2024-2025學(xué)年湖北省武漢市高二年級上冊9月聯(lián)考數(shù)學(xué)檢測試卷（含解析）

2024-2025學(xué)年湖北省武漢市高二上學(xué)期9月聯(lián)考數(shù)學(xué)檢測試卷

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分、在每小題給出的四個選項中，只有一項是

符合題目要求的.

1.已知復(fù)數(shù)0+1）（2+掰1）在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第二象限，則實數(shù)切的取值范圍為

（）

A.（―8,2）B.（2,+oo）C.D.（―2,2）

2.平行六面體—ZnCQi中，。為與42的交點，設(shè)方茄=R數(shù)=己，

用萬,B忑表示50，則（）

A.BO=a-b—cB.BO—a-\—b—c

22

C.BO=-—a+b+cD.BO=-—a+—b+c

222

3.被譽為“湖北烏鎮(zhèn)，荊門麗江”的莫愁村，位于湖北省鐘祥市.高高的塔樓，是整個莫愁村最

高的建筑，登樓遠跳，可將全村風(fēng)景盡收眼底.塔樓的主體為磚石砌成的正四棱臺，如圖所示,

上底面正方形的邊長約為8米，下底面正方形的邊長約為12米，高約為15米，則塔樓主體

的體積（單位：立方米）約為（）

A2400B.1520C.1530D.2410

4.某同學(xué)參加學(xué)校組織的化學(xué)競賽，比賽分為筆試和實驗操作測試，該同學(xué)參加這兩項測試

3

的結(jié)果相互不受影響.若該同學(xué)在筆試中結(jié)果為優(yōu)秀的概率為一，在實驗操作中結(jié)果為優(yōu)秀的

4

概率為2,則該同學(xué)在這次測試中僅有一項測試結(jié)果為優(yōu)秀的概率為（）

3

5.已知外==（加，一3,2）,%=（°，2/），若｛々，叼，4｝不能構(gòu)成空間的一個基底，

則加=（）

A.3B.1C.5D.7

6.設(shè)V4BC的內(nèi)角48,C的對邊分別為“c,且/+〃+仍=02,若角。的內(nèi)角平分線

CM=2,則X-瓦的最小值為（）

A.8B.4C.16D.12

7,拋擲一紅一綠兩顆質(zhì)地均勻的六面體骰子，記錄骰子朝上面的點數(shù)，若用x表示紅色骰子

的點數(shù)，用〉表示綠色骰子的點數(shù)，用（X/）表示一次試驗結(jié)果，設(shè)事件E：x+y=8；事件

F：至少有一顆點數(shù)為5；事件G:x〉4；事件女：4.則下列說法正確的是（）

A.事件E與事件F為互斥事件B.事件F與事件G為互斥事件

C.事件E與事件G相互獨立D.事件G與事件〃相互獨立

8,現(xiàn)有一段底面周長為12兀厘米和高為12厘米的圓柱形水管，48是圓柱的母線，兩只蝸牛

分別在水管內(nèi)壁爬行，一只從A點沿上底部圓弧順時針方向爬行兀厘米后再向下爬行3厘米

到達尸點，另一只從2沿下底部圓弧逆時針方向爬行兀厘米后再向上爬行3厘米爬行到達。點,

則此時線段P。長（單位：厘米）為（）

A.6叵B.6GC.6D.12

二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目

要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.有一組樣本數(shù)據(jù)%,%，…,%，其平均數(shù)、中位數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差、極差分別記為見,濟馮,4.由這組

數(shù)據(jù)得到新樣本數(shù)據(jù)%,為，…，匕，其中％=2%-2024（z=l,2,其平均數(shù)、中位數(shù)、

標(biāo)準(zhǔn)差、極差分別記為外42，。2，出，則（）

A.%-一2024B.b?=b[

C.J=2qD.d?—2d1

10.設(shè)。是空間內(nèi)正方向兩兩夾角為60。的三條數(shù)軸，向量分別與1軸、N

軸.z軸方向同向的單位向量，若空間向量1滿足1=》4+了02+203（%,以261^）,則有序?qū)?/p>

數(shù)組（x,y,z）稱為向量）在斜60°坐標(biāo)系。肛Z（。為坐標(biāo)原點），記作5=（x/,z）,則下列

說法正確的有（）

A.已知3=（1,2,3）,則同=5

B.已知1=（—1,2,1）,3=（2,—4,—2）,則向量2〃不

C.已知1=（3,—1,2）萬=（1,3,0）,則06=0

D.已知力=（1,0,0）,礪=（0,1,0）,0心=（0,0,1）,則三棱錐。—的外接球體積

展也

8

11.在圓錐PO中，PO為高,48為底面圓的直徑，圓錐的底面半徑為近，母線長為2,

點C為R4的中點，圓錐底面上點M在以4。為直徑的圓上（不含4。兩點），點8在

A.三棱錐M-R4。的外接球體積為定值

B.直線與直線尸/不可能垂直

C.直線。4與平面所成的角可能為60°

D.AH+HO<2

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知3i-1是關(guān)于x的實系數(shù)方程3/+2.+夕=0的一個根，則實數(shù)）的值為

13已知向量點B滿足同=2，W=1,G+2B=,則COS,,B=.

2_T2_2

14.V4BC的內(nèi)角4瓦。的對邊分別為a,"c，若6asmC-a-b=a一。,且

2b

VABC的面積為+b+c），則2a+6的最小值為.

四、解答題：本題共5小題，第15小題13分，第16、17小題15分，第18、19小題17分，共

77分.解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟.

15.V48c的內(nèi)角4瓦。的對邊分別為凡”。，已知（2c—b）cos/-acosB=0

（1）求A；

（2）若點〃在8C上，且滿足而=標(biāo),2屈=2,求V45C面積的最大值.

16.某地區(qū)有小學(xué)生9000人，初中生8600人，高中生4400人，教育局組織網(wǎng)絡(luò)“防溺水”網(wǎng)

絡(luò)知識問答，現(xiàn)用分層抽樣的方法從中抽取220名學(xué)生，對其成績進行統(tǒng)計分析，得到如下

圖所示的頻率分布直方圖所示的頻率分布直方圖.

（1）根據(jù)頻率分布直方圖，估計該地區(qū)所有學(xué)生中知識問答成績的平均數(shù)和眾數(shù)；

（2）成績位列前10%的學(xué)生平臺會生成“防溺水達人”優(yōu)秀證書，試估計獲得“防溺水達人”的

成績至少為多少分；

（3）已知落在［60,70）內(nèi)的平均成績?yōu)?7,方差是9,落在［60,80）內(nèi)的平均成績是73,方差

是29,求落在［70,80）內(nèi)的平均成績和方差.

（附：設(shè)兩組數(shù)據(jù)的樣本量、樣本平均數(shù)和樣本方差分別為記兩組數(shù)據(jù)總體

的樣本平均數(shù)為W,則總體樣本方差52=-^―+（1—訪『］+-^―+（兀—訪）［）

17.如圖，在長方體48CD—中，=1,48=2,點￡在棱48上移動.

￡>iG

AEB

(1)當(dāng)點E在棱48的中點時，求平面REC與平面。CR所成的夾角的余弦值；

(2)當(dāng)NE為何值時，直線4。與平面々EC所成角的正弦值最小，并求出最小值.

18.甲、乙、丙三人玩“剪刀、石頭、布”游戲(剪刀贏布，布贏石頭，石頭贏剪刀)，規(guī)定每局中：

①三人出現(xiàn)同一種手勢，每人各得1分；②三人出現(xiàn)兩種手勢，贏者得2分，輸者負(fù)1分；

③三人出現(xiàn)三種手勢均得0分.當(dāng)有人累計得3分及以上時，游戲結(jié)束，得分最高者獲勝，已

知三人之間及每局游戲互不受影響.

(1)求甲在一局中得2分的概率片；

(2)求游戲經(jīng)過兩局后甲恰得3分且為唯一獲勝者的概率￡；

(3)求游戲經(jīng)過兩局就結(jié)束的概率片.

19.在空間直角坐標(biāo)系。一平中，己知向量力=(見"c),點《(xo/o/o).若直線/以日為

方向向量且經(jīng)過點Po,則直線/的標(biāo)準(zhǔn)式方程可表示為土也=匕匹=^^(abcW0)；

abc

若平面。以力為法向量且經(jīng)過點《，則平面a的點法式方程表示為

fit(x-xo)+&(y-yo)+c(z-zo)=O,

x-1y-2z

(1)已知直線/的標(biāo)準(zhǔn)式方程為=平面/的點法式方程可表示為

1-V32

43x+y-z+5=0,求直線/與平面%所成角的余弦值；

(2)已知平面a2的點法式方程可表示為2x+3y+2-2=0,平面外一點尸(1,2,1),點尸到

平面％的距離；

(3)(i)若集合M={(x,y,zMx|+|y/2,|z|Vl},記集合M中所有點構(gòu)成的幾何體為S,

求幾何體S的體積；

(ii)若集合N={(x,y,z)||x|+|y|<2,|v|+|z|<2,|z|+|x|<2).記集合N中所有點構(gòu)成的幾

何體為T，求幾何體T相鄰兩個面(有公共棱)所成二面角的大小.

2024-2025學(xué)年湖北省武漢市高二上學(xué)期9月聯(lián)考數(shù)學(xué)檢測試卷

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分、在每小題給出的四個選項中，只有一項是

符合題目要求的.

1.已知復(fù)數(shù)0+1）（2+掰1）在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第二象限，則實數(shù)加的取值范圍為

（）

A.B.（2,+co）C.D.（―2,2）

【正確答案】B

【分析】化簡得（l+i）（2+/ni）=（2—加）+（加+2）i,根據(jù)題意列出不等式組求解即可.

【詳解】解：因為（l+i）（2+mi）=（2-加）+（加+2）i,

又因為此復(fù)數(shù)在第二象限，

2-m<0

所以Vc7解得7">2.

m+2>0

故選：B.

2.平行六面體468—48013中，。為4G與42的交點，設(shè)在=a2萬=冗五彳=己,

用己表示50，則（）

A.BO=a-bT—cB.BO=aT—b—c

22

C.BO=—ci+b+cD.BO=—uH—b+c

222

【正確答案】D

［分析］由平行六面體的性質(zhì)和空間向量的線性運算即可求解;

【詳解】如圖：

Ci

由平行六面體的性質(zhì)可得

BO=BBl+Bp=AAl+^BD=AA1+^^AD-AB^=c+^(b-a)=-^a+^b+c,

故選：D.

3.被譽為“湖北烏鎮(zhèn)，荊門麗江”的莫愁村，位于湖北省鐘祥市.高高的塔樓，是整個莫愁村最

高的建筑，登樓遠跳，可將全村風(fēng)景盡收眼底.塔樓的主體為磚石砌成的正四棱臺，如圖所示,

上底面正方形的邊長約為8米，下底面正方形的邊長約為12米，高約為15米，則塔樓主體

的體積(單位：立方米)約為()

A.2400B.1520C.1530D.2410

【正確答案】B

【分析】根據(jù)題意，利用棱臺的體積公式，準(zhǔn)確運算，即可求解.

【詳解】由題意，正四棱臺的上底面邊長約為8米，下底面邊長約為12米，高約為15米,

可得正四棱臺的上底面面積為64平方米，下底面面積為144平方米，

則塔樓主體的體積約為K=1(64+144+764x144)xl5=1520立方米.

故選：B.

4.某同學(xué)參加學(xué)校組織的化學(xué)競賽，比賽分為筆試和實驗操作測試，該同學(xué)參加這兩項測試

3

的結(jié)果相互不受影響.若該同學(xué)在筆試中結(jié)果為優(yōu)秀的概率為一，在實驗操作中結(jié)果為優(yōu)秀的

4

概率為2,則該同學(xué)在這次測試中僅有一項測試結(jié)果為優(yōu)秀的概率為（）

3

7151

A.—B.一C.—D.一

122123

【正確答案】C

【分析】根據(jù)獨立事件的概率公式與互斥事件的概率加法公式可求概率.

【詳解】根據(jù)題意可得該同學(xué)在這次測試中僅有一項測試結(jié)果為優(yōu)秀的概率為：

12315

—X——|——X—二——.

434312

故選：C.

5.已知々二（一1,9,1）,%-（冽,一3,2）,%二（0,2,1）,若卜不能構(gòu)成空間的一個基底,

則加=（）

A.3B.1C.5D.7

【正確答案】B

【分析】直接利用基底的定義和共面向量求出結(jié)果.

【詳解】若｛屋最可不能構(gòu)成空間的一個基底，

/."1，幾2，%共面，

二.存在九使々=/1%+4%,

—l=2m+0

即<9=—3A+2〃，

1=2A+〃

2=-1

解得〃=3,

m=1

故選.B

6.設(shè)V4BC的內(nèi)角4瓦。的對邊分別為見仇。，且若角。的內(nèi)角平分線

CM=2,則k.瓦的最小值為（）

A.8B.4C.16D.12

【正確答案】A

【分析】先根據(jù)結(jié)合余弦定理求。，再根據(jù)S“BC=S“CM+S〃CM，結(jié)

合面積公式得到

ab-2(Z?+^)>4y[ab，進而求出的最小值，再根據(jù)數(shù)量積定義求衣1

【詳解】因為"+〃+必=",

a2+/-c2

所以cosC二

2ab2

所以T

12冗1711冗

由S“BC-VV所以一absin——=—b-CM-sin—+—tz-CM-sin—,

一口“CM丁口ABCM'232323

化簡得到ab=26+2a,

所以的=2(b+a)24j^,則仍216,當(dāng)且僅當(dāng)。=b=4時，等號成立,

所以就.麗=|衣(怎,05；=1■仍28,

所以就3的最小值為8.

故選：A.

7,拋擲一紅一綠兩顆質(zhì)地均勻的六面體骰子，記錄骰子朝上面的點數(shù)，若用x表示紅色骰子

的點數(shù)，用y表示綠色骰子的點數(shù)，用(xj)表示一次試驗結(jié)果，設(shè)事件E:x+y=8；事件

F：至少有一顆點數(shù)為5；事件G:x〉4；事件笈：4.則下列說法正確的是()

A.事件E與事件F為互斥事件B.事件F與事件G為互斥事件

C.事件￡與事件G相互獨立D.事件G與事件〃相互獨立

【正確答案】D

【分析】分別寫出事件￡、F、G、〃所包含的基本事件，根據(jù)互斥事件的定義判斷A,B；

根據(jù)獨立事件的定義判斷C,D.

【詳解】解：由題意可知E={(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2)}；

F={(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(1,5),(2,5),(3,5),(4,5),(6,5)}；

G={(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}；

H={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),

(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4)}；

對于A,因為Ec/={(3,5),(5,3)},所以事件E與事件尸不是互斥事件，故錯誤；

對于B,因為GcR={(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,5)},所以事件G與事件尸不

是互斥事件，故錯誤；

5121

對于C,因為EcG={(5,3),(6,2)},尸(￡)二一,尸(G)=—=—,

36363

21

尸(￡CG)=W=RWP(￡)F(G),所以事件￡與事件G不相互獨立，故錯誤；

對于D,因為={(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4)},

24?1212?

=[0(G)=力=7，P(HnG)=—=-=P(H)P(G),

363363369

所以事件E與事件G相互獨立，故正確.

故選：D.

8,現(xiàn)有一段底面周長為12兀厘米和高為12厘米的圓柱形水管，4B是圓柱的母線，兩只蝸牛

分別在水管內(nèi)壁爬行，一只從A點沿上底部圓弧順時針方向爬行兀厘米后再向下爬行3厘米

到達尸點，另一只從B沿下底部圓弧逆時針方向爬行兀厘米后再向上爬行3厘米爬行到達。點，

則此時線段長(單位：厘米)為()

A.672B.6GC.6D.12

【正確答案】A

【分析】根據(jù)已知條件建系結(jié)合弧長得出角及點的坐標(biāo)，最后應(yīng)用空間向量兩點間距離計算.

【詳解】應(yīng)用圓柱的特征取上下底面的圓心,B0,為z,y軸，再過。作0B的垂線為x軸,

如圖建系，

過。向圓。作垂線垂足為2，BQL，設(shè)圓。半徑為憶2a=12兀，所以尸=6,

所以血=/BOQ1x6=兀/BO2=￡,則口卜,—350）,Q（3,—3e3）,

同理，過尸向圓O作垂線垂足為Pi，則凡-3,-3店0）,尸卜3,-36,9）,

所以|尸@=^（3+3）2+02+（9-3）2=672.

故選：A.

二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目

要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.有一組樣本數(shù)據(jù)西,馬，…,當(dāng)，其平均數(shù)、中位數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差、極差分別記為%,4,q,4.由這組

數(shù)據(jù)得到新樣本數(shù)據(jù)%,券，…，匕，其中％=2為—2024?=1,2「一,〃），其平均數(shù)、中位數(shù)、

標(biāo)準(zhǔn)差、極差分別記為電力2，。2，42,則（）

A.2~2%-2024B.b2=bx

C.=2。］D.d?—2dl

【正確答案】ACD

【分析】根據(jù)新舊數(shù)據(jù)間樣本的數(shù)字特征的關(guān)系對選項進行分析，從而確定正確答案.

【詳解】依題意，平均數(shù)的=2%-2024,中位數(shù)d=2乙-2024,標(biāo)準(zhǔn)差。2=2。「極差

d、—2d1，

所以ACD選項正確，B選項錯誤.

故選：ACD

10.設(shè)Ox,Oy,。是空間內(nèi)正方向兩兩夾角為60°的三條數(shù)軸，向量分別與x軸/

軸.Z軸方向同向的單位向量，若空間向量,滿足1=》9+3^2+203（》//€1i）,則有序?qū)?/p>

數(shù)組（X/,Z）稱為向量N在斜60。坐標(biāo)系。町2（。為坐標(biāo)原點），記作5=（X,〉,Z）,則下列

說法正確的有（）

A.已知N=（1,2,3）,則同=5

B.已知a=（—1,2,1）,/?=（2,—4,—2）,則向量&〃B

C.已知1=（3,—1,2）,3=（1,3,0）,則］.6=0

D.已知力=（1,0,0）,礪=（0,1,0）,0心=（0,0,1）,則三棱錐?！?BC的外接球體積

展逅

8

【正確答案】AB

【分析】先明確同=同=同=1,.根據(jù)同2=（療求同，判斷A

的真假；根據(jù)3=-2a判斷B的真假；計算￡與判斷C的真假；判斷三棱錐。-N8C的形

狀，求其外接球半徑及體積，判斷D的真假.

【詳解】由題意：卜1,同=同=1，e\'e2=e\'e3=e2'e3=~^-

對A:因為

—*—*—?—*?|2/—?—?—?\2—?2—?2—*2—*—*—>—*—*—>

Q=6+2g+3e3n同=\ex+2e2+3e31-ex+4e2+9%+4,g+6,+12%q

=1+4+9+2+3+6=25,所以同=5.故A正確;

—

對B：因為a=—+2e2+63,b=2e1—4e22e3，所以B=—2a，所以a//5.故B正確;

對C：a=-e2+2e3,Z?=^+3e2?

因為

2

a-b=^3ej-e2+2e3j-+3e2j=3e^+9e1-e2--e2-3e2+2,?e3+6e2-e3

91

=3+--------3+l+3=8wO,故C錯誤；

22

對D：由題意，三棱錐O-48C是邊長為1的正四面體.如圖：

過。作OE_L平面48C,垂足為E,則E在V48C的中線4D上，且/E：ED=2：1,

設(shè)正四面體O-4BC外接球球心為G,則點G在OE上，且G亦為正四面體。-4BC內(nèi)切

球球心，設(shè)GO=A,GE=r.

R…旦r

”如

則《3

R2=r2+-4

3

所以正四面體。-ABC外接球的體積為.％=3兀尼=±成3=蟲.兀故口錯誤.

338

故選：AB

11.在圓錐P。中，PO為高,4B為底面圓的直徑，圓錐的底面半徑為正，母線長為2,

點。為尸/的中點，圓錐底面上點M在以4。為直徑的圓上（不含4。兩點），點H在

上，且尸2，加，當(dāng)點/運動時，則（）

A.三棱錐M-R40的外接球體積為定值

B.直線CH與直線PN不可能垂直

C.直線。4與平面所成的角可能為60°

D.AH+HO<2

【正確答案】AD

【分析】由條件結(jié)合線面垂直判定定理證明AM_1_平面尸。攸，由此證明AM±PM,再證

明點。為三棱錐R4O的外接球球心，判斷A,證明尸2,平面O7/C,由此證明

PALCH,判斷B；證明08,平面P4/,由此可得NQ47/為直線。4與平面所成

的角，解三角形求其正弦，判斷C,證明。解三角形求/7/+77O,結(jié)合基本不等

式求其范圍，判斷D.

【詳解】gOM,AM,AH,OC,CM,CH,

對于A,易知POJ_平面ZMu平面/M8，所以W_LP。，

因為點M在以為直徑的圓上（不含A、0）,

所以O(shè)M^PO=O,（Wu平面POM,尸Ou平面POM,

所以平面RW,又H/u平面P（W,

所以/ML尸W,又。為尸/的中點，PA=2,

所以CO=C4=CP=CM=1,

所以點。為三棱錐的外接球的球心，

所以三棱錐M-PZO的外接球的半徑為r=1,

所以三棱錐M-R40的外接球體積為定值，A正確；

由已知，P01A0,PA=2,AO=也,

所以PO=^22—（也j=也=40

所以△戶"為等腰三角形，連接。C,又。為PZ的中點，故PZLOC,

又PA_LOH,OHcOC=O,OHu平面07/C,OCu平面07/C,

則PZ,平面07/C,又CHu平面O〃C,所以PZLC”,故B錯誤.

因為4W_L平面POM,又?！╱平面0OM,所以4A/_LO7/,

又PA工OH,PAC\AM=A,Wu平面尸ZM,P4u平面尸ZM,則OH，平面,

所以。4在平面PZAf上的射影為277,

所以NOAH為直線OA與平面PAM所成的角，

設(shè)(W=x,則PM72+X1,又OHPM=OMPO,

所以O(shè)H=￥^

A/2+X2

./z^ATTOHx

所以sm/O4f/=—-/丁,

OAV2+x2

X

令/0/7/=60°，則/—=,解得、=迷,

V2W2

即QW=&，與。河＜。4矛盾，C錯誤;

對于D中，因為平面R4M,/〃(=平面尸4\1,

所以O(shè)H_LAH,又OH二,-,OA-V2，

—

所以AH+HO<2,D正確.

故選：AD

關(guān)鍵點點睛：解決多面體的外接球問題的關(guān)鍵在于由條件確定

其外接球的球心的位置，由此確定外接球的半徑.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知3i-1是關(guān)于x的實系數(shù)方程3犬+2.+夕=0的一個根，則實數(shù)夕的值為

【正確答案】3

【分析】將3i—1代入方程3/+2px+q=0求解即可.

【詳解】3i—1代入方程3/+2內(nèi)+4=0,

得3（3i-l）2+2p（3i_l）+q=0,

化簡得（—24—20+q）+（6p—18）i=0,

故K-24—-I2pI+q=0'

解得，

q=30

故填：3

13.已知向量滿足同=2，W=l,G+2B=（2j^,l）,則cos,,B=.

【正確答案】-##0.125

8

【分析】先利用坐標(biāo)運算求解=3,根據(jù)數(shù)量積的運算律結(jié)合模的公式列式求得

一1

a-b=-,從而利用數(shù)量積的定義求解即可.

4

【詳解】因為萬+23=（2夜,1）,所以5+2."（2行『+12=3,

又同=2,問=1,所以卜+2川=加+2盯=切+夜+好*=舟4展3=3，

一］一1a-b1

所以展6=—,所以c°sa，b==田=6.

4\a\-\b\X

La2_,2_2

14.V48c的內(nèi)角48,c的對邊分別為見“c,^^asmC-a-b=--—,且

2b

yABC的面積為?a+b+c),則2a+6的最小值為

【正確答案】6+2J5

7T

【分析】根據(jù)三角恒等變換以及余弦定理可得c=—,即可利用面積可得

3

2a2—（/+2）。+2/—3=0有根，即可利用判別式求解.

【詳解】由百asinC-a-6——―—J可得zGabsinC—Zba—Z/一^,

即2y/3absmC-2ba=a2+b2-c2=labcosC，

由于abw。,故GsinC—cosC=1nsin^C-—,

由于0￡（0,兀），故。―因此C—四=工，故0=巴，

''6\66）663

a2+b2-c2

cosC二=a2+b2-c2=ab，

lab2

VABC的面積為(a+/?+c)故——(a+/?+c)=—aZ>sinCna+/?+c=aZ)，

4v72

由于。=Qb—Q—b>a—bnb>2,c=ab-a-b>b-a^>a>2,

故2a+b>6,

^c=ab-a-b代入/+/_02=力可得。2+/一（。6一。一力）2_處,

化簡得ab+3=2(a+b),

將其代入ab+3=2(a+b),且可得2Q?-(%+2)Q+2%-3=0,

則△=(廠+4f+4)-8⑵-3)20,解得/26+2C，或0</46-2后，(舍去)

故最小值為6+2夜.

故6+2夜

關(guān)鍵點點睛：由仍+3=2(a+A)可得2/一?+2"+2/—3=0有實數(shù)根，利用判別式求解.

四、解答題：本題共5小題，第15小題13分，第16、17小題15分，第18、19小題17分，共

77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.V45C的內(nèi)角的對邊分別為“c,已知(2c—6)cos/—acosB=0

(1)求A；

(2)若點〃在8C上，且滿足麗7=就,ZM=2,求V45C面積的最大值.

7T

【正確答案】(1)-

3

(2)迪

3

【分析】(1)利用正弦定理、三角恒等變換，結(jié)合三角形內(nèi)角的取值范圍、特殊角的三角函

數(shù)值求解即可；

(2)利用向量的線性運算、余弦定理、基本不等式、三角形面積公式即可求解.

【小問1詳解】

(2c-/?)cosA-acosB=0,

由正弦定理得(2sinC—sin_S)cos4—sin4cos3=0,

/.2sinCcosA-(sinBcosA+cosBsinA)=0,

/.2sinCcosA-sin(A+B)=0f

/.2sinCcosA=sinC,

CG(0,71),

sin。w0,

/.cosA=—

2

,71

A——.

3

【小問2詳解】

——?1—--.

:.AM=-(AB+AQ,

--------*21*2------***2

AM=~(AB+2ABAC+AC),

又AM=2,

：.4=+〃+2bc-COSy),

:,16=c2+b2+be>2bc+bc=3bc，

：.bc<—,當(dāng)且僅當(dāng)b=c=生8時，等號成立，

33

:.AABC的面積S=—bcsinA<—x—x^-=4G,

22323

即VABC面積的最大值為生8.

16.某地區(qū)有小學(xué)生9000人，初中生8600人，高中生4400人，教育局組織網(wǎng)絡(luò)“防溺水”網(wǎng)

絡(luò)知識問答，現(xiàn)用分層抽樣的方法從中抽取220名學(xué)生，對其成績進行統(tǒng)計分析，得到如下

圖所示的頻率分布直方圖所示的頻率分布直方圖.

（1）根據(jù)頻率分布直方圖，估計該地區(qū)所有學(xué)生中知識問答成績的平均數(shù)和眾數(shù)；

（2）成績位列前10%的學(xué)生平臺會生成“防溺水達人”優(yōu)秀證書，試估計獲得“防溺水達人”的

成績至少為多少分；

（3）已知落在［60,70）內(nèi)的平均成績?yōu)?7,方差是9,落在［60,80）內(nèi)的平均成績是73,方差

是29,求落在［70,80）內(nèi)的平均成績和方差.

（附：設(shè)兩組數(shù)據(jù)的樣本量、樣本平均數(shù)和樣本方差分別為.見七,5；;〃,馬,只記兩組數(shù)據(jù)總體

的樣本平均數(shù)為w,則總體樣本方差s1=-^―"+伍-司［+-^―序+伍-刃）1）

m+nL'7Jm+n\_\'J

【正確答案】（1）平均數(shù)為71,眾數(shù)為75.

(2)88.

（3）平均數(shù)為76,方差為12.

【分析】（1）在頻率分布直方圖中，平均數(shù)等于每組的組中值乘以每組的頻率之和；眾數(shù)是

最高矩形橫坐標(biāo)的中點，據(jù)此求解.

（2）依題意可知題目所求是第90%分位數(shù)，先判斷第90%分位數(shù)落在哪個區(qū)間再求解即可；

（3）先求出每組的比例，再根據(jù)分層隨機抽樣的平均數(shù)及方差求解即可.

【小問1詳解】

一至六組的頻率分別為0.10,0.15,0.15,0.30,0.25,0.05,

平均數(shù)=45x0.10+55x0.15+65x0.15+75x0.30+85x0.25+95x0.05=71.

由圖可知，眾數(shù)為75.

以樣本估計總體，該地區(qū)所有學(xué)生中知識問答成績的平均數(shù)為71分，眾數(shù)為75分.

【小問2詳解】

前4組的頻率之和為0.10+0.15+0.15+0.30=0.70<0.90,

前5組的頻率之和為0.70+0.25=0.95>0.90,

第90%分位數(shù)落在第5組，設(shè)為X,則0.70+（x—80）x0.025=0.90,解得x=88.

“防溺水達人”的成績至少為88分.

【小問3詳解】

［60,70）的頻率為015,［70,80）的頻率為0.30，

所以［60,70）的頻率與［60,80）的頻率之比為0?30]_

3

［70,80）的頻率與［60,80）的頻率之比為———=-

0?15I0.303

設(shè)［70,80）內(nèi)的平均成績和方差分別為兀應(yīng),

12——

依題意有73=—x67+—X/，解得x,=76,

33-2

29=-x[9+（67-73）2]+-xPf+（76-73）2L解得S；=12,

33--

所以[70,80）內(nèi)的平均成績?yōu)?6,方差為12.

17.如圖，在長方體4BCD—4B1G，中，=1,48=2,點￡在棱48上移動.

D,C,

AEB

（1）當(dāng)點E在棱48的中點時，求平面QEC與平面所成的夾角的余弦值；

（2）當(dāng)NE為何值時，直線4。與平面QEC所成角的正弦值最小，并求出最小值.

【正確答案】（1）逅

6

（2）當(dāng)4￡=2時，直線4。與平面AEC所成角的正弦值最小，最小值為巫

5

【分析】（1）以。為坐標(biāo)原點，所在直線為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系，求得

平面"EC的一個法向量，平面DC。的一個法向量，利用向量法可求平面AEC與平面

所成的夾角的余弦值;

(2)設(shè)Z￡=冽，可求得平面QEC的一個法向量，直線的方向向量。4,利用向量法可得

.a4—加

sm3=、2-，可求正弦值的最小值.

,2(2-加)-+10

【小問1詳解】

以D為坐標(biāo)原點，DA,DC,DD［所在直線為坐標(biāo)軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

當(dāng)點E在棱48的中點時，則占］(0,0,l),E(l,L0),C(0,2,0),Q(0,0,0),/(l,0,0),

貝！I西=(-1,-1,1),EC=(-1,1,0),DA=(1,0,0),

設(shè)平面QEC的一個法向量為)=(%，NZ)，

n-ED,=-x-y+z=0

則—1,令x=l,則y=l,z=2,

n-EC=-x+v=0

所以平面D】EC的一個法向量為n=(1,1,2),

又平面OCA的一個法向量為方N=(1,0,0)，

—內(nèi)向1V6

所以cosD4,zi='i=一，

\DA\\n\Vl+l+4xl6

所以平面D{EC與平面DC。所成的夾角的余弦值為逅；

6

【小問2詳解】

設(shè)AE=m,

則(0,0,1),E(l,/n,0),C(0,2,0),D(0,0,0),4(1,0/),

則可=(―1,—加，1),^C=(-l,2-m,0),(0<m<2),DAX=(1,0,1),

z

設(shè)平面DXEC的一個法向量為n=(x,y,z)>

"-?

n-ED,=-x-my+z=0

則<一,，令y=l,則x=2-加,z=2,

n-EC=-x+(2—m)y=0

所以平面。i￡C的一個法向量為[=(2—a1,2),

設(shè)直線AXD與平面DXEC所成的角為。,

.?In*DAI12-m+2I4-m

則sin3=————}>=i—-===/

In|*|DA.|J(2—m)2+1+4x7171,2(2—mp+lO

令4一加=I￡[2,4],

sin0-—.————=——i———i

2

貝U-2)+10,2j+18L_8+18L(l_22+90，

Vtt2\t981

當(dāng)，=2時，sin。取得最小值，最小值為典.

5

18.甲、乙、丙三人玩“剪刀、石頭、布”游戲(剪刀贏布，布贏石頭，石頭贏剪刀)，規(guī)定每局中:

①三人出現(xiàn)同一種手勢，每人各得1分；②三人出現(xiàn)兩種手勢，贏者得2分，輸者負(fù)1分；

③三人出現(xiàn)三種手勢均得0分.當(dāng)有人累計得3分及以上時，游戲結(jié)束，得分最高者獲勝，已

知三人之間及每局游戲互不受影響.

(1)求甲在一局中得2分的概率耳；

(2)求游戲經(jīng)過兩局后甲恰得3分且為唯一獲勝者的概率￡；

(3)求游戲經(jīng)過兩局就結(jié)束的概率片.

【正確答案】(1)!

【分析】（1）根據(jù)題意可畫出樹狀圖，得到甲得2分情況有9種，從而可求解；

（2）游戲經(jīng)過兩局后甲恰得3分且為唯一獲勝者的情況有2種：①第一局甲得2分，第二局

甲得1分，則第一局乙丙得負(fù)一分，第二局得1分，②第一局甲得1分，第二局甲得2分，

則第一局乙丙得1分，第二局乙丙得負(fù)1分，然后求出每種情況的概率從而可求解；

（3）游戲經(jīng)過兩局就結(jié)束總共有4種情況：①僅1人得3分，②有2人得分為3分，③僅1

人得4分，④有2人分別得4分，然后求出每種情況的概率從而可求解.

【小問1詳解】

根據(jù)題意，畫出樹狀圖，如圖：

剪刀

剪刀石頭布

典刀石頭布剪刀石頭布剪刀石頭布

石頭

典刀石頭布

91H右頭布91B石頭布的刀石頭布

布

附刀石頭布

帆”石頭布石頭布石頭布

所以每局中共有27種情況，其中甲在一局中得2分的情況有（出手勢順序按甲乙丙）:

（剪刀、剪刀、布）、（剪刀、布、剪刀）、（剪刀、布、布）、

（石頭、石頭、剪刀）、（石頭、剪刀、石頭）、（石頭、剪刀、剪刀）、

（布、布、石頭）、（布、石頭、布）、（布、石頭、石頭）、

91

一共有9種情況，所以甲在一局中得2分的概率4=一=—.

1273

【小問2詳解】

游戲經(jīng)過兩局后甲恰得3分且為唯一獲勝者的情況有2種：

①第一局甲得2分，第二局甲得1分：

則乙第一局得負(fù)1分，第二局得1分；則丙第一局得負(fù)1分，第二局得1分;

由（1）中樹狀圖可知滿足情況有:

第一局：（剪刀、布、布）、（石頭、剪刀、剪刀）、（布、石頭、石頭）、

第二局：（剪刀、剪刀、剪刀）、（布、布、布）、（石頭、石頭、石頭）

331

此時概率為—x—=一種情況,

272781

②第一局甲得1分，第二局甲得2分，則第一局乙丙得1分，第二局乙丙得負(fù)1分,

則乙第一局得1分，第二局得負(fù)1分；則丙第一局得1分，第二局得負(fù)1分;

由（1）中樹狀圖可知滿足情況有:

第一局：（剪刀、剪刀、剪刀）、（布、布、布）、（石頭、石頭、石頭）

第二局：（剪刀、布、布）、（石頭、剪刀、剪刀）、（布、石頭、石頭）、

331

此時概率為3義二=一

272781

112

綜上所述：游戲經(jīng)過兩局后甲恰得3分且為唯一獲勝者的概率巴=—+—=—