江西省撫州市2024屆高三下學(xué)期畢業(yè)班教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1江西省撫州市2024屆高三下學(xué)期畢業(yè)班教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因?yàn)榭傻茫煽傻茫夯?，解得：或，因?yàn)榛颍?故選：C.2.已知復(fù)數(shù)，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因?yàn)?，所以，所以故選：D.3.已知命題：，：，則是（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.既不充分也不必要條件 D.充要條件〖答案〗B〖解析〗因?yàn)椋?，可得，解得，又由，可得，所以是的必要不充分條件.故選：B.4.已知一個(gè)圓柱形容器的軸截面是邊長為3的正方形，往容器內(nèi)注水后水面高度為2，若再往容器中放入一個(gè)半徑為1的實(shí)心鐵球，則此時(shí)水面的高度為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由已知可得圓柱的底面半徑為，往容器內(nèi)注水后水面高度為2，此時(shí)放入一個(gè)半徑為1的實(shí)心鐵球，鐵球的直徑為，所以鐵球完全沒入水中，設(shè)此時(shí)水面的高度為，則，解得.故選：C.5.已知定義在上的函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對稱，且當(dāng)時(shí)，，則（）A. B.0 C.1 D.2〖答案〗A〖解析〗因?yàn)閷θ我獾亩加?，且，所以，所?故選：A.6.已知函數(shù)（）在點(diǎn)處的切線為直線，若直線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為，則實(shí)數(shù)（）A. B.1 C.2 D.〖答案〗C〖解析〗易知，，且，所以直線，它與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為和，可得，又a>0，解得.故選：C.7.十進(jìn)制計(jì)數(shù)法簡單易懂，方便人們進(jìn)行計(jì)算.也可以用其他進(jìn)制表示數(shù)，如十進(jìn)制下，，用七進(jìn)制表示68這個(gè)數(shù)就是125，個(gè)位數(shù)為5，那么用七進(jìn)制表示十進(jìn)制的，其個(gè)位數(shù)是（）A.1 B.2 C.5 D.6〖答案〗D〖解析〗由題意知個(gè)位數(shù)應(yīng)為除以的余數(shù)，因?yàn)?，除以的余?shù)為.故選：D.8.如圖，已知雙曲線：（，）的右焦點(diǎn)為，點(diǎn)是雙曲線的漸近線上的一點(diǎn)，點(diǎn)是雙曲線左支上的一點(diǎn).若四邊形是一個(gè)平行四邊形，且，則雙曲線的離心率是（）A. B.2 C. D.3〖答案〗A〖解析〗因?yàn)樗倪呅问且粋€(gè)平行四邊形，且，可得，即，由雙曲線，可得，漸近線方程為，即，可得，且，因?yàn)橹本€，可得，又因?yàn)?，所以即，代入雙曲線方程，可得，整理得，所以，可得，即，所以離心率.故選：A.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.若實(shí)數(shù)，則下列不等式一定成立的是（）A. B. C. D.〖答案〗ABD〖解析〗因?yàn)樵诙x域上單調(diào)遞減且，所以，故A正確；因?yàn)樵诙x域上單調(diào)遞增且，所以，故B正確；當(dāng)時(shí)，，故C不正確；因?yàn)樵诙x域上單調(diào)遞增且，所以，故D正確.故選：ABD.10.在正三棱柱中，已知，點(diǎn)，分別為和的中點(diǎn)，點(diǎn)是棱上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則下列說法中正確的有（）A.存在點(diǎn)，使得平面 B.直線與為異面直線C.存在點(diǎn)，使得 D.存在點(diǎn)，使得直線與平面的夾角為45°〖答案〗BCD〖解析〗A：如圖（1），因?yàn)榕c相交，所以與平面相交，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；B：如圖（1），因?yàn)槠矫?，平面，平面，所以直線與為異面直線，故選項(xiàng)B正確；C：如圖（2），當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí)，因?yàn)?，面，面，所以，又，且都在面?nèi)，所以面，又面，所以，故選項(xiàng)C正確；D：當(dāng)時(shí)，此時(shí)為等腰直角三角形，因?yàn)槊?，所以為在面?nèi)的投影，所以為所求線面角，所以直線與平面所成的角為，故選項(xiàng)D正確.故選：BCD.11.已知函數(shù)，其中，，若直線是函數(shù)圖象的一條對稱軸，函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)?，則（）A. B.C.在區(qū)間上單調(diào)遞增 D.在區(qū)間上單調(diào)遞減〖答案〗AD〖解析〗對于A，由直線是函數(shù)圖象的一條對稱軸，得到.又因?yàn)?，得到，故A正確；對于B，因?yàn)?，在區(qū)間上的值域?yàn)?，所以或，且，因?若，則，或.因?yàn)?，得，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，，，不符合條件.若，則，或因?yàn)?，得或?當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，符合條件當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，不符合條件.當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，不符合條件.綜上，當(dāng)時(shí)，，符合條件，故B錯(cuò)誤;對于C，當(dāng)時(shí)，，所以在區(qū)間上不是單調(diào)遞增，故C錯(cuò)誤；對于D，當(dāng)時(shí)，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，故D正確.故選：AD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若直線：與圓：交于，兩點(diǎn)，則______.〖答案〗〖解析〗由圓，故圓心，半徑為，直線，故圓心到直線的距離為，．13.如圖是一個(gè)弓形（由弦與劣弧圍成）展臺(tái)的截面圖，是弧上一點(diǎn)，測得，，，則該展臺(tái)的截面面積是______.〖答案〗.〖解析〗如圖：設(shè)展臺(tái)所在的圓的圓心為，半徑為，，則，即，，所以展臺(tái)的面積為14.已知數(shù)列是有無窮項(xiàng)的等差數(shù)列，，公差，若滿足條件：①是數(shù)列的項(xiàng)；②對任意的正整數(shù)，都存在正整數(shù)，使得.則滿足這樣的數(shù)列的個(gè)數(shù)是______種.〖答案〗〖解析〗設(shè)是數(shù)列中的任意一項(xiàng)，則，均是數(shù)列中的項(xiàng)，由已知，設(shè)，則由等差數(shù)列定義得.因?yàn)?，所以，即?shù)列的每一項(xiàng)均是整數(shù)，所以數(shù)列的每一項(xiàng)均是自然數(shù)，且是正整數(shù).由題意，設(shè)，則是數(shù)列中的項(xiàng)，所以是數(shù)列中的項(xiàng).設(shè)，則，即.因?yàn)?，故是的約數(shù).所以.當(dāng)時(shí)，，得，故，共種可能；當(dāng)時(shí)，，得，故，共種可能；當(dāng)時(shí)，，得，故，共種可能；當(dāng)時(shí)，，得，故，共2種可能；當(dāng)時(shí)，，得，故，共2種可能；當(dāng)時(shí)，，得，故，共1種可能；當(dāng)時(shí)，，得，故，共1種可能；當(dāng)時(shí)，，得，故，共1種可能.綜上，滿足題意的數(shù)列共有（種）.經(jīng)檢驗(yàn)，這些數(shù)列均符合題意.四、解答題：本題共5小題，共77分、解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知函數(shù)（，，），函數(shù)和它的導(dǎo)函數(shù)f'x的圖象如圖所示.（1）求函數(shù)的〖解析〗式；（2）已知，求的值.解：（1），由圖象可以得到：，因?yàn)閳D象過點(diǎn)，，所以，所以，所以.（2）由，得，，.16.已知四棱錐的底面是一個(gè)梯形，，，，，，.（1）證明：平面平面；（2）求二面角的余弦值.（1）證明：設(shè)的中點(diǎn)分別為，連接.因?yàn)?，所?因?yàn)椋?在梯形中，，所以，，，因此，所以，又，平面，，所以平面.又因?yàn)槠矫?，所以平面平?（2）解：如圖，以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸，軸，作出軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則.則，，設(shè)平面的法向量，，即，令，得到，，即.設(shè)平面的法向量，則，則，令，得到，，即..因?yàn)槎娼鞘卿J二面角，所以二面角的余弦值是.17.已知函數(shù)（）.（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）若當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極大值，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1）當(dāng)時(shí)，，，由得，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是；（2），，依題意，存在實(shí)數(shù)且，使得當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.記，則（）.記.①當(dāng)時(shí)，，，在區(qū)間上單調(diào)遞減，存在實(shí)數(shù)且，使得時(shí)，，即，單調(diào)遞減，因此當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在時(shí)取得極大值.②當(dāng)時(shí)，，因此，即，在區(qū)間上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，不是函數(shù)的極大值點(diǎn).③當(dāng)時(shí)，，，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，即，函數(shù)單調(diào)遞增，即當(dāng)時(shí)，，因此，不是函數(shù)的極大值點(diǎn).綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是.18.某藥廠生產(chǎn)的一種藥品，聲稱對某疾病的有效率為80%.若該藥對患有該疾病的病人有效，病人服用該藥一個(gè)療程，有90%的可能性治愈，有10%的可能性沒有治愈；若該藥對患有該疾病的病人無效，病人服用該藥一個(gè)療程，有40%的可能性自愈，有60%的可能性沒有自愈.（1）若該藥廠聲稱的有效率是真實(shí)的，利用該藥治療3個(gè)患有該疾病的病人，記一個(gè)療程內(nèi)康復(fù)的人數(shù)為，求隨機(jī)變量的分布列和期望；（2）一般地，當(dāng)比較大時(shí)，離散型的二項(xiàng)分布可以近似地看成連續(xù)型的正態(tài)分布，若，則可以近似看成隨機(jī)變量，，其中，，對整數(shù)，（），.現(xiàn)為了檢驗(yàn)此藥的有效率，任意抽取100個(gè)此種病患者進(jìn)行藥物臨床試驗(yàn)，如果一個(gè)療程內(nèi)至少有人康復(fù)，則此藥通過檢驗(yàn).現(xiàn)要求：若此藥的實(shí)際有效率為，通過檢驗(yàn)的概率不低于0.9772，求整數(shù)的最大值.（參考數(shù)據(jù)：若，則，，）解：（1）記“一個(gè)患有該疾病的病人服用該藥一個(gè)療程康復(fù)”為事件，則，因此，，，，則的分布列為：的數(shù)學(xué)期望.（2）若該藥品的有效率為，由（1）得，一個(gè)療程內(nèi)，使用該藥后的康復(fù)率也為，記康復(fù)的人數(shù)為隨機(jī)變量，則，設(shè)，設(shè)，所以整數(shù)的最大值為19.已知橢圓：（）的左焦點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為，的兩頂點(diǎn)，是橢圓上的動(dòng)點(diǎn).當(dāng)為橢圓的左頂點(diǎn)，為橢圓的下頂點(diǎn)時(shí)，，且的面積為.（1）求橢圓的方程；（2）若的平分線經(jīng)過點(diǎn)，求面積的最大值.