湖南省長(zhǎng)沙市望城區(qū)第二中學(xué)2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末聯(lián)考試題含解析

湖南省長(zhǎng)沙市望城區(qū)第二中學(xué)2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末聯(lián)考試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫(xiě)在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類(lèi)型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫(xiě)在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫(xiě)上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無(wú)效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．?dāng)€（cuán）尖是我國(guó)古代建筑中屋頂?shù)囊环N結(jié)構(gòu)樣式，多見(jiàn)于亭閣或園林式建筑．下圖是一頂圓形攢尖，其屋頂可近似看作一個(gè)圓錐，其軸截面（過(guò)圓錐軸的截面）是底邊長(zhǎng)為，頂角為的等腰三角形，則該屋頂?shù)拿娣e約為（）A. B.C. D.2．某班級(jí)從5名同學(xué)中挑出2名同學(xué)進(jìn)行大掃除，若小王和小張?jiān)谶@5名同學(xué)之中，則小王和小張都沒(méi)有被挑出的概率為（）A. B.C. D.3．某高中學(xué)校高二和高三年級(jí)共有學(xué)生人，為了解該校學(xué)生的視力情況，現(xiàn)采用分層抽樣的方法從三個(gè)年級(jí)中抽取一個(gè)容量為的樣本，其中高一年級(jí)抽取人，則高一年級(jí)學(xué)生人數(shù)為（）A. B.C. D.4．隨機(jī)抽取甲乙兩位同學(xué)連續(xù)9次成績(jī)（單位：分），得到如圖所示的成績(jī)莖葉圖，關(guān)于這9次成績(jī)，則下列說(shuō)法正確的是（）A.甲成績(jī)的中位數(shù)為33 B.乙成績(jī)的極差為40C.甲乙兩人成績(jī)的眾數(shù)相等 D.甲成績(jī)的平均數(shù)低于乙成績(jī)的平均數(shù)5．若正整數(shù)N除以正整數(shù)m后的余數(shù)為n，則記為，如.如圖所示的程序框圖的算法源于我國(guó)古代聞名中外的“中國(guó)剩余定理”.執(zhí)行該程序框圖，則輸出的i等于（）A.7 B.10C.13 D.166．已知，，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.即不充分也不必要條件7．下面三種說(shuō)法中，正確說(shuō)法的個(gè)數(shù)為（）①如果兩個(gè)平面有三個(gè)公共點(diǎn)，那么這兩個(gè)平面重合；②兩條直線(xiàn)可以確定一個(gè)平面；③若，，，則A.1 B.2C.3 D.08．某海關(guān)緝私艇在執(zhí)行巡邏任務(wù)時(shí)，發(fā)現(xiàn)其所在位置正西方向20nmile處有一走私船只，正以30nmile/h的速度向北偏東30°的方向逃竄，若緝私艇突然發(fā)生機(jī)械故障，20min后才以的速度開(kāi)始追趕，則在走私船只不改變航向和速度的情況下，緝私艇追上走私船只的最短時(shí)間為（）A.1h B.C. D.9．2021年是中國(guó)共產(chǎn)黨百年華誕，3月24日，中宣部發(fā)布中國(guó)共產(chǎn)黨成立100周年慶祝活動(dòng)標(biāo)識(shí)（圖1），標(biāo)識(shí)由黨徽、數(shù)字“100”“1921”“2021”和56根光芒線(xiàn)組成，生動(dòng)展現(xiàn)中國(guó)共產(chǎn)黨團(tuán)結(jié)帶領(lǐng)中國(guó)人民不忘初心、牢記使命、艱苦奮斗的百年光輝歷程.其中“100”的兩個(gè)“0”設(shè)計(jì)為兩個(gè)半徑為的相交大圓，分別內(nèi)含一個(gè)半徑為1的同心小圓，且同心小圓均與另一個(gè)大圓外切（圖2）.已知，在兩大圓的區(qū)域內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則該點(diǎn)取自?xún)纱髨A公共部分的概率為（）A. B.C. D.10．圓關(guān)于直線(xiàn)l：對(duì)稱(chēng)的圓的方程為（）A. B.C. D.11．直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系是（）A.相交 B.相切C.相離 D.不確定12．在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知，則的面積為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)______14．?dāng)?shù)列的前項(xiàng)和為，則該數(shù)列的通項(xiàng)公式___________15．已知定點(diǎn)，，P是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，則的的最小值為_(kāi)_____.16．我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問(wèn)題：“遠(yuǎn)望巍巍塔七層，紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增，共燈三百八十一，請(qǐng)問(wèn)尖頭幾盞燈？”意思是：一座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍，則塔的頂層燈數(shù)為_(kāi)____________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）在下列所給的三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，并完成解答（若選擇多個(gè)條件分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分）.①與直線(xiàn)平行；②與直線(xiàn)垂直；③直線(xiàn)l的一個(gè)方向向量為；已知直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)，且___________.（1）求直線(xiàn)l的一般方程；（2）若直線(xiàn)l與圓C：相交于M，N兩點(diǎn)，求弦長(zhǎng).18．（12分）已知橢圓C：短軸長(zhǎng)為2，且點(diǎn)在C上（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)、為橢圓的左、右焦點(diǎn)，過(guò)的直線(xiàn)l交橢圓C與A、B兩點(diǎn)，若的面積是，求直線(xiàn)l的方程19．（12分）已知點(diǎn)，，設(shè)動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足直線(xiàn)PA與PB的斜率之積為，記動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為曲線(xiàn)E（1）求曲線(xiàn)E的方程；（2）若動(dòng)直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且與曲線(xiàn)E交于C，D（不同于A，B）兩點(diǎn)，問(wèn)：直線(xiàn)AC與BD的斜率之比是否為定值？若為定值，求出該定值；若不為定值，請(qǐng)說(shuō)明理由20．（12分）已知拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)方程為（1）求C的方程；（2）直線(xiàn)與C交于A，B兩點(diǎn)，在C上是否存在點(diǎn)Q，使得直線(xiàn)QA，QB分別與y軸交于M，N兩點(diǎn)，且？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由21．（12分）在△中，已知、、分別是三內(nèi)角、、所對(duì)應(yīng)的邊長(zhǎng),且（Ⅰ）求角的大??；（Ⅱ）若，且△的面積為，求.22．（10分）有三個(gè)條件：①數(shù)列的任意相鄰兩項(xiàng)均不相等，，且數(shù)列為常數(shù)列，②，③，，中，從中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面橫線(xiàn)上，并回答問(wèn)題已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，______，求數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】由軸截面三角形，根據(jù)已知可得圓錐底面半徑和母線(xiàn)長(zhǎng)，然后可解.【詳解】軸截面如圖，其中，，所以，所以，所以圓錐的側(cè)面積.故選：B2、B【解析】記另3名同學(xué)分別為a，b，c，應(yīng)用列舉法求古典概型的概率即可.【詳解】記另3名同學(xué)分別為a，b，c，所以基本事件為，，（a，小王），（a，小張），，（b，小王），（b，小張），（c，小王），（c，小張），（小王，小張），共10種小王和小張都沒(méi)有被挑出包括的基本事件為，，，共3種，綜上，小王和小張都沒(méi)有挑出的概率為故選：B.3、B【解析】先得到從高二和高三年級(jí)抽取人，再利用分層抽樣進(jìn)行求解.【詳解】設(shè)高一年級(jí)學(xué)生人數(shù)為，因?yàn)閺娜齻€(gè)年級(jí)中抽取一個(gè)容量為的樣本，且高一年級(jí)抽取人，所以從高二和高三年級(jí)抽取人，則，解得，即高一年級(jí)學(xué)生人數(shù)為.故選：B4、D【解析】按照莖葉圖所給的數(shù)據(jù)計(jì)算即可.【詳解】由莖葉圖可知，甲的成績(jī)?yōu)椋?1，22，23，24，32，32，33，41，52，其中位數(shù)為32，眾數(shù)為32，平均數(shù)為；乙的成績(jī)?yōu)椋?0，22，31，32，35，42，42，50，52，極差為52-10=42，眾數(shù)為42，平均數(shù)為；由以上數(shù)據(jù)可知，A錯(cuò)誤，B錯(cuò)誤，C錯(cuò)誤，D正確；故選：D.5、C【解析】根據(jù)“中國(guó)剩余定理”，進(jìn)而依次執(zhí)行循環(huán)體，最后求得答案.【詳解】由題意，第一步：，余數(shù)不為1；第二步：，余數(shù)不為1；第三步：，余數(shù)為1，執(zhí)行第二個(gè)判斷框，余數(shù)不為2；第四步：，執(zhí)行第一個(gè)判斷框，余數(shù)為1，執(zhí)行第二個(gè)判斷框，余數(shù)為2.輸出的i值為13.故選：C.6、C【解析】根據(jù)充要條件的定義進(jìn)行判斷【詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)為增函數(shù)，由，所以，故“”是“”的充分條件，由，所以，故“”是“”的必要條件，故“”是“”的充要條件故選：C7、A【解析】對(duì)于①，有兩種情況，對(duì)于②考慮異面直線(xiàn)，對(duì)于③根據(jù)線(xiàn)面公理可判斷.【詳解】如果兩個(gè)平面有三個(gè)公共點(diǎn)，那么這兩個(gè)平面重合或者是相交，故①不正確；兩條異面直線(xiàn)不能確定一個(gè)平面，故②不正確；若，，，可知必在交線(xiàn)上，則，故③正確；綜上所述只有一個(gè)說(shuō)法是正確的.故選：A8、A【解析】設(shè)小時(shí)后，相遇地點(diǎn)為，在三角形中根據(jù)題目條件得出，再在三角形中，由勾股定理即可求出.【詳解】以緝私艇為原點(diǎn)，建立如下圖所示的直角坐標(biāo)系.圖中走私船所在位置為，設(shè)緝私艇追上走私船的最短時(shí)間為，相遇地點(diǎn)為.則，走私船以的速度向北偏東30°的方向逃竄，60°.因?yàn)?0min后緝私艇才以的速度開(kāi)始追趕走私船，所以20min走私船行走了，到達(dá).在三角形中，由余弦定理知：，則，所以.在三角形中，，，有：，化簡(jiǎn)得：，則.緝私艇追上走私船只的最短時(shí)間為1h.故選：A.點(diǎn)睛】9、B【解析】求出兩圓相交公共部分兩個(gè)弓形面積，結(jié)合兩圓面積可得概率【詳解】如圖，是兩圓心，是兩圓交點(diǎn)坐標(biāo)，四邊形邊長(zhǎng)均為，又，所以，所以，四邊形是正方形，，弓形面積為，兩個(gè)弓形面積為，兩圓涉及部分面積為所以所求概率為故選：B10、A【解析】首先求出圓的圓心坐標(biāo)與半徑，再設(shè)圓心關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，即可得到方程組，求出、，即可得到圓心坐標(biāo)，從而求出對(duì)稱(chēng)圓的方程；【詳解】解：圓的圓心為，半徑，設(shè)圓心關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，解得，即圓關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)的圓的圓心為，半徑，所以對(duì)稱(chēng)圓的方程為；故選：A11、A【解析】首先求出直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)，再判斷點(diǎn)在圓內(nèi)，即可判斷；【詳解】解：直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn)，又，即點(diǎn)在圓內(nèi)部，所以直線(xiàn)與圓相交；故選：A12、A【解析】由余弦定理計(jì)算求得角,根據(jù)三角形面積公式計(jì)算即可得出結(jié)果.【詳解】由余弦定理得，,∴，∴，故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算法則：分子、分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù)，化簡(jiǎn)求解即可.【詳解】故答案為：.14、【解析】根據(jù)與關(guān)系求解即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，檢驗(yàn)：，所以.故答案為：15、##【解析】根據(jù)橢圓的定義可知，化簡(jiǎn)并結(jié)合基本不等式可求的的最小值.【詳解】由題可知：點(diǎn)，是橢圓的焦點(diǎn)，所以，所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，即時(shí)等號(hào)成立.所以的最小值為，故答案為：.16、3【解析】分析：設(shè)塔的頂層共有a1盞燈，則數(shù)列{an}公比為2的等比數(shù)列，利用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式能求出結(jié)果詳解:設(shè)塔的頂層共有a1盞燈，則數(shù)列{an}公比為2的等比數(shù)列，∴S7==381，解得a1=3．故答案為3.點(diǎn)睛：本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）若選擇①②，則直線(xiàn)方程為：；若選擇③，則直線(xiàn)方程為；（2）若選擇①②，則；若選擇③，則.【解析】（1）根據(jù)所選擇的條件，結(jié)合直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，即可寫(xiě)出直線(xiàn)的方程；（2）利用（1）中所求直線(xiàn)方程，以及弦長(zhǎng)公式，即可求得結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】若選①與直線(xiàn)平行，則直線(xiàn)的斜率；又其過(guò)點(diǎn)，故直線(xiàn)的方程為，則其一般式為；若選②與直線(xiàn)垂直，則直線(xiàn)的斜率滿(mǎn)足，解得；又其過(guò)點(diǎn)，故直線(xiàn)的方程為，則其一般式為；若選③直線(xiàn)l的一個(gè)方向向量為，則直線(xiàn)的斜率；又其過(guò)點(diǎn)，故直線(xiàn)的方程為，則其一般式為；綜上所述：若選擇①②，則直線(xiàn)方程為：；若選擇③，則直線(xiàn)方程為.【小問(wèn)2詳解】對(duì)圓C：，其圓心為，半徑，根據(jù)（1）中所求，若選擇①②，則直線(xiàn)方程為，則圓心到直線(xiàn)的距離，則直線(xiàn)截圓所得弦長(zhǎng)；若選擇③，則直線(xiàn)方程為，則圓心到直線(xiàn)的距離，則直線(xiàn)截圓所得弦長(zhǎng).綜上所述，若選擇①②，則；若選擇③，則.18、（1）；（2）或.【解析】(1)根據(jù)短軸長(zhǎng)求出b，根據(jù)M在C上求出a；(2)根據(jù)題意設(shè)直線(xiàn)l為，與橢圓方程聯(lián)立得根與系數(shù)關(guān)系，根據(jù)＝即可求出m的值.【小問(wèn)1詳解】∵短軸長(zhǎng)為2，∴，∴，又∵點(diǎn)在C上，∴，∴，∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為；【小問(wèn)2詳解】由(1)知，∵當(dāng)直線(xiàn)l斜率為0時(shí)，不符合題意，∴設(shè)直線(xiàn)l的方程為：，聯(lián)立，消x得：，∵，∴設(shè)，，則，∵，∴，∴，即，解得，∴直線(xiàn)l的方程為：或.19、（1）；（2）直線(xiàn)AC和BD的斜率之比為定值【解析】（1）設(shè)，依據(jù)兩點(diǎn)的斜率公式可求得曲線(xiàn)E的方程（2）設(shè)直線(xiàn)l：，，，聯(lián)立方程得，得出根與系數(shù)的關(guān)系，表示直線(xiàn)AC的斜率，直線(xiàn)BD的斜率，并代入計(jì)算，可得其定值.【詳解】解：（1）設(shè)，依題意可得，所以，所以曲線(xiàn)E的方程為（2）依題意，可設(shè)直線(xiàn)l：，，，由，可得，則，，因?yàn)橹本€(xiàn)AC的斜率，直線(xiàn)BD的斜率，因?yàn)?，所以，所以直線(xiàn)AC和BD的斜率之比為定值20、（1）（2）見(jiàn)解析【解析】（1）根據(jù)準(zhǔn)線(xiàn)方程得出拋物線(xiàn)方程；（2）聯(lián)立直線(xiàn)和拋物線(xiàn)方程，由韋達(dá)定理結(jié)合求解即可.【小問(wèn)1詳解】【小問(wèn)2詳解】設(shè)，聯(lián)立，得由，得，假設(shè)C上存在點(diǎn)Q，使得直，則又即存在點(diǎn)滿(mǎn)足條件.21、（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）利用余弦定理和得到關(guān)于角A的關(guān)系式，求解A（II）再結(jié)合正弦面積公式得到三角形的邊長(zhǎng)的求解【詳解】解：（Ⅰ）在△ABC中，（Ⅱ）由，得22、；【解析】選①，由數(shù)列為常數(shù)列可得，由此可求，根據(jù)任意相鄰兩項(xiàng)均不相等可得，由此證明數(shù)列為等比數(shù)列，并求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，利用分組求和法求數(shù)列的前n項(xiàng)和為，選②由取可求，再取與原式