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湖南省長郡中學(xué)2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末達(dá)標(biāo)檢測試題考生須知:1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分,全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂;非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2.請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.中國古代數(shù)學(xué)名著九章算術(shù)中有這樣一個(gè)問題:今有牛、馬、羊食人苗,苗主責(zé)之栗五斗羊主曰:“我羊食半馬”馬主曰:“我馬食半牛”今欲哀償之,問各出幾何?此問題的譯文是:今有牛、馬、羊吃了別人的禾苗,禾苗的主人要求賠償5斗栗羊主人說:“我羊所吃的禾苗只有馬的一半”馬主人說:“我馬所吃的禾苗只有牛的一半”打算按此比率償還,他們各應(yīng)償還多少?已知牛、馬、羊的主人各應(yīng)償還栗a升,b升,c升,1斗為10升,則下列判斷正確的是A.a,b,c依次成公比為2的等比數(shù)列,且B.a,b,c依次成公比為2的等比數(shù)列,且C.a,b,c依次成公比為的等比數(shù)列,且D.a,b,c依次成公比為的等比數(shù)列,且2.若橢圓的弦恰好被點(diǎn)平分,則所在的直線方程為()A. B.C. D.3.已知直線:恒過點(diǎn),過點(diǎn)作直線與圓:相交于A,B兩點(diǎn),則的最小值為()A. B.2C.4 D.4.命題:“,”的否定是()A., B.,C., D.,5.已知空間向量,,,若,,共面,則m+2t=()A.-1 B.0C.1 D.-66.已知等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù),公比,且滿足,則()A.8 B.4C.2 D.17.已知平面的一個(gè)法向量為=(2,-2,4),=(-1,1,-2),則AB所在直線l與平面的位置關(guān)系為()A.l⊥ B.C.l與相交但不垂直 D.l∥8.有3個(gè)興趣小組,甲、乙兩位同學(xué)各自參加其中一個(gè)小組,每位同學(xué)參加各個(gè)小組可能性相同,則這兩位同學(xué)參加同一個(gè)興趣小組的概率為A. B.C. D.9.已知橢圓,則下列結(jié)論正確的是()A.長軸長為2 B.焦距為C.短軸長為 D.離心率為10.若函數(shù)在上為增函數(shù),則a的取值范圍為()A. B.C. D.11.?dāng)?shù)列是等比數(shù)列,是其前n項(xiàng)之積,若,則的值是()A.1024 B.256C.2 D.51212.點(diǎn)到直線的距離是()A. B.C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.底面半徑為1,母線長為2的圓錐的體積為______14.如圖,四棱錐的底面是正方形,底面,為的中點(diǎn),若,則點(diǎn)到平面的距離為___________.15.若函數(shù)在處取得極小值,則a=__________16.已知函數(shù),則曲線在點(diǎn)處的切線方程為___________三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知是拋物線上的焦點(diǎn),是拋物線上的一個(gè)動點(diǎn),若動點(diǎn)滿足,則的軌跡方程.18.(12分)在中,,,請?jiān)購臈l件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知,然后解答下列問題.(1)求角的大??;(2)求的面積.條件①:;條件②:.19.(12分)已知等比數(shù)列滿足,(1)求數(shù)列通項(xiàng)公式;(2)記,求數(shù)列的前n項(xiàng)和20.(12分)從某居民區(qū)隨機(jī)抽取10個(gè)家庭,獲得第i個(gè)家庭的月收入xi(單位:千元)與月儲蓄yi(單位:千元)的數(shù)據(jù)資料,算得.(1)求家庭的月儲蓄y對月收入x的線性回歸方程;(2)判斷變量x與y之間是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān);(3)若該居民區(qū)某家庭月收入為7千元,預(yù)測該家庭的月儲蓄.附:線性回歸方程中,,,其中,為樣本平均值.21.(12分)已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為,且.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)若,設(shè),求數(shù)列的前n項(xiàng)和.22.(10分)如圖,已知拋物線的焦點(diǎn)為,點(diǎn)是軸上一定點(diǎn),過的直線交與兩點(diǎn).(1)若過的直線交拋物線于,證明縱坐標(biāo)之積為定值;(2)若直線分別交拋物線于另一點(diǎn),連接交軸于點(diǎn).證明:成等比數(shù)列.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】由條件知,,依次成公比為的等比數(shù)列,三者之和為50升,根據(jù)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和,即故答案為D.2、D【解析】判斷點(diǎn)M與橢圓的位置關(guān)系,再借助點(diǎn)差法求出直線AB的斜率即可計(jì)算作答.【詳解】顯然點(diǎn)橢圓內(nèi),設(shè)點(diǎn),依題意,,兩式相減得:,而弦恰好被點(diǎn)平分,即,則直線AB的斜率,直線AB:,即,所以所在的直線方程為.故選:D3、A【解析】根據(jù)將最小值問題轉(zhuǎn)化為d取得最大值問題,然后結(jié)合圖形可解.【詳解】將,變形為,故直線恒過點(diǎn),圓心,半徑,已知點(diǎn)P在圓內(nèi),過點(diǎn)作直線與圓相交于A,兩點(diǎn),記圓心到直線的距離為d,則,所以當(dāng)d取得最大值時(shí),有最小值,結(jié)合圖形易知,當(dāng)直線與線段垂直的時(shí)候,d取得最大值,即取得最小值,此時(shí),所以.故選:A.4、D【解析】利用全稱量詞命題的否定可得出結(jié)論.【詳解】由全稱量詞命題的否定可知,命題“,”的否定是“,”.故選:D.5、D【解析】根據(jù)向量共面列方程,化簡求得.【詳解】,所以不共線,由于,,共面,所以存在,使,即,,,,,即.故選:D6、A【解析】根據(jù)是等比數(shù)列,則通項(xiàng)為,然后根據(jù)條件可解出,進(jìn)而求得【詳解】由為等比數(shù)列,不妨設(shè)首項(xiàng)為由,可得:又,則有:則故選:A7、A【解析】由向量與平面法向量的關(guān)系判斷直線與平面的位置關(guān)系【詳解】因?yàn)?,所以,所以故選:A8、A【解析】每個(gè)同學(xué)參加的情形都有3種,故兩個(gè)同學(xué)參加一組的情形有9種,而參加同一組的情形只有3種,所求的概率為p=選A9、D【解析】根據(jù)已知條件求得,由此確定正確答案.【詳解】依題意橢圓,所以,所以長軸長為,焦距為,短軸長為,ABC選項(xiàng)錯(cuò)誤.離心率為,D選項(xiàng)正確.故選:D10、C【解析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),要使函數(shù)在上為增函數(shù),要保證導(dǎo)數(shù)在該區(qū)間上恒正即可,由此得到不等式,解得答案.詳解】由題意可知,若在遞增,則在恒成立,即有,則,故選:C.11、D【解析】設(shè)數(shù)列的公比為q,由已知建立方程求得q,再利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可求得答案.【詳解】解:因?yàn)閿?shù)列是等比數(shù)列,是其前n項(xiàng)之積,,設(shè)數(shù)列的公比為q,所以,解得,所以,故選:D.12、B【解析】直接使用點(diǎn)到直線距離公式代入即可.【詳解】由點(diǎn)到直線距離公式得故選:B二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】先由勾股定理求圓錐的高,再結(jié)合圓錐的體積公式運(yùn)算即可得解.【詳解】解:設(shè)圓錐的高為,由勾股定理可得,由圓錐的體積可得,故答案為.【點(diǎn)睛】本題考查了圓錐的體積公式,重點(diǎn)考查了勾股定理,屬基礎(chǔ)題.14、【解析】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系,利用空間向量法可求得點(diǎn)到平面的距離.【詳解】因?yàn)榈酌?,,以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系,則、、、,設(shè)平面的法向量為,,,則,取,可得,,所以,點(diǎn)到平面的距離為.故答案為:.15、2【解析】對函數(shù)求導(dǎo),根據(jù)極值點(diǎn)得到或,討論的不同取值,利用導(dǎo)數(shù)的方法判定函數(shù)單調(diào)性,驗(yàn)證極值點(diǎn),即可得解.【詳解】由可得,因?yàn)楹瘮?shù)在處取得極小值,所以,解得或,若,則,當(dāng)時(shí),,則單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),,則單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),,則單調(diào)遞增;所以函數(shù)在處取得極小值,符合題意;當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,則單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),,則單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),,則單調(diào)遞增;所以函數(shù)在處取得極大值,不符合題意;綜上:.故答案為:2.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛:已知函數(shù)極值點(diǎn)求參數(shù)時(shí),一般需要先對函數(shù)求導(dǎo),根據(jù)極值點(diǎn)求出參數(shù),再驗(yàn)證所求參數(shù)是否符合題意即可.16、【解析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線的斜率,利用點(diǎn)斜式求切線方程.【詳解】解:因,所以,又故切線方程為,整理為,故答案為:三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、【解析】由拋物線的方程可得到焦點(diǎn)坐標(biāo),設(shè),寫出向量的坐標(biāo),由向量間的關(guān)系得到,將點(diǎn)代入物線即可得到軌跡方程.【詳解】由拋物線可得:設(shè)①在上,將①代入可得:,即.【點(diǎn)睛】求軌跡方程,一般是求誰設(shè)誰的坐標(biāo)然后根據(jù)題目等式直接求解即可,而對于直線與曲線的綜合問題要先分析題意轉(zhuǎn)化為等式,例如,可以轉(zhuǎn)化為向量坐標(biāo)進(jìn)行運(yùn)算也可以轉(zhuǎn)化為斜率來理解,然后借助韋達(dá)定理求解即可運(yùn)算此類題計(jì)算一定要仔細(xì).18、(1)條件選擇見解析,(2)【解析】(1)選①,利用余弦定理求出的值,結(jié)合角的取值范圍,即可求得角的值;選②,利用余弦定理可求出的值,并利用余弦定理求出的值,結(jié)合角的取值范圍,即可求得角的值;(2)利用三角形的面積公式可求得的面積.【小問1詳解】解:選①,,由余弦定理可得,,所以,.選②,,整理可得,,解得,由余弦定理可得,,所以,.【小問2詳解】解:由三角形的面積公式可得.19、(1)(2)【解析】(1)通過基本量列方程組可得;(2)由裂項(xiàng)相消法可解【小問1詳解】由題意得解得,所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為【小問2詳解】由(1)知,則所以20、(1)=0.3x-0.4;(2)正相關(guān);(3)1.7(千元).【解析】(1)由題意得到n=10,求得,進(jìn)而求得,寫出回歸方程;.(2)由判斷;(3)將x=7代入回歸方程求解.【詳解】(1)由題意知n=10,,則,所以所求回歸方程為=0.3x-0.4.(2)因?yàn)?,所以變量y的值隨x的值增加而增加,故x與y之間是正相關(guān).(3)將x=7代入回歸方程可以預(yù)測該家庭的月儲蓄為=0.3×7-0.4=1.7(千元).21、(1)(2).【解析】(1)由數(shù)列的前n項(xiàng)和與通項(xiàng)公式之間的關(guān)系即可完成.(2)由錯(cuò)位相減法即可解決此類“差比”數(shù)列的求和.【小問1詳解】由,得當(dāng)時(shí),,上下兩式相減得,,又當(dāng)時(shí),滿足上式,所以數(shù)列的通項(xiàng)公式;【小問2詳解】由(1)可知,所以,則,
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