陰影部分面積的計(jì)算-2022年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)（解析版）

專題03陰影部分面積的計(jì)算

考向1靜態(tài)背景下與扇形有關(guān)的陰影部分面積的計(jì)算

福題呈現(xiàn)

【母題來源】2021年中考山東棗莊卷

【母題題文】如圖，正方形ABC。的邊長(zhǎng)為2,。為對(duì)角線的交點(diǎn)，點(diǎn)E,尸分別為8C,

的中點(diǎn).以C為圓心，2為半徑作圓弧8。，再分別以E,尸為圓心，1為半徑作圓弧8。,

OD,則圖中陰影部分的面積為（）

A.7i-1B.兀-3C.兀-2D.4-71

【答案】C

閹題解密

【試題解析】連接EF,如圖,

?..正方形488的邊長(zhǎng)為2,。為對(duì)角線的交點(diǎn)，

由題意可得：EF,2D經(jīng)過點(diǎn)。，1.EF±AD,EF±CB.

?:點(diǎn)E,二分別為BC,AO的中點(diǎn)，

:.FD=FO=EO=EB=l,OB=OD>OB-OD.

弓形02=弓形OD

陰影部分的面積等于弓形8。的面積.

907TX221

?"'S陰影=s扇形CBO-S&CBD;--------------x2x2=31-2'故選：C.

3602

【命題意圖】考查基本的計(jì)算能力，注重割補(bǔ)法和轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用。

【命題方向】以選填為主，主要安排在選填的壓軸位置，技巧性較強(qiáng)。

【得分要點(diǎn)】求陰影部分面積的常用方法：

(1)公式法:若所求陰影部分是規(guī)則圖形，如扇形、特殊四邊形、三角形等，可直接利用公式計(jì)算;

⑵和差法:若所求陰影部分是不規(guī)則圖形，可將圖形適當(dāng)分割，將不規(guī)則的陰影部分面積轉(zhuǎn)化

為幾個(gè)規(guī)則圖形面積的和或差；

(3)等積轉(zhuǎn)化法:當(dāng)直接求面積較麻煩或根本求不出來時(shí)，可通過等面積轉(zhuǎn)化(利用圖形的平移、

旋轉(zhuǎn)、對(duì)稱變換前后面積不變的性質(zhì)或同底等高的兩個(gè)三角形面積相等)為公式法或和差法

創(chuàng)造條件；

(4)一般地，圖形中若出現(xiàn)弧線，則先找到這條弧所在圓的圓心，將其補(bǔ)全為扇形,再利用圖形間

的關(guān)系進(jìn)行求解.

考向2動(dòng)態(tài)背景下與扇形有關(guān)的陰影部分面積的計(jì)算

福題呈現(xiàn)

【母題來源】2021年中考內(nèi)蒙古興安盟卷

【母題題文】(2021?興安盟)如圖，兩個(gè)半徑長(zhǎng)均為4的直角扇形的圓心分別在對(duì)方的圓弧

上，扇形CFD的圓心C是應(yīng)的中點(diǎn)，且扇形CFD繞著點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，半徑AE、b交于點(diǎn)G,

半徑BE、CD交于點(diǎn)、H,則圖中陰影面積等于()

71n

A.--1B.——-2C.71-1D.兀-2

22

【答案】D

1807T-(J2)2

【試題解析】?jī)缮刃蔚拿娣e和為：________I')=兀,

360

過點(diǎn)C作作CNLBE,垂足分別為M、N,

則四邊形EMCN是矩形，

,/點(diǎn)C是應(yīng)的中點(diǎn)，六EC平分ZAEB,

CM=CN,：.矩形EMCN是正方形，

?；/MCG+NFCN=9Q。,ZNCH+ZFCN^90°,

：.ZMCG=ZNCH,

,ZMCG=ZNCH

在ACMG與ACNH中，CM=CN,

LCMG=乙CNB=90

:ACMG"ACNH(ASA),

...中間空白區(qū)域面積相當(dāng)于對(duì)角線是位的正方形面積,

1

，空白區(qū)域的面積為：-xV^x

圖中陰影部分的面積=兩個(gè)扇形面積和-2個(gè)空白區(qū)域面積的和=%-2.故選：D.

【命題意圖】考查了扇形的面積，正方形面積公式，構(gòu)造輔助線運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想解答關(guān)鍵.

【命題方向】以選填為主，多為選填的壓軸位置，試題區(qū)分度較高.

【得分要點(diǎn)】動(dòng)態(tài)背景下陰影部分面積的主要以平移、折疊、旋轉(zhuǎn)變換為背景，結(jié)合勾股定

理以及銳角三角函數(shù)知識(shí)求出扇形的半徑和圓心角，進(jìn)而得出扇形的面積，在解答過程中要

注意合理添加輔助線，將不規(guī)則圖形的面積通過割補(bǔ)或轉(zhuǎn)化進(jìn)行計(jì)算.

1.（2021?東勝區(qū)二模）如圖，已知癥所在圓的半徑為4,弦A3長(zhǎng)為￡月，點(diǎn)C是位上靠近

點(diǎn)8的四等分點(diǎn)，將晶繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120。后得到方，，則在該旋轉(zhuǎn)過程中，線段CB掃

過的面積是（）

【答案】B

【解析】設(shè)定所在圓的圓心為。，連接。C、04、OB、AC、AC,作。于。,

1

：.AD=BD=-AB=243,VOA=4,

AD2j3J3

：.sinZAOD=-=1_=」，

0/42

ZAOD=60°,：.ZAOB^l20°,

???點(diǎn)C是否上靠近點(diǎn)B的四等分點(diǎn)，

AZAOC=90°,：.AC="屋+0c2=J/+42=4位,

線段CB掃過的面積=S扇彩ABB'-S扇形

1207Tx(473)21207Tx(472)23216

ACC'=____________________________________—16K----------71-——n,故選：B.

36033

2.（2021?峨山縣模擬）如圖，在菱形A8CD中，AB=4,ZABC=12Q°,以A為圓心，AB

為半徑畫圓弧，交AC于點(diǎn)E,過點(diǎn)E作E尸〃AB交于點(diǎn)R則陰影部分的面積為（）

87r8P87r-4^/347r-4^/347r—8^/3

A.------------B.---------------C.---------------D.

33333

【答案】c

【解析】過尸作/AC于H,

???四邊形A5s是菱形，AB=4,

AZDAC=ABAC,AD//BC,

：.ZABC+/DAB=180。，:ZABC=120°,

：.ZDAB=60°f：.ZDAC=ZBAC=30°,

???以A為圓心，AD為半徑畫弧，交AC于點(diǎn)E,AB=4,

???AE=4,^EF//AB,：.ZFEA=ZBAC,

,：ZDAC=ZBACf：.ZDAC=ZFEA,:.AF=EF,

?；FH_LAE,AE=4,：.AH=EH=2,

VZZ)AC=30°,ZAHF=90°,

：.AF=2EF,：.(2￡F)2=EF2+22,解得：EF

陰影部分的面積S=S^DAE-S^FAE

307rx4212p47r4出

--------------------x4x故選：c.

3602333

2兀

3.（2021?駐馬店二模）如圖，已知點(diǎn)C、。是以為直徑的半圓的三等分點(diǎn)，虞的長(zhǎng)為一,

3

連接。C、AD,則圖中陰影部分的面積為（

7T3713

A.-B.

34323432

【答案】D

【解析】連接

???點(diǎn)C是以AB為直徑的半圓。的三等分點(diǎn),

271

：.ZCOD=6Q°,的長(zhǎng)為——,

3

607r-R27r

---------=——，：.R=2,

1803

：.OD=2,?點(diǎn)C是應(yīng)的中點(diǎn)，

1J3

：.OC±AD,：.OE=-00=1,DE=—OD=J3,

22

.607r?2212F…

1?S陰影=s扇形C。。-------------------一—xlx平=—兀--------，故選：D.

4.（2021?河南模擬）如圖，扇形4OB中，NAOB=90。，點(diǎn)C為。4上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接8C,

以BC為對(duì)稱軸折疊AO8C得到AOBC,點(diǎn)。的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)。，當(dāng)點(diǎn)。落在弧AB上時(shí)，若

OA=2,則陰影部分的面積為（）

7T371327r2那

A.-B.—?------C.D,竺+史

33333333

【答案】A

［解析】連接。。，作DEL0A于E,

'：OB=BD=DO,是等邊三角形,

J.ZOBD^ZBOD^60°,：.ZOBC^30°,

VZBOC=90°,AZAOD=30°,

"：OB=OA=OD=2,

DE1

OC=O5?tan30°=2乂目=退...=-OD=1,

332

._307rx2212r1B故選：A.

陰影=s扇形--S^COD-----------x------x1—71

3602333

5.（2021?新洲區(qū)模擬）在矩形ABCD中，AB=6,BC=3,把以AB為直徑的半圓O繞點(diǎn)、B

順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至如圖位置（點(diǎn)A落在CD上的點(diǎn)4處），則半圓O掃過的面積（圖中陰影部分）

是（）

1

A.3兀B.71C.—7TD.—ji

42

【答案】A

【解析】連接42,作于點(diǎn)E,如右圖所示，

由題意可得，A'E=BC=3,BA'=BA=6,ZA'EB=90°,

A,E31

：.sinZA'BE=------=-=/A'BE=30°,

A'B62

由圖可知：S陰影+S半圓4B=S扇形4V5+S半圓

?「S半圓A5=s半圓43，,S陰影=S扇形A4,5，

…30X7Tx62.

?S扇形-------------------------3兀,??S陰影=3兀,故選：A.

360

6.（2021?姜堰區(qū)一模）如圖，OA是。。的半徑，弦8CLOA,垂足為M,連接。8、AC,

如果OB〃AC,OB=2,那么圖中陰影部分的面積是（）

1277

A.—7TB.C.兀D.2兀

33

【答案】B

【解析】-：^BC±OA,垂足為M,

OB//AC,：.ZOBM=ZACM,

,ZOBM=ZACM

在AACM和AOBM中，BM=CM,

Z.BMO=/.AMC

1

/\ACM^/\OBM(ASA),OM^AM=-OA,

2

1

—OA

'：cosZAOBOM21,AZAOB^60°,

~~OB=~OB2

,_607rx22271

??S陰影=S扇移043=--------------------,故選：B.

3603

7.（2021?江岸區(qū)模擬）有一張矩形紙片ABC。，已知AB=2,AD=4,上面有一個(gè)以為

直徑的半圓，如圖甲，將它沿。E折疊，使A點(diǎn)落在2c上，如圖乙，這時(shí)，半圓還露在外

面的部分（陰影部分）的面積是（）

圖甲圖乙

142

A.兀-2J3B.—兀+J3C.-7t-J3D.

23

【答案】C

【解析】設(shè)陰影部分所在的圓心為。，與半圓弧交于點(diǎn)R如圖，連接。尸，過點(diǎn)。作

OM_LDF交DF于點(diǎn)M,'：AD=4,CD=2,：.ZDAC=30°,

'：OD//BC,OD=OF=2,

ZODF=ZOFD=ZDAC=3Q°,

：.Z￡>6?F=180°-30°-30°=120°,

1

在Rl^DOM中，0M=OZ>sin3(F=2X—=i,

2

DM=OD-cos300=2

:.DF=2DM=24,

陰影部分=5扇形DOF-S^ODF

1207TX22

~~360

47r

--—J3,故選：c.

3

圖乙

8.（2021?山西模擬）如圖所示的是小慧設(shè)計(jì)的一個(gè)美麗的圖案，該圖案是由兩個(gè)圓心相同,

半徑分別為9c機(jī)和3c機(jī)的圓構(gòu)成的，那么該圖案中陰影部分的面積為（）cm1

B.60KC.48D.36兀

【答案】D

【解析】大圓=兀?92=81兀（cm2）,S小圓=兀?32=9%（cm2）,

1

陰影部分的面積為一（81兀-9兀）=367tcm2.故選：D.

2

9.（2021?研口區(qū)模擬）如圖，A8和C。是。。的兩條互相垂直的弦，若AO=4,BC=2,

則陰影部分的面積是（）

C.5兀-4D.5兀-8

【答案】B

【解析】連接AC,連接AO并延長(zhǎng)，交。。于E點(diǎn)，連接?！?/p>

?：AB±CD,：.ZCAB+ZACD=90°,

是直徑，ZADE=90°,AZAED+ZEAD=90°,

又ZACD=NAED,：.ZCAB=ZEAD,

：.CB=DE=2,AE="+22=2#,

將弓形BC旋轉(zhuǎn)到弓形。E的位置兩塊陰影部分面積之和為半圓面積減去△ADE的面積,

（同?TC157r

即S_4.故選：B.

~~?T

10.（2021?湘潭模擬）如圖，AB是。。的直徑，且AB=4,C是。。上一點(diǎn)，將應(yīng)沿直線

AC翻折，若翻折后的圓弧恰好經(jīng)過點(diǎn)。，則圖中陰影部分的面積為（）

2TT

D.——

3

【答案】D

【解析】連接。C,作。DLAC于點(diǎn)。，

由圖可知，陰影部分的面積=扇形BOC的面積，

1

\'OD=-OC,ZO￡）C=90°,AB=4,

2

ZDCO=30°,OC=2,

'：OA=OC,：.ZOAC=ZOCA=30°,

607rx222

AZBOC=60°,；.扇形BOC的面積是：=一兀，故選：D.

3603

11.（2021?紫金縣模擬）如圖，正方形ABCZ）邊AB=1,應(yīng)和元都是以1為半徑的圓弧，陰

影兩部分的面積分別記為51和S2,則Si-S2等于（）

71

D.1--

6

【答案】A

【解析】如圖：正方形的面積=S]+S2+S3+$4；①

兩個(gè)扇形的面積=251+區(qū)+54；②

907TX1X271

②一①,得：Si-§2=25扇形-S正方形--------------------------1=—-1.故選：A.

3602

12.（2021?漳平市模擬）如圖，在扇形AOB中，ZAOB^90°,點(diǎn)C為。4的中點(diǎn)，CE，

0A交位于點(diǎn)E,以點(diǎn)C為圓心，04的長(zhǎng)為直徑作半圓交CE于點(diǎn)若。4=4,則圖中陰

57r57r

C.——-2d3D.——-J3

33

【答案】C

【解析】連接?！耆鐖D所示:

?；C為。4的中點(diǎn)，CE_LO4且。4=4,：.OC=2,

0C1,____

22

cosZEOC=-----=—,CE=A/4-2=2A/3,

0E2

：.ZCOE=60°.

'：NAOB=90。,

.\ZBOE=30°,

'S陰影=s扇形A0B-s扇形ACD-s扇形BOE-S^COE

907Tx42907rx22307rx42157r

-X2x275=--2^/3.故選：c.

13.（2021?臥龍區(qū)一模）如圖，在菱形ABC。中，48=2,以點(diǎn)8為圓心，8A長(zhǎng)為半徑畫

弧，恰好過頂點(diǎn)。和頂點(diǎn)C,點(diǎn)E,尸分別是弧AC上的兩點(diǎn)，若/EBF=6Q°,則圖中陰影

部分的面積為

【解析】連接BD,由題意可知，BD=BC=CD,

.?.△BCD是等邊三角形，

：.ZDBC=60°,,:NEBF=60°,

._607rx2?1那27r,依.“27丘

??S陰影=s扇形DBC-S&DBC=---------------------X2X——X2=故答案為：---

3602233

14.（2021?澄海區(qū)模擬）如圖，已知RtAACB義RtABDE,NACB=NBDE=90。,ZCAB=

30。，點(diǎn)C在線段2。上，BC=2,將ABOE繞點(diǎn)2按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)30。，使得BE與BA

重合，則線段?！杲?jīng)旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)所形成的平面圖形（即陰影部分）的面積為一

一3一

【解析】VZACB=90°,ZCAB=30°,BC=2,

：.ZABC=6Q°,AB=2BC=4,

：.AC=?C=24,

,：N48E=30°,ZDBF=3Q°,

?：Rt^ACB^Rt^BDE,/ACB=NBDE=90°,

:.DB=AC=2#,

由旋轉(zhuǎn)變換可知，4BDE/ABFA,

??S>BDE=SABFA,

??S陰影=S扇形AB/S^BDE-S^BFA~S扇形BDF

307rx42307rx(2/了

=S扇形ABE-S扇形BQF=---------------------------

360360

411

=—兀-n=—兀，故答案為一yr.

333

15.（2021?峽江縣模擬）如圖，扇形A0B的圓心角為直角，邊長(zhǎng)為1的正方形。DCT的頂

點(diǎn)、F,D,C分別在。4,OB,位上，過點(diǎn)B作8ELFC,交PC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,則圖中陰

影部分的面積等于—虛

ODB

【答案】點(diǎn)-1

【解析】連接OC,

?.?正方形的邊長(zhǎng)為1,即。。=CO=1,

OC=y/oD2+CD2=乜，

：.BD=OB-OD=*_1,

?：OA=OB,OF=OD,：.AF=BD,'：CF=CD,

陰影部分的面積=長(zhǎng)方形CD2E的面積=/-1,故答案為：42-1.

ODB

16.（2021?中原區(qū)校級(jí)四模）如圖，AC的半圓。的一條弦，將弧AC沿弦AC為折線折疊

后過圓心。，圖中陰影部分的面積為J3,則。。的半徑為2.

【答案】2

【解析】過點(diǎn)。作。石，AC,交AC于尸，連接。C,BC,

，NA=30°,

"：AB是。。的直徑，ZACB=90°,

ZB=60°,；.△OBC是等邊三角形,

：,OC=BC,弓形OC面積=弓形BC面積，

1J3

,/陰影部分面積=?SAOBC=-XOBx—OB=邪.

22

：.OB=2,故答案為：2.

17.（2021?江北區(qū)校級(jí)模擬）如圖，半徑為4的扇形AOB的圓心角為90。，點(diǎn)O為半徑OA

的中點(diǎn)，C0LOA交能于點(diǎn)C,連接AC、CO,以點(diǎn)。為圓心。O為半徑畫弧分別交。C、

08于點(diǎn)從E,則圖中陰影部分的面積為一.

【答案】3無-44

【解析】??,點(diǎn)。為半徑0A的中點(diǎn)，CDLOA,

：.OC=CA,：OA=OC=4,

...△AOC為等邊三角形,

=Coc=2小,

ZAOC=60°,：.CD

2

,/ZAOB=90°,：.ZBOC=30°,

圖中陰影部分的面積=扇形OAC-SAOAC+S扇形

607Tx421307Tx22L工―位廠

OEF=----------------__x4x2\/3+----------------=3兀-4JX故答案為：3兀-4JX

3602360

18.（2021?德城區(qū)二模）如圖，等邊AABC中，BC=6,。、“分別為邊AB、AC的三等分

11

點(diǎn)，AH=-AC,AO=-AB,將繞點(diǎn)8順時(shí)針旋轉(zhuǎn)100。到△ABCi的位置，則整個(gè)

33b

10

旋轉(zhuǎn)過程中線段所掃過部分的面積為一兀.

一3一

10

【答案】——兀

3

:等邊"BC中，BC=6,

/.ZC=60°,AC=AB=BC=6,

J31

：.BD=—BC=34,CD=—BC=3,

22

1