北師大版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè) 第1章 勾股定理 單元基礎(chǔ)卷 （含答案）

第1章《勾股定理》（單元基礎(chǔ)卷）

一、單選題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）

1.下面各組數(shù)中，是勾股數(shù)的是（)

A.9,16,25B.0.3,0.4,0.5C.1,3,2D.7,24,25

2.如圖，在4X4的正方形網(wǎng)格中（每個(gè)小正方形邊長(zhǎng)均為1）,點(diǎn)A,B,C

在格點(diǎn)上，連接AB,AC,BC,則4ABC的形狀是（）

A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.無法確定

3.已知,如圖長(zhǎng)方形ABCD中,AB=3cm,AD=9cm,將此長(zhǎng)方形折疊,使點(diǎn)D與點(diǎn)

B重合，折痕為EF,則BE的長(zhǎng)為（）

A.6cmB.9cmC.4cmD.5cm

4.如圖，若圓柱的底面周長(zhǎng)是14cm,高是48cln,從圓柱底部A處沿側(cè)面纏繞一

則這條絲線的最小長(zhǎng)度是（)

B.50cmC.54cmD.64cm

5.如圖，直線上有三個(gè)正方形，若a,c的面積分別為5和H,則b的面積為

()

6.如圖，這是用面積為18的四個(gè)全等的直角三角形拼成的“趙爽弦圖”.如果

大正方形的邊長(zhǎng)為9,那么小正方形的邊長(zhǎng)為()

7.《九章算術(shù)》是我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著，記載著這樣一個(gè)問題：“今有池方一丈,

葭生其中央，出水一尺.引葭赴岸，適與岸齊.問水深、葭長(zhǎng)各幾何？”大意是；

有一個(gè)水池，水面是一個(gè)邊長(zhǎng)為10尺的正方形，在水池正中央有一根蘆葦，它

高出水面1尺.如果把這根蘆葦拉向水池一邊的中點(diǎn)，它的頂端恰好到達(dá)池邊的

水面.水的深度與這根蘆葦?shù)拈L(zhǎng)度分別是多少？設(shè)蘆葦?shù)拈L(zhǎng)度為x尺，則可列方

程為()

A.x2+52=(x+1)2B.x2+102=(x+1)2

C.x2-52=(x-1)2D.x2-102=(x-1)2

8.我圖古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中有這樣一個(gè)問題：今有方池一丈，葭生其

中央，出水一尺，引葭赴岸，適與岸齊，問水深幾何？(注丈、尺是長(zhǎng)度單位，

1丈=10尺)意思為：如圖，有一個(gè)邊長(zhǎng)為1丈的正方形水池，在水池正中央有

一根蘆葦，它高出水面1尺，如果把這根蘆葦拉向水池一邊的岸邊，它的頂端恰

好碰到池邊的水面.則這根蘆葦?shù)拈L(zhǎng)度是()

A.5尺B.10尺C.12尺D.13尺

9.如圖，一個(gè)梯子AB長(zhǎng)2.5米，頂端A靠在墻AC上，這時(shí)梯子下端B離墻角C

的距離為1.5米，梯子滑動(dòng)后停在DE的位置上了，測(cè)得BD長(zhǎng)為0.9米，則梯子

10.如圖，城南大道的同一側(cè)有A、B兩個(gè)社區(qū)，于C,DBLMN卡

D,C、D兩點(diǎn)相距5km,已知C4=1km,DB=3km.現(xiàn)要在CD上建一個(gè)社區(qū)服務(wù)站

E,使得A、B兩社區(qū)到E站的距離相等，則CE的長(zhǎng)是（）

km.

MeEDN

A.2B.3.3C,2.5D.2.8

二、填空題（本大題共8小題，每小題4分，共32分）

11.Rt^ABC中，三邊分別是a,b,c,斜邊c=3,則a?+b2+c2的值為

12.如圖，在AABC中，ZACB=90°,以它的三邊為邊分別向外作正方形，面

積分別為Si，S2,S3,已知Si=5,S2=12,則S3=.

13.已知AABC中，AB=6cm,BC=8cm,AC=10cm,則AABC的面積是

______cm2.

14.勾股定理最早出現(xiàn)在商高的《周髀算經(jīng)》：“勾廣三，股修四，經(jīng)隅五”.觀

察下列勾股數(shù)：3,4,5；5,12,13；7,24,25；這類勾股數(shù)的特點(diǎn)是：

勾為奇數(shù)，弦與股相差為1,柏拉圖研究了勾為偶數(shù)，弦與股相差為2的一類勾

股數(shù)，如：6,8,10；8,15,17；…，若此類勾股數(shù)的勾為2m（m》3,m為正

整數(shù)），則其弦是（結(jié)果用含m的式子表示）.

15.如圖，在Rt^ABC中，ZC=90°,若AB=7,則正方形ADEC和正方形BCFG

的面積和是

16.明朝數(shù)學(xué)家程大位在他的著作《算法統(tǒng)宗》中寫了一首計(jì)算秋千繩索長(zhǎng)度的

詞《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺離地，送行二步恰竿齊，五尺板高離

地……”翻譯成現(xiàn)代文為：如圖，秋千繩索0A懸掛于。點(diǎn)，靜止時(shí)豎直下垂，A

點(diǎn)為踏板位置，踏板離地高度為一尺（AC=1尺）.將它往前推進(jìn)兩步（EBL0C

于點(diǎn)E,且EB=10尺），踏板升高到點(diǎn)B位置，此時(shí)踏板離地五尺（BD=CE=5

尺），則秋千繩索（OA或OB）長(zhǎng)尺.

17.如圖所示的正方形圖案是用4個(gè)全等的直角三角形拼成的.已知正方形ABCD

的面積為25,正方形EFGH的面積為1,若用x、y分別表示直角三角形的兩直

角邊（x>V）,下列三個(gè)結(jié)論：

①/+/=25；②x-y=l；③肛=12.其中正確的是_.（寫出所有正確結(jié)

論的序號(hào)）

18.一根直立于水中的蘆節(jié)(BD)高出水面(AC)2米，一陣風(fēng)吹來，蘆葦?shù)捻?/p>

端D恰好到達(dá)水面的C處，且C到BD的距離AC=6米，水的深度(AB)為

米

三、解答題(本大題共6小題，共60分)

19.(8分)如圖，在Rt^ABC中，ZC=90°,AB=10cm,AC=6cm,動(dòng)點(diǎn)P從

點(diǎn)B出發(fā)，以2cm/秒的速度沿BC移動(dòng)至點(diǎn)C,設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒.

(1)求BC的長(zhǎng);

(2)在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在某個(gè)時(shí)刻t,使得點(diǎn)P到邊AB的距離

與點(diǎn)P到點(diǎn)C的距離相等？若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

A

BC

20.(8分)觀察下列勾股數(shù)3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；-；

a、b、c.根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，回答下列問題：

(1)。=17時(shí)，求6、c的值；

(2)。=2〃+1時(shí)，求6、c的值.

21.(10分)如圖①，是兩個(gè)全等的直角三角形硬紙板(直角邊分別為a,b,斜

邊為c).

(1)用這樣的兩個(gè)三角形構(gòu)造成如圖②的圖形，請(qǐng)利用這個(gè)圖形驗(yàn)證勾股定

理.

(2)假設(shè)圖①中的直角三角形有若干個(gè)，請(qǐng)運(yùn)用圖①中所給的直角三角形拼

出另一種能驗(yàn)證勾股定理的圖形，畫出拼后的圖形并利用這個(gè)圖形驗(yàn)證勾股定理.

22.（10分）如圖，有一架秋千，當(dāng)他靜止時(shí)，踏板離地的垂直高度。￡=0.6m,

將他往前推送2.4m（水平距離80=2.4111）時(shí)，秋千的踏板離地的垂直高度

BF=\.2m,秋千的繩索始終拉得很直，求繩索的長(zhǎng)度.

23.(10分)有一臺(tái)風(fēng)中心沿東西方向AB由點(diǎn)A行駛向點(diǎn)B,已知點(diǎn)C為一海港,

且點(diǎn)C與直線AB上兩點(diǎn)A、B的距離分別為300km和400km,又AB=500km,以

臺(tái)風(fēng)中心為圓心周圍250km以內(nèi)為受影響區(qū)域.

(1)海港C會(huì)受臺(tái)風(fēng)影響嗎？為什么？

(2)若臺(tái)風(fēng)的速度為20km/h,臺(tái)風(fēng)影響該海港持續(xù)的時(shí)間有多長(zhǎng)？

24.（12分）在aABC中，N4CB=90°,AB=5cm,AC=3cm,動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā),

沿射線BC以Icm/s的速度移動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，當(dāng)4ABP為直角三角形

參考答案

一、單選題

1.D

【分析】

滿足的三個(gè)正整數(shù)，稱為勾股數(shù)，據(jù)此依次判斷即可.

解:A.???92+16、25，...不是勾股數(shù)，不符合題意；

B.V0.3,0.4,0.5不是正整數(shù)，，不是勾股數(shù)，不符合題意；

C.二+2%32,.?.不是勾股數(shù),不符合題意；

D.:72+242=252,.?.是勾股數(shù),符合題意.

故選：D.

2.B

【分析】

根據(jù)勾股定理求出AB、BC、AC,再根據(jù)勾股定理的逆定理計(jì)算可得出結(jié)

論.

解：由題意得：AC2=l2+22=5,AJB2=22+42=20,5C2=32+42=25,

,/5+20=25,

/.AC1+AB'=BC2,

/.ZBAC=90°,

/.V/BC為直角三角形.

故選：B.

3.D

【分析】

根據(jù)折疊的性質(zhì)可得BE=ED,設(shè)AE=x,表示出BE=9-x,然后在Rt/XABE

中，利用勾股定理列式計(jì)算即可得解.

解：...長(zhǎng)方形折疊點(diǎn)B與點(diǎn)D重合,

/.BE=ED,

設(shè)AE=x,則ED=BE=9-x,

在RtAABE中，AB-+AE2=BE2,

即3?+/=（9-x）2,

解得x=4,

.,.AE的長(zhǎng)是4cm,

/.BE=9-4=5(cm),

故選：D.

4.B

【分析】

要求絲線的長(zhǎng)，需將圓柱的側(cè)面展開，進(jìn)而根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短得出結(jié)果,

在求線段長(zhǎng)時(shí)，借助于勾股定理.

解：如圖，把圓柱的側(cè)面展開，得到矩形ACBD,

則從圓柱底部A處沿側(cè)面纏繞一圈絲線到頂部B處，這條絲線的最小長(zhǎng)

度是長(zhǎng)方形的對(duì)角線AB的長(zhǎng).

,圓柱的底面周長(zhǎng)是14cll1,高是48cH1,

.,.AB2=142+482=196+2304=2500,

.'.AB=50(cm).

故選B.

5.B

【分析】

運(yùn)用正方形邊長(zhǎng)相等，根據(jù)“AAS”證明△ACBZ^DCE,結(jié)合全等三角形和

勾股定理即可得出答案.

解：?.,a、b、c都是正方形，

.\AC=CD,ZACD=90°；

ZACB+ZDCE=ZACB+ZBAC=90°,

.\ZBAC=ZDCE,

VZABC=ZCED=90°,AC=CD,

/.AACB^ADCE(AAS),

/.AB=CE,BC=DE,

在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2=AB2+BC2=AB2+DE2,

即Sb=Sa+Sc=ll+5=16,故B正確.

【分析】

根據(jù)正方形EFGH的面積=正方形ABCD的面積-4S4ABE=9,求9的算術(shù)平方

根即可得到結(jié)論.

解:如圖,

;正方形EFGH的面積=正方形ABCD的面積-4S/sABE=92-4X18=9,

正方形EFGH的邊長(zhǎng)=3,

故小正方形的邊長(zhǎng)為3,

故選：C.

7.C

【分析】

首先設(shè)蘆葦長(zhǎng)X尺，則水深為(XT)尺，根據(jù)勾股定理可得方程(XT)2+

52=x2.

解：設(shè)蘆葦長(zhǎng)x尺，由題意得：

(x-1)2+52=x2,

即X2-52=(X-1)2

故選：C.

8.D

【分析】

依題意，蘆葦?shù)拈L(zhǎng)度為直角三角形的斜邊，水深為一直角邊，另一直角邊為

5尺，由勾股定理即可列出方程，進(jìn)而得到答案.

解：設(shè)水深x尺，則蘆葦?shù)拈L(zhǎng)度為(x+1)尺，

依題意，由勾股定理，得：X2+52=(X+1)2,

解得x=12,

所以蘆葦?shù)拈L(zhǎng)度為13尺.

故選D.

9.B

【分析】

要求下滑的距離，顯然需要分別放到兩個(gè)直角三角形中，運(yùn)用勾股定理求得

AC和CE的長(zhǎng)即可.

解：：在RtZXACB中，AC2=AB2-BC2=2.52-1.52=4,

/.AC=2米，

VBD=O.9米，

/.CD=BD+BC=O.9+1.5=2.4(米)，

V^RtAECD中，EC2=ED2-CD2=2.52-2.42=0.49,

/.EC=O.7米，

，AE=AC-EC=2-0.7=1.3(米)，故B正確.

故選：B.

10.B

【分析】

設(shè)CE=xkm,則。E=(5-x)km,再根據(jù)勾股定理分別可得/爐]攵，然后根

據(jù)4歲=8爐建立方程，解方程即可得.

解：由題意，設(shè)CE=xkm,則￡?E=CD-CE=(57)km,

CA1MN,DB1MN,CA=1km,DB=3km,

AE-=CA2+CE2=(l+x2)km2,BE2=DB2+DE2=[9+(5-x)2]km2,

???/、8兩社區(qū)到E站的距離相等，

/.AE=BE,

AE2=BE2,BP1+x2=9+(5—x)2,

解得x=3.3,

即C￡=3.3km,

故選：B.

二、填空題

n.is

【分析】

22222

先由勾股定理求得a2+b=c=9,然后求得a+b+c的值.

解：:.△ABC為直角三角形，斜邊c=3,

a2+b2=c2=22=9,

a2+b2+c2=9+9=18,

故答案為:18.

12.17

【分析】

根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論.

解：VZACB=90°,Si=5,S2=12,

/.AC2=5,BC2=12,

.,.AB2=AC2+BC2=5+12=17,

.,.S3=17,

故答案為：17.

13.24

【分析】

由勾股定理的逆定理得出AABC是直角三角形，ZB=90°,AABC的面職為

^ABxBC即可得出結(jié)果.

解：VAB=6cm,BC=8cm,AC=10cm,

.\AB2+CB2=100=AC2,

.二△ABC是直角三角形，且NB=90°,

.二△ABC的面積是gxN3x3C=gx6x8=24(cm2),

故答案為:24.

14.m2+l

【分析】

2m為偶數(shù)，設(shè)其股是a,則弦為a+2,根據(jù)勾股定理列方程即可得到結(jié)

論.

解：：2m為偶數(shù)，

???設(shè)其股是a,則弦為a+2,

根據(jù)勾股定理得，(2m)2+a2=(a+2)2,

解得a=m2-l,

...弦長(zhǎng)為m2+l,

故答案為:m2+l.

15.49

【分析】

小正方形的面積為AC的平方，大正方形的面積為BC的平方.兩正方形面積

的和為AC2+BC2,對(duì)于Rt^ABC,由勾股定理得AB2=AC2+BC2.AB長(zhǎng)度已知，故可

以求出兩正方形面積的和.

解：正方形ADEC的面積為：AC2,

正方形BCFG的面積為：BC2；

在Rt/XABC中，AB2=AC2+BC2,AB=7,

則AC2+BC2=49.

即正方形ADEC和正方形BCFG的面積和為49.

故答案為:49.

29

16.y

【分析】

設(shè)OB=OA=x(尺)，在RtaOBE中利用勾股定理構(gòu)建方程即可解決問題.

解：設(shè)OB=OA=x（尺），

在RtaOBE中，0B=x,0E=x-4,BE=10,

x2=102+（x-4）2,

._29

?*x=~，

90

???OA或OB的長(zhǎng)度為了（尺）.

故答案為：—.

17.①②③

【分析】

根據(jù)正方形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、直角三角形面積的計(jì)算公式及勾股

定理解答即可.

解：:.△ABC為直角三角形，

，根據(jù)勾股定理得：x2+y2=AB2=25,故①正確；

由圖可知，x-y=EF,即為小正方形的邊長(zhǎng)，

?.?正方形EFGH的面積為1

/.EF=1,

.*.x-y=l,故②正確；

由圖可知，四個(gè)直角三角形的面積與小正方形的面積之和為大正方形的

面積，

即4x；xxy+1=25,

；.xy=12,故③正確.

，正確結(jié)論有①②③.

故答案為：①②③.

18.8

【分析】

先設(shè)水深x米，則AB=x,則有BD=AD+AB=x+2,由題條件有BD=BC=x+2,又

根據(jù)蘆節(jié)直立水面可知BD,AC,則在直角AABC中，利用勾股定理即可求出

X.

解：設(shè)水深X米，則AB=x,

則有：BD=AD+AB=x+2,

即有：BD=BC=x+2,

根據(jù)蘆節(jié)直立水面，可知BDLAC,且AC=6,

則在直角△ABC中：AB2+AC2=BC2,

即：x2+62=(x+2)2,

解得x=8,

即水深8米，

故答案為8.

三、解答題

19.

(1)解:「在AABC中，ZC=90°,AB=10cm,AC=6cm,

BC=^AB2-AC2=8cm；

⑵解:如圖所示,過點(diǎn)P作PD_LAB于D,

由題意得3O=tcm,則尸Z)=PC=BC-8P=(8-27)cm,

在Rt/XADP和RtAACP中，

[PD=PC

[AP=AP'

ARtAADP^RtAACP(HL),

AD=AC=6cm,

BD=AB-AD=4cm,

在RtZXPBD中，BP2=PD2+BD2,

：.(2/)2=(8_2/)2+42,

解得"g.

A

20.

解：(1)觀察得給出的勾股數(shù)中，斜邊與較大直角邊的差是1,即。-6=1

"/a=17,a2+b2=c2,

.\172+62=(/)+l)2,

二b=144,

c=145.

(2)通過觀察知c-b=l,

*；(2n+l)2+fe2=c2,

C2-&2=(2H+1)2,

(C+/>)(C-/>)=(2M+1)2,

.■+6=(2〃+1)2,

?：c-b=\,

：.2ft+l=(2?+l)2,

b=2n2+2n,c=In1+2?+l.

21.

(1)解：、?四邊形ABCD是梯形，

J梯形的面積=}(a+b)(a+b)=2XyXab+yc2,

即:(a2+2ab+b2)=ab+yc2,

/.a2+b2=c2；

⑵如圖所示，可以證明a2+b2=c2.

ba

3

c

驗(yàn)證：大正方形的面積=4X：ab+(b-a)2

大正方形的面積=。2,

/.4Xyab+(b-a)2=c2,

整