2024-2025學(xué)年滬科版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)復(fù)習(xí)：動(dòng)點(diǎn)的函數(shù)圖象問題（壓軸題）原卷版

動(dòng)點(diǎn)的函數(shù)圖象問題

?思想方法

I/

數(shù)形結(jié)合思想：所謂數(shù)形結(jié)合，就是根據(jù)數(shù)與形之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，通過(guò)數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來(lái)解決數(shù)學(xué)

問題的思想，實(shí)現(xiàn)數(shù)形結(jié)合，常與以下內(nèi)容有關(guān)：（1）實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系；（2）函數(shù)與圖象

的對(duì)應(yīng)關(guān)系；（3所給的等式或代數(shù)式的結(jié)構(gòu)含有明顯的幾何意義。

?典例分析

【典例1］如圖，在aABC中，^ACB=90°,AABC=60°,BD=2,CD14B于點(diǎn)D,點(diǎn)E、F、G分別是

邊CD、CA,4。的中點(diǎn)，連接EF、FG,動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)4方向運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)

M運(yùn)動(dòng)到4B的中點(diǎn)時(shí)停止）；過(guò)點(diǎn)M作直線MPIIBC與線段4C交于點(diǎn)P,以PM為斜邊作Rt△PMN,點(diǎn)N在4B

上，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（s）,Rt^PMN與矩形DEFG重疊部分的面積為S,貝口與t之間的函數(shù)關(guān)系圖象大致為

（）

本題考查幾何動(dòng)點(diǎn)問題的函數(shù)圖象，正確分段并分析是解題的關(guān)鍵.根據(jù)題意先分段，分為0WtW0.5,

0.5<t<1,1<t<2三段，分別列出三段的函數(shù)解析式便可解決，本題也可只列出。<t<0.5,1<t<2

兩段，用排除法解決.

【解題過(guò)程】

解：分析平移過(guò)程,

①?gòu)拈_始出發(fā)至PM與點(diǎn)E重合，由題意可知0WtW0.5,如圖,

過(guò)點(diǎn)M作MT于點(diǎn)T,

?4=60。，CD1AB,

：.BC=2BD=4,CD=遮BD=2收BT==t,

???乙4cB=90°,MP||BC,

=乙MPA=90°,

???四邊形CTM尸為矩形，

.-.PM=CT=BC—BT=4—t,

-Z.PMN=^B=60°,PN1AB,

…rPM4-t

；.MN=—

:?DN=MN-MD=MN-BD+BM=^,

???E為CD中點(diǎn),

??.DE=牛=V3,

；.S=DE,DNT

??.S與力的函數(shù)關(guān)系是正比例函數(shù);

②當(dāng)0.5<t<1,即從PM與E重合至點(diǎn)M與點(diǎn)。重合，如圖,

BMDN

由①可得QN=ED=g,DM=2—2t,DN=|t,S矩形=考

??ZPMN==60°,CDLAB,

:.SD=V3MD=2V3—2V3t,

：.ES—ED—SD—2y[3t—V3?

；?ER=-=2t—1,

?.,S=S矩形EDMQ_SAERS=—|(2V3t—V3)(2t—1)=+寫￡一浮

此函數(shù)圖象是開口向下的二次函數(shù)；

③當(dāng)l<tW2,即從點(diǎn)M與點(diǎn)。重合至點(diǎn)M到達(dá)終點(diǎn)，如圖，

BDMNGA

由①可得DN=|t,MN=?,

■:AD=近CD=6,DG=^AD=3,

3

??.NG=DG-DN=3--t,

??.QF=NG=3-|3

??,PQ專巡-當(dāng)，

,??收=51=1一3，

.=(HQ+MN)XQN=(l-lf+i^)xV3=_烏+3V3

??.s與t的函數(shù)關(guān)系是一次函數(shù)，

綜上，只有選項(xiàng)A的圖象符合，

故選：A.

?學(xué)霸必刷

1.(2024?四川廣元?二模)如圖，在矩形ABCD中，AB=4cm,AD=2cm,動(dòng)點(diǎn)M自點(diǎn)/出發(fā)沿AB方向以

每秒1cm的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)N自點(diǎn)/出發(fā)沿折線2D—DC—CB以每秒2cm的速度運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)8

時(shí)運(yùn)動(dòng)同時(shí)停止.設(shè)aAMN的面積為y(cm2),運(yùn)動(dòng)時(shí)間為無(wú)(秒)，則下列圖象中能大致反映y與x之間

的函數(shù)關(guān)系的是()

DC

AM-*,B

2.（22-23九年級(jí)上?安徽合肥?期中）如圖，在△2BC中，ZC=135°,AC=BC=242,P為BC邊上一動(dòng)

點(diǎn)，PQIMB交2C于點(diǎn)Q,連接BQ,設(shè)=比，SABPQ=y,則能表示y與x之間的函數(shù)關(guān)系的圖象大致是

()

3.（2024?河北石家莊?二模）如圖所示，△4BC和△DEF均為邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，點(diǎn)力從點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)

E的過(guò)程中，4B和DF相交于點(diǎn)G,4C和EF相交于點(diǎn)H,（S泅GF+SVCH）為縱坐標(biāo)外點(diǎn)4移動(dòng)的距離為橫坐

標(biāo)心則y與x關(guān)系的圖象大致為（）

DAE

4.（2023?遼寧鐵嶺?模擬預(yù)測(cè)）如圖，矩形4BCD中，4B=8cm,AD=12cm,AC與BD交于點(diǎn)0,M是BC

的中點(diǎn).P、Q兩點(diǎn)沿著BTC—D方向分別從點(diǎn)B、點(diǎn)”同時(shí)出發(fā)，并都以lcm/s的速度運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)。點(diǎn)

時(shí)，兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng).在P、Q兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，與△OPQ的面積隨時(shí)間t變化的圖象最接近的是（）

5.(2023?江蘇南通?模擬預(yù)測(cè))如圖，在矩形4BCD中，AB=4,BC=6,E為中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B開始

沿BC方向運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C停止，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C開始沿方向運(yùn)動(dòng)，與點(diǎn)尸同時(shí)出發(fā)，同時(shí)停止；這兩點(diǎn)的運(yùn)

動(dòng)速度均為每秒1個(gè)單位；若設(shè)他們的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x(s),△EPQ的面積為y,貝Uy與久之間的函數(shù)關(guān)系的圖

像大致是()

cm/s.點(diǎn)P在折線B4C上，且PD1BC于點(diǎn)。.點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)2s時(shí)，點(diǎn)尸與點(diǎn)/重合.△PBD的面積S(cnj2)與

運(yùn)動(dòng)時(shí)間t(s)的函數(shù)關(guān)系圖象如圖2所示，￡是函數(shù)圖象的最高點(diǎn).當(dāng)S(cm2)取最大值時(shí)，PD的長(zhǎng)為()

圖1圖2

A.2V3cmB.(1+V3)cmC.(1+2V3)cmD.(2+2V3)cm

7.(2024?安徽?一模)如圖，在四邊形4BCD中，Z4=60°,CDLAD,^BCD=90°,AB=BC=4,動(dòng)點(diǎn)

P,Q同時(shí)從4點(diǎn)出發(fā)，點(diǎn)Q以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度沿折線a—B—C向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)P以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度沿線

段4。向終點(diǎn)￡（運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一點(diǎn)運(yùn)動(dòng)至終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)隨之停止運(yùn)動(dòng).設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為久秒，△APQ的面積為y

個(gè)平方單位，則y隨x變化的函數(shù)圖象大致為（）

8.（23-24九年級(jí)上?浙江溫州?期末）某興趣小組開展綜合實(shí)踐活動(dòng)：在RtaZBC中，ZC=90°,CD=正

,。為力C上一點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P以每秒1個(gè)單位的速度從C點(diǎn)出發(fā)，在三角形邊上沿CrB—a勻速運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)力時(shí)

停止，以DP為邊作正方形DPEF,設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts,正方形DPEF的面積為S,當(dāng)點(diǎn)P由點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A

時(shí)，經(jīng)探究發(fā)現(xiàn)S是關(guān)于t的二次函數(shù)，并繪制成如圖2所示的圖象，若存在3個(gè)時(shí)刻以，t2,<t2<t3）

對(duì)應(yīng)的正方形。PE尸的面積均相等，當(dāng)%=5以時(shí)，則正方形DPEF的面積為（）

9.（22-23九年級(jí)上?浙江嘉興?期中）如圖，在Rt^ABC中，NC=90。，AABC=60°,BC=6,點(diǎn)。為力C

中點(diǎn)，點(diǎn)D為線段上的動(dòng)點(diǎn)，連接。D,設(shè)BD=x,OD2=y,則y與x之間的函數(shù)關(guān)系圖像大致為（）

10.（2024?廣東深圳三模）如圖，在近△ABC中，ZC=90°,AC=12,BC=8,點(diǎn)D和點(diǎn)E分別是4B和4c

的中點(diǎn)，點(diǎn)M和點(diǎn)N分別從點(diǎn)力和點(diǎn)E出發(fā)，沿著力方向運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)速度都是1個(gè)單位/秒，當(dāng)點(diǎn)N到達(dá)

點(diǎn)B時(shí)，兩點(diǎn)間時(shí)停止運(yùn)動(dòng).設(shè)的面積為S,運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t,則S與t之間的函數(shù)圖象大致為（）

11.（2024?河南南陽(yáng)?二模）如圖是一種軌道示意圖，其中4、B、C、。分別是菱形的四個(gè)頂點(diǎn),

乙4=60。.現(xiàn)有兩個(gè)機(jī)器人（看成點(diǎn)）分別從4C兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，沿著軌道以相同的速度勻速移動(dòng)，其路線

分別為a-B-C和CrDr4若移動(dòng)時(shí)間為t,兩個(gè)機(jī)器人之間距離為d.則d2與t之間的函數(shù)關(guān)系用圖象表

示大致為（）

12.（2024?山東聊城?二模）如圖，等邊△ABC與矩形DEFG在同一直角坐標(biāo)系中，現(xiàn)將等邊AABC按箭頭

所指的方向水平移動(dòng)，平移距離為x,點(diǎn)C到達(dá)點(diǎn)尸為止，等邊△28C與矩形DEFG重合部分的面積記為

S,則S關(guān)于x的函數(shù)圖象大致為（）

13.（2024?河南?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在等腰直角三角形2BC中，AABC=90°,BD是4C邊上的中線，將△BCD

沿射線B4方向勻速平移，平移后的三角形記為△B1C1%,設(shè)△%的。1與△4BD重疊部分的面積為y,平

移距離為％,當(dāng)點(diǎn)當(dāng)與點(diǎn)4重合時(shí)，△Bi。%停止運(yùn)動(dòng)，則下列圖象最符合y與x之間函數(shù)關(guān)系的是（）

A

14.(23-24九年級(jí)上?安徽滁州?期末)如圖，菱形48CD的邊長(zhǎng)為3cm,zB=60°,動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)以3cm/

s的速度沿著邊8C—CD—D4運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)4后停止運(yùn)動(dòng)；同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，以lcm/s的速度沿著邊B2

向4點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)4后停止運(yùn)動(dòng).設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為尤(s),△BPQ的面積為y(cm2),貝。關(guān)于x的函數(shù)圖

象為()

15.（2023?遼寧盤錦?中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形2BCD的頂點(diǎn)/在y軸的正半軸上，頂

點(diǎn)B、C在x軸的正半軸上，D（2,V3）,P（—1,—1）.點(diǎn)M在菱形的邊力。和DC上運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)n,C重

合），過(guò)點(diǎn)M作MN||y軸，與菱形的另一邊交于點(diǎn)N,連接PM,PN,設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為x,2\PMN的面

積為乃則下列圖象能正確反映y與x之間函數(shù)關(guān)系的是（）

16.（22-23九年級(jí)上?安徽蚌埠?期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)2（2,0）,點(diǎn)8（0,2遮），點(diǎn)C（—3,回,

點(diǎn)P從點(diǎn)。出發(fā)沿。-AfB路線以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)。出發(fā)沿。TC—B路線以每秒g個(gè)單位

的速度運(yùn)動(dòng)，當(dāng)一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)另一個(gè)點(diǎn)隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)了=「（22,運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，則正確表達(dá)y與t

17.（2022?遼寧?中考真題）如圖，在等邊三角形N2C中，BC=4,在RtADEF中,乙EDF=90。,4尸=

30°,DE=4,點(diǎn)、B,C,D,￡在一條直線上，點(diǎn)C,。重合，A48C沿射線方向運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)8與點(diǎn)￡

重合時(shí)停止運(yùn)動(dòng).設(shè)&42C運(yùn)動(dòng)的路程為x,AABC與口△￡>￡尸重疊部分的面積為S,則能反映S與x之間

函數(shù)關(guān)系的圖象是（）

18.（2023?山東聊城?三模）如圖（1）所示，E為矩形力BCD的邊力。上一點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P,0同時(shí)從點(diǎn)2出發(fā),

點(diǎn)P沿折線BE-ED-DC運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)停止，點(diǎn)Q沿BC運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)停止，它們運(yùn)動(dòng)的速度都是1cm/秒,

設(shè)尸，。同時(shí)出發(fā)，秒時(shí)，△BPQ的面積為ycm2.已知y與/的函數(shù)關(guān)系圖像如圖（2）（曲線OM為拋物線

的一部分），則下列結(jié)論不正確的是（）

圖⑴圖⑵

A