河南省九師聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高三年級上冊開學(xué) 數(shù)學(xué)試題（含解析）

[WJ二數(shù)學(xué)

考生注意：

1.本試卷分選擇題和非選擇題兩部分.滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.

2.答題前，考生務(wù)必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內(nèi)項(xiàng)目填寫清楚.

3.考生作答時(shí)，請將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對

應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題

區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效.

4.本卷命題范圍：高考范圍.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的.

1.已知復(fù)數(shù)z滿足z（l—i）=i，則I的虛部為（）

11.11.

A.一B.—iC.---D.—i

2222

2.已知集合2%—7<0},5=^eN|j=-x2-4x-21,則2口5=（）

A.{0}B.{0,1,2}C.{1,2}D.{0,l}

（iV

3.x—〒展開式中的常數(shù)項(xiàng)為（）

A.-84B.-28C.28D.84

22

4.己知雙曲線C：彳—a=1（。>0,6>0）,若圓￡：（X—4）2+/=4與。的漸近線相切，則c的

離心率為（）

A.空~B.2C.272D,3

3

—一—一8

5.已知a=（2,3）,6=（-4,X）,若夕：a與6的夾角是鈍角，q：2<-,則夕是q的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

7T

6.在銳角△NBC中，記角/,B,C的對邊分別為a,b,c,若/=—,a=2,且

3

sin/—sin（8—C）=sin28,則△/BC的面積為（）

A.3GB.2GC.^-D.V3

3

7.已知圓錐的高與底面半徑之和為3,則當(dāng)該圓錐的體積取得最大值時(shí)，圓錐的側(cè)面積為（）

A.2石兀B.0若+4>C.小底iD.40+

ex-l,x>0,

8.已知函數(shù)/(x)〃2g(x)=kx-l,若關(guān)于％的方程/(x)=g(x)有2個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解,

一,x<0,

、X

則實(shí)數(shù)左的取值范圍是()

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題

目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.已知實(shí)數(shù)Q,b,c滿足〃<b<c,4c<0,則()

A.ab2<b2cB.->—D.c-a>

ca

，()

10.已知函數(shù)f(x)=sin2x-mgx=cos,則(

A./(x)與g(x)的圖象有相同的對稱中心

B./(x)與g(x)的圖象關(guān)于x軸對稱

C./(x)與g(x)的圖象關(guān)于J，軸對稱

D./(x)2g(x)的解集為—+kn,—+kn(左eZ)

1|_63

11.如圖，在棱長為2的正方體45c￡>—中，尸為棱Z4的中點(diǎn)，0為線段4。上的動(dòng)點(diǎn)，￡為

底面48C。內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，則()

人.若坐=2,則20_LZ0

B.若PE=昱,則動(dòng)點(diǎn)E的軌跡長度為冥況

C.若直線PE與平面所成的角為女JT，則點(diǎn)E的軌跡為雙曲線的一部分

113

7T

D.若直線PE與平面8CG用所成的角為一，則點(diǎn)￡的軌跡為橢圓的一部分

3

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知樣本數(shù)據(jù)：11,12,14,a,18(aeN)的標(biāo)準(zhǔn)差為26，則。=.

13.Z,B,C,。共4位同學(xué)報(bào)名參加學(xué)校組織的暑期社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，這次社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)共有：交通安

全宣傳，防火知識宣傳，防水安全教育，養(yǎng)老院志愿者服務(wù)，國情宣傳教育，養(yǎng)老院志愿者服務(wù)，國情宣

傳教育，年項(xiàng)目，每人報(bào)目僅報(bào)其中一個(gè)項(xiàng)目.記事件M為“四名同學(xué)所報(bào)項(xiàng)目互不相同”，事件N為

“僅有幺報(bào)了防火知識宣傳"，則尸.

14.如圖，已知拋物線E：x2=4y,點(diǎn)尸是￡的準(zhǔn)線/上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)尸作E的兩條切線，切點(diǎn)分別為

M,N,點(diǎn)。為線段"N的中點(diǎn)，連接PQ與E交于點(diǎn)G,在點(diǎn)G作￡的切線與尸N分別交于

點(diǎn)S,T,APST,△尸跖V的面積分別記為Sksr，SAPMN,則&^=______.

S&PMN

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.(本小題滿分13分)

某公司在員工招聘面試環(huán)節(jié)準(zhǔn)備了4道面試題，面試者按順序提問，若每位被面試者答對兩道題則通過面

試，面試結(jié)束；若每位被面試者前三道題均答錯(cuò)，則不通過面試，面試結(jié)束。已知李明答對每道題的概率

均為巳，且每道題是否答對相互獨(dú)立.

5

(1)求李明沒通過面試的概率；

(2)記李明所答題目的數(shù)量為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

16.(本小題滿分15分)

已知函數(shù)/(x)=Inx+ax??eR)在x=l處取得極值.

X

(1)求/(X)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若/(x)W—/+加恒成立，求整數(shù)6的最小值.參考數(shù)據(jù)：In4al.39,ta5?1.61.

17.(本小題滿分15分)

如圖，四棱錐尸—48C。中，底面四邊形48c。為凸四邊形，且尸。=/。=。。=4,

PA=PC=AC=46,AB=BC.

(D證明：ACVPB-

(2)已知平面4PC與平面APC夾角的余弦值為拽7,求四棱錐尸-/8C。的體積.

57

18.(本小題滿分17分)

己知橢圓C：]+。=1,點(diǎn)，(加,0)(加〉0)與C上的點(diǎn)之間的距離的最大值為6.

(1)求點(diǎn)/到。上的點(diǎn)的距離的最小值；

(2)過點(diǎn)Z且斜率不為0的直線/交。于N兩點(diǎn)(點(diǎn)m在點(diǎn)N的右側(cè))，點(diǎn)N關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)

為T.

①證明：直線過定點(diǎn)；

②已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求△板T面積的取值范圍.

19.(本小題滿分17分)

若數(shù)列｛4｝的相鄰兩項(xiàng)或幾項(xiàng)之間的關(guān)系由函數(shù)/(x)確定，則稱/(x)為｛4｝的遞歸函數(shù).設(shè)｛4｝的遞

歸函數(shù)為y(x)=-x2+%.

⑴若%=/(%)(〃eN*),證明：｛%｝為遞減數(shù)列；

(2)若a“+i=/(%)+54+%：,且％=；,｛%,｝的前九項(xiàng)和記為S”.

①求S,,；

②我們稱g(x)=[x|為取整函數(shù)，亦稱高斯函數(shù)，它表示不超過x的最大整數(shù)，例如[1.2]=1,

n22024

[一1.3]=-2.若求Xg(1)

7；=/=1X5L—T+7I,z=l

高三數(shù)學(xué)參考答案、提示及評分細(xì)則

i(l+i)_i-l_11111

1.C由z(l—i)=i,得z=.---------------------------1---1所以z=--------i,其虛部為——.故

I)1-i(l-i)(l+i)222222

選C.

2.B因?yàn)閥=-X?-4x-2=-(x+2)2+2W2,又yeN,故8={0』,2},易驗(yàn)證0,1,2均是

x3—x—7W0的解，所以0,l,2eN,所以/口8={01,2}.故選B.

：

?9[r1),v9-3

3.DT.+1=C；x-—〒=(-1)C；x2,令9—三.=0,得r=6,

IW2

所以常數(shù)項(xiàng)為4=（-1）6仁=84.故選D.

JT

4.B法1：設(shè)漸近線與￡的一個(gè)切點(diǎn)為4,連接/￡,則/。/￡二—（如圖所示），不妨設(shè)第一象限的

2

漸近線/的傾斜角為。，則sine=E1=2=L,又四],所以tan6=立，所以/的斜率為立,

\OE\42I2）33

所以a=與,設(shè)c的半焦距為C,則C的離心率6=：='1+[3）=Jl+gj=設(shè)故選B.

法2：由題意知C的漸近線方程為勿±亦=0,E的圓心為（4,0）,半徑為2,則怛%二2,兩邊平

Va2+b2

方并化簡得4/=/+/,設(shè)。的半焦距為。，則離心率e=■|=1號工="=2.故選B.

5.A〃與B的夾角是鈍角且a與3不能方向相反.由〃,3<0,得一8+3幾<0,所以.若

3

Z與否共線，有24—（—12）=0,所以力=-6,此時(shí)Z與3方向相反，所以Z與B的夾角是鈍角的充要條

Q

件為X且4W-6.故夕是9的充分不必要條件.故選A.

6.D因?yàn)閟in/—sin（B—C）=sin2B,所以sin（B+C）—sin（B—C）=sin23,所以

2cosBsinC=2sinBcosB,又△43C為銳角三角形，所以cos5w0,所以sinC=sinB,所以

b=c,又/=工，所以△4BC為等邊三角形，所以△4BC的面積為工x2x2sin?=G.故選D.

323

7.A設(shè)圓錐的底面半徑為r,則圓錐的高為3-「(0<r<3),則圓錐的體積為

17r

V(尸)二§兀/2(3—〃)=兀/之一§/3,所以『(尸)=2兀/一兀/二兀/(2—廠)，易得廠(廠)在(0,2)上單調(diào)遞增,

在(2,3)上單調(diào)遞減，所以當(dāng)r=2時(shí)，％。)取得最大值，此時(shí)圓錐的高為1,母線/=J22+F=也,

故圓錐的側(cè)面積S=nrl=JIX2X^5=26兀.故選A.

8.C關(guān)于x的方程/(x)=g(x)有2個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，即y=/(x)與y=fcc—l的圖象有2個(gè)交點(diǎn).當(dāng)

2

k=0,直線y=—l與y=—的圖象交于點(diǎn)(―2,—1),又當(dāng)x20時(shí)，ev-l>0,故直線y=—1與

j=er-l(x>0)的圖象無公共點(diǎn)，故當(dāng)k=0時(shí)，y=/(x)與y=—1的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，不合

題意；當(dāng)左>0,直線y=丘一1與曲線y=e“—1(x?0)相切時(shí)，此時(shí)歹=/(%)與>=自一1的圖象

有2個(gè)交點(diǎn)，設(shè)切點(diǎn)尸(Xo，eM—l),則左=山>\。=e'。，又y=—1過點(diǎn)(0,—1),所以

ex°-1-(-1)2,

----------=e'°,解得x0=1,所以左=e；當(dāng)左<0時(shí)，若一=Ax-l,則kx~-x-2=0,由

x0-0x

1112

A=l+8左=0,得左=——,所以當(dāng)左=——,所以當(dāng)人=——時(shí)，直線y=—1與y=—的圖象相切，

888x

由圖得當(dāng)-!(左<0時(shí)，直線y=Ax-l與y=/(x)的圖象有2個(gè)交點(diǎn).綜上所述，實(shí)數(shù)左的取值范圍是

8

U{e}故選C.

9.BC因?yàn)閍<b<c,ac<0,所以a<0,c>0,6的符號不確定，當(dāng)6=0時(shí)，不成立,

故A錯(cuò)誤；由a<0,c>0,得L>L-<0,-<0,所以

caac

—2,當(dāng)且僅當(dāng)c=—Q時(shí)取等號，故B,C均正確；由

a<b<c,得c-b>0,b-a>0,故=(0_6)+0_〃)2,當(dāng)且僅當(dāng)

c—b—b—ci即2b=Q+c時(shí)等號成立，故D錯(cuò)誤.故選BC.

10.ABD令2%-4=尢兀(左］eZ),得'=工+4■兀(k、6Z),所以/(x)圖象的對稱中心為

362

|—+-^—,0j（尢eZ）；令2%+烏=烏+左2兀（左z^Z）,x=—+—71（左2￡Z）,所以g（x）圖象

\62）6262'

的對稱中心為—^-,0^

(A;2GZ),所以/(x)與g(x)的圖象有相同的對稱中心，故A正確;

g(x)=cos^2x+j=cos^2x-J+j=-s^n--fj=(')'所以/(')與8(、)的圖象關(guān)于工軸

對稱，故B正確；g(x)w/(—X)，故C不正確；由/(x)2g(x),得/(x)20,即sin[2x—

71712兀

所以2左?！?%——《2左兀+兀，keZ,解得一+E?xV——+左兀(左EZ),故D正確.故選ABD.

363

11.ABC連接ZC,AD一則NC=N〃=20,作紗，ZC,交4C于點(diǎn)尸，易證。尸〃幺&，由

坐=2,得空=,，-=所以。尸=2,AF=晅,所以=聲而產(chǎn)=2,同理

℃/413AC333

而__________

。1。=2,所以幺。2+。]。2=2。；，所以A0J_Z0,故A正確；由尸￡=巖=’2尸2+幺石2,

PA=-AAX=\,所以2￡=迪，點(diǎn)￡的軌跡是以幺為圓心，逋為半徑的圓在正方形48C。內(nèi)的

233

部分，」-〉2,設(shè)該圓交棱CO于S點(diǎn)，交棱C8于R點(diǎn)，則cos/D4S=cosNA4R=J,又

32

TT7T

ADAS,NA47?為銳角，所以ND4S=NB4R=一,所以N7MS=—,故所求軌跡長度為

66

兀402也R,,丁心

-x----=-----,故B正確；

639

如圖，以Z為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA,AB,所在的直線分別為x軸，歹軸，z軸建立如圖所示的空間直角

坐標(biāo)系，則尸(0,0,1),設(shè)￡(x/,0),PE=(x,y,-l),易得平面的一個(gè)法向量為=(°，1，0)，

7T7T

因?yàn)橹本€尸E與平面8CG4所成的角為一，所以sin—,所以

1,33

?兀/石云；一\PE-n\

smj=cos\PE,n,回一=",化簡得f——=1,故c正確,

RR荷+r+(—Ql23

D錯(cuò)誤.故選ABC.

12.2011+12+14+18=55,設(shè)a=10+5f,易求該樣本平均數(shù)x=13+/,所以該樣本的標(biāo)準(zhǔn)差

5=/-r(-2-z)2+(-1-Z)2+(1-z)2+(4Z-3)2+(5-Z)21=273,解得/=2,或/=—！(舍)，所以

Y5--2

a=20.

3A33

13.-由題意知尸(〃乂)=寸

85所以尸(i):號號8

14.；由題意知/：y=-l,設(shè)尸(％,—1),N(x2,y2~),由丁=4＞，得了=；/,所以

y'=：x,故左p“=T，所以刊/的方程為y=T(x—XJ+M,即2y=可%—2乂.又PM過點(diǎn)

P(x0,-l),所以%西-2%+2=0,同理/工2-2%+2=0,所以直線MV的方程為七%-2了+2=0,

xax+2-2y=0,,,，—9

所以直線"N過點(diǎn)(0,1),由＜2消去y并化間得f一2%0%-4=0,所以再+%2=2X0,

X=4y

(2)

/，所以＞G=]，即

西工2=一4，所以必+%=%；+2,所以。％0，&+1.直線尸。的方程為x=

I2J

(2\22

G/號，因?yàn)槔?1+(—l)=2x,所以點(diǎn)G為心的中點(diǎn)，kST=y'xx=Xo=^-=kMN,所以

ST//MN,且ST為△尸4W的中位線，所以生”=’.

S&PMN4

15.解：(1)李明沒通過面試包含前3題有1題答對，第4題答錯(cuò)和前3題均答錯(cuò)兩種情況,

故所求概率為c；x3x[2]+[2]=—.....................4分

35⑸^5)625

(2)由題意得X的取值為2,3,4,則

2l344

p(X=2)=-x-=—,p(X=3)=CjX-x-x-+8分

5525555125

32i236

尸(X=4)=C；x]x10分

125

故所求分布列為:

X234

94436

P

25125125

11分

5L/、八c9c44,36366

所以￡(X)=2x---F3X---F4X--=--13分

v725125125125

16.解：(1)由題意得/(x)的定義域?yàn)?0,+oo),f'(x)>=-+2ax+\(x>0),

XX

因?yàn)?(x)在x=l處取得極值，所以/'(l)=l+2a+l=0,解得a=-1,2分

+x+]_0-現(xiàn)2了2+2x+1)

此時(shí)，ff(x)=--2x+^-=

4分

XXX2X2

其中2/+2x+l〉0恒成立，當(dāng)xe(0,l)時(shí)，f'(x^>0,當(dāng)xe(l,+oo)時(shí)，0,

所以/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(0,1),單調(diào)遞減區(qū)間是(1,+8),并且/(x)在x=l處取得極大值.6分

(2)f(X^<-X2+/?XBPZ?>-------,令g(%)=------9則62gOOmax，7分

XXXX

l-lnx+2

1-lnx2/2/21

X,令/z(x)=l+——Inx,貝！——-——<0,

尸+了=x2

所以〃(X)在(0,+8)上單調(diào)遞減,..........8分

37

又"4)=]-ln4〉0,/z(5)=--ln5<0,

22

所以存在唯一的毛￡(4,5),使得力(%)=0,即1+—―ln/=0,所以1+—=ln/.10分

當(dāng)X￡(O,Xo)時(shí)，//(%)>0,g'(x)>0,當(dāng)X￡(%o，+O0)時(shí)，//(%)<0,g"(x)<0,

所以g(x)在(0,%)上單調(diào)遞增，在(%,+8)上單調(diào)遞減,12分

i+2

111

所以gG)max=g(%)==~+~，又X?！?4,5),所以一<—<一，

xoX；/與5

又了=/+x在(士工]上單調(diào)遞增,

又6eZ,所以整數(shù)6的最小值為1...................15分

17.(1)證明：因?yàn)槭?40=4,PA=472,

所以尸。2+幺。2=尸42,所以尸..........1分

同理尸￡>，C￡>,又4DnCZ>=。，AD,C￡>u平面48C0,

所以尸。，平面48C。，.........2分

因?yàn)閆Cu平面Z8C。，所以尸..........3分

連接AD,因?yàn)?。=C￡>,AB=BC,DB=DB,

所以△組2sCDB,所以N4DB=NCDB.

又4D=CD,由等腰三角形三線合一，得8OL4C...................4分

因?yàn)?0口尸。=￡>，BD,尸。u平面尸AD,所以ZCL平面05￡),

又PBu平面PBD,所以ZCJ.尸反.........6分

(2)解：因?yàn)?0=8=4,AC=4y[2,所以NQ2+CQ2=幺。2,

所以4D_LC。，又PDLAD,PD1CD,故40,CD,PQ兩兩垂直，

故以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA,DC,QP所在的直線分別為x軸，歹軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

則4（4,0,0）,C（0,4,0）,尸（0,0,4）,所以麗=（0,—4,4）,CA=（4,-4,0）,.................8分

由（1）知平分/40C,設(shè)8（a,a,0）,所以屈=（a,a—4,0）.................9分

一/、fm-CP=0,[-4u+44=0.

設(shè)平面4C尸的法向量為加=(X],%,zJ,貝H____.即，J

'"m-CA=0,14再-4乂=0,

令七=1,得必=1,Z]=l,所以加=(1,1,1),

n-CP=0,—4%+4Z=0,

設(shè)平面尸的法向量為％2

BC(x2,y2,z2),則<

n-CB=0,ax2+(a-4)j2=0,

令％=口，Wx2=4-a,z2=a,所以〃=(4_q,a,a),.................11分

\m-n\4+a7J5

設(shè)平面APC與平面BPC夾角的大小為e,則cose==一,11==—

國（4-4+/+/57

,5

兩邊平方并化簡得4a2_17。+15=0,解得a=3或a=................12分

4

因?yàn)镹￡>=C￡>=4,ADLCD,所以點(diǎn)。到ZC的距離為NDsin巴=2亞，

4

因?yàn)樗倪呅?8CD為凸四邊形，所以BD>2亞,所以a=*不合題意，

4

所以a=3,所以8。=3g，................13分

所以S四邊形/Be。=5NC,BD=-x4A/2x3A/2=12,

所以小棱錐四=3SABCDDP=jxl2x4=16..................15分

18.（1）解：設(shè)尸（%,九）是橢圓。上一點(diǎn)，則9+?=1,所以>；=3—1x：,

所以1PH+JVQ—XQ—2TT7XQ+加2+3—(X。-4加)-3m2+3(—2?K2),

4

因?yàn)?加>0,所以當(dāng)％0=-2時(shí)，|P/|max=J7772+4m+4=6,

m2+4m-32=0,解得加=4或加=一8（舍去），.........3分

所以|尸聞=J1%—16）2—45,所以當(dāng)x0=2時(shí)，|24nm=2?...............4分

（2）①證明：由題意可知直線/的斜率存在且不為0,設(shè)直線/的方程為y=k（x-4）（左W0）,

N（x2,y2）,T（x2,-y2）,聯(lián)立直線/和。的方程，得

y=k（x-4）,

<x2y2消去歹并化簡，得6+4左2?2—32左2%+64左2—12=0,.................5分

----—1

[43

所以A=(—32左2]—4。+4左2)84左2—12)=144。一4左2)〉0,

解得一』〈左<!，且左W0.................6分

22

32”264“2_12

又點(diǎn)拉在點(diǎn)的右側(cè)，則—七<且廠，..........分

N2</2<12,M1+X2,==,12=—7

3+4左23+4左2

所以直線的方程為y=區(qū)土匹(x-%)-%，

再-x2

X-X

由1、1%+歹2（12）^2°八

所以y=—~—x-x2-----------,.................8分

^1-^2L必+為_

因?yàn)?+―/）%=%+（西-%）（%-4）=中2+*-8%+西々-月-4占+4%

%%X1+%—8%j+x2-8

,64左2—12人32k2

2X1X2-4（X]+々）_3+4左2-3Z4F=128左2—24-128,=-24=1

x+X.-8-32k2。—32左2—24—32左2——24-'

3+4產(chǎn)

所以了=乂[%

(x-1),所以直線過定點(diǎn)(1,0).................10分

②解：由①知直線的方程為"=旦土匹(X—1),設(shè)忙五=S,則》=5>+1,

X]-%%+%

（X]+x）2-4X1X

S_Xjj-%2_22⑹32k°64左2—12

=代入,

，1寸再+%Tx,1x72=----------

J1+J2左（X1+X2-8）123+4-3+4左2

可得s=-戶

，由一1<2左<1,且左/0,

2k

得s的取值范圍為%|swO}.11分

x=sy+1,

2

<x「消去X并化簡得@1+4)/+60—9=0,

143

貝必i=(6s)2-4-(?52+4)-(-9)=144(y2+l)>