四川省雅安市天立集團(tuán)2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題 含解析

天立教育集團(tuán)2023年11月高2023級(jí)期中考試數(shù)學(xué)題卷（人教A版2019）（本試卷共4頁，22題．滿分150分．考試用時(shí)120分鐘）注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的班級(jí)、姓名、考號(hào)填寫在答題卡上．2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再涂其他答案標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結(jié)束后，將答題卡交回．第Ⅰ卷（選擇題）一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．）1.集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】運(yùn)用集合交集的定義直接求解即可．【詳解】因?yàn)榧希?，所以，故選：C．2.命題“”的否定是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用含有一個(gè)量詞的命題的否定規(guī)律“改量詞，否結(jié)論”分析判斷即可得解.【詳解】解：因?yàn)槊}“”是存在量詞命題，所以其否定是全稱量詞命題，即“”.故選：B.3.已知，，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】設(shè)，利用待定系數(shù)法求得，利用不等式的性質(zhì)即可求的取值范圍.【詳解】設(shè)，所以，解得：，，因?yàn)?，，所以，故選：A.4.命題“”為真命題的一個(gè)充分不必要條件是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求解命題“”為真命題時(shí)，即可根據(jù)真子集求解.【詳解】命題“”為真命題,則對(duì)恒成立，所以，故，所以命題“”為真命題的充分不必要條件需要滿足是的真子集即可，由于是的真子集，故符合，故選：D5.已知冪函數(shù)，下列能成為“是上奇函數(shù)”充分條件的是（）A.， B.，C.， D.，【答案】D【解析】【分析】根據(jù)冪函數(shù)定義域、奇偶性的判斷方法依次判斷各個(gè)選項(xiàng)即可.【詳解】對(duì)于A，，定義域?yàn)?，又，是定義在上奇函數(shù)，充分性不成立，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，的定義域?yàn)?，為非奇非偶函?shù)，充分性不成立，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，的定義域?yàn)?，又，是定義在上的偶函數(shù)，充分性不成立，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，的定義域?yàn)椋?，是定義在上的奇函數(shù)，充分性成立，D正確.故選：D.6.若，且滿足，則的最小值是（）A.12 B.14 C.16 D.18【答案】B【解析】【分析】利用基本不等式求得正確答案.【詳解】，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.所以的最小值是.故選：B7.函數(shù)的圖象大致為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性可排除C，根據(jù)特殊值法可排除BD，即可求解.【詳解】由于定義域?yàn)?，所以，故，為奇函?shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，C錯(cuò)誤；，B錯(cuò)誤，，D錯(cuò)誤，故選：A．8.定義在R上的奇函數(shù)對(duì)任意都有，若，則不等式的解集是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】構(gòu)造，結(jié)合題設(shè)易知在上遞減，且在R上的奇函數(shù)，進(jìn)而有在上遞減，進(jìn)而求出不等式的解集.【詳解】由題設(shè)對(duì)任意都有，所以在上遞減，又為R上的奇函數(shù)，所以，故在R上也為奇函數(shù)，則在上遞減，又，則，故，綜上，有.故選：B二、多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．）9.下列命題為真命題的是（）A.若，則 B.若，，則C.若，，則 D.若，，則【答案】AB【解析】【分析】對(duì)于A、D項(xiàng)運(yùn)用作差法判斷，對(duì)于B項(xiàng)由不等式性質(zhì)可判斷，對(duì)于C項(xiàng)舉反例可判斷.【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，因?yàn)?，所以且，即：且，故A項(xiàng)正確；對(duì)于B項(xiàng)，運(yùn)用不等式的性質(zhì)可知，若，，則正確，故B項(xiàng)正確；對(duì)于C項(xiàng)，當(dāng)，，，時(shí)，滿足，，但不滿足，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D項(xiàng)，因?yàn)?，又因?yàn)椋?，所以，，所以，即：，故D項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：AB.10.下列函數(shù)中，值域?yàn)榈氖牵ǎ〢. B.C. D.【答案】AC【解析】【分析】逐項(xiàng)判斷各項(xiàng)的值域，即可得解.【詳解】對(duì)于A，由可得，故A正確；對(duì)于B，由可得該函數(shù)的值域?yàn)?，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由可得該函數(shù)的值域?yàn)?，故C正確；對(duì)于D，，所以該函數(shù)的值域不為，故D錯(cuò)誤.故選：AC.11.若函數(shù)為實(shí)數(shù)集上的增函數(shù)，則實(shí)數(shù)可以為（）A.2 B. C.3 D.1【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)一次函數(shù)和二次函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合分割點(diǎn)處函數(shù)值之間的關(guān)系，列出不等式，求解即可.【詳解】根據(jù)題意可得：，且，解得.故選：AC12.已知關(guān)于的不等式的解集為，則下列說法錯(cuò)誤的是（）A.，則B.若，則關(guān)于x的不等式的解集為C.若為常數(shù)，且，則的最小值為D.若的解集M一定不為【答案】AC【解析】【分析】選項(xiàng)A中，由二次函數(shù)的性質(zhì)得到，可判定A錯(cuò)誤；選項(xiàng)B中，轉(zhuǎn)化為和是方程的兩個(gè)實(shí)根，求得，把不等式化簡(jiǎn)得到，求得的解集，可判定B正確；選項(xiàng)C中，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，求得，化簡(jiǎn)得到，令，結(jié)合基本不等式，求得的最大值，可判定C錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，由函數(shù)表示開口向下的拋物線，可判定D正確.【詳解】由題意，關(guān)于的不等式的解集為，對(duì)于A中，若，即不等式的解集為空集，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，則滿足，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B中，若，可得和是方程兩個(gè)實(shí)根，且，可得，解得，則不等式，可化為，即，解得或，即不等式的解集為，所以B正確；對(duì)于C中，若為常數(shù)，可得是唯一的實(shí)根，且，則滿足，解得，所以，令，因?yàn)榍?，可得，且，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最大值為，所以C錯(cuò)誤；對(duì)于D中，當(dāng)時(shí)，函數(shù)表示開口向下的拋物線，所以當(dāng)?shù)慕饧欢ú粸椋訢正確.故選：AC.第Ⅱ卷（非選擇題）三、填空題：（本題共4小題，每小題5分，共20分．）13.已知集合，若，則實(shí)數(shù)__________.【答案】0【解析】【分析】根據(jù)并集結(jié)果結(jié)合集合A，B的特征運(yùn)算求解.【詳解】因?yàn)?，且，可知，又因?yàn)?，則，且當(dāng)時(shí)，，滿足，綜上所述：.故答案為：0.14.函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是________________.【答案】和【解析】【分析】對(duì)函數(shù)化簡(jiǎn)后，作出函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象可求得結(jié)果.【詳解】當(dāng)或時(shí)，，對(duì)稱軸為，當(dāng)時(shí)，，對(duì)稱軸為，作出的圖象如圖所示，由圖可知單調(diào)遞減區(qū)間為，故答案為：和15.已知命題“，使”是假命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍為______．【答案】【解析】【分析】由特稱命題的否定轉(zhuǎn)化為恒成立問題后列式求解即可.【詳解】由題意可知，恒成立，當(dāng)時(shí)，恒成立，當(dāng)時(shí)，，解得，綜上，故答案為：16.已知實(shí)數(shù)，當(dāng)取得最小值時(shí)，則的值為_________．【答案】【解析】【分析】先利用基本不等式求最值，根據(jù)取等條件得，即即得.【詳解】根據(jù)題意可得，，因，所以，，所以即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)，解得，則．故答案為：四、解答題（本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）17.已知集合，.（1）當(dāng)時(shí)，求；（2）若，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）代入，求解集合，，按照交集的定義直接求解即可；（2）求解集合，由并集為全集得出集合的范圍，從而求出的范圍.【小問1詳解】解：由得或.所以.當(dāng)時(shí)，.所以.【小問2詳解】由題意知].又，因?yàn)椋?所以.所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.18.已知函數(shù)（1）求的值；（2）若，求．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】(1)根據(jù)給定函數(shù)，先求，再求即可；(2)根據(jù)給定條件按和分段討論計(jì)算作答.【詳解】(1)依題意，，，所以的值是2；(2)因，依題意有，解得，或者，無解，于是得，所以.19.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)．（1）求n的值；（2）判斷函數(shù)單調(diào)性并用定義加以證明．【答案】（1）（2）增函數(shù)，證明見解析【解析】【分析】（1）由求得.（2）利用函數(shù)單調(diào)性的定義證得，從而判斷出的單調(diào)性.【小問1詳解】由于是定義在上的奇函數(shù)，所以，故，，經(jīng)檢驗(yàn)，為奇函數(shù)；【小問2詳解】在區(qū)間上是增函數(shù)，證明如下：設(shè)任意的，且，則∵，∴，，∴，∴，∴在上是增函數(shù).20.設(shè)．（1）若不等式對(duì)一切實(shí)數(shù)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）解關(guān)于的不等式．【答案】（1）（2）答案見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)的正負(fù)性，結(jié)合一元二次不等式的解集的性質(zhì)分類討論進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)的正負(fù)性，結(jié)合一元二次方程兩根的大小關(guān)系分類討論進(jìn)行求解即可.【小問1詳解】不等式.當(dāng)時(shí)，，即不等式僅對(duì)成立，不滿足題意，舍去.當(dāng)時(shí)，要使對(duì)一切實(shí)數(shù)恒成立.則，解得.綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為.【小問2詳解】當(dāng)時(shí)，解得.當(dāng)時(shí)，.①若，的解為；②若，當(dāng)即時(shí)，解得.當(dāng)時(shí)，，的解為或.當(dāng)時(shí)，，的解為或.綜上，當(dāng)時(shí)，不等式解集為；當(dāng)時(shí)，不等式解集為；當(dāng)時(shí)，不等式解集為；當(dāng)時(shí)，不等式解集為；當(dāng)時(shí)，不等式解集為.21.華為為了進(jìn)一步增加市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)力，計(jì)劃在2023年利用新技術(shù)生產(chǎn)某款新手機(jī)，通過市場(chǎng)分析，生產(chǎn)此款手機(jī)全年需投入固定成本250萬，每生產(chǎn)（千部）手機(jī)，需另投入成本萬元，且，由市場(chǎng)調(diào)研知，每部手機(jī)售價(jià)0.7萬元，且全年內(nèi)生產(chǎn)的手機(jī)當(dāng)年能全部銷售完（1）求出2023年的利潤（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量（千部）的函數(shù)解析式（利潤=銷售額-成本）（2）2023年產(chǎn)量為多少（千部）時(shí)，企業(yè)所獲利潤最大？最大利潤是多少？【答案】（1）（2）2023年產(chǎn)量為100（千部）時(shí)，企業(yè)所獲利潤最大，最大利潤為9000萬元【解析】【分析】（1）由題意得到，從而根據(jù)求出（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量（千部）的函數(shù)關(guān)系式；（2）時(shí)，配方求出的最大值，時(shí)，利用基本不等式求出的最大值，比較后得到結(jié)論.【小問1詳解】由題意得：，故當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量（千部）的函數(shù)關(guān)系式為：.【小問2詳解】當(dāng)時(shí)，，故當(dāng)時(shí)，取得最大值，最大值為萬元；當(dāng)時(shí)，由基本不等式得：（萬元），當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)，等號(hào)成立，因，所以2023年產(chǎn)量為100（千部）時(shí)，企業(yè)所獲利潤最大，最大利潤為9000萬元.22.已知函數(shù)是定義在上的函數(shù)，且對(duì)于任意的實(shí)數(shù)有，當(dāng)時(shí)，.（1）求證：在上是增函數(shù)；（2）若，對(duì)任意的實(shí)數(shù)，不等式恒成立，求