2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：課時(shí)作業(yè)三十一 平面向量的應(yīng)用

三十一平面向量的應(yīng)用

（時(shí)間：45分鐘分值:85分）

【基礎(chǔ)落實(shí)練】

1.（5分）四邊形ABCD中，而=麗，（方+南）?（同-布尸0,則這個(gè)四邊形是（）

A.菱形B.矩形

C正方形D.等腰梯形

【解析】選A.由題意，而=而，即且故四邊形力5C7）為平行四

邊開(kāi)鄉(xiāng)，又+而）?（左-布尸前?礪=0,故即四邊開(kāi)鄉(xiāng)ABCD為菱開(kāi)幺

2.（5分）如圖所示，在ZU5C中加壯/民近卡麗,1前1=1,則前?而=（）

A

BDC

A.2V3C.gD,A/3

【解析】選D.ACAD^（AB+BCyAD^ABAD+BC-AD^BCAD=y/3BDAD^

y^\BD\\AD\-cosZBDA^y[3\AD\2=^.

3.（5分）一物體在大小為10N的力廠(chǎng)的作用下產(chǎn)生的位移s的大小為50m,且力

F所做的功秒250"N-m,則F與s的夾角Q為（）

A.1350B.90°C.60°D.450

【解析】選D.由題意可知:W/gcos3,

即250"=10X50COSa解彳導(dǎo)cos。=^,夕=45。.

4.（5分X多選題X2023?開(kāi)封模擬）若平面上的三個(gè)力作用于一點(diǎn),且處于

平衡狀態(tài).已知忸卜4N,|F2|=2Nd與F2的夾角為120。廁下列說(shuō)法正確的

是（）

A.|0|=20N

B/i與萬(wàn)3的夾角為90。

C.B與丹的夾角為90。

D.(B+B>B=4

【解析】選AC.如圖所示，設(shè)F},F2,F3分別為51,而相

C

b

將向量進(jìn)行平移，礪平移至加，將51反向延長(zhǎng)至點(diǎn)。，則/4徒=120。,/。4皮=

NQOB=180。-NA05=60。，

]

在△04"中,由余弦定理得,O52=4g2+Q42_248，.Q4cos60。=4+16-2*2*4乂廣12,

所以O(shè)皮=24,即忸3卜2&N,故A正確；

顯然，在404皮中,。6。+/3。=12+4=16=。42,即//皮。=90。,所以/。?！辏?

N/O皮=30。,所以Fx與F3的夾角//0。=180。-/。0￡>=150。,故B錯(cuò)誤;

尸2與尸3的夾角/30。=/。。5+/。。。=60。+30。=90。,故C正確;

______---->---->---->---->?---->>---->---->211111、■—?

{F1+F3yF2^OA+OC)-OB^OA+B'O}-OB^B'A-0B=-0B=-4,故D錯(cuò)俁.

5.（5分）如圖,在平面四邊形/5C7）中J_CD,/540=120。〃5=40=1.

若點(diǎn)E為邊CD上的動(dòng)點(diǎn)，則荏?族的最小值為（）

A21c325

A-16B2C-160

【解析】選A.解法一:（坐標(biāo)法）如圖，以D點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)所在直線(xiàn)為x軸QC

所在直線(xiàn)為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系.

所以41,0）,與（53，］/3）,在平面四邊形/58中知CD=0

所以設(shè)=（￡［0,逆］）,所以Eg）.

3°

所以當(dāng)片彳時(shí),G4E，BE）min=R

解法二：（基向量法）連接"（圖略），易知。。=也N010=60。,設(shè)Z）E=x（0<x<V3）,

則荏?族=（而+方初?（瓦"癌+族）

=lxixcos600+P+0+xxlxcos150。+0+%2=（%一1）2+H4

解法三:（基向量法）如圖，取AB的中點(diǎn)R連接EF,

C

A

則荏?麗=瓦??麗=（前+記）?（前-嬴尸加2-元/發(fā)鏟］可知當(dāng)且僅當(dāng)前最小時(shí)，

荏?而取最小值.分別過(guò)點(diǎn)F,B作CD的垂線(xiàn)，垂足分別為〃,G,當(dāng)點(diǎn)E與H重合

時(shí)，歷取到最小值，易知HF為梯形DABG的中位線(xiàn)，

由已知得即

1s5

則|成片?G|+|"）|）q故|S的最小值為對(duì)

Z4,41

故福麗的最小值為磊

6.（5分X2023?南昌模擬）如圖是圓O的一條直徑，且AB=6,CQ是圓O上任意

兩點(diǎn),CQ=3,點(diǎn)P在線(xiàn)段CD上，則港?麗的取值范圍是（）

D

C

O

A

A」"]B.

C9

-D.-9,0]

4?

【解題指南】連接OR根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律得到港?麗=|麗|-9,再根據(jù)點(diǎn)P在

線(xiàn)段CD上，求出|而|的取值范圍即可得解.

【解析】選C.如圖，連接OP,

則港?麗=（刀+51）?（而+礪）

------->2>>>>>>

=P。+POOB+POOA+OAOB

=PO2+PO-（OB+O1）-O^2=|PO|2-9.

因?yàn)辄c(diǎn)P在線(xiàn)段CD上且8=3,則圓心到直線(xiàn)CD的距離d=『一（I?",

所以Um而歸3,更|正信義

所以而『-9或，

_、____,Q

即PAPB的取值范圍是［二（）］.

7.（5分）已知兩個(gè)力的夾角為《它們的合力大小為10N,合力與B的夾角為

。，那么鳥(niǎo)的大小為_(kāi)_________.

4,

【解析】因?yàn)閮蓚€(gè)力的夾角為3

所以/2=0,又因?yàn)樗鼈兊暮狭Υ笮?0N,合力與F的夾角為"

x4,

二匚I”H（尸1+尸2>尸1|尸J出名/?[后

所以cos1凡心2眄「『T，解同F(xiàn)」=5"N.

答案：5也N

8.（5分）在ZU5C中乃為AC的中點(diǎn)Q是線(xiàn)段BE上的動(dòng)點(diǎn)，若配=法即7而，則:+

:的最小值為.

【解析】如圖，

因?yàn)槎?%同+7E為邊AC的中點(diǎn)，所以而=%前+2母,

因?yàn)锽,E,D三點(diǎn)共線(xiàn)，所以x+2y=l（x>0,y>0）,

空

X

當(dāng)且僅當(dāng)T產(chǎn)|時(shí)取等號(hào)，故子的最小值為9.

答案：9

9.（5分）已知在直角梯形48C7）中40〃5。,/40。=90。40=2,與。=1/是腰DC

上的動(dòng)點(diǎn)，則|2方+3麗曲最小值為.

【解析】以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，瓦I反分別為xj軸的正方向建立平面直角坐標(biāo)系，如

圖所示,

4

DAx

設(shè)C(O,a),尸(0,6)乃(l,a)H(2,0),0W叢a,

則2港+3麗=2(2,-b)+3(l,a1)=(7,3a-56),

|2直+3麗曰49+(3a.5b色7,當(dāng)且僅當(dāng)6弓時(shí)取得最小值7.

答案：7

10.(10分)已知向量a=(cosx,sin%),6=(3,--\/3)^￡[0,7i].

⑴若?！ㄒ睬笮〉闹?

【解析】⑴因?yàn)閍=(cosx,sinx),

b=*,-病/〃b,

所以-避cosx=3sinx.

若cosx=0,貝Usinx=0,與sin2x+cos2x=l矛盾，

故cosHO,于是tan%=-￡

__STT

又xe[OR,所以x=-^-.

(2)記於尸”也求於)的最大值和最小值以及對(duì)應(yīng)的x的值.

【解析】(2g尸a-b=(cosx,sinx)-(3<A/3)

=3cosx-^/3sinx=2^/3cos(x+^).

因?yàn)楣ひ?兩,所以*可。生

從而-13cos(x+g)<^.

于是，當(dāng)x+W即x=0時(shí)作)取得最大值3;

當(dāng)X牛豆,即時(shí)4X)取得最小值-2/.

11.(10分)如圖所示，矩形ABCD的頂點(diǎn)A與坐標(biāo)原點(diǎn)重合,5。分別在x,y軸正半

軸上/5=440=2,點(diǎn)E為AB上一點(diǎn)，

⑴若DEL4C,求4E的長(zhǎng)；

【解析】⑴由題可得40,0)乃(4,0)1(0,2),。(4,2)廁前=(4,2).

設(shè)與%,0)(。。34),貝U族=(%,-2).

因?yàn)镈EJ_4C,則屁?前=4x-4=0=x=l,

則夙1,0),故/E的長(zhǎng)為1;

(2)若E為AB的中點(diǎn)力。與DE的交點(diǎn)為此求cos/CME.

【解析】(2)若E為AB的中點(diǎn)，則鳳2,0),族=(2,-2),又就=(4,2),

所以cosNCyE^cosc蔗方

\AC\\DE\2JGx2避10

【能力提升練】

12.（5分）（2023?開(kāi)封模擬）如圖是某一自行車(chē)的平面結(jié)構(gòu)示意圖,已知圖中的圓

出前輪），圓Q（后輪）的半徑均為信A4豳AgECMECT）均是邊長(zhǎng)為4的等邊三

角形.設(shè)點(diǎn)P為后輪上的一點(diǎn)，則在該自行車(chē)的騎行過(guò)程中，前?麗的最大值為

A.18B.24C.36D.48

【解析】選C.騎行過(guò)程中間,民CQ乃相對(duì)不動(dòng)，只有P點(diǎn)繞D點(diǎn)作圓周運(yùn)動(dòng).

如圖，以4。所在直線(xiàn)為%軸￡為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系,

由題意得^(-4,0),5(-2,273),0(2,273),

圓D的方程為(+4)2+y=3,

設(shè)P(4+避cos%gsina),a￡[0,2TI),

貝11元=(6,2平)，

BP=(6+^cosa,^/3sina-2^/3),

前,麗=6(6+淄cosa)+2^/3(^/3sina-2班)

=6^/3cosa+6sina+24

=12(|sina+^cosa)+24=12sin(a+§+24,

易知當(dāng)sin(a+g)=l時(shí)，就?而取得最大值36.

13.(5分)如圖,在扇形COQ及扇形中,動(dòng)點(diǎn)。在^

CD

(含端點(diǎn))上，則港?麗的最小值為.

【解析】建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，則4(1,0),5(.

設(shè)。(3cos&3sin8),e￡[0,g],

則PZ=(-3cos0+1,-3sin0),

PB=(-3cos仇；,-3sin。+事，

則巨，麗=(3cos6-1)(3cos0+1)+3sin0(3sin"片)=^-3sin(6+g),

其中白/

所以刀?麗力-3sin(6+g)>y-3=^,

當(dāng)且僅當(dāng)夕三時(shí)，取“=”.

農(nóng)案.衛(wèi)

口木.2

33

14.(10分)(2023?齊齊哈爾模擬)已知向量a=(cos/sin-x)，向量

b=(cos|x,-sin|x)[0,1].

(1)求ab及|a+b\,

[解析](1)由題意可得，"力=cos|xcos|x-sinjxsin|x=cos(|x+|x)=cos2x,

..I2^.231...I211~2

|a|=Jcos/+sin/=1,\b\=cos2‘產(chǎn)+(-sin/)=1,

所以|a+b|+b)2=^a2+2a-b+&2=^/1+2cos2x+l=^4cos2%,

又因?yàn)楣ぁ闧0,3,則85%加,可得|(1+b|=2cosx,

所以ab^cos2x,\a+b|=2cosx

3

(2)若兀0=a-Z>2|a+b|的最小值為z求t的值.

【解析】(2)由⑴可得，

/(x)=cos2x-4/cosx=2cos2x-4/cosx-1,

因?yàn)閤￡[0勺,令m=cosxG[o,l],

原題意等價(jià)于g(m)=2m2-4/m-l在[0,1]上的最小值為工，

注意到函數(shù)g(M開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸為加氣則有：

若侖1,則g(M在[0,1]上單調(diào)遞減，

可得當(dāng)加=1時(shí)，函數(shù)g（加）取到最小值

g(l)=l-4/=--,

解得上|,不合題意,舍去；

若0?<1,則g(⑼在［0月上單調(diào)遞減，在&1］上單調(diào)遞增,

__q

可得當(dāng)m=t時(shí)，函數(shù)g(m)取到最小值g(0=-2?2-l=--,

解得上!或右［舍去)；

若合0,則g(加)在［0,1］上單調(diào)遞增，

_2

可得當(dāng)m=Q時(shí)，函數(shù)g(M取到最小值g(0)=-l聲不合題意,舍去；

綜上所述/的值為;.

【加練備選】

如圖，向量。4