2024年中考數(shù)學(xué)試題分類訓(xùn)練：圓的有關(guān)計(jì)算與證明

專題24圓的有關(guān)計(jì)算與證明（29題）

一、單選題

1.（2024?安徽?中考真題）若扇形AOB的半徑為6,ZAOB=UO°,則相的長為（）

A.2萬B.3兀C.4萬D.6兀

【答案】C

【分析】此題考查了弧長公式，根據(jù)弧長公式計(jì)算即可.

【解析】由題意可得，A2的長為與等=4萬,故選，C.

loU

2.（2024?貴州?中考真題）如圖，在扇形紙扇中，若NAO5=150。，04=24,則AB的長為（）

A.30TIB.25兀C.20兀D.IChr

【答案】C

【分析】本題考查了弧長，根據(jù)弧長公式：/=怒求解即可.

lot）

150TTX?4

【解析】???ZAO3=150。，Q4=24,，45的長為=20兀,故選：C.

180

3.（2024.云南?中考真題）某校九年級學(xué)生參加社會實(shí)踐，學(xué)習(xí)編織圓錐型工藝品.若這種圓錐的母線長

為40厘米，底面圓的半徑為30厘米，則該圓錐的側(cè)面積為（）

A.7007t平方厘米B.900兀平方厘米

C.1200兀平方厘米D.1600兀平方厘米

【答案】C

【分析】本題考查了圓錐的側(cè)面積，先求出圓錐底面圓的周長，再根據(jù)圓錐的側(cè)面積計(jì)算公式計(jì)算即可求

解，掌握圓錐側(cè)面積計(jì)算公式是解題的關(guān)鍵.

【解析】圓錐的底面圓周長為27rx30=60兀厘米，，圓錐的側(cè)面積為|x60nx40=1200兀平方厘米，故選,

C.

4.（2024.四川甘孜?中考真題）如圖，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于00,04=1,則A3的長為（）

A.2B.6C.1D.1

【答案】C

【分析】本題考查了正六邊形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，由正六邊形的性質(zhì)得到NAO3=60。，

得到AAOB為等邊三角形，進(jìn)而得到Q4=AB=1,判斷出AAOB為等邊三角形是解題的關(guān)鍵.

360°

【解析】：ABCDE產(chǎn)是正六邊形，，N4O8=^=60。，416?為等邊三角形，

6

Q4=AB=1,故選，C.

5.（2024?廣東廣州?中考真題）如圖，圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)圓心角為72。的扇形，若扇形的半徑/是5,

【答案】D

【分析】本題考查了弧長公式，圓錐的體積公式，勾股定理，理解圓錐的底面周長與側(cè)面展開圖扇形的弧

長相等是解題關(guān)鍵，設(shè)圓錐的半徑為人則圓錐的底面周長為2萬廠，根據(jù)弧長公式得出側(cè)面展開圖的弧長，

進(jìn)而得出廠=1,再利用勾股定理，求出圓錐的高，再代入體積公式求解即可.

【解析】設(shè)圓錐的半徑為人則圓錐的底面周長為2萬r,???圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)圓心角為72。的扇形,

且扇形的半徑/是5,.,.扇形的弧長為黑^=2萬，???圓錐的底面周長與側(cè)面展開圖扇形的弧長相等，

Inr-2TI,=圓錐的高為g,-I=2后，，圓錐的體積為gzxEx2n=2^萬，故選，D.

6.（2024.四川遂寧?中考真題）工人師傅在檢查排污管道時(shí)發(fā)現(xiàn)淤泥堆積.如圖所示，排污管道的橫截面

是直徑為2米的圓，為預(yù)估淤泥量，測得淤泥橫截面（圖中陰影部分）寬43為1米，請計(jì)算出淤泥橫截面

的面積（）

D.1.-1

C.

364

【答案】A

【分析】本題考查了垂徑定理，勾股定理,等邊三角形的判定和性質(zhì)，求不規(guī)則圖形的面積，過點(diǎn)。作

于。，由垂徑定理得ADuBOMgABuLm,由勾股定理得。。=立m,又根據(jù)圓的直徑為2米

222

可得04=03=得到AAOB為等邊三角形，即得ZAC?=60。，再根據(jù)淤泥橫截面的面積

=囑形AOB-S.AOB即可求解，掌握垂徑定理及扇形面積計(jì)算公式是解題的關(guān)鍵.

【解析】過點(diǎn)。作于O,則===/ADO=90。，：圓的直徑為2米，，

Q4=O3=lm,.,.在RhAOD中,AAOB為

等邊三角形，...408=60。，...淤泥橫截面的面積=$扇形4理一工4.=晦二-兀-W]m2,

JOUZ2（。4,

故選，A.

7.（2024.四川廣安?中考真題）如圖,在等腰三角形ABC中,AB=AC=10,ZC=70°,以AB為直徑作

半圓，與AC,BC分別相交于點(diǎn)E,則DE的長度為（)

5兀c10兀c25兀

C.-----D.——

9~999

【答案】C

【分析】本題考查了求弧長.根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理求得/A的度數(shù)，證明。石〃AC,

再由。4=0。，再由等腰三角形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)求得NDOE的度數(shù)，利用弧長公式即可求解.

【解析】連接0。，0E,'：AB=AC,：.ZABC=ZC=70°,VOE=OB,:.NOEB=ZB=】0。,：.

/OEB=NC=10。：.OE〃AC,在AABC中，ZA+ZABC+ZC=180°,

ZA=180°-ZAfiC-ZC=180o-70o-70o=40°,y.OA=OD=^AB=5,V0E\\AC：.

ZA=ZADO=4（）o=/DOE,...OE的長度為^^=差，故選，C.

loO9

8.（2024?山東威海?中考真題）如圖，在扇形A03中，ZAOB=90°,點(diǎn)C是49的中點(diǎn).過點(diǎn)C作CELAO

交AB于點(diǎn)E,過點(diǎn)E作石Z），03,垂足為點(diǎn)。.在扇形內(nèi)隨機(jī)選取一點(diǎn)尸，則點(diǎn)尸落在陰影部分的概率

是（）

12

B.C.D.

323

【答案】B

【分析】本題考查的是求不規(guī)則圖形的面積，幾何概率，根據(jù)陰影部分面積等于扇形OBE的面積，即可求

解.

【解析】VZAOB=90°,CELAO,EDLOB四邊形OCDE是矩形，，邑℃E="。噂

S陰影部分=S?ODE+SBDE=$扇形OBE??,點(diǎn)C是A0的中點(diǎn)；.OC=—OE=DEsinZEOD=——=—/.

2UE,2

022

ZEOD-30?<?T+ST_307TXAOTIXAO29Q7TXAOTIXAO2聲

"

乙QU"_DU??O陰影部分_十。也定一D扇形QBE_莉~一五一，扇形AQ8一莉'八''廠

兀XAO?

落在陰影部分的概率是衿險(xiǎn)=—^=:故選，B.

S扇形AOB兀"°一3

4

二、填空題

9.（2024.四川成都.中考真題）如圖，在扇形AQB中，OA=6,ZAOB=120°,則45的長為

【分析】此題考查了弧長公式，把已知數(shù)據(jù)代入弧長公式計(jì)算即可.

【解析】由題意得AB的長為黑=上臀=4兀，故答案為：47r

lot）IOO

10.（2024?黑龍江齊齊哈爾.中考真題）若圓錐的底面半徑是1cm,它的側(cè)面展開圖的圓心角是直角，則該

圓錐的高為cm.

【答案】上

【分析】本題考查了圓錐的計(jì)算.設(shè)圓錐的母線長為R,根據(jù)圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形，這個(gè)扇形的弧

長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長和弧長公式得到2萬/=號萼，然后解方程即可得

母線長，然后利用勾股定理求得圓錐的高即可.

【解析】設(shè)圓錐的母線長為R,根據(jù)題意得2萬-1=為馨，解得：R=4?即圓錐的母線長為4cm,??.圓錐

1o（J

的高==故答案是：415.

11.（2024?吉林?中考真題）某新建學(xué)校因場地限制，要合理規(guī)劃體育場地，小明繪制的鉛球場地設(shè)計(jì)圖如

圖所示，該場地由。。和扇形OBC組成，OB,。。分別與。。交于點(diǎn)OA=lm,OB=10m,ZAOD=40°,

則陰影部分的面積為n?（結(jié)果保留兀）.

【答案】117T

【分析】本題考查了扇形面積公式，熟練掌握扇形面積公式是解題的關(guān)鍵.

利用陰影部分面積等于大扇形減去小扇形面積，結(jié)合扇形面積公式即可求解.

【解析】由題意得：s陰影=絲￡竺二＞=1反，故答案為：1反.

上360

12.（2024.內(nèi)蒙古呼倫貝爾.中考真題）為了促進(jìn)城鄉(xiāng)協(xié)調(diào)發(fā)展，實(shí)現(xiàn)共同富裕，某鄉(xiāng)鎮(zhèn)計(jì)劃修建公路.如

圖、與是公路彎道的外、內(nèi)邊線，它們有共同的圓心。所對的圓心角都是72。，點(diǎn)A,C,。在同

一條直線上，公路彎道外側(cè)邊線比內(nèi)側(cè)邊線多36米，則公路寬AC的長是一米.（兀取3.14,計(jì)算結(jié)果精

確到0.1）

【答案】28.7

【分析】本題考查了弧長公式，解一元一次方程等知識，利用弧長公式并結(jié)合題意可得出

72%7271OC72小AC

二36,進(jìn)而得出=36,然后解方程并按要求取近似數(shù)即可.

180180180

72萬727roe

【解析】根據(jù)題意，得幻，;公路彎道外側(cè)邊線比內(nèi)側(cè)邊線多36米，???

180CD180

72%72乃?OC”.727r（OA—OC）口口7271-AC9090

=36,??--------------------^=36,即=36解得/^7=一X----X28.7,故答案為:

180180180180713.14

28.7.

13.（2024.江蘇鹽城.中考真題）已知圓錐的底面圓半徑為4,母線長為5,則圓錐的側(cè)面積是.

【答案】20萬

【分析】結(jié)合題意，根據(jù)圓錐側(cè)面積和底面圓半徑、母線的關(guān)系式計(jì)算，即可得到答案.

【解析】?圓錐的底面圓半徑為4,母線長為5圓錐的側(cè)面積S=;rx4x5=20;r故答案為：20萬.

14.（2024?江蘇揚(yáng)州?中考真題）若用半徑為10cm的半圓形紙片圍成一個(gè)圓錐的側(cè)面，則這個(gè)圓錐底面圓

的半徑為—cm.

【答案】5

【分析】本題考查了圓錐的計(jì)算.用到的知識點(diǎn)為：圓錐的側(cè)面展開圖弧長等于底面周長.

根據(jù)題意得圓錐的母線長為10cm,以及圓錐的側(cè)面展開圖的弧長，也就是圓錐的底面周長，除以2萬即為

圓錐的底面半徑.

【解析】圓錐的側(cè)面展開圖的弧長為2萬*10+2=10萬（cm）,.?.圓錐的底面半徑為10萬+2萬=5（cm）,故答案

為：5.

15.（2024?四川自貢?中考真題）龔扇是自貢“小三絕”之一.為弘揚(yáng)民族傳統(tǒng)文化，某校手工興趣小組將一

個(gè)廢棄的大紙杯側(cè)面剪開直接當(dāng)作扇面，制作了一個(gè)龔扇模型（如圖）.扇形外側(cè)兩竹條AB,AC夾角為

120°.A3長30cm,扇面的5D邊長為18cm,則扇面面積為cm?（結(jié)果保留萬）.

BC

DE

A

【答案】252萬

【分析】根據(jù)扇形公式進(jìn)行計(jì)算即可.本題考查了扇面面積計(jì)算，掌握扇面面積等于兩個(gè)扇形面積相減是

解題的關(guān)鍵.

【解析】扇面面積=扇形BAC的面積-扇形DAE的面積=120X%X302_120XTTX（30-181=3007r

360360

=252萬（cm?）,故答案為：252%.

16.（2024?甘肅?中考真題）甘肅臨夏磚雕是一種歷史悠久的古建筑裝飾藝術(shù)，是第一批國家級非物質(zhì)文化

遺產(chǎn).如圖1是一塊扇面形的臨夏磚雕作品，它的部分設(shè)計(jì)圖如圖2,其中扇形03c和扇形OAD有相同

的圓心。，且圓心角/。=100。，若。4=120cm,O3=60cm,則陰影部分的面積是cm2.（結(jié)果用

兀表示）

、?

6

【答案】3000萬

【分析】根據(jù)扇形面積公式計(jì)算即可.本題考查了扇形面積公式，熟練掌握扇形面積公式是解題的關(guān)鍵.

【解析r.?圓心角NO=100。，OA=UOcm,OB=60cm,二陰影部分的面積是一100x-x6（）2

360360

=3000萬cm，故答案為：3000萬.

17.（2024?黑龍江綏化?中考真題）用一個(gè)圓心角為126。，半徑為10cm的扇形作一個(gè)圓錐的側(cè)面，這個(gè)圓

錐的底面圓的半徑為cm.

【答案】|

【分析】本題考查了弧長公式，根據(jù)圓錐的底面圓的周長等于側(cè)面的弧長，代入數(shù)據(jù)計(jì)算，即可求解.

【解析】設(shè)這個(gè)圓錐的底面圓的半徑為Rem,由題意得，靄*10*兀=2無"解得：R=g故答案為：

18.（2024?廣東深圳?中考真題）如圖，在矩形ABCD中，BC=^AB,。為8c中點(diǎn)，OE=AB=4,則扇

形EO歹的面積為.

【分析】本題考查了扇形的面積公式，解直角三角形.利用解直角三角形求得/80E=45。，NCOF=45。,

得到NEO尸=90。，再利用扇形的面積公式即可求解.

【解析】VBC=y/2AB,AB=4,BC=4及，為BC中點(diǎn)，O8=OC=：BC=2頂，?.?OE=4,在

R/OBE中，cosZBOE^—=^=—,AZBOE=45°,同理/CO尸=45°,

OE42

90^-.42

ZEOF=180°-45°-45°=90°,；.扇形EOb的面積為絲一=4萬，故答案為：4萬.

360

19.（2024?吉林長春?中考真題）一塊含30。角的直角三角板ABC按如圖所示的方式擺放，邊A3與直線/重

合，AB=12cm.現(xiàn)將該三角板繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)C'落在直線/上，則點(diǎn)A經(jīng)過的路徑

長至少為cm.（結(jié)果保留乃）

【分析】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、弧長公式等知識點(diǎn)，掌握弧長公式成為解題的關(guān)鍵.

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得//由。=/4'30=60。,即//陰=120°,再根據(jù)點(diǎn)A經(jīng)過的路徑長至少為以B為圓心,

以48為半徑的圓弧的長即可解答.

【解析】：將該三角板繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)C'落在直線/上，/ASC=/A'3C=60。,即

,?1r120°1020?位20%

Z^BA=120°,..點(diǎn)A經(jīng)過的路徑長至少為———=—.故答案為：—.

18033

20.（2024?江蘇蘇州?中考真題）鐵藝花窗是園林設(shè)計(jì)中常見的裝飾元素.如圖是一個(gè)花瓣造型的花窗示意

圖，由六條等弧連接而成，六條弧所對應(yīng)的弦構(gòu)成一個(gè)正六邊形，中心為點(diǎn)O,所在圓的圓心C恰好

是的內(nèi)心，若AB=2后，則花窗的周長（圖中實(shí)線部分的長度）=.（結(jié)果保留兀）

【答案】87t

【分析】題目主要考查正多邊形與圓，解三角形，求弧長，過點(diǎn)C作CELAB,根據(jù)正多邊形的性質(zhì)得出

AAOB為等邊三角形，再由內(nèi)心的性質(zhì)確定NC4O=/C4E=NCBE=30。，得出NACB=120。，利用余弦

得出AC=f^=2,再求弧長即可求解，熟練掌握這些基礎(chǔ)知識點(diǎn)是解題關(guān)鍵?

cos30

［解析】如圖所示:過點(diǎn)C作CE，AB,???六條弧所對應(yīng)的弦構(gòu)成一個(gè)正六邊形，...^AOB=60°,OA=OB,

：.AAOB為等邊三角形，：圓心C恰好是AABO的內(nèi)心，NC4O=ZCAE=ZCBE=30°,ZACB=120°,

???AB=2g,??.AE=JBE=JL...AC=TS=2,???AS的長為：,花窗的周長為：

cos3001803

4

1?ix6=8無，故答案為：87r.

O

21.（2024?甘肅臨夏?中考真題）如圖，對折邊長為2的正方形紙片ABC。，O河為折痕，以點(diǎn)。為圓心，OM

為半徑作弧，分別交AD,BC于E,歹兩點(diǎn)，則用的長度為（結(jié)果保留兀）.

【答案】胃2萬2?

【分析】本題主要考查了弧長的計(jì)算、正方形的性質(zhì)及翻折變換（折疊問題），解直角三角形，熟知正方

形的性質(zhì)、圖形翻折的性質(zhì)及弧長的計(jì)算公式是解題的關(guān)鍵.

由對折可知，Z.EOM=ZFOM,過點(diǎn)Er作的垂線，進(jìn)而可求出NEOM的度數(shù)，則可得出NEO/的度

數(shù)，最后根據(jù)弧長公式即可解決問題.

【解析】：折疊，且四邊形ABC。是正方形四邊形AOMD是矩形，Z,EOM=AFOM,則0A/=AD=2,

DM=gcD=l.過點(diǎn),E作EPLOM于P,貝UEP=￡>M=；C。=1,OE=OM=AD=2,CD=AD=2,

iEP1

.?.EP=—OE在Rt△石OP中，sin/EOP=——=—,ZEOP=30°,則NEO尸=30°x2=60。，?石尸的長度

2OE2一

、j60??227r卜人為山?、j27r

為：f—=7,故答案為：v

loU3D

22.（2024?黑龍江大興安嶺地?中考真題）若圓錐的底面半徑為3,側(cè)面積為36兀，則這個(gè)圓錐側(cè)面展開圖

的圓心角是°.

【答案】90

【分析】此題主要考查了圓錐的側(cè)面積公式以及與展開圖扇形面積關(guān)系，求出圓錐的母線長是解決問題的

關(guān)鍵.根據(jù)圓錐的側(cè)面積公式S=71〃求出圓錐的母線長，再結(jié)合扇形面積公式即可求出圓心角的度數(shù).

【解析】根據(jù)圓錐側(cè)面積公式：S=7trl,可得兀x3x/=36兀解得：/=12,.?.耳里=36兀，解得力=90,，

360

側(cè)面展開圖的圓心角是90。.故答案為：90.

23.（2024?吉林長春?中考真題）如圖，A8是半圓的直徑，AC是一條弦，。是AC的中點(diǎn)，DEJ.AB于

點(diǎn)E,交AC于點(diǎn)F，交AC于點(diǎn)G,連結(jié)A￡>.給出下面四個(gè)結(jié)論:

?ZABD=ZDAC；

?AF=FG；

③當(dāng)。G=2,GB=3時(shí)，F(xiàn)G=—；

2

④當(dāng)80=240，AB=6時(shí)，△￡>尸G的面積是6.

上述結(jié)論中，正確結(jié)論的序號有.

【答案】①②③

【分析】如圖：連接DC,由圓周角定理可判定①；先說明NBDE=ZAGD、ZADE=可得DF=FG、

AF=FD,即AF=EG可判定②；先證明AADG-A的可得空=空，即=空，代入數(shù)據(jù)可得

BDADDG+BGAD

AO=Ji6,然后運(yùn)用勾股定理可得AG=JIZ，再結(jié)合AF=FG即可判定③；如圖：假設(shè)半圓的圓心為O,

連接CO,CD,易得NAOD=NOOC=60。，從而證明△A。。,是等邊三角形，即ADCO是菱形,

然后得到Nn4C=NQ4C=30。，再解直角三角形可得0G=2有，根據(jù)三角形面積公式可得S△.=66，

最后根據(jù)三角形的中線將三角形平分即可判定④.

【解析】如圖：連接???。是。的中點(diǎn)，即①正確；,?,是直徑,

oc,4???AO=JDC，???NABO=NDAC,Ag

AZADB=90°,AZZMC+ZAGZ)=90°,?:DELAB：?2BDE?ABD90?/：ZABD=ZDAC,：.

/BDE=ZAGD,：.DF=FG,9：?BDE?ABD90?,NBDE+NADE=90。，；.NADE=NABD,

ZABD=ZDAC,：?ZADE=NDAC,:?AF=FD,工AT=LG,即②正確；在△MG和△&M,

ZADG=ZBDA=90°ADGDADGD.AD2

AADGS^BDA,——=——，即Rn--------———，即AD=A/TO,?*?

/DAG=/DBABDADDG+BG-AD，**2+3AD

AG=NAD2+DG2=岳,AF=FG,FG=^AG=^,即③正確；如圖：假設(shè)半圓的圓心為。，連

接O，CO,CD,?.?BD=2A￡＞，AB=6,。是AC的中點(diǎn)，A。=OC=；A2,ZAC?=NDOC=60。，

?.?04=OD=OC,.*.AAOOAODC是等邊三角形，04=仞=。。=0。=00=6,即AT?CO是菱形，，

ZDAC=ZOAC=-ZDAO=30°,VZADB=90°,：.tanADAC=tan30°=—,即立=型，解得：

2AD36

DG=2A/3,51AD.DG=6x2A/3=673,'：AF=FG：.S^DFG=1sMDG=343,即④錯(cuò)誤.故答案

為：①②③.

AEOB

三、解答題

24.(2024?廣東?中考真題)綜合與實(shí)踐

【主題】濾紙與漏斗

【素材】如圖1所示：

①一張直徑為10cm的圓形濾紙；

②一只漏斗口直徑與母線均為7cm的圓錐形過濾漏斗.

b-7cm-H

圖1

【實(shí)踐操作】

步驟1：取一張濾紙；

步驟2：按如圖2所示步驟折疊好濾紙；

步驟3：將其中一層撐開，圍成圓錐形；

步驟4：將圍成圓錐形的濾紙放入如圖1所示漏斗中.

【實(shí)踐探索】

(1)濾紙是否能緊貼此漏斗內(nèi)壁(忽略漏斗管口處)？用你所學(xué)的數(shù)學(xué)知識說明.

(2)當(dāng)濾紙緊貼漏斗內(nèi)壁時(shí)，求濾紙圍成圓錐形的體積.(結(jié)果保留兀)

【分析】本題考查了圓錐，解題的關(guān)鍵是：

(1)利用圓錐的底面周長=側(cè)面展開扇形的弧長求出圓錐展開圖的扇形圓心角，即可判斷；

(2)利用圓錐的底面周長=側(cè)面展開扇形的弧長，求出濾紙圍成圓錐形底面圓的半徑，利用勾股定理求

出圓錐的高，然后利用圓錐體積公式求解即可.

解：(1)能，

理由：設(shè)圓錐展開圖的扇形圓心角為廢，

根據(jù)題意，得黑，=7%，

lot)

解得a=180?,

二將圓形濾紙對折，將其中一層撐開，圍成圓錐形，此時(shí)濾紙能緊貼此漏斗內(nèi)壁;

（2）設(shè)濾紙圍成圓錐形底面圓的半徑為-cm,高為〃cm,

3UK?一180萬x5

根據(jù)題思，得271r=———,

1X0

解得「=|，

?"卜圖=沁

圓錐的體積為

33⑴224

25.（2024.黑龍江大興安嶺地?中考真題）如圖，在正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長都是1個(gè)單位長度,

在平面直角坐標(biāo)系中，AABC的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（-U）,B（-2,3）,C（-5,2）.

⑴畫出AABC關(guān)于y軸對稱的△AAG，并寫出點(diǎn)鳥的坐標(biāo)；

（2）畫出AABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。后得到的AAB2G,并寫出點(diǎn)B2的坐標(biāo)；

（3）在（2）的條件下，求點(diǎn)8旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)當(dāng)?shù)倪^程中所經(jīng)過的路徑長（結(jié)果保留兀）

【分析】本題考查了利用旋轉(zhuǎn)變換作圖，軸對稱和扇形面積公式等知識，熟練掌握網(wǎng)格結(jié)構(gòu)準(zhǔn)確找出對應(yīng)

點(diǎn)的位置是解題的關(guān)鍵.

（1）根據(jù)題意畫出即可；關(guān)于y軸對稱點(diǎn)的坐標(biāo)橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)不變；

（2）根據(jù)網(wǎng)格結(jié)構(gòu)找出點(diǎn)8、C以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。后的對應(yīng)點(diǎn)，然后順次連接即可；

（3）先求出AB=如，再由旋轉(zhuǎn)角等于90。，利用弧長公式即可求出.

解：（1）如圖，與G為所求；點(diǎn)耳的坐標(biāo)為（2,3）,

（2）如圖，AA與G為所求；員（一3,0）,

⑶AB=&+22=5

點(diǎn)2旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)5的過程中所經(jīng)過的路徑長跑巫=廷萬.

1802

26.（2024?山東?中考真題）如圖，在四邊形A3CD中，AD//BC,ZDAB=60°,AB=BC=2AD=2.以

點(diǎn)A為圓心，以AD為半徑作交于點(diǎn)E,以點(diǎn)B為圓心，以BE為半徑作項(xiàng)所交于點(diǎn)尸，連接尸。

交環(huán)于另一點(diǎn)G,連接CG.

C

（1）求證：CG為如■所在圓的切線;

（2）求圖中陰影部分面積.（結(jié)果保留萬）

【分析】本題考查平行四邊形的性質(zhì)和判定，圓的性質(zhì)，扇形面積，等邊三角形的性質(zhì)等知識點(diǎn)，證明四

邊形ABFD是平行四邊形是解題關(guān)鍵.

（1）根據(jù)圓的性質(zhì)，證明3尸===M=即可證明四邊形MED是平行四邊形，再證明ABFG

是等邊三角形，再根據(jù)圓的切線判定定理即可證得結(jié)果.

（2）先求出平行四邊形的高DH,根據(jù)扇形面積公式三角形面積公式，平行四邊形面積公式求解即可.

解：（1）連接BG如圖,

C

根據(jù)題意可知：AD=AE,BE=BF

又?；AB=BC,

：.CF=AE=AD,

,:BC=2AD,

：.BF=BE=AD=AE=CF,

'：AD//BC,

???四邊形ABED是平行四邊形,

：.ZBFD=ZDAB=60°,

BG=BF,

???△班G是等邊三角形，

：.GF=BF,

:.GF=BF=FC,

???G在以3。為直徑的圓上，

ZBGC=90°,

???CG為〃所在圓的切線.

(2)過。作于點(diǎn)H,

由圖可得：S陰影=^nABFD~S扇AEO一^SBEG—SABFG,

在中，AD^l,ZZMfi=60°,

???DH=ADsinZDAB=1X^=^9

22

**?uASDrAUBFD=A5-DH=22、x,

由題可知：扇形和扇形3GE全等,

n7ir2_60萬(A。)？_60x〃xP_冗

360--360———360—~~6

等邊三角形5尸G的面積為：-GFDH=-xlx^=^,

2224

=6-71百_3A/371

S陰影^aABFD-S扇AE￡>一S扇⑶及；一^BFG

6~-~3

27.(2024?福建?中考真題)如圖，在44BC中，ZBAC=9Q°,AB=AC,以A3為直徑的。。交8C于點(diǎn)。,

AE^OC,垂足為瓦BE的延長線交AD于點(diǎn)F.

(3)求證：AD與所互相平分.

Ap

【分析】(1)先證得AC=2AO,再在RIAAOC中，tanNAOC=—=2.在RtAAOE中，tanZAOC=—,

AOOE

Ap

可得差=2,再證得結(jié)果；

OE

(2)過點(diǎn)8作交E。延長線于點(diǎn)M,先證明,可得AE=,再

證得ZBAE=NCBE,再由相似三角形的判定可得結(jié)論；

ApAR9ADAO

(3)如圖，連接。瓦。尸，由(2)AAEBsABEC,可得一=—=——=—，/EAO=NEBD,從而

BEBC2BDBD

得出AAOESABOE,得出N3ED=NAEO=90。，得出NAFB=NDEF,再由平行線判定得出

AE//FD,從而得出四邊形A￡Zm是平行四邊形，最后由平行四邊形的性質(zhì)可得結(jié)果.

解：(1)?.?AB=AC,且AB是。。的直徑，

AC=2AO.

vZa4C=90°,

??在Rt^AOC中，tanzLAOC=---=2.

AO

?：AELOC,

??在RtZ\AO￡中，tanNAOC=--.

OE

-=2,

OE

.OE_1

,AE"2；

(2)過點(diǎn)與作9交E。延長線于點(diǎn)M.

c

NBAE=ZABM,ZAEO=ZBMO=90°

-AO=BO,

./\AOE^ABOM,

.AE=BM,OE=OM.

OE_1

~AE~29

,BM=2OE=EM,

;ZMEB=/MBE=45。,

.ZAEB=/AEO+/MEB=135。,ZBEC=180°-ZMEB=135°,

.ZAEB=ZBEC.

-AB=AC,ZBAC=90°f

.ZABC=45°,

:.ZABM=ZCBEf

:.ZBAE=ZCBE,

/.△AEB^ABEC.

(3)如圖，連接。E,O尸.

,「AB是。。的直徑,

z.ZADB=ZAFB=90°,AB=2AO.

AB=AC,ZBAC=90°9

BC=2BD,/DAB=45。.

由（2）知，AAEBsABEC,

四=空=%=絲

BEBC2BDBD

:.AAOESABDE,

:./BED=/AEO=90。.

:"DEF=90。.

:.ZAFB=ZDEF,

:.AF//DE.

由（2）知，ZA￡S=135°,

ZAEF=180°-ZAEB=45°.

?.?ZDFB=NDAB=45°,

：.ZDFB=ZAEF,

:.AE//FD,

四邊形A￡Z用是平行四邊形，

AZ）與所互相平分.

28.（2024?陜西?中考真題）問題提出

(1)如圖1,在中，AB=15,ZC=30°,作AABC的外接圓。O.則ACB的長為;(結(jié)果

保留兀)

問題解決

(2)如圖2所示，道路A8的一側(cè)是濕地.某生態(tài)研究所在濕地上建有觀測點(diǎn)。，E,C,線段AZ),AC和

8c為觀測步道，其中點(diǎn)A和點(diǎn)2為觀測步道出入口，已知點(diǎn)E在AC上，且AE=EC,ZZMS=60°,

ZABC=12Q°,AB=1200m,AD=BC=9^m,現(xiàn)要在濕地上修建一個(gè)新觀測點(diǎn)尸，使NOPC=60。.再

在線段48上選一個(gè)新的步道出入口點(diǎn)?并修通三條新步道尸尸，PD,尸C,使新步道P廠經(jīng)過觀測點(diǎn)E,

并將五邊形ABCPD的面積平分.

請問：是否存在滿足要求的點(diǎn)尸和點(diǎn)F?若存在，求此時(shí)的長；若不存在，請說明理由.(點(diǎn)A,8,C,

P,。在同一平面內(nèi)，道路48與觀測步道的寬、觀測點(diǎn)及出入口的大小均忽略不計(jì)，結(jié)果保留根號)

【分析】(1)連接04、OB,證明AOLB等邊三角形，再利用弧長公式計(jì)算即可求解；

(2)點(diǎn)尸在以。為圓心，圓心角為120。的圓上，如圖，由題意知直線尸尸必經(jīng)過的中點(diǎn)M,得到四邊

形AfMD是平行四邊形，求得不M=">=900m,作CNLPR于點(diǎn)N,解直角三角形求得CN和的長，

再證明△PMCy^opc,禾(］用相似三角形的性質(zhì)求得尸C。=720000,據(jù)此求解即可.

解：(1)連接。4、OB,

Q~

,/ZC=30°,

ZA(9B=60°,

"?OA=OB,

AQAB等邊三角形,

AB=15,

OA=OB=15,

故答案為：25萬；

(2)存在滿足要求的點(diǎn)尸和點(diǎn)凡此時(shí)玄的長為(3006+1200)m.理由如下,

VZZMB=60°,ZABC=120°,

：.ZDAB+ZABC=1SO°,

：.AD//BC,

"?AD=BC=9(X)m,

四邊形ABCD是平行四邊形，

,/要在濕地上修建一個(gè)新觀測點(diǎn)P,使ZDPC=60°,

...點(diǎn)P在以。為圓心，CD為弦,圓心角為120。的圓上，如圖,

.??經(jīng)過點(diǎn)E的直線都平分四邊形ABCD的面積，

?..新步道PF經(jīng)過觀測點(diǎn)E,并將五邊形ABCPD的面積平分,

/.直線PF必經(jīng)過8的中點(diǎn)M,

板是ACA。的中位線，

/.ME//AD,

'：MF//AD,DM//AF,

.,?四邊形AFMD是平行四邊形,

FM=AD=900m,

作CNLPF于點(diǎn)N,

:四邊形是平行四邊形，ZDAB=60°,

：.ZPMC=ZDMF=ZDAB=60°,

,/CM=|cD=1AB=600(m)

：.MN=CM-cos600=300(m),CN=CM-sin600=300^(m),

,?Z.PMC=Z.DPC=60°,

APMCs^DPC,

.PCCMPC600

??=，艮RInJ=,

CDPC1200PC

/.PC2