2024八年級數(shù)學上冊階段拔尖專訓第6招“將軍飲馬”求最值習題課件新版浙教版

浙教版八年級上第6招“將軍飲馬”求最值01分類訓練目

錄CONTENTS教你一招

解決“將軍飲馬”最值問題以及其他幾何最值問題的核

心原理在以下兩點：一、兩點之間線段最短；二、垂線段最

短.主要步驟就是：找對稱點和連線求解.

兩個動點求線段和最小1.

如圖，

BD

是△

ABC

的角平分線，

E

和

F

分別是

AB

和

BD

上的動點，已知△

ABC

的面積是12

cm2，

BC

的長是8

cm，則

AF

＋

EF

的最小值是

cm.3

12342.

如圖，∠

AOB

＝30°，點

P

為∠

AOB

內一點，

OP

＝8.

點

M

，

N

分別在射線

OA

，

OB

上.當△

PMN

的周長最小

時，下列結論：①∠

MPN

等于120°；②∠

MPN

等于100°；③△

PMN

周長的最小值為4；④△

PMN

周長的最小值為8.其中正確的是

(填序號).①④

1234【點撥】分別作點

P

關于

OA

，

OB

的對稱點

P1，

P2，連結

P1

P2交

OA

于點

M

，交

OB

于點

N

，則

OP1＝

OP

＝

OP2，∠

P1

OA

＝∠

POA

，∠

POB

＝∠

P2

OB

，

PM

＝

P1

M

，

PN

＝

P2

N

，此時△

PMN

的周長最小，最小值＝

P1

P2.易得

∠

P1

OP2＝2∠

AOB

＝60°，1234∴△

OP1

P2是等邊三角形.∴∠

MPN

＝∠

OPM

＋∠

OPN

＝∠

OP1

M

＋∠

OP2

N

＝

120°，

P1

P2＝

OP1＝

OP

＝8.∴△

PMN

周長的最小值為8.∴①④正確.12343.

[2024·杭州拱墅區(qū)期中]如圖，在等腰直角三角形

ABC

中，

AB

＝

BC

＝4，點

D

在邊

BC

上且

CD

＝1，點

E

，

F

分別為邊

AB

，

AC

上的動點，連結

DE

，

EF

，

DF

得到

△

DEF

，求△

DEF

周長的最小值.1234【解】如圖，作點

D

關于

AB

的對稱點

G

，關于

AC

的對

稱點

H

，連結

GH

，分別交

AB

，

AC

于點

E

，

F

，連結

CH

，此時△

DEF

的周長最小，最小周長為

GH

的長度.∵∠

ABC

＝90°，點

D

與點

G

關于

AB

對稱，∴

G

，

B

，

D

，

C

在同一條直線上.∵在等腰直角三角形

ABC

中，

AB

＝

BC

，∴∠

A

＝∠

ACB

＝45°.1234∵

BC

＝4，

CD

＝1，∴

BD

＝3.由對稱性可知

GB

＝

DB

＝3，

CH

＝

CD

＝1，∠

FCH

＝

∠

FCD

＝45°，∴∠

HCG

＝90°，

GC

＝

GB

＋

BD

＋

DC

＝3＋3＋1＝7.

1234

距離固定的兩個動點問題求解4.

如圖，直線

a

⊥

b

，垂足為

O

，長為2的線段

CD

(點

D

在

C

右側)在直線

a

上移動，

A

，

B

兩點在直線

b

上，且

OA

＝

AB

＝2，連結

AC

，

BD

，則

AC

＋

BD

的最小值

為

?.

1234【點撥】如圖，將線段

AC

沿直線

a

向右平移，平移距離為2，

則點

C

與點

D

重合.設點

A

的對應點為

A1，作點

A1關于直

線

a

的對稱點

A2，

A1

A2交直線

a

于點

E

，連結

A2

D

，由

平移和對稱的性質得

AC

＝

A2

D

，連結

BA2.∵

BD

＋

A2

D

≥

BA2，∴線段

BA2的長即為

AC

＋

BD

的最小值.1234過點

A2作直線

b

的垂線，垂足為

H

，則易得

HA2＝

OE