中考數(shù)學專項復習：二次函數(shù)中考壓軸題分類專題（知識梳理與題型分類講解）

專題1.9二次函數(shù)中考壓軸題分類專題（知識梳理與題型分類講解）

第一部分【訓練中考壓軸題意義】

了解中考命題趨勢和知識重難點：通過訓練歷年中考數(shù)學真題，學生可以快速了解中考

數(shù)學的命題趨勢、試題分布以及知識重難點，從而對自己的知識儲備進行全方位的查漏補缺

提高解題速度和精確度：通過嚴格控制做題時間，用中考的時間要求自己，可以更加客

觀地訓練解題速度和精確度，幫助學生適應考試節(jié)奏。

認識中考題型和命題風格：中考真題令學生認識到中考的題型、命題風格、各知識版塊

分值分布，考查的重點及難易程度，對學生的幫助是最大的。

檢驗復習方向和效果：真題成為檢驗復習方向以及復習效果的得力工具，通過定期模擬

考試，學生可以了解自己的不足，進而調整復習策略。

提高應試能力：通過反復做真題，學生能夠適應考試的緊張氛圍，掌握答題技巧，了解

考點要求，提高解題能力和應變能力。

權威性和準確性：真題的權威性和準確性遠高于模擬題，因為它們來自于同一個命題組，

考察點、風格以及難度等都很接近，通過對真題進行分析研究，可以總結出命題的規(guī)律。

綜合性：中考真題是命題組成員辛苦勞動的結晶，含金量高，出的題目在保證基礎得分

的同時，還具有一定的選拔作用，有助于提高學生的綜合解題能力。

綜上所述，訓練數(shù)學中考真題對于提高學生的數(shù)學成績和應試能力具有不可替代的作用,

是備考過程中不可或缺的一部分。

第二部分【題型展示與方法點撥】

題型目錄

【題型1】二次函數(shù)與面積問題【題型2】二次函數(shù)與定值問題

【題型3】二次函數(shù)與最值問題【題型4】二次函數(shù)與存在性問題

【題型5】二次函數(shù)與新定義、課堂活動問題【題型6】二次函數(shù)與三角形綜合問題

【題型7】二次函數(shù)與四邊形綜合問題【題型8】二次函數(shù)與利潤問題

【題型9】二次函數(shù)與實際問題

【題型11二次函數(shù)與面積問題

【例1】(2024?湖北?中考真題)如圖，某校勞動實踐基地用總長為80m的柵欄，圍成一塊一邊靠墻的矩

形實驗田，墻長為42m.柵欄在安裝過程中不重疊、無損耗，設矩形實驗田與墻垂直的一邊長為x(單位:

*23

m),與墻平行的一邊長為y(單位：m),面積為S(單位：m).

⑴直接寫出y與x,S與x之間的函數(shù)解析式(不要求寫x的取值范圍)；

(2)矩形實驗田的面積S能達到750m2嗎？如果能，求x的值；如果不能，請說明理由.

⑶當x的值是多少時，矩形實驗田的面積S最大？最大面積是多少？

卜-------42m------------H

墻「

x實驗田x

y

【答案】(l)y=80-2x,S=-2X2+80X(2)X=25⑶當x=20時，實驗田的面積S最大，最大面積是800m?

【分析】本題考查了矩形的性質，二次函數(shù)的實際應用，計算x的取值范圍是解題的關鍵.

(1)根據2x+y=80,求出V與x的函數(shù)解析式，根據矩形面積公式求出S與x的函數(shù)解析式；

(2)先求出x的取值范圍，再將5=750代入函數(shù)中，求出x的值；

(3)將S與x的函數(shù)配成頂點式，求出S的最大值.

(1)解：2x+y=80,

?二)=-2x+80,

S=孫，

/.S=x(-2x+80)=-2x2+80x；

(2)-y<42,

.-.-2%+80<42,

:.x>19,

/.19<x<40,

當S=750時，-2—+80X=750,

X2-40X+375=0,

(x-25)(x-15)=0,

..x—25,

.?.當x=25m時，矩形實驗田的面積s能達到750m2；

(3)S=-2x2+80x=-2(x2-40x)=-2(x2-40%+400-400)=-2(%-20)2+800,

當尤=20m時，S有最大值800nl，

【變式1】（2024?湖北?中考真題）學校要建一個矩形花圃，其中一邊靠墻，另外三邊用籬笆圍成.已知

墻長42m,籬笆長80m.設垂直于墻的邊AB長為x米，平行于墻的邊3c為V米，圍成的矩形面積為Sn?.

（1）求y與與x的關系式.

（2）圍成的矩形花圃面積能否為750m2,若能，求出尤的值.

⑶圍成的矩形花圃面積是否存在最大值？若存在，求出這個最大值，并求出此時x的值.

AD

--------------------C

【答案】⑴y=80—2x（19Wx<40）；s=—2Y+80無⑵能，x=25⑶s的最大值為800,此時x=20

【分析】本題主要考查一元二次方程的應用和二次函數(shù)的實際應用：

（1）根據AB+3C+CD=80可求出>與x之間的關系，根據墻的長度可確定x的范圍；根據面積公式可確

立二次函數(shù)關系式；

（2）令s=750,得一元二次方程，判斷此方程有解，再解方程即可；

（3）根據自變量的取值范圍和二次函數(shù)的性質確定函數(shù)的最大值即可.

解：（1）團籬笆長80m,

回AB+BC+CD=80,

團AB=CD=x,BC=y,

團1+y+x=80,

團y=80-2x

團墻長42m,

團0<80-2%442,

解得，19<x<40,

團y=80-2M19W40）；

又矩形面積s=AB

=yx

=（80-2x）x

=-2x2+80%；

(2)解：令s=750,則一2%2+80%=750,

整理得：X2-40X+375=0,

此時，A=62—4ac=(T0)2—4x375=1600—1500=100>0,

所以，一元二次方程/一40x+375=0有兩個不相等的實數(shù)根,

回圍成的矩形花圃面積能為750m2；

--(-40)士阿

2，

團％=25,x2=15,

回19W40,

回x=25；

(3)解：5=-2x2+80x=-2(x-20)2+800

E-2<0,

也有最大值，

又19Vx<40,

回當x=20時，$取得最大值，此時s=800,

即當x=20時，$的最大值為800

【變式2】(2024?四川遂寧?中考真題)二次函數(shù)丫=加+法+4"0)的圖象與x軸分別交于點

A(-I,o),5(3,0),與y軸交于點C(0,—3),P，。為拋物線上的兩點.

⑴求二次函數(shù)的表達式；

(2)當P,C兩點關于拋物線對稱軸對稱，△OPQ是以點尸為直角頂點的直角三角形時，求點。的坐標；

⑶設P的橫坐標為m，。的橫坐標為m+1,試探究：的面積S是否存在最小值，若存在，請求出

【分析】本題考查了二次函數(shù)的綜合題，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，勾股定理，已知兩點坐標表示兩點距

離，二次函數(shù)最值，熟練掌握知識點，正確添加輔助線是解題的關鍵.

(1)用待定系數(shù)法求解即可；

(2)可求P(2,-3),設。吁3),由/OP0=9O。，OP2+PQ2OQ2,貝|

[(0-2『+(0+3)1+(2-加7+(-32+2m+3丫=(0-m)2+(0-m2+2/n+3)2,解得叫=2,色=2(舍

去故。昌一f]；

(3)分當點尸、。在x軸下方，且點。在點P上方時，當點P、。在x軸下方，且點P在點。上方時，當

點P、。都在尤軸上方或者一個在x軸上方，一個在x軸下方，得到這個面積是關于根的二次函數(shù)，進而

求最值即可.

解：(1)解:把A(T0),B(3,0),C(0,-3)代入yX+L一得,

〃一b+c=0〃=1

9〃+38+c=0,解得<Z?=-2,

。=一3c=-3

團二次函數(shù)的表達式為產爐-2%-3；

(2)解：如圖：

由產/-2工-3得拋物線對稱軸為直線x=l,

回P，C兩點關于拋物線對軸對稱，C(0,-3)

0P(2,-3),

設。m2—2m—3),

ZOPQ=90°,

團O尸2+尸。2=。。2,

團[(0—2)2+(0+3)2]+(2-m)2+(-3-m2+2m+3

=(0-冽J+(0-機2+2m+3),

整理得,3m2—8m+4=0,

2

解得叫=],嗎=2(舍去)，

2

Bm=—,

3

(3)存在，理由:

當點尸、。在無軸下方，且點。在點P上方時,

設點P(m,m2-2m-3),則點Q(m+l,{m+1)2-2(m+1)-3),設直線PQ交無軸于點H,

設直線PQ表達式為：、=辰+6代中0),

代入P(m,m2-2m-3),Q(m+L(m+1)2-2(，〃+1)-3)

mk+b=m2-2m-3

(m+l)^+Z?=(m+l)2-2(m+1)-3

k=2m—1

解得:

b=-m2-m-3?

團直線PQ的表達式為：y=(2m-l)x-m2-m-3,

令)=°，得(2m-l)x-m2-m-3=0

m2—2m—3

貝!J%=--------------\-m,

1—2m

則。*笄獷

+m,

則S=SAOHP—SAOHQ=—xOHx(y。—yP)

=—x(――--+m)[(m+1)2—2(m+1)—3—m2+2m+3]

2l-2m

1/2OX1zL11H

=—(m+m+3)=—(m——)2d——>一,

22288

即s存在最小值為二；

O

當點尸、。在X軸下方，且點尸在點。上方時，

同上可求直線P。表達式為：y=(2m-l)x-m2-m-3,

令)=°，得(2m-l)x-m2-m-3=0

m2—2m—3

則％=----------------\-m

1—2m

—m+2m+3

則OH=-m,

1—2m

=xX

則s=SAOHQ-SAOHP_OH(%-)

i+3

=—x(-------------------m)[m2-2m-3-(m+l)2+2(m+1)+3]

2l-2m

1c、1,1、211H

=—(m2+m+3)=—(m——)H——>一

22288

即S存在最小值為2；

8

當點。、0都在工軸上方或者一個在工軸上方,一個在入軸下方同理可求5=[(療+相+3)=20-!)2+!之工，

222oo

即S存在最小值為二，

O

綜上所述，△。尸。的面積S是否存在最小值，且為三.

O

【題型2】二次函數(shù)與定值問題

【例2】(2023?福建?中考真題)已知拋物線y=#+6x+3交x軸于A(l,0),3(3,0)兩點，Af為拋物線的

頂點，CD為拋物線上不與A8重合的相異兩點，記中點為E,直線的交點為P.

⑴求拋物線的函數(shù)表達式；

(2)若C(4,3),。[見一;J,且加<2,求證：C,￡>,E三點共線；

⑶小明研究發(fā)現(xiàn)：無論C,。在拋物線上如何運動，只要C,￡>,E三點共線，△AMRAMERAABP中必存

在面積為定值的三角形.請直接寫出其中面積為定值的三角形及其面積，不必說明理由.

【答案】⑴y=/-4x+3⑵見解析⑶，AB尸的面積為定值，其面積為2

【分析】(1)將A。,。),8(3,0)代入yA++6x+3,即可解得；

(2)4(1,0),3(3,0),AB中點為E,且C(4,3),可求出過C,E兩點所在直線的一次函數(shù)表達式丫=：》-3,

O為拋物線上的一點，所以。1/一￡|，此點在〉=:了-3,可證得CD,E三點共線；

(3)設C,。'與D,C'分別關于直線加欣對稱，則P,P關于直線員0對稱，且與的面積不相

等，所以，AMP的面積不為定值；如圖，當CD分別運動到點G，2的位置，且保持G，2,5三點共線.此

時AD,與BG的交點片到直線EM的距離小于P到直線EM的距離，所以的面積小于尸的面積,

故AWEP的面積不為定值；故AAB尸的面積為定值，由(2)求出尸此時二AB尸的面積為2.

解：(1)解：因為拋物線y=4+云+3經過點4(1,0),3(3,0),

[Q+Z?+3=0,

所以V

[9a+3b+3=0.

[a=l,

解得，,

[b=-4.

所以拋物線的函數(shù)表達式為y=x2-4x+3；

(2)解：

U

設直線CE對應的函數(shù)表達式為〉=丘+”（人工0）,

因為E為48中點，所以E（2,0）.

/、14左+〃=3k=—

又因為C4,3）,所以C，解得2,

\2K+n=0c

I[n=-3

3

所以直線紙對應的函數(shù)表達式為y=3.

因為點。卜1,-￡|在拋物線上，所以加2_4m+3=-|.

35

解得，加=一或加二一.

22

3

又因為相＜2,所以m二彳.

2

所以嗚-j.

「、

因為3:x，33=-；3,即。33滿足直線CE對應的函數(shù)表達式，所以點O在直線CE上，即CQE三點

共線；

（3）解：.ABP的面積為定值，其面積為2.

理由如下：（考生不必寫出下列理由）

如圖1,當C,。分別運動到點C',。的位置時，與2。分別關于直線對稱，此時仍有C',D',E三

點共線.設AD'與8C'的交點為R,則P,尸'關于直線對稱，即尸尸'〃x軸.此時，PP與A"不平行，

且AM不平分線段PP',故P,P，到直線AM的距離不相等，即在此情形下4AMp與_AMP的面積不相等，

所以..4WP的面積不為定值.

R2

mi

如圖2,當c,。分別運動到點G，，的位置，且保持CX,DX,E三點共線.此時AD,與5G的交點A到直線EM

的距離小于P到直線石河的距離，所以環(huán)的面積小于的面積，故NWEP的面積不為定值.

又因為中存在面積為定值的三角形，故尸的面積為定值.

33

在（2）的條件下，直線BC對應的函數(shù)表達式為y=3x-9,直線A￡）對應的函數(shù)表達式為+

求得P］，-21此時.AB尸的面積為2.

【點撥】本題考查一次函數(shù)和二次函數(shù)的圖象與性質、二元一次方程組、一元二次方程、三角形面積等基

礎知識，如何利用數(shù)形結合求得點的坐標、函數(shù)的表達式等是解題的關鍵.

【變式1】（2023?江蘇揚州?中考真題）在平面直角坐標系中，已知點A在>軸正半軸上.

⑴如果四個點（0,0）、（0,2）、（1,1）、（-1/）中恰有三個點在二次函數(shù)〉=62（°為常數(shù)，且awO）的圖象上.

①a~;

②如圖1,已知菱形ABCD的頂點2、C、。在該二次函數(shù)的圖象上，且ADJ_y軸，求菱形的邊長；

③如圖2,已知正方形ABC。的頂點8、。在該二次函數(shù)的圖象上，點8、。在y軸的同側，且點8在點

。的左側，設點8、。的橫坐標分別為相、n,試探究〃-根是否為定值.如果是，求出這個值；如果不是，

請說明理由.

⑵已知正方形A3。的頂點2、。在二次函數(shù)>=以2（°為常數(shù)，且a>0）的圖象上，點2在點。的左

側，設點3、。的橫坐標分別為相、n,直接寫出相、“滿足的等量關系式.

【答案】⑴①1;②手；③是，值為1（2）a（w）=1或m+〃=0

【分析】（I）①當x=0,y=o,可知（0,2）不在二次函數(shù)圖象上，將（1,1）代入>=加，求解。值即可;

②由①知，二次函數(shù)解析式為y=V,設菱形的邊長為P,則=由菱形的性質得，BC=0,

BC//AD,則BC'y軸，C[,。，根據。。2=心，即=p2,計算求出滿足要

求的解即可；③如圖2,連接AC、BD交點、為E,過B作MN_Ly軸于/,過C作CNJ_MN于N,由正

方形的性質可知，E為AC、的中點，AB=BC,ZABC=90°,貝=證明

△AMB四△BNC（AAS）,則AM=3N,BM=CN,由題意知，8（九：叫，D（n,n2）,m>0,n>0,則

^m+nm+n加（0,機？），設A（0,q）,貝I]C（zw+〃,《?+"-q）,N[m+n,m2^,AM=q-m1,BN=n,

BM=m,CN=n2-q,則q-〃/=w,m=n2-q,BPn2-m-m2-n,計算求解即可1;

（2）由題意知，分①當RD在v軸右側時，②當區(qū)。在>軸左側時，③當8在y軸左側，。在>軸右側

時，三種情況求解；①當AO在y軸右側時，y=ax2,同理（1）③，AM=BN,BM=CN,由題意知，

（（22\、

B\m,anrj,D\n,arrj,m>0,n>0,則E——------,M{Q,anrJ,設A（0,g）,則

I）

C^m+n,a[nr+rr^-q^,N（in+n,ant^,AM=q-am2,BN=n,BM=m,CN=a",貝ij^一。機？=〃，

m=an1-q,即加一“一加2=〃，解得②當RZ）在V軸左側時，求解過程同（2）①；③

當B在y軸左側，。在y軸右側時，且8。不垂直于y軸時，同理可求。（”一帆）=1,當B在y軸左側，。在

y軸右側時，且3。垂直于、軸時，由正方形、二次函數(shù)的性質可得，m+n=0.

解：（1）①解：當尤=0,y=o,

團（0,2）不在二次函數(shù)圖象上，

將（1,1）代入>=加，解得4=1,

故答案為：1;

②解：由①知，二次函數(shù)解析式為y=x。

設菱形的邊長為P,則/⑦=0，D（p,p2）,

由菱形的性質得，BC=p,BC//AD,

團3C_Ly軸，

0C￡>2=AD2,

+卜wi，

解得0=0（舍去），p=2H（舍去），p=空,

33

回菱形的邊長為空；

3

③解：如圖2,連接AC、BD交點、為E,過5作軸于“，過C作CN1MN于N,

圖2

由正方形的性質可知，E為AC、5。的中點，AB=BC,ZABC=90°,

團ZABM+ZCBN=90°=ZCBN+ZBCN,

^\ZABM=ZBCN,

田NABM=NBCN,ZAMB=ZBNC=90°,AB=BC,

回△4WB0ABNC(AAS),

^1AM=BN,BM=CN,

由題意知，,￡>(〃,/),m>Q,〃>0,則石].；—,',

設A(0,q),貝ljC[m+n,m1+n2-q),N1m+n,n^),

團AM=q—m2,BN=n,BM=m,CN=ri1—q,

國q一根2=〃,m=n2-q,

^n2-m-m=n

團點3、。在y軸的同側，且點8在點。的左側,

團機+〃。0,

回〃-根是定值，值為1；

（2）解：由題意知，分①當區(qū)。在v軸右側時，②當昆。在y軸左側時，③當B在y軸左側，。在y軸

右側時，三種情況求解；

①當AD在y軸右側時，

By=ax2,

同理（1）③，AM=BN,BM=CN,

（（22

由題意知，B\m,arrrj,￡>（〃,即），m>0,n>0,則E——----,M（0,麗），

設A（O,q）,貝ljC（M+M,Q（加2+〃2）一鄉(xiāng)），N（m+n,am2^,

團AM=q—am2,BN=n,BM=m,CN=an2—q,

團q—am2=n,m=an2—q,

團an2—m—am2=n，

化簡得（加-。加-1）（m+幾）=。，

團wO

（九一m）=l；

②當RD在y軸左側時，

同理可求。（〃-祖）=1；

③當8在y軸左側，。在y軸右側時，且5。不垂直于y軸時，

同理可求。（“一01）=1,

當B在y軸左側，。在y軸右側時，且垂直于y軸時，

由正方形、二次函數(shù)的性質可得，m+n=0；

綜上所述,一加）=1或加+”=0.

【點撥】本題考查了二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的圖象與性質，二次函數(shù)與幾何綜合，正方形、菱形的性

質，全等三角形的判定與性質.解題的關鍵在于對知識的熟練掌握與靈活運用.

【變式2］（2024?江蘇宿遷?中考真題）如圖①，已知拋物線％=Y+打+c與x軸交于兩點。（0,0）、A（2,0）,

將拋物線為向右平移兩個單位長度，得到拋物線內，點P是拋物線M在第四象限內一點，連接總并延長，

交拋物線內于點。.

（1）求拋物線為的表達式;

（2）設點P的橫坐標為巧,，點。的橫坐標為%,求電-%的值；

⑶如圖②，若拋物線為=-—8x+f與拋物線必=x2+6x+c交于點C,過點C作直線跖V,分別交拋物線

%和力于點加、NQM、N均不與點C重合），設點M的橫坐標為相，點N的橫坐標為小試判斷|彳力-九|

是否為定值.若是，直接寫出這個定值；若不是，請說明理由.

圖①圖②

【答案】⑴%=爐-6尤+8；（2）4：（3）|旭-"|是定值,\m-n\=6.

【分析】此題是二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、函數(shù)圖象的交點問題、一元二次方程

根與系數(shù)關系等知識，準確利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式是解題的關鍵.

（1）利用待定系數(shù)法求出%=/-2X=（XT）2-1,再根據平移規(guī)律即可求出拋物線上的表達式；

（2）設點P的坐標為（租,"-2m），待定系數(shù)法求出直線AP的解析式為、=如-2根，聯(lián)立、=如-2根與

%=X?-6x+8得至!］尤2—6x+8=解得x0=4+,〃，即可求出答案；

（3）由（1）可得，%=/-2x,與%=/-8x+r聯(lián)立得至=,求出點C的坐標為（人七/一：］,

6<6363J

又由點M的坐標為（加，蘇-2機），利用待定系數(shù)法求出直線Q0的解析式為y=1m+與

2

y3=x-Sx+t聯(lián)立得到爐一+工/+6卜+（1+工機”=0,貝|冗+/=加+」％+6,得至!J—t+n=m+—t+6,

<6）\6）666

即可得到=6,得到定值.

解：（1）團拋物線必=—+云+c與1軸交于兩點。（0,0）、A（2,0）,

c=0

4+2/?+c=0

回X=d—2x=(x-1)-],

回拋物線％向右平移兩個單位長度，得到拋物線內，

回%=(%-1-2)?-1=(%-3)2-1=Y-6工+8

即%=-6%+8

(2)解：設點尸的坐標為(小,蘇-2機)，設直線AP的解析式為y=Ax+f,把點A和點P的坐標代入得到,

f2k+t^0

則72c

ykm+t=m—2m

[t=-2m

解得7，

[K=m

團直線AP的解析式為丁=mx-2m,

聯(lián)立y=mx_2m與y2=%2_6元+8得至(J

x-6x+8=mx—2m，

解得/=4+機，

貝Uq-%p=4+機一機=4

222

(3)解：由(1)可得，=x-2xf與必=Y—8%+方聯(lián)立得到，X-2x=x—8x+t

解得x八

此時y=j一2』」產」

I6363

團點c的坐標為m?-3

VoJo3

回點M的橫坐標為m,且在％=/-2尤上,

^\y=m2-2m

即點M的坐標為(人〉-2醇

設直線CM的解析式為y=b+s,把點C和點M的坐標代入得到,

m2-2m=mr+s

解得:，

s=——tm

[6

回直線CM的解析式為y=\m+—t-2\x--tm,

與％=/—8x+%聯(lián)立得到,

mH—t—2x—ttn=—8x+1,

I.6J6

整理得到，-+：1+6卜+11+：機,=0

貝|J%c+/=m+—t+6,

6

即—Z+H—772+—Z+6,

即n-m=6,

即|根-〃|=6為定值.

【題型3】二次函數(shù)與最值問題

【例3】(2024?江蘇南通?中考真題)已知函數(shù)y=(尤-。)2+(尤-bpQ,6為常數(shù)).設自變量x取與時，

y取得最小值.

(1)若。=—1,6=3,求X。的值；

21

(2)在平面直角坐標系無Oy中，點P(。，3在雙曲線>=-一上，且方=彳.求點P到y(tǒng)軸的距離；

(3)當02一2。_26+3=0,且1^/<3時，分析并確定整數(shù)。的個數(shù).

【答案】(1)毛=1(2)2或1(3)整數(shù)a有4個

【分析】本題主要考查二次函數(shù)的性質和點到坐標軸的距離，以及解不等式方程.

(1)根據題意代入化簡得y=2(尤-1)2+8,結合二次函數(shù)得性質得取最小值時x的取值即可；

22

⑵結合題意得到6==，代入二次函數(shù)中化簡得y=2x+(--2a]x+a+(^\,利用二次函數(shù)的性質求

得a的值，進一步求得點尸，即可知點P到y(tǒng)軸的距離;

(3)結合已知得等式化簡得y=2x2-(/+3)x+/+〃，結合與的范圍求得。的可能值，即可得到整數(shù)。的

個數(shù).

解：(1)有題意知y=(x+l)~+(尤一3)2=尤？+2x+l+尤2—6尤+9=2x?—4尤+10

=2(爐-2尤+1)+8=2(彳-1)2+8,

當4=1時，y取得最小值8;

2

(2)?.?點尸(。⑸在雙曲線y=——上,

x

:.b=—,

a

2

???y=(%-々)2+(x-Z?)2=(%-a)2+"

Ia

—爐—fH---X+

a

??V—_1

。一2'

.??([2〃]],化解得片_。_2=0,解得4=2或2=-1,

-2x2-2

則點尸(2,—1)或尸(—1,2),

???點P到y(tǒng)軸的距離為2或1；

(3)y=+(%_b)2

—爐—2cix+a2+/—2bx+/

=2M—(2a+2b)x+/+Z?2

回儲一2〃—2b+3=0，

回/+3=2。+2。，

回y=2%2—(a2+3)%+Q2+b2,

[?]l<x0<3,

fr+3

Bl<_~()<3,化簡得l〈/<9,

2x2

回。=—2,—1,1,2,

則整數(shù)a有4個.

【變式1】(2023?湖南張家界?中考真題)如圖，在平面直角坐標系中，已知二次函數(shù)，=62+法+。的

圖象與無軸交于點2(—2,0)和點3(6,0)兩點，與y軸交于點C(0,6).點。為線段上的一動點.

⑴求二次函數(shù)的表達式；

⑵如圖1,求△AOD周長的最小值；

⑶如圖2,過動點。作D尸〃AC交拋物線第一象限部分于點P,連接尸APB,記與△尸應)的面積

和為S,當S取得最大值時，求點尸的坐標，并求出此時S的最大值.

1(15、77

【答案】(l)y=_]x2+2尤+6(2)12(3)[3,]J,S最大值=萬

【分析】(1)根據題意設拋物線的表達式為y=a(x+2)(x-6),將(0,6)代入求解即可；

(2)作點。關于直線BC的對稱點E,連接EC、EB,根據點坐特點及正方形的判定得出四邊形OBEC為

正方形，￡(6,6),連接4E,交BC于點。，由對稱性，)國=|。0|,此時川有最小值為AE的長，

再由勾股定理求解即可；

(3)由待定系數(shù)法確定直線8C的表達式為＞=-x+6,直線AC的表達式為y=3x+6,設

尸(根,_；蘇+2m+6),然后結合圖形及面積之間的關系求解即可.

解：(1)由題意可知，設拋物線的表達式為y=a(x+2)(x-6),

將(0,6)代入上式得：6=a(O+2)(O—6),

所以拋物線的表達式為y=~x2+2x+6；

(2)作點。關于直線BC的對稱點E,連接EC、EB,

回3(6,0),C(0,6),ZBOC=90°,

SOB=OC=6,

回0、E關于直線BC對稱，

回四邊形03EC為正方形，

0E(6,6),

連接AE,交8c于點D,由對稱性|。耳=陷。|,

此時口。+|￡刈有最小值為AE的長，

AE=\lAB2+BE2=V82+62=10

0/\AOD的周長為DA+DO+AO,

AO=2,/M+OO的最小值為10,

回△A8的周長的最小值為10+2=12；

(3)由已知點4(—2,0),B(6,0),C(0,6),

設直線BC的表達式為y^kx+n,

6k-4-TI=C=

{〃=0一，解得

回直線BC的表達式為V=-x+6,

同理可得：直線AC的表達式為y=3x+6,

SPD//AC,

回設直線尸。表達式為y=3x+h,

由（1）設「1〃,一，/+2m+6）,代入直線20的表達式

得：h=——m2—m+6,

2

13直線尸￡＞的表達式為：y=3x-^m2-m+6,

121

y--x+6x=—m+—m

84

由，a12“，得'

y=5x——m—m+o11人

2y=——m2——m+o

84

%+。,_力」加+6,

8484J

EP,D都在第一象限,

回S=S2XPAO+S/\PBD=^APAB_S4DAB

T明m2+2m+6nV--m+6

4

[x8-329

—m+—m

84

-=+9〃-鄉(xiāng)m2—6m)

22

a?7

=--(m-3)2+y,

回當m=3時，此時P點為3,葭

27

【點撥】題目主要考查二次函數(shù)的綜合應用，包括待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，周長最短問題及面積問題,

理解題意，熟練掌握運用二次函數(shù)的綜合性質是解題關鍵.

【變式2】（2023?青海西寧?中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，直線/與X軸交于點4（6,0）,與y

軸交于點3(。,-6),拋物線經過點A,B,且對稱軸是直線尤=1.

(1)求直線/的解析式；

⑵求拋物線的解析式；

⑶點P是直線I下方拋物線上的一動點,過點P作PC，尤軸,垂足為C,交直線/于點過點尸作PM_L/,

垂足為AL求夫河的最大值及此時尸點的坐標.

⑶PM的最大值是半，此時的尸點坐標是(3,-弓]

【分析】(1)利用待定系數(shù)法求解即可;

(2)根據題意可設拋物線的解析式為y=a(x-l)2+3再利用待定系數(shù)法求解即可；

(3)由題意易證△夫加為等腰直角三角形，即得出PM=無尸￡>.設點尸的坐標為則

2I42J

D(fJ-6),從而可求出P￡>="6-，/一]_6，-；(53)2+；.再結合二次函數(shù)的性質可知：當7=3時，

9

PO有最大值是？，此時尸河最大，進而即可求解.

4

解：(1)設直線/的解析式為y=/nx+〃(/〃wO),

6根+〃=0

把A,2兩點的坐標代入解析式，得

n=-6

m=l

解得:

〃二一6'

回直線/的解析式為y=x-6；

(2)設拋物線的解析式為y=a(x-/7)2+Ma20),

回拋物線的對稱軸為直線X=1,

團y=a(x-l)2+k.

25a+左=0

把A,5兩點坐標代入解析式，得

a+k=—6

1

a=-

4

解得：

k=——

[4

回拋物線的解析式為y=*―葉帶十_*6；

(3)解:團4(6,0)8(0,-6),

回3=OB=6.

團在NAOB中ZAOB=90°,

^\ZOAB=ZOBA=450.

回PC_Lx軸，PM±Z,

^\ZPCA=ZPMD=90°.

在RtADC中，NPC4=90。，ZOAB=45°,

團-4)CM5。，

回ZPDM=ZADC=45°.

在RtPMD中，/PMD=90。,/PDM=45。,

團sm?4…50=-P--M--,

PD

^PM=—PD.

2

設點P的坐標為--^-6j,則D(rj-6),

2乙131/Q、29

^\PD=t-6-1t——11-6-t2z+-t=——(Z-3)2+-.

424244

0--<0,

4

9

睢"3時'9有最大值是“此時PM最大,

V2如二交x2二述,

回PMmax=

2248

ix3-6=-ai,

當￡=3時，-t2--t-6=-x32-

42424

回尸卜

回PAf的最大值是竽，此時的尸點坐標是（3,一日；

【點撥】本題為二次函數(shù)綜合題，考查利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，二次函數(shù)的圖象和性質等知識.掌

握利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式和利用數(shù)形結合的思想是解題關鍵.

【題型4】二次函數(shù)與存在性問題

【例4】（2024?山東泰安?中考真題）如圖，拋物線G：y="2+gx-4的圖象經過點與x軸交

于點A,點3.

⑴求拋物線的表達式；

（2）將拋物線向右平移1個單位，再向上平移3個單位得到拋物線Q,求拋物線C?的表達式，并判斷點。

是否在拋物線C?上;

⑶在x軸上方的拋物線C,上，是否存在點尸，使△P3D是等腰直角三角形.若存在，請求出點尸的坐標;

，點。在拋物線C2上⑶存在，點P的坐標為：（2,2）

或（T3）

【分析】本題主要考查了求二次函數(shù)的解析式、二次函數(shù)與幾何的綜合、二次函數(shù)圖像的平移等知識點,

靈活利用數(shù)形結合的思想把代數(shù)和幾何圖形結合起來成為解題的關鍵.

（1）將點。的坐標代入拋物線表達式>=依2+：》-4,求得a的值即可；

由題意得：2

(2)C2:y=|(x-l)+|(x-l)-4+3=|I,當x=l時,

3195319

y=^(x-T-=fl-Y-=-l,即可判斷點D是否在拋物線C2上；

-315J15315)15

(3)分44P為直角、尸為直角、NHPD為直角三種情況，分別運用全等三角形的判定與性質，進

而確定點E的坐標，進而確定點P的坐標.

解：(工)將點。的坐標代入拋物線表達式＞=必2+：》-4得：-1="+q一4,解得：a=|,

54

則拋物線的表達式為：y=jx2+|x-4.

2

(2)由題意得：C2:y=|(x-l)+|(x-l)-4+3=|^-|Y-^|,

當％=1時,

故點。在拋物線。2上.

(3)存在，理由如下:

①當N班尸為直角時，如圖工，過點。作。石_15。且。石=B￡,則VBD￡為等腰直角三角形,

NBDG+/EDH=90°,/EDH+ZDEH=90。,

:./BDG=/DEH,

/DGB=/EHD=9U。,

DGB^,EHD（AAS）f

@DH=BG=1,EH=GD=1+2=3,

團點石(2,2),

當尤=2時，y==-—=2,即點E在拋物線G上,

315)15315J15

團點P即為點E(2,2)；

②當/D3尸為直角時，如圖2,

同理可得：BGEmDHB(AAS),

[W”=3=8G,BH=1=GE,

國點磯-1,3),

當x=-i時，

0點E在拋物線G上，

回點P即為點現(xiàn)T3)；

③當N/7PD為直角時，如圖3,

同理可得：EHB^DGE(AAS),

0EH=x+2=GD=y+1且BH=y=GE=l-x,解得：x=0且y=1,

回點E(O.l),

1919

當尤=0時，y=-——w1,

31515

即點石不在拋物線G上；

綜上，點尸的坐標為：(2,2)或(-1,3).

【變式1】(2024?山東濟寧?中考真題)己知二次函數(shù)—加+桁+c的圖像經過(0,-3),(-Ac)兩點，其

中a,b,c為常數(shù)，且a/?>0.

(1)求a,c的值；

(2)若該二次函數(shù)的最小值是T,且它的圖像與x軸交于點A,8(點A在點B的左側)，與y軸交于點C.

①求該二次函數(shù)的解析式，并直接寫出點A,B的坐標；

②如圖，在y軸左側該二次函數(shù)的圖像上有一動點P,過點尸作無軸的垂線，垂足為。，與直線AC交于

S3

點E,連接尸C,CB,BE.是否存在點尸，使產^=信？若存在，求此時點P的橫坐標；若不存在，請