D.〖答案〗BC〖解析〗設(shè)直線的傾斜角為，直線的傾斜角為，直線斜率為2，有，則.依題意有或，當(dāng)時(shí)，，即，解得，即直線的斜率為-3，C選項(xiàng)中的直線斜率符合；當(dāng)時(shí)，，即，解得，即直線的斜率為，B選項(xiàng)中的直線斜率符合.故選：BC.10.已知模長(zhǎng)均為1的復(fù)數(shù)，滿足，則（）A. B.C. D.〖答案〗ABC〖解析〗設(shè)，，因?yàn)?，所以，，因?yàn)閺?fù)數(shù)，的模長(zhǎng)均為1，所以，，所以，即且，所以，故選項(xiàng)正確；所以，故選項(xiàng)正確；因?yàn)?，所以，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；又，故選項(xiàng)正確.故選：.11.如圖，小黃家的墻上固定了一盞圓錐（截面為等腰直角三角形）形狀的燈，燈光可以照亮的部分是個(gè)無限大的圓臺(tái)，其截面的邊界分別垂直于PA，PB．已知墻與地板垂直，燈向上或向下轉(zhuǎn)動(dòng)的極限均為45°（即AB可以繞O點(diǎn)順時(shí)針或逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°）．若地板和墻都充分大，則燈光照在地板上的邊界的可能形狀有（）A.橢圓 B.雙曲線的一支C.拋物線 D.一條直線〖答案〗BC〖解析〗根據(jù)題意，燈光可以照亮的部分是個(gè)無限大的圓臺(tái)，該問題可以轉(zhuǎn)化為用平面截圓臺(tái)，所得的截面問題，若固定燈不動(dòng)，則只考慮地板從旋轉(zhuǎn)到，設(shè)，則根據(jù)圓錐曲線的定義，有：截面與圓臺(tái)軸平行時(shí)，截得雙曲線的一支；截面與圓臺(tái)的母線平行時(shí)，截得拋物線；截面不可能只與圓臺(tái)側(cè)面相交，不能截得橢圓；截面不可能與圓臺(tái)側(cè)面相切，不能截得直線.故選：BC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知數(shù)列為等差數(shù)列，，，構(gòu)成等比數(shù)列，則的值是______．（任寫出一個(gè)即可）〖答案〗1或（任寫一個(gè)即正確）〖解析〗設(shè)等差數(shù)列公差為，由，，構(gòu)成等比數(shù)列，則有，即，解得或，時(shí)，；時(shí)，.故〖答案〗為：1或（任寫一個(gè)即正確）.13.已知a，b，，二次函數(shù)有零點(diǎn)，則的最小值是______．〖答案〗〖解析〗因?yàn)閍，b，，設(shè)，則，二次函數(shù)fx則，可得，設(shè)，顯然，可知在內(nèi)單調(diào)遞增，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)，等號(hào)成立，即，所以的最小值是.14.若兩個(gè)體積相等的圓錐底面半徑之比為2，則它們表面積之比的取值范圍是______．〖答案〗〖解析〗設(shè)兩個(gè)圓錐的底面半徑分別為，高分別為，由題意可知：，可得，則它們表面積之比為，令，則，表面積之比為，設(shè)，可知關(guān)于x的方程有正根，即關(guān)于t的方程在有根，設(shè)，若，即時(shí)，，不合題意；若，即時(shí)，則，因?yàn)?，且，則，可得，解得；綜上所述：x的取值范圍為.所以表面積之比的取值范圍是.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.在正四面體ABCD中，P是內(nèi)部或邊界上一點(diǎn)，滿足，．（1）證明：當(dāng)取最小值時(shí)，；（2）設(shè)，求的取值范圍．（1）證明：如圖：取中點(diǎn)，中點(diǎn)，連接，則，.因?yàn)?，，所以三點(diǎn)共線.又四面體為正四面體，所以，當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，，此時(shí)取得最小值.又，所以.（2）解：易知，.所以，，，故（）.根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，當(dāng)時(shí)，有最小值，為；當(dāng)或時(shí)，有最大值，為.故的取值范圍為：16.設(shè)，函數(shù)．（1）若，討論的單調(diào)性；（2）求的最大值．解：（1）令，且，解得，可知的定義域?yàn)?，且，因?yàn)?，且，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；可知在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減.（2）由（1）可知：的定義域?yàn)?，且，若，可知在?nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，所以的最大值為；若，令，解得或；令，解得或；可知在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，且，所以的最大值為；綜上所述：若，的最大值為；若，的最大值為.17.隨著疫情防控政策的優(yōu)化，國(guó)內(nèi)演唱會(huì)市場(chǎng)迅速升溫，一眾熱門歌手的演唱會(huì)現(xiàn)場(chǎng)更是“一座難求”．小林是林俊杰的粉絲，他很想?yún)⑴c林俊杰“JJ20”世界巡回演唱會(huì)-杭州站．主辦方被小林的真誠(chéng)打動(dòng)，特為小林開辟了一個(gè)搶票通道，共100人從該通道參與搶票，每個(gè)人能搶到票的概率均，且搶票結(jié)果相互獨(dú)立（1）為保證該搶票通道不會(huì)出現(xiàn)故障（不存在搶到票卻沒有座位的人），主辦方至少要為該通道預(yù)留多少?gòu)埰?；?）由于主辦方非常喜歡小林創(chuàng)立的數(shù)海漫游微信公眾號(hào)，于是允許多個(gè)人幫小林一同搶票，但如果存在兩個(gè)人都幫小林搶到了票（包括小林自己），則小林因?yàn)椤耙蝗硕嗥薄保瑹o法觀看演出．那么，你建議小林額外找?guī)讉€(gè)人幫他一起搶票呢?請(qǐng)說明理由．解：（1）因?yàn)檫@100人均有可能搶到票，若要保證該搶票通道不會(huì)出現(xiàn)故障，所以主辦方至少要為該通道預(yù)留100張票.（2）若小林額外找個(gè)人幫他一起搶票，則搶到票的概率為，可得，令，解得；令，解得；令，解得；即，所以小林額外找18或19個(gè)人幫他一起搶票.18.已知P為雙曲線C：上一點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，線段OP的垂直平分線與雙曲線C相切．（1）若點(diǎn)P是直線與圓的交點(diǎn)，求a；（2）求的取值范圍．解：（1）聯(lián)立方程：，解得或，即點(diǎn)為或，將點(diǎn)代入雙曲線C：可得，解得，所以.（2）先證：在雙曲線上一點(diǎn)處的切線方程為.因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線上，則，顯然直線過點(diǎn)，即，，聯(lián)立方程，消去y可得，即，則，解得，所以在雙曲線上一點(diǎn)處的切線方程為.設(shè)，，則，可得線段OP的垂直平分線為，即，設(shè)直線與雙曲線C切于點(diǎn)x1,y1則，即，且，即，整理可得，又因?yàn)樵陔p曲線C上，則，即，可得，解得（舍負(fù)），則，令，則，可得，令，則關(guān)于x的方程有正根，即關(guān)于t的方程在內(nèi)有根，設(shè)，若，即，則，不合題意；若，即，則f1=x2-2x>0若，即，則，解得；綜上所述：，則，即.19.設(shè)數(shù)列單調(diào)遞增且各項(xiàng)均為正整數(shù)，數(shù)列滿足，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，數(shù)列的前n項(xiàng)和為．若存在正整數(shù)，使得，則稱為數(shù)列的信息熵．（1）已知存在正整數(shù)，滿足，，2，…，，，①求（用含的表達(dá)式表示）；②證明：數(shù)列的信息熵小于2；（2）請(qǐng)寫出，，，四個(gè)表達(dá)式的大小關(guān)系，并說明理由．（1）①解：