2024-2025學年冀教版九年級數(shù)學上冊《相似三角形的判定》同步練習題（附答案）

2024-2025學年冀教版九年級數(shù)學上冊《25.4相似三角形的判定》同步練習題（附答案）

一、單選題

1.下列語句敘述正確的是（）

A.有一個角是30。的等腰三角形都相似B.有一個角是30。的直角三角形都相似

C.有一個角是30。的銳角三角形都相似D.有一個角是30。的鈍角三角形都相似

2.下列各條件中，能判斷△ABCSAAB，。的是（）

A.AB=3A'B',乙4=

B.篇=券，

AB

C.麗，NCNA

BC“+=+"

D.乙4=40°,乙B=80°,N4=80°,NB'=70°

3.如圖，下列條件中不能判定AABC“△ACD的是（）

A.Z-B=Z-ACDB.Z.ADC=/-ACB

AC_AB2

CD-BCD.AC=AD-AB

4.如圖，已知△ABC與△BDE都是等邊三角形，點。在邊AC上（不與點/、C重合），DE與AB

相交于點F,那么與△8F0相似的三角形是（）

B.ABDCC.AADFD.ABAD

5.如圖，小正方形的邊長均為1,則圖中三角形（陰影部分）與A/IBC相似的是（）

6.如圖，在RtAABC中，/LACB=90°,。是4B邊的中點，4F1CD于點E,交BC邊于點F,

連接。尸，則圖中與AACE相似的三角形共有（）

A.2個B.3個C.4個D.5個

7.如圖，在△48C中，點。在48邊上，點E在4C邊上，且N1=42=43,則下列結論中

不正確的是（）

A.AADE^AABCB.△ADEACDC.△ADEEDCD.△ABCACD

8.如圖，把邊長為3的正方形O4BC繞點。逆時針旋轉?1。（0<71<90）得到正方形。。四,

DE與8c交于點P,的延長線交48于點Q,交。力的延長線于點若BQ:4Q=3:1,則

二、填空題

9.如圖，在△28C中，AB=AC,ABAC^40°,點。是邊4C上的動點（點。不與點4c重合）,

當乙BDC=度時，AABCBDC.

10.如圖，在△ABC中，AB>AC,D、E分別為邊48、AC上的一點，AC=3AD,AB=3AE,

點B為BC邊上一點，添加一個條件使AFDB與AADE相似，則添加的一個條件是

11.如圖，在四邊形4BCD中，AC平分NBA。，且4B=4,4。=6.當月。=時，AABC“

△ACD.

12.如圖，△力8c為等腰三角形，AC=BC,8。1AC于點。，力E18C于點E,AE與BD交

于點F,連接CF并延長交2B于點G.若AC=5,AB=6,貝UFC的長度為.

13.將三角形紙片AABC按如圖的方式折疊，使點B落在邊4C上，記為點次，折痕為EF.己

知力B=AC=3,8。=4,若以點次，F(xiàn),C為頂點的三角形與A/IBC相似，則BF=.

14.如圖，在正方形網(wǎng)格中：①ACEB；@ACDB；③ADEB；這3個斜三角形中，能與

△ABC相似的是.（點4、B、C、D、E均在格點上）

15.在綜合與實踐課上，老師組織同學們以"矩形的折疊"為主題開展數(shù)學活動.有一張矩形

紙片ABCD如圖所示，點N在邊4。上，現(xiàn)將矩形折疊，折痕為BN,點4對應的點記為點M,

若點M恰好落在邊DC上，則圖中與^NDM一定相似的三角形是

16.如圖所示，將矩形4BCD分別沿BE,EF,FG翻折，翻折后點A,點。，點C都落在點

//上，若4B=4,貝!|GH=

三、解答題

17.如圖，4E與8。交于點C,乙DME=LA=4B,且DM交AC于尸，ME交BC于G,求證:

AAMFBGM.

18.如圖所示，ZC=90°,BC=8cm,cosA=3：5,點P從點B出發(fā)，沿BC向點C以2cm/s的

速度移動，點Q從點C出發(fā)沿C4向點4以lcm/s的速度移動，如果P、Q分別從B、C同時出發(fā)，

過多少秒時，以。、P、Q為頂點的三角形恰與△力BC相似？

19.如圖，已知：。是△ABC的邊BC上一點，點E在△ABC外部，1.Z5XF=ACAD,AACD=

/.ADC=乙ADE,DE交4B于點F.

A

E

⑴求證：AB=AE；

⑵如果TW=4F,求證：EF2=BF-AB.

20.如圖，已知Z_8=NE=90。，AB=6,BF=3,CF=5,DE=15,DF=25.

⑴求CE的長;

(2)求證：4ABCsADEF.

21.如圖，四邊形4BCD是正方形，點G為邊CD上一點，連接4G并延長，交的延長線于

點、F,連接BD交2F于點E,連接EC.求證：

(1)^DAE=乙DCE；

(2)AEGCECF.

22.如圖，在A4BC中，乙4cB=90。，CA=CB,CD是48邊上的高，點E為線段CD上一點

(不與點C,點D重合)，連接BE,作EF1BE與4c的延長線交于點F,與BC交于點G,連接

BF.

⑴求證：△CFGSEBG；

⑵若*=登，求證：乙CEF=UBF；

23.如圖1,在四邊形4BCD中，乙48c=120。，^ADC=60°,對角線AC,BD相交于點。,

且AC=AD,BD平分N4BC.

(1)求證：DB=AB+CB；

⑵如圖2,過點。作0EII4B,使DE=BC,連接2E,取力E中點F,連接DF,求證：AC2=

2DF-OD.

參考答案:

題號12345678

答案BCCDBBCC

1.解：A、有一個角是30。的等腰三角形不一定相似，如30。、75。、75。的等腰三角形和30。、

30。、120。的等腰三角形不相似，故本選項錯誤；

B、有一個角是30。的直角三角形都相似，正確；

C有一個角是30。的銳角三角形不一定相似，如30。、70。、80。的銳角三角形和30。、65。、

85。的銳角三角形不相似，故本選項錯誤；

D、有一個角是30。的鈍角三角形不一定相似，如30。、100。、50。的鈍角三角形和30。、110。、

40。的鈍角三角形不相似，故本選項錯誤；

故選：B.

2.解：A、AB=3A'B',=NA,只有一角一邊，不能判斷兩個三角形相似，故A不符

合題意；

B、盤=提，乙B=KB',不是4n與4L的夾角，不能判斷兩個三角形相似，故B

A'B'A'C'

不符合題意；

C、由乙4+4=/4+"何得43=/9，再由黑=需得第=飴，利用兩組對應邊成

比例且其夾角相等的兩個三角形相似，可判斷A/IBC夕小，故C符合題意；

D、由NA=40°,zB=80。得NC=70°,貝UNB==80。,NC=NB'=70。得AABC-A

A'B'C,故D不符合題意；

故選：C.

3.解：A.0Z.B-/.ACD,Z.A=/.A,

團根據(jù)兩角分別對應相等的兩個三角形相似，可得△ABC“△ACD；

故A不符合題意；

B.ElzXOC=Z.ACB,乙4=

團根據(jù)兩角分別對應相等的兩個三角形相似，可得△ABCMACD；

故B不符合題意；

C.若小=處，

CDBC

EL4c的對應邊為AD,AB的對應邊為AC,

團不能推出△ABC-AACD；

故C符合題意；

D.I3AC2=AD-AB,

ACAB

n回一=——,

ADAC

團乙4=乙4,

酬艮據(jù)兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似，可得A4BC“△4CD；

故D不符合題意；

故選：C.

4.解：???△ABC與ABDE都是等邊三角形，

Z-A=Z.BDF—60°,

又???乙ABD=乙DBF,

BFD?匕BDA,

.,.與△BFD相似的三角形是小BAD,

故選：D.

5.解：根據(jù)題意可得：AB=V32+I2=V10,BC=2,AC=V2,乙4cB=135。；

AC-.BC=V2:2,

A.三角形中沒有135。角，圖中的三角形（陰影部分）與AABC不相似.

B.夾135。的兩邊之比為：1：V2=V2:2,圖中的三角形（陰影部分）與AABC相似.

C.三角形中沒有135。角，圖中的三角形（陰影部分）與AABC不相似.

D.三角形中沒有135。角，圖中的三角形（陰影部分）與△28C不相似.

故答案為：B.

6.解：回乙4c8=90。，。是A3邊的中點，

團CD=AD,

^Z-ACD=Z.CAD.

又財F1CO于點E,

^AEC=90°,

^Z-AEC=Z-BCA,

^ACEBAC.

^CELAF,

^CEF=90°.

回入4cB=90°,

團乙ECF+/.ACE=乙ECF+^AFC=90°,

團乙4CE=Z.AFC,

團△ACE-△A”.

國乙ECF+/-ACE=/-ACE+Z.CAE=90°,

團乙ECF=Z-EAC.

又回N/EC=乙CEF,

[?]△ACE?匕CFE,

回圖中與AACE相似的三角形共有3個.

故選B.

7.解：1341=42,Z.DAE=ABAC,

回△?1￡)￡1一△力BC.故A正確；

0zl=z3,Z-DAE=Z.CAD,

團△ZDE?△"￡).故B正確；

團乙2=乙3,Z-BAC=Z.CAD,

[?]△ABC-LACD.故D正確；

沒有條件可證△ADE?△EDC,故C錯誤.

故選：C

8.解:???BQ:AQ=3:1,

,絲_工

??AB4，

??,把邊長為3的正方形。4BC繞點O逆時針旋轉九。(0<n<90)得到正方形。DEF,

/.OD=AB=OA=3,乙ODE=乙OAB=90°,

???^QAM=Z.ODM=90°,

又???zM=4M,

???△QAMODM,

.QA_AM_QA_1

"OD~DM~AB~4’

設力M=x,貝i]OM=4x,

在RtAODM中，。。2+。加2=。用2,

即32+(4x)2=?+久)2,

解得久=|或0（舍去），

AM=|,

故選C.

9.解:vAB=AC,ABAC=40°,

???乙ABC=ZC=70°,

.-.乙BDC=70。時，

Z.C=乙C,Z-BDC—Z-ABC9

ABCBDC.

故答案為：70.

10.＞解：?.?乙4=乙4,生=些=工

ACAB3

ADEACB

乙B=Z-AED

當乙BFD=乙4時，△FBD八AED

故答案為：4BFD=LA（答案不唯一）.

11.＞解：團4c平分乙B4D,

SABAC=乙CMC,

當襄=登時，

即：AC2AB-AD,

SAB=4,AC=6,

062=4AD,

BAD=9；

故答案為：9.

12.、解：BD1AC,AE1BC,

.?.點P是△ABC兩邊上的高的交點，

???CGLAB,

■■AC=BC,

1

???AG=-AB=3,

2

CG=y]AC2-AG2=V52-32=4,

11

■-S^ABC=\AC-BD=\AB-CG,

11

-x5-BD=-x6x4,

22

解得BD=y,

???CD=yjBC2-BD2=小2_（g）2=Z,

"DF=Z.CGA=90°,/.DCF=/.GCA,

CDFCGA,

.FC_CD

,,—，

ACCG

...生=J.

5『

解得FC=7

4

故答案為：

4

13.解：根據(jù)△B，F(xiàn)C4C與AABC相似時的對應關系，有兩種情況:

@AB'FCszkaBC時，

B'F_CF

AB~Be"

又團AB=AC=3,BC=4,B'F=BF,

團「B一'F=-4-B-F

34

解得BF=y;

@hB'CFsABS時，

B'F_CF

BA~~CA9

AB=AC=3,BC=4,B'F=CF,BF=B'F,

而BF+FC=4,即2BF=4,

解得BF=2.

故B尸的長度是2或票

故答案為：2或昔

14.解：回△A8C的三邊之比是4B:4C:BC=1:夜:強，

△CEB的三邊之比是BC:EC:BE=V5:3:2V5,

△CDB的三邊之比是CD:BC:BD=1：V5:2VL

△DEB的三邊之比是DE:BD:BE=2:2應:同=1:V2：V5.

回△DEB與△ABC相似，

故答案為：ADEB.

角形相似”是解題的關鍵.

15.解：???四邊形2BCD是矩形，

???Z-A=Z-D=Z.C=90°,

???乙DNM+乙DMN=90°,

由折疊的性質可得：乙BMN=乙4=90°,

???Z.NMD+乙BMN+乙BMC=180°,

???乙NMD+乙BMC=90°,

???乙DNM=乙BMC,

/.ANDMfMCB,

故答案為：AMCB.

16.解：???四邊形4BCD是矩形,

???CD=AB=4,Z-A=Z-D=90°,

???將矩形力BCD分別沿BE,EF翻折后點A,點C都落在點H上，

0DF=HF=FC=-CD=2,乙AEB=AHEB,AE=EH=ED,乙DEF=KHEF,

2

.-.乙AEB+Z.DEF=-AAED=90°,

2

???乙AEB+/-ABE=90°,

???Z-DEF=Z.ABE,

???Z.A=Z-D=90°,

AEB?&DFE,

.AE_AB

DFDE

artDE4

即——=—,

2DE

解得DE=2a或一2/（舍去），

同理可得4DFE-ACGF,

.DF_DE

,

CGCF

解得CG=V2,

即GH=V2.

故答案為：V2.

17.證明：EINDME=NA=NB,乙DME+^AMF+乙BMG=180°,zX+^AMF+^AFM=

180°,

團NAFM=Z-BMG,

團△ZMFBGM.

18.解：乙C=90°,BC=8cm,cosA=3：5,即AC：AB=3：5,

?,?設AC=3%cm,AB=5xcm,

則BC=Vi4F2-AC2=4%(cm),

即4%=8,

解得：%=2,

AC=6cm,AB=10cm,

???BC=8(cm),

設過力秒時，以C、P、Q為頂點的三角形恰與△ABC相似，

則BP=2t(cm),CP=BC-BP=(8-2t)(cm),CQ=t(cm),

4c是公共角，

???①當除=霽即上■=、時,ACPQ0ACBA,

解得：t=2.4,

②當著即暇=1時,ACPQ^ACAB,

解得：t=H，

.?.過2.4或II秒時，以C、P、Q為頂點的三角形恰與△力8c相似.

19.解：(1)???AACD=ZXOC,

???AC=AD,

???乙BAE=/.CAD,

???Z-BAC=Z-EAD,

???Z.ACD=/-ADE,

'.AABC32kAE。(ASA),

???AB=AE；

(2)vAD=AF,

???Z-ADF=Z.AFD,

???^DAF=180°-2ZXDF,

^.ACD=Z-ADC,

??.Z.CAD=180。-2乙4DC,

???Z.ADC=Z.ADE,

???Z.CAD=Z-DAF,

???Z-BAE=Z.CAD,

???Z-DAF=Z-BAEf

AB=AE,

/.AABD三△AEF(SZS),

BD=EF,Z.BAD=Z.EAF,

???乙B=,Z.AFE=乙DFB,

???Z-BDF=乙BAE,

??.Z_BDF=Z.EAF=Z-BAD,

Z-B=乙B,

??.△BDFBAD,

BD_BF

''BA~BD9

：.BD2=BF-AB,

EF2=BFAB.

20.(1)解：0￡)E=15,OF=25,ZE=90°,

I3EF=VDF2-DE2=20,

EICE=EF—CF=15；

(2)證明：0BF=3,CF=5,

EIBC=BF+CF=8,

AB62BC82

0—=——=一，一=——=一，

DE155EF205

^ABBC

回一=—

DEEF

回乙8=LE=90°,

[HAABCDEF.

21.(1)證明：團正方形ABC。，

團/。=CD/ADB=乙CDE=45°,

又DE=DE,

0AADE=△CDE,

^DAE=乙DCE；

(2)團正方形/BCD,

國4。IIBC,

回Z_F=Z-DAE