福建省三明市五校2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1福建省三明市五校2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合或，，則集合中元素的個(gè)數(shù)為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由集合或，可得，又由，可得，所以集合中元素的個(gè)數(shù)為.故選：B.2.已知，，若是的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗依題意，，，由是的充分不必要條件，得集合真包含于集合，所以，即.故選：A.3.若命題“”為假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗易知：是上述原命題的否定形式，故其為真命題，則方程有實(shí)數(shù)根，即．故選：A．4.已知函數(shù)（其中）的圖象如圖所示，則函數(shù)的圖像是（）A B.C. D.〖答案〗D〖解析〗由函數(shù)（其中）的圖象可得，所以，所以排除BC，因?yàn)?，所以為增函?shù)，所以排除A.故選：D.5.下列大小關(guān)系正確的是（）①②③④A.①② B.③④ C.②③ D.①③〖答案〗C〖解析〗對(duì)①，因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)單調(diào)遞減，所以，①錯(cuò)誤；對(duì)②，因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)單調(diào)遞減，所以，又因?yàn)閮绾瘮?shù)在單調(diào)遞增，所以，所以，②正確；對(duì)③，因?yàn)閮绾瘮?shù)在單調(diào)遞增，所以，③正確；對(duì)④，因?yàn)閮绾瘮?shù)在單調(diào)遞減，所以，即，④錯(cuò)誤.故選：C.6.已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，的最大值為最小值為，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗，設(shè)，，，則是上的奇函數(shù)，最大值為，最小值為，則有，所以.故選：B.7.已知函數(shù)是單調(diào)減函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由題知在單調(diào)遞減，所以由在單調(diào)遞減，得即由在上單調(diào)遞減，得即綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：D.8.已知，定義：，設(shè).若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗令函數(shù)，顯然函數(shù)上單調(diào)遞增，而，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，于是函數(shù)，則，令函數(shù)，由，得，因此函數(shù)的零點(diǎn)，即函數(shù)的圖象與直線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，當(dāng)，恒有，在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出直線與函數(shù)的圖象，如圖，觀察圖象知，當(dāng)，即時(shí)，直線與函數(shù)的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，如圖，直線過點(diǎn)，它與的圖象交于兩點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，即時(shí)，直線與函數(shù)的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)，即時(shí)，直線與函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，所以函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：A.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知集合,則（）A. B.C. D.〖答案〗ABD〖解析〗故正確,錯(cuò)誤；又故正確.故選：ABD.10.下列命題正確的是（）A.已知函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是B.已知，則C.若，則D.是的充要條件〖答案〗BC〖解析〗對(duì)于A，函數(shù)在上單調(diào)遞減，函數(shù)在R上單調(diào)遞增，因此函數(shù)在上單調(diào)遞減，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，因此，B正確；對(duì)于C，由，得，C正確；對(duì)于D，取，顯然滿足，而不成立，D錯(cuò)誤.故選：BC.11.設(shè)是上的奇函數(shù)，且對(duì)都有，當(dāng)時(shí)，，則下列說法正確的是（）A.在上是增函數(shù) B.的最大值是，最小值是C.直線是函數(shù)的一條對(duì)稱軸 D.當(dāng)時(shí)，〖答案〗ACD〖解析〗因?yàn)槭巧系钠婧瘮?shù)，所以，又因?yàn)?，所以的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，故C正確；因?yàn)榧?，從而，所以，所以，所以是周期?的周期函數(shù)，又因?yàn)楫?dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以在上也單調(diào)遞增，從而在上單調(diào)遞增，又因?yàn)榈闹芷跒?，所以在上單調(diào)遞增，故A正確；因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，且的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，所以在上單調(diào)遞減，所以在上的最大值為，最小值，故B錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，所以，因?yàn)橹芷跒?，所以，又因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，故D正確.故選：ACD.12.已知，且，則（）A.的最小值是 B.的最小值是C.的最小值是 D.的最小值是〖答案〗BC〖解析〗已知，且，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，B選項(xiàng)正確；因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，C選項(xiàng)正確；由題意可得，此時(shí)，因?yàn)?，而不存在使得，則D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：BC.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知函數(shù)的定義域是，則函數(shù)的定義域是_____________．〖答案〗〖解析〗在函數(shù)中，，解得且，所以函數(shù)的定義域是.故〖答案〗為：.14.函數(shù)在時(shí)的值域是______________．〖答案〗〖解析〗當(dāng)時(shí)，，函數(shù)，顯然當(dāng)，即時(shí)，，當(dāng)，即時(shí)，，所以所求值域是.故〖答案〗為：.15.已知函數(shù)為上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則的解集為_________．〖答案〗〖解析〗函數(shù)為上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，①當(dāng)，即時(shí)，，由，時(shí)，符合題意；時(shí)，有，解得，此時(shí)；時(shí)，有，解得，此時(shí)；所以符合題意.②當(dāng)，即時(shí)，，由，，得，解得，所以.綜上所得，的解集為.故〖答案〗為：.16.若函數(shù)在區(qū)間上存在最小值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________．〖答案〗〖解析〗當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，無最小值，舍去；當(dāng)時(shí)，由于，故，令，則，由對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)可得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，要想在上存在最小值，則，解得，滿足；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，令，解得，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，要想在上存在最小值，則，解得，滿足；綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為.故〖答案〗為：.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.求值：（1）；（2）．解：（1）原式.（2）原式.18.已知二次函數(shù)．（1）若關(guān)于的不等式的解集是，求實(shí)數(shù)，的值；（2）若，，解關(guān)于的不等式．解：（1）由不等式的解集是，得和是一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且，于是，解得，，所以，.（2），不等式化為，即，當(dāng)，即時(shí)，解不等式，得或；當(dāng)，即時(shí)，不等式的解為；當(dāng)，即時(shí)，解不等式，得或，所以當(dāng)時(shí)，不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，不等式的解集為.19.已知偶函數(shù)定義域?yàn)?，?dāng)時(shí)，．（1）求出函數(shù)的〖解析〗式；（2）判斷函數(shù)在區(qū)間[0,1)的單調(diào)性并用定義法證明.解：（1）偶函數(shù)定義域?yàn)椋?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則，所以函數(shù)的〖解析〗式是.（2）當(dāng)時(shí)，，在上是增函數(shù).任取，則，而，，且，則，因此，所以在上是增函數(shù).20.年初，新冠肺炎疫情襲擊全國，對(duì)人民生命安全和生產(chǎn)生活造成嚴(yán)重影響，在黨和政府強(qiáng)有力的抗疫領(lǐng)導(dǎo)下，我國控制住疫情后，一方面防止境外疫情輸入，另一方面逐步復(fù)工復(fù)產(chǎn)，減輕經(jīng)濟(jì)下降對(duì)企業(yè)和民眾帶來的損失．某公司為了激勵(lì)業(yè)務(wù)員的積極性，對(duì)業(yè)績?cè)谌f到萬的業(yè)務(wù)員進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)，獎(jiǎng)勵(lì)方案遵循以下原則：獎(jiǎng)金單位：萬元隨著業(yè)績值單位：萬元的增加而增加，但不超過業(yè)績值的．（1）若某業(yè)務(wù)員的業(yè)績?yōu)槿f，核定可得萬元獎(jiǎng)金，若公司用函數(shù)（為常數(shù)）作為獎(jiǎng)勵(lì)函數(shù)模型，則業(yè)績?nèi)f元的業(yè)務(wù)員可以得到多少獎(jiǎng)勵(lì)？（2）若采用函數(shù)，求的范圍．（參考數(shù)值：）解：（1）函數(shù)模型為常數(shù)，當(dāng)時(shí)，，代入解得，即，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以業(yè)績?nèi)f元的業(yè)務(wù)員可以得到萬元獎(jiǎng)勵(lì)．（2）函數(shù)模型，因?yàn)楹瘮?shù)在單調(diào)遞增，則，，由獎(jiǎng)金不超過業(yè)績值的，得，于是對(duì)恒成立，令，顯然二次函數(shù)的圖象開口向上且，函數(shù)圖象的對(duì)稱軸，則只需，即，解得，因此，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.21.設(shè)為實(shí)數(shù)，函數(shù)，．（1）若函數(shù)是偶函數(shù)，求實(shí)數(shù)的值；（2）對(duì)于函數(shù)，在定義域內(nèi)給定區(qū)間，如果存在，滿足，則稱函數(shù)是區(qū)間上的“平均值函數(shù)”，是它的一個(gè)“均值點(diǎn)”如函數(shù)是上的平均值函數(shù)，就是它的均值點(diǎn)．現(xiàn)在（1）的條件下，函數(shù)是區(qū)間上的平均值函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．解：（1）是偶函數(shù)，在上恒成立，即，即，得，，.（2）因?yàn)?，所以函?shù)是區(qū)間上的平均值函數(shù)，所以存在，使，而，即存在，使得，即關(guān)于的方程在內(nèi)有解；所以解得，或，∴，解得：.22.已知奇函數(shù)，且的圖象過點(diǎn).（1）若，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）是否存在實(shí)數(shù)，使函數(shù)在區(qū)間上的最大值為1.若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．解