河南省五育聯(lián)盟-巔峰計(jì)劃2025屆高三上學(xué)期第一次綜合檢測數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1河南省五育聯(lián)盟——巔峰計(jì)劃2025屆高三上學(xué)期第一次綜合檢測數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知復(fù)數(shù)，且在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)位于第二象限，則的可能取值為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由題意知，，即.在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為，所以，即.由選項(xiàng)可知，B正確，ACD錯(cuò)誤；故選：B.2.“”是“直線與直線垂直”的（）A.充分非必要條件 B.必要非充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗A〖解析〗若直線與直線垂直，則，即，解得或，因?yàn)?，所以，“”是“直線與直線垂直”的充分非必要條件.故選：A.3.已知向量，則的最大值為（）A.6 B.4 C. D.〖答案〗C〖解析〗由，得，，由，得，因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，取得最大值，且最大值為.故選：C.4.在中，角的對邊分別為，已知周長為3，則的最小值為（）A. B. C.3 D.〖答案〗C〖解析〗由題意得，，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即等號(hào)成立，故當(dāng)時(shí)，取到最小值.故的最小值為.故選：C.5.過原點(diǎn)的直線與曲線都相切，則實(shí)數(shù)（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由得，由得，設(shè)過原點(diǎn)的直線分別與曲線相切于點(diǎn)Ax1,則由導(dǎo)數(shù)幾何意義得，且，故，所以直線的斜率為，所以，所以，所以，即，代入得.故選：D.6.根據(jù)經(jīng)濟(jì)學(xué)理論，企業(yè)產(chǎn)量受勞動(dòng)投入、資本投入和技術(shù)水平影響，若用表示產(chǎn)量，表示勞動(dòng)投入，表示資本投入，表示技術(shù)水平，則它們的關(guān)系可以表示為，其中．當(dāng)不變，與均變?yōu)樵瓉淼?倍時(shí)，下列說法正確的是（）A.存在和，使得不變B.存在和，使得變?yōu)樵瓉淼?倍C.若，則最多可變?yōu)樵瓉淼?倍D.若，則最多可變?yōu)樵瓉淼?倍〖答案〗D〖解析〗因?yàn)椋援?dāng)不變，與均變?yōu)樵瓉淼?倍時(shí)，，對于A，若不變，則，所以，因?yàn)?，所以上式無解，所以不存在和，使得不變，所以A錯(cuò)誤，對于B，若變?yōu)樵瓉淼?倍，則，所以，當(dāng)，時(shí)，，所以，所以無解，所以不存在和，使得變?yōu)樵瓉淼?倍，所以B錯(cuò)誤，對于C，若，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以當(dāng)時(shí)，最少可變?yōu)樵瓉淼?倍，所以C錯(cuò)誤，對于D，由，得，因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以，得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以，所以若，則最多可變?yōu)樵瓉淼?倍，所以D正確.故選：D.7.已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)滿足：①對任意，有恒成立；②若，則．下列說法不正確的是（）A.在上是嚴(yán)格增函數(shù) B.若，則C.函數(shù)經(jīng)過原點(diǎn) D.函數(shù)的圖象與軸重合〖答案〗A〖解析〗對于A：不妨設(shè)，滿足題設(shè)條件，但此時(shí)在上是嚴(yán)格減函數(shù)，故A錯(cuò)誤；對于B：，故B正確；對于C：令，，故C正確；對于D：，即，函數(shù)的圖象與軸重合，故D正確；故選：A.8.已知為直角三角形，為直角頂點(diǎn)，分別以邊上的高、中線的內(nèi)角平分線為折線，將三角形折成直二面角，記折疊后的四面體的體積分別為，，，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗不妨設(shè)中斜邊為，，則，則，，對折疊后的四面體，有，，，則，對折疊后的四面體，作于點(diǎn)，由為中點(diǎn)，則，則，故，，對折疊后的四面體，作于點(diǎn)，有，由，則，整理得，又，則，則有，，由，則，，故，，即.故選：B.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.余切函數(shù)是三角函數(shù)的一種，表示為，余切函數(shù)與正切函數(shù)關(guān)系密切，在三角學(xué)領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用.已知，則下列關(guān)于余切函數(shù)的說法正確的是（）A.定義域?yàn)锽.C.與正切函數(shù)有相同的對稱中心D.將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位均可得到函數(shù)的圖象〖答案〗BCD〖解析〗對于A：由正切函數(shù)的定義域可知，即，所以余切函數(shù)定義域?yàn)?，故A錯(cuò)誤；對于B：，故B正確；對于C：因?yàn)榈膶ΨQ中心為，令，解得，由，可知，即的對稱中心為，故余切函數(shù)與正切函數(shù)有相同的對稱中心，故C正確；的圖象向右平移個(gè)單位可得，故D正確.故選：BCD.10.素?cái)?shù)分布是數(shù)論研究的核心領(lǐng)域之一，含有眾多著名的猜想．19世紀(jì)中葉，法國數(shù)學(xué)家波利尼亞克提出了“廣義孿生素?cái)?shù)猜想”：對所有自然數(shù)，存在無窮多個(gè)素?cái)?shù)對.其中當(dāng)時(shí)，稱為“孿生素?cái)?shù)”，時(shí)，稱為“表兄弟素?cái)?shù)”.在不超過40的素?cái)?shù)中，任選兩個(gè)不同的素?cái)?shù)，令事件，，，記事件發(fā)生的概率分別為，則下列關(guān)系式不成立的是（）A. B.C. D.〖答案〗ABC〖解析〗由題設(shè)，不超過40的素?cái)?shù)有共12個(gè)，從中任意取兩個(gè)不同的素?cái)?shù)、：有11個(gè)，有10個(gè)，有9個(gè)，有8個(gè)，有7個(gè)，有6個(gè)，有5個(gè)，有4個(gè)，有3個(gè)，有2個(gè)，有1個(gè)，所以共有個(gè)樣本點(diǎn)；共5個(gè)樣本點(diǎn)；共4個(gè)樣本點(diǎn)；共11個(gè)樣本點(diǎn)；所以，顯然，.故選：ABC.11.雙紐線是卡西尼卵形線的一類分支，在數(shù)學(xué)曲線領(lǐng)域占有至關(guān)重要的地位，同時(shí)也具有特殊的有價(jià)值的藝術(shù)美.它既是形成其它一些常見的漂亮圖案的基石，也是許多藝術(shù)家設(shè)計(jì)作品的主要幾何元素.雙紐線的圖形輪廓像阿拉伯?dāng)?shù)字中的“8”，如圖曲線是雙紐線，下列說法正確的是（）A.曲線的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱B.曲線經(jīng)過7個(gè)整點(diǎn)（橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）C.曲線上任意一點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離都不超過3D.若直線與曲線只有一個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為〖答案〗ACD〖解析〗A項(xiàng)，設(shè)曲線上任意一點(diǎn)，則坐標(biāo)滿足曲線方程，即方程成立，可得成立，即點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)也適合曲線方程，所以曲線的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，故A正確；B項(xiàng)，方程可化為，令，則方程，由判別式，可得，若是整數(shù)，則.令，，解得或3或，有三個(gè)整點(diǎn)，，；令，，解得或5，此時(shí)無整點(diǎn)；所以曲線共經(jīng)過3個(gè)整點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；C項(xiàng)，設(shè)曲線C上任一點(diǎn)，當(dāng)為原點(diǎn)時(shí)，到原點(diǎn)的距離為，滿足題意；當(dāng)不為原點(diǎn)時(shí)，，則由可得，，所以點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，且；綜上，曲線C上任一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離都不超過3，故C正確；D項(xiàng)，直線恒過原點(diǎn)，且曲線C經(jīng)過，則直線與曲線至少一個(gè)公共點(diǎn)，又與曲線C只有一個(gè)公共點(diǎn)，故除原點(diǎn)外無其他公共點(diǎn).聯(lián)立，消得，當(dāng)時(shí)，方程僅一解，滿足題意；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，方程恒成立，即恒有一解，當(dāng)時(shí)，方程化簡得，即當(dāng)時(shí)，方程無解，滿足題意；綜上，，解得或，故D正確.故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.現(xiàn)準(zhǔn)備給每面刻有不同點(diǎn)數(shù)的骰子涂色，每個(gè)面涂一種顏色，相鄰兩個(gè)面所涂顏色不能相同．若有5種不同顏色的顏料可供選擇，則不同的涂色方案有________種．〖答案〗〖解析〗5種顏色涂6個(gè)面，則至少有兩個(gè)面同色，兩個(gè)同色面只有在相對的面上才滿足題設(shè)；①當(dāng)只有1對同色面時(shí)，選中的面有種可能，選中的顏色有種可能，剩下4個(gè)面用剩下4種顏色分別填充有種可能，所以共有種；②當(dāng)只有2對同色面時(shí)，選中的面有種可能，選中的顏色有種可能，2種顏色配2對面有2種可能，剩下2個(gè)面由剩下3種顏色選2種分別涂，有種，共種；③當(dāng)3對面均同色時(shí)，選中的面有種，選中的顏色有種，3種顏色配了對面有種，共種；綜上所述：共種.13.已知直線與橢圓交于兩點(diǎn)，直線與橢圓交于兩點(diǎn)，已知四點(diǎn)共圓，則圓心坐標(biāo)為______．〖答案〗〖解析〗由對稱性可知，圓心在線段的中垂線上，也在線段的中垂線上，設(shè)的中垂線，中點(diǎn)為，設(shè)直線與橢圓交點(diǎn)，聯(lián)立消得，，由韋達(dá)定理得，，故，又點(diǎn)在直線上，則，解得，聯(lián)立，解得，所以所求圓的圓心為.14.已知且，則的最小值為______．〖答案〗〖解析〗，則，，令，則，由，，知，即恒成立，又由，即當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，由，故當(dāng)時(shí)等號(hào)取到，所以，當(dāng)，即時(shí)，取最小值，且最小值為.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.某公司舉行年終聯(lián)歡活動(dòng)，每位員工可從下表所示兩種方案中選擇一種抽取紅包．方案一4個(gè)紅包內(nèi)分別裝有現(xiàn)金200元、400元、600元、800元，參與抽紅包的員工可從中隨機(jī)抽取2個(gè)；方案二員工通過手機(jī)掃描公司提供的二維碼進(jìn)入活動(dòng)頁面抽取紅包，每位員工可抽4次，每次抽中紅包的概率均為0.5，每個(gè)紅包的金額均為a元．已知員工甲通過方案一抽取紅包，員工乙通過方案二抽取紅包，記甲、乙抽取的紅包總金額分別為元.（1）求的分布列；（2）若，求值．解：（1）甲通過方案一抽取紅包，由題意得的所有可能取值為.所以，，，，，所以的分布列為：600800100012001400乙通過方案二抽取紅包，由題意得的所有可能取值為，所以，，，，，所以的分布列為：0（2）由（1）分布列可得．乙通過方案二抽取紅包，抽取次，記抽中元紅包的次數(shù)為，則，由題意知，則，所以，又，所以，解得．16.如圖，直三棱柱的體積為6，的面積為4．（1）求到平面的距離；（2）設(shè)為的中點(diǎn)，，平面平面，求平面與平面夾角的正弦值．解：（1）由題意知；設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，，解得：，即點(diǎn)到平面的距離為.（2）取的中點(diǎn)，連接，，，又平面平面，平面平面，平面，平面，又平面，；三棱錐為直三棱柱，平面，又平面，；，平面，平面，平面，則，且.以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以正方向?yàn)檩S的正方向，可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，

由（1）知，點(diǎn)到平面的距離為，則，，，，，，，，，，，，，設(shè)平面的法向量m=x,y,z則，解得，令，得，；設(shè)平面的法向量n=a,b,c則，解得，令，得，；，設(shè)平面與平面夾角為，則則平面與平面夾角的正弦值為.17.已知曲線M上的任意一點(diǎn)到點(diǎn)的距離比它到直線的距離小1．（1）求曲線M的方程；（2）設(shè)點(diǎn)．若過點(diǎn)的直線與曲線M交于B，C兩點(diǎn)，求的面積的最小值．解：（1）由已知得，曲線M上的任意一點(diǎn)到點(diǎn)的距離與它到直線的距離相等，所以曲線M的軌跡是以為焦點(diǎn)，為準(zhǔn)線的拋物線，所以曲線M的方程為.（2）設(shè)，，顯然，過點(diǎn)的直線斜率不為0，設(shè)其方程為，聯(lián)立，整理得，其中，由韋達(dá)定理得：，，所以的面積，當(dāng)時(shí)，，所以的面積的最小值為.18.已知函數(shù)，圓．（1）若，寫出曲線與圓C的一條公切線的方程(無需證明)；（2）若曲線與圓C恰有三條公切線．(i)求b的取值范圍；(ii)證明：曲線上存在點(diǎn)，對任意，．解：（1）設(shè)f(x)的切線的切點(diǎn)為，∵，∴切線斜率為，∴切線方程為，即，當(dāng)b＝1時(shí)，圓的圓心為，半徑為，當(dāng)f(x)的切線也是圓的切線時(shí)，，即，易知是該方程的一個(gè)根，此時(shí)切線方程為．（2）(i)設(shè)曲線與圓公切線的方程為(顯然，l斜率存在)，∵與曲線相切，故，∴切點(diǎn)為，，即，即，∵與圓相切，∴，即，∴，令，則，設(shè)，則，易證明：lnx≤x-1①當(dāng)時(shí)，∵在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；∴，∵，，；∴存在，，使得．∴，，∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；∵，且，又∵，且，∴存在，使得，∴當(dāng)時(shí)，曲線與圓恰有三條公切線；②當(dāng)時(shí)，∵；∴存在，使得，∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；∴，且，∴不可能存在三個(gè)零點(diǎn)；③當(dāng)時(shí)，；∴在上單調(diào)遞減，最多一個(gè)零點(diǎn)；∴最多一個(gè)極值點(diǎn)，不可能有三個(gè)零點(diǎn)；綜上，若曲線與圓恰有三條公切線，則的取值范圍為．(ii)函數(shù)的零點(diǎn)，即方程的解，即曲線和曲線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，結(jié)合圖象，顯然存在，使得成立，∴對任意恒成立．19.約數(shù)，又稱因數(shù)，它的定義如下：若整數(shù)除以整數(shù)除得的商正好是整數(shù)而沒有余數(shù)，我們就稱為的倍數(shù)，稱為的約數(shù).設(shè)正整數(shù)有個(gè)正約數(shù)，即為.（1）當(dāng)時(shí)，是否存在構(gòu)成等比數(shù)列，若存在，請寫出至少3個(gè)滿足條件的正整數(shù)的值，若不存在，請說明理由；（2）當(dāng)時(shí)，若構(gòu)成等比數(shù)列，求正整數(shù)；（3）當(dāng)時(shí)，若是的所有正約數(shù)的一個(gè)排列，那么，是否是另一個(gè)正整數(shù)的所有正約數(shù)的一個(gè)排列？并證明你的結(jié)論．解：（1）存在.若為質(zhì)數(shù)，則正整數(shù)的所有正約數(shù)為，它們構(gòu)成等比數(shù)列，滿足題意.比如：為16的所有約數(shù)，它們構(gòu)成等比數(shù)列；為27的所有約數(shù)，它們構(gòu)成等比數(shù)列；為25的所有約數(shù)，它們構(gòu)成等比數(shù)列.故為滿足題意的正整數(shù).（2）由題意，的所有正約數(shù)為，且，則有是的最小約數(shù)，本身是的最大約數(shù)，即，.，至少個(gè)約數(shù)，即除外，至少還有個(gè)約數(shù)，則可寫成兩個(gè)約數(shù)之積的形式，所以，由構(gòu)成等比數(shù)列，可知，，化簡可得，則，又是正整數(shù)，因此可知是完全平方數(shù)，且是正整數(shù)a的最小非1的正約數(shù)，設(shè)，其中，由是的正約數(shù)，則是的一個(gè)正約數(shù)，故，所以，故若構(gòu)成等比數(shù)列，則該等比數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為，且,則，因此.（3）當(dāng)時(shí)，若是的所有正約數(shù)的一個(gè)排列，則，，，?，不是另一個(gè)正整數(shù)b的所有正約數(shù)的一個(gè)排列.下面用反證法證明.證明：假設(shè)，，，?，是另一個(gè)正整數(shù)b的所有正約數(shù)的一個(gè)排列．由是任意正整數(shù)的最小正約