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江蘇省江陰市暨陽中學(xué)2025屆數(shù)學(xué)高一上期末聯(lián)考試題考生請注意:1.答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi),不得在試卷上作任何標(biāo)記。2.第一部分選擇題每小題選出答案后,需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi),第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每個小題給出的四個選項(xiàng)中,恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1.關(guān)于x的一元二次不等式對于一切實(shí)數(shù)x都成立,則實(shí)數(shù)k滿足()A. B.C. D.2.下列函數(shù)中,既是奇函數(shù)又在定義域上是增函數(shù)的為A. B.C. D.3.已知,若函數(shù)在上為減函數(shù),且函數(shù)在上有最大值,則a的取值范圍為()A. B.C. D.4.下列結(jié)論正確的是()A.若,則 B.若,則C.若,則 D.若,則5.已知向量,,若,則()A. B.C.2 D.36.已知點(diǎn)落在角的終邊上,且∈[0,2π),則的值為()A B.C. D.7.若定義在上的奇函數(shù)在單調(diào)遞減,且,則的解集是()A. B.C. D.8.下列根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化正確的是()A. B.C. D.9.已知函數(shù),若,,,則()A. B.C. D.10.已知向量,,則在方向上的投影為A. B.8C. D.二、填空題:本大題共6小題,每小題5分,共30分。11.寫出一個能說明“若函數(shù)滿足,則為奇函數(shù)”是假命題的函數(shù):______12.已知函數(shù)的定義域?yàn)?,?dāng)時,,若,則的解集為______13.比較大?。篲_____cos()14.如圖,在四面體A-BCD中,已知棱AC的長為,其余各棱長都為1,則二面角A-CD-B的平面角的余弦值為________.15.函數(shù)的圖象為,以下結(jié)論中正確的是______(寫出所有正確結(jié)論的編號).①圖象關(guān)于直線對稱;②圖象關(guān)于點(diǎn)對稱;③由的圖象向右平移個單位長度可以得到圖象;④函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是增函數(shù).16.已知圓柱的底面半徑為,高為2,若該圓柱的兩個底面的圓周都在一個球面上,則這個球的表面積為______三、解答題:本大題共5小題,共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.某校在2013年的自主招生考試成績中隨機(jī)抽取40名學(xué)生的筆試成績,按成績共分成五組:第1組[75,80),第2組[80,85),第3組[85,90),第4組[90,95),第5組[95,100],得到的頻率分布直方圖如圖所示,同時規(guī)定成績在85分以上的學(xué)生為“優(yōu)秀”,成績小于85分的學(xué)生為“良好”,且只有成績?yōu)椤皟?yōu)秀”的學(xué)生才能獲得面試資格(1)求出第4組的頻率,并補(bǔ)全頻率分布直方圖;(2)根據(jù)樣本頻率分布直方圖估計樣本的中位數(shù)與平均數(shù);(3)如果用分層抽樣的方法從“優(yōu)秀”和“良好”的學(xué)生中共選出5人,再從這5人中選2人,那么至少有一人是“優(yōu)秀”的概率是多少?18.如圖,AB是圓柱OO1的一條母線,BC是底面的一條直徑,D是圓О上一點(diǎn),且AB=BC=5,CD=3(1)求該圓柱的側(cè)面積;(2)求點(diǎn)B到平面ACD的距離19.已知集合,(1)若,,求;(2)集合A,B能否相等?若能,求出a,b的值;若不能,請說明理由.20.已知定義在R上的函數(shù)滿足:①對任意實(shí)數(shù)x,y,都有;②對任意(1)求;(2)判斷并證明函數(shù)的奇偶性;(3)若,直接寫出的所有零點(diǎn)(不需要證明)21.已知函數(shù),(1)求函數(shù)的最大值;(2)若,,求的值
參考答案一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每個小題給出的四個選項(xiàng)中,恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、C【解析】只需要滿足條件即可.【詳解】由題意,解得.故選:C.2、D【解析】選項(xiàng),在定義域上是增函數(shù),但是是非奇非偶函數(shù),故錯;選項(xiàng),是偶函數(shù),且在上是增函數(shù),在上是減函數(shù),故錯;選項(xiàng),是奇函數(shù)且在和上單調(diào)遞減,故錯;選項(xiàng),是奇函數(shù),且在上是增函數(shù),故正確綜上所述,故選3、A【解析】由復(fù)合函數(shù)在上的單調(diào)性可構(gòu)造不等式求得,結(jié)合已知可知;當(dāng)時,,若,可知無最大值;若,可得到,解不等式,與的范圍結(jié)合可求得結(jié)果.【詳解】在上為減函數(shù),解得:當(dāng)時,,此時當(dāng),時,在上單調(diào)遞增無最大值,不合題意當(dāng),時,在上單調(diào)遞減若在上有最大值,解得:,又故選【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性求解參數(shù)范圍、根據(jù)分段函數(shù)有最值求解參數(shù)范圍的問題;關(guān)鍵是能夠通過分類討論的方式得到處于不同范圍時在區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性,進(jìn)而根據(jù)函數(shù)有最值構(gòu)造不等式;易錯點(diǎn)是忽略對數(shù)真數(shù)大于零的要求,造成范圍求解錯誤.4、A【解析】AD選項(xiàng),可以用不等式基本性質(zhì)進(jìn)行證明;BC選項(xiàng),可以用舉出反例.【詳解】,顯然均大于等于0,兩邊平方得:,A正確;當(dāng)時,滿足,但,B錯誤;若,當(dāng)時,則,C錯誤;若,,則,D錯誤.故選:A5、A【解析】先計算的坐標(biāo),再利用可得,即可求解.【詳解】,因?yàn)?,所以,解得:,故選:A6、D【解析】由點(diǎn)的坐標(biāo)可知是第四象限的角,再由可得的值【詳解】由知角是第四象限的角,∵,θ∈[0,2π),∴.故選:D【點(diǎn)睛】此題考查同角三角函數(shù)的關(guān)系,考查三角函數(shù)的定義,屬于基礎(chǔ)題7、C【解析】分析函數(shù)的單調(diào)性,可得出,分、兩種情況解不等式,綜合可得出原不等式的解集.【詳解】因?yàn)槎x在上的奇函數(shù)在單調(diào)遞減,則函數(shù)在上為減函數(shù).且,當(dāng)時,由可得,則;當(dāng)時,由可得,則.綜上所述,不等式的解集為.故選:C.8、B【解析】根據(jù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)對各選項(xiàng)逐一計算即可求解.【詳解】解:對A:,故選項(xiàng)A錯誤;對B:,故選項(xiàng)B正確;對C:,不能化簡為,故選項(xiàng)C錯誤;對D:因?yàn)?,所以,故選項(xiàng)D錯誤.故選:B.9、A【解析】可判斷在單調(diào)遞增,根據(jù)單調(diào)性即可判斷.【詳解】當(dāng)時,單調(diào)遞增,,,,.故選:A.10、D【解析】依題意有投影為.二、填空題:本大題共6小題,每小題5分,共30分。11、(答案不唯一)【解析】根據(jù)余弦型函數(shù)的性質(zhì)求解即可.【詳解】解:因?yàn)?,所以的周期?,所以余弦型函數(shù)都滿足,但不是奇函數(shù)故答案為:12、##【解析】構(gòu)造,可得在上單調(diào)遞減.由,轉(zhuǎn)化為,利用單調(diào)性可得答案【詳解】由,得,令,則,又,所以在上單調(diào)遞減由,得,因?yàn)?,所以,所以,得故答案為?13、>【解析】利用誘導(dǎo)公式化簡后,根據(jù)三角函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行判斷即可【詳解】cos(π)=cos(﹣4π)=cos()=cos,cos(π)=cos(﹣4π)=cos()=cos,∵y=cosx在(0,π)上為減函數(shù),∴coscos,即cos(π)>cos(π)故答案為>【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的大小比較,根據(jù)三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式以及三角函數(shù)的單調(diào)性是解決本題的關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題14、【解析】如圖,取中點(diǎn),中點(diǎn),連接,由題可知,邊長均為1,則,中,,則,得,所以二面角的平面角即,在中,,則,所以.點(diǎn)睛:本題采用幾何法去找二面角,再進(jìn)行求解.利用二面角的定義:公共邊上任取一點(diǎn),在兩個面內(nèi)分別作公共邊的垂線,兩垂線的夾角就是二面角的平面角,找到二面角的平面角,再求出對應(yīng)三角形的三邊,利用余弦定理求解(本題中剛好為直角三角形).15、①②④【解析】利用整體代入的方式求出對稱中心和對稱軸,分析單調(diào)區(qū)間,利用函數(shù)的平移方式檢驗(yàn)平移后的圖象.【詳解】由題意,,令,,當(dāng)時,即函數(shù)的一條對稱軸,所以①正確;令,,當(dāng)時,,所以是函數(shù)的一個對稱中心,所以②正確;當(dāng),,在區(qū)間內(nèi)是增函數(shù),所以④正確;的圖象向右平移個單位長度得到,與函數(shù)不相等,所以③錯誤.故答案為:①②④.16、【解析】直接利用圓柱的底面直徑,高、球體的直徑構(gòu)成直角三角形其中為斜邊,利用勾股定理求出的值,然后利用球體的表面積公式可得出答案【詳解】設(shè)球的半徑為,由圓柱的性質(zhì)可得,圓柱的底面直徑,高、球體的直徑構(gòu)成直角三角形其中為斜邊,因?yàn)閳A柱的底面半徑為,高為2,所以,,因此,這個球的表面積為,故答案為【點(diǎn)睛】本題主要圓柱的幾何性質(zhì),考查球體表面積的計算,意在考查空間想象能力以及對基礎(chǔ)知識的理解與應(yīng)用,屬于中等題三、解答題:本大題共5小題,共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)第4組的頻率為0.2,作圖見解析(2)樣本中位數(shù)的估計值為,平均數(shù)為87.25(3)0.9【解析】(1)利用頻率和為1,計算可得答案,計算可得第四個矩形的高度為0.2÷5=0.04,由此作圖即可;(2)設(shè)樣本的中位數(shù)為x,由5×0.01+5×0.07+(x﹣85)×0.06=0.5解出即可得到中位數(shù),根據(jù)77.5×0.05+82.5×0.35+87.5×0.30+92.5×0.20+97.5×0.10計算即可得到平均數(shù);(3)通過列舉法可得所有基本事件的總數(shù)以及至少有一人是“優(yōu)秀”的總數(shù),再利用古典概型概率公式計算可得.【詳解】(1)其它組的頻率為(0.01+0.07+0.06+0.02)×5=0.8,所以第4組的頻率為0.2,頻率分布圖如圖:(2)設(shè)樣本的中位數(shù)為x,則5×0.01+5×0.07+(x﹣85)×0.06=0.5,解得x,∴樣本中位數(shù)的估計值為,平均數(shù)為77.5×0.05+82.5×0.35+87.5×0.30+92.5×0.20+97.5×0.10=87.25;(3)依題意良好的人數(shù)為40×0.4=16人,優(yōu)秀的人數(shù)為40×0.6=24人優(yōu)秀與良好的人數(shù)比為3:2,所以采用分層抽樣的方法抽取的5人中有優(yōu)秀3人,良好2人,記“從這5人中選2人至少有1人是優(yōu)秀”為事件M,將考試成績優(yōu)秀的三名學(xué)生記為A,B,C,考試成績良好的兩名學(xué)生記為a,b,從這5人中任選2人的所有基本事件包括:AB,AC,BC,Aa,Ab,Ba,Bb,Ca,Cb,ab共10個基本事件,事件M含的情況是:AB,AC,BC,Aa,Ab,Ba,Bb,Ca,Cb,共9個,所以P(M)0.9【點(diǎn)睛】本題考查了頻率分布直方圖,考查了由頻率分布直方圖計算中位數(shù)和平均數(shù),考查了古典概型的概率公式,屬于中檔題.18、(1)(2)【解析】(1)利用圓柱的側(cè)面積公式計算出側(cè)面積.(2)利用等體積法求得到平面的距離.【小問1詳解】圓柱的底面半徑為,高為,所以圓柱的側(cè)面積為.【小問2詳解】是圓的直徑,所以,,.根據(jù)圓柱的幾何性質(zhì)可知,由于,所以平面,所以.,,設(shè)到平面的距離為,則,即.19、(1),或;(2)能,,【解析】(1)代入數(shù)據(jù),根據(jù)集合的交集和補(bǔ)集運(yùn)算法則即可求出結(jié)論;(2)根據(jù)集合相等的概念即可求出答案.詳解】解:(1)當(dāng),時,,∵,或,∴,或;(2)∵,若,則可變成,∵,則,解得;若,則可變成,而,不可能;綜上:,20、(1)(2)為偶函數(shù),證明見解析(3)【解析】(1)令,化簡可求出,(
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