浙江省杭州市下城區(qū)某中學2022-2023學年九年級上學期期中考試數(shù)學試卷（含答案）

2022-2023學年浙江省杭州市下城區(qū)啟正中學九年級第一學期期

中數(shù)學試卷

一、選擇題（每題3分，共10小題，共30分）

1.當函數(shù)y=（a-1）x2+bx+c是二次函數(shù)時,a的取值為（）

A.a=1B.a=-1C.aW-1D.aWl

2.已知點P到圓心。的距離為5,若點P在圓內(nèi)，則。O的半徑可能為（）

A.3B.4C.5D.6

3.下列說法中錯誤的是（）

A.不可能事件發(fā)生的概率為0

B.概率很小的事不可能發(fā)生

C.必然事件發(fā)生的概率是1

D.隨機事件發(fā)生的概率大于0、小于1

4.已知=,下列變形正確的是（）

A.ab=6B.2a=3bC.a=D.3a=2b

5.二次函數(shù)y=x2+3x+2圖象平移后經(jīng)過點（2,18）,則下列可行的平移方法是（）

A.向右平移1個單位，向上平移2個單位

B.向右平移1個單位，向下平移2個單位

C.向左平移1個單位，向上平移2個單位

D.向左平移1個單位，向下平移2個單位

6.如圖，已知。。是4ABD的外接圓,AB是。。的直徑,CD是。O的弦，/ABD=56°,

則/BCD等于（）

A.112°B.34°C.56°D.68°

7.一次函數(shù)y=kx+k與二次函數(shù)y=ax2的圖象如圖所示，那么二次函數(shù)y=ax2-kx-k

的圖象可能為（）

A.B.

C.D.

8.如圖，正六邊形,ABCDEF中，點P是邊AF上的點，記圖中各三角形的面積依次為S1,

S2,S3,S4,S5,則下列判斷正確的是（）

A.S1+S2=2S3B.S2+S5=S3c.s2+S4=2S3D.S1+S5=S3

9.已知。O的直徑CD=10,CD與。O的弦AB垂直，垂足為M,且AM=4.8,則直徑

CD上的點（包含端點）與A點的距離為整數(shù)的點有（）

10.已知拋物線y=ax2+bx+c（a,b,c是常數(shù)），a+b+c=0.下列四個結論：

①若拋物線經(jīng)過點（-3,0）,則b=2a；

②拋物線與x軸一定有交點；

③若b=c,則方程cx2+bx+a=0一定有根x=-2；

④點A（xl,yl）,B（x2,y2）在拋物線上,若0<a<c,則當xl<x2<l時,yl>y2.

其中正確的有（）

A.4個B.3個C.2個D.1個

二.填空題（每題4分，共6小題，共24分）

11.現(xiàn)有分別標有漢字“我”“愛”“啟”“正”的四張卡片，它們除漢字外完全相同，若

把四張卡片背面朝上，洗勻放在桌子上，然后任意抽取一張卡片，抽中卡片“愛”的概率

是

12.函數(shù)y=（x-2）2-x+2圖象的對稱軸是

13.大自然是美的設計師，即使是一片小小的樹葉，也蘊含著“黃金分割”，如圖，P為

AB的黃金分割點（AP>PB）,如果AB的長度為8cm,那么AP的長度為cm.

B

14.飛機著陸后滑行的距離s（單位：米）與滑行的時間t（單位：秒）之間的函數(shù)關系式是

s=-1,5t2+60t,飛機著陸后滑行秒才能停下來.

15.如圖，圖1是由若干個相同的圖2組成的圖案，在圖2中，已知半徑0A=18cm,Z

16.如圖，邊長為6的正方形ABCD內(nèi)接于。O,點E是上的一動點（不與A,B重合，點

F是上的一點，連接OE,OF,分別與AB,BC交于點G,H,且NEOF=90°,有以下終論:

@OG=OH;

②△G28周長的最小值為6+2底；

③隨著點E位置的變化，四邊形OGBH的面積始終為9.

三、解答題（共7題，共66分）

17.如圖，電路圖上有三個開關A.B.C,開關閉合記“+”，開關斷開記“-”.

（1）若只閉合其中一個開關，則小燈泡發(fā)光（即電流通過）的概率是

（2）用樹狀圖或列表格的方法表示三個開關A、B、C閉合或斷開的所有情況，并求小

燈泡發(fā)光（即電流通過）的概率.

18.如圖，在邊長為1的正方形網(wǎng)格中，AABC的頂點均在格點上.

（1）畫出aABC繞C點順時針旋轉90°得到的AAIBIC,直接寫出A1的坐標

為；

點A（-3,-3）

（1）判斷原點（0,0）是否在二次函數(shù)的圖象上，并說明理由;

（2）根據(jù)圖象，直接寫出關于x的不等式的解.

20.如圖，以AB為直徑的。。經(jīng)過AABC的頂點C,AE,BE分別平分NBAC和/ABC,

AE的延長線交。O于點D,連接BD.CD.

（1）判斷4BDE的形狀，并說明理由；

(2)若AB=13,BC=12,求BD的長.

21.已知二次函數(shù)(m是實數(shù)).

(1)小明說：當m的值變化時，二次函數(shù)圖象的頂點始終在一條直線上運動，你認為他

的說法對嗎？為什么？

(2)已知點P(a-5,t),Q(4m+3+a,t)都在該二次函數(shù)圖象上，求證：t27.

22.如圖，一小球M從斜坡OA上的O點處拋出，球的拋出路線是拋物線的一部分，建

立如圖所示的平面直角坐標系，斜坡可以用一次函數(shù)刻畫.若小球到達的最高的點坐標為

(4,8),解答下列問題：

(1)求拋物線的表達式：

(2)在斜坡0A上的B點有一棵樹,B點的橫坐標為2,樹高為3.5,小球M能否飛過這

棵樹？通過計算說明理由；

(3)求小球M在飛行的過程中離斜坡0A的最大高度.

23.如圖，點P是等邊三角形ABC中AC邊上的動點(0°<ZABP<30°)，作4BCP

的外接圓交AB于點D.點E是圓上一點，且，連接DE交BP于點F.

(1)求證:BE=BC；

(2)當點P運動變化時，NBFD的度數(shù)是否發(fā)生變化？若變化，請說明理由；若不變，求

ZBFD的度數(shù).

(3)探究線段BF、CE、EF之間的數(shù)量關系，并證明.

參考答案

一、選擇題（每題3分，共1。小題，共30分）

1.當函數(shù)y=（a-1）x2+bx+c是二次函數(shù)時,a的取值為（）

A.a=1B.a=-1C.aW-1D.a#l

【分析】根據(jù)二次函數(shù)定義可得a-1H0,再解即可.

解：由題意得:aTWO,

解得:aWl,

故選:D.

【點評】此題主要考查了二次函數(shù)定義，關鍵是掌握形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常數(shù),

aWO）的函數(shù)，叫做二次函數(shù).

2.已知點P到圓心O的距離為5,若點P在圓內(nèi)，則。O的半徑可能為（）

A.3B.4C.5D.6

【分析】根據(jù)點與圓的位置關系判斷得出即可.

解：；點P在圓內(nèi)，且d=5,

；.r>5,

故選:D.

【點評】此題主要考查了點與圓的位置關系，點與圓的位置關系有3種.設。。的半徑為

r,點P到圓心的距離OP=d,則有：①點P在圓外0d>r,②點P在圓上=d=r,③點P在圓

內(nèi)od<r.

3.下列說法中錯誤的是（）

A.不可能事件發(fā)生的概率為0

B.概率很小的事不可能發(fā)生

C.必然事件發(fā)生的概率是1

D.隨機事件發(fā)生的概率大于0、小于1

【分析】根據(jù)概率的意義分別判斷后即可確定正確的選項.

解:A.不可能事件發(fā)生的概率為0,正確，不符合題意；

B.概率很小的事也可能發(fā)生,故錯誤,符合題意;

C.必然事件發(fā)生的概率為1,正確,不符合題意;

D.隨機事件發(fā)生的概率大于0,小于1,正確,不符合題意,

故選:B.

【點評】考查了概率的意義，解題的關鍵是了解不可能事件發(fā)生的概率為0,必然事件發(fā)

生的概率為1,難度不大.

4.已知=,下列變形正確的是()

A.ab=6B.2a=3bC.a—D.3a=2b

【分析】根據(jù)比例的性質進行計算即可解答.

解：：=,

2b=3a.

故選:D.

【點評】本題考查了比例的性質，熟練掌握比例的性質是解題的關鍵.

5.二次函數(shù)y=x2+3x+2圖象平移后經(jīng)過點(2,18),則下列可行的平移方法是()

A.向右平移1個單位，向上平移2個單位

B.向右平移1個單位，向下平移2個單位

C.向左平移1個單位，向上平移2個單位

D.向左平移1個單位，向下平移2個單位

【分析】求出平移后的拋物線的解析式，利用待定系數(shù)法解決問題即可.

解:y=x2+3x+2=(x+)2-,

A.平移后的解析式為丫=(x+)2+,當x=2時,y=8,本選項不符合題意;

B.平移后的解析式為y=(x+)2當x=2時,丁=4,本選項不符合題意;

C.平移后的解析式為y=(x+)2+,當x=2時,丫=22,本選項不符合題意;

D.平移后的解析式為丫=(x+)2當x=2時,y=18,函數(shù)圖象經(jīng)過(2,18),本選項

符合題意;

故選:D.

【點評】本題考查二次函數(shù)圖象與幾何變換，二次函數(shù)圖象上點的特征，解題的關鍵是熟

練掌握平移的規(guī)律.

6.如圖，已知。O是4ABD的外接圓,AB是。。的直徑,CD是。O的弦，ZABD=56°,

則/BCD等于()

A.112°B.34°C.56°D.68°

【分析】先根據(jù)圓周角定理由AB是。。的直徑得到/ADB=90°,再根據(jù)互余得到NA

=90°-NABD=34。，然后根據(jù)圓周角定理求解.

解：：AB是。。的直徑，

.?.ZADB=90°,

.\ZA=90o-ZABD=90°-56°=34°,

.?.ZBCD=ZA=34°.

故選:B.

【點評】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等

于這條弧所對的圓心角的一半.推論：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角,90。的圓周

角所對的弦是直

7.一次函數(shù)y=kx+k與二次函數(shù)y=ax2的圖象如圖所示，那么二次函數(shù)y=ax2-kx-k

的圖象可能為（）

A.B.

C.D.

【分析】由二次函數(shù)y=ax2的圖象知：開口向上,a>0,一次函數(shù)y=kx+k圖象可知k>

0,然后根據(jù)二次函數(shù)的性質即可得到結論.

解：由二次函數(shù)y=ax2的圖象知：開口向上,a>0,一次函數(shù)y=kx+k圖象可知k>0,

.,.二次函數(shù)y=ax2-kx-k的圖象開口向上，對稱軸x=-在y軸的右側，交y軸的負半

軸，

；.B選項正確，

故選:B.

【點評】本題考查了二次函數(shù)的圖象和一次函數(shù)的圖象，熟記二次函數(shù)的性質和一次函數(shù)

的性質是解題的關鍵.

8.如圖，正六邊形,ABCDEF中，點P是邊AF上的點，記圖中各三角形的面積依次為S1,

S2,S3,S4,S5,則下列判斷正確的是（）

A.S1+S2=2S3B.S2+S5=S3C.S2+S4=2S3D.S1+S5=S3

【分析】正六邊形ABCDEF中，點P是邊AF上的點，記圖中各三角形的面積依次為S1,

S2,S3,S4,S5,貝U有S3=SF六邊形ABCDEF,S1+S4=S2+S5=SF六邊形ABCDEF,由

此即可判斷.

解：正六邊形ABCDEF中，點P是邊AF上的點，記圖中各三角形的面積依次為SI,S2,S3,

S4,S5,

則有S3=S正六邊形ABCDEF,S1+S4=S2+S5=S正六邊形ABCDEF,

；.S3=S1+S4=S2+S5,

故選:B.

【點評】本題考查正多邊形與圓，三角形的面積等知識，解題的關鍵是理解題意，靈活運

用所學知識解決問題.

9.已知。0的直徑CD=10,CD與。0的弦AB垂直，垂足為M,且AM=4.8,則直徑

CD上的點（包含端點）與A點的距離為整數(shù)的點有（）

【分析】利用勾股定理得出線段AD和AC的長，根據(jù)垂線段的性質結合圖形判斷即可.

解：：CD是直徑，

.?.OC=OD=CD=X10=5,

VAB±CD,

.,./AMC=/AMD=90°,

VAM=4.8,

.?.0M==L4,

.,.CM=5+1,4=6,4,MD=5-1.4=3.6,

；.AC==8,AD==6,

VAM=4.8,

A點到線段MD的最小距離為4.8,最大距離為6,則A點到線段MD的整數(shù)距離有5,6,

A點到線段MC的最小距離為4&最大距離為則A點到線段MC的整數(shù)距離有5,6,7,

8,

直徑CD上的點（包含端點）與A點的距離為整數(shù)的點有6個，

故選:C.

【點評】本題考查了勾股定理、圓周角定理、二次根式的性質、垂線段的性質等知識；掌握

相關性質是解題的關鍵.

10.已知拋物線y=ax2+bx+c（a,b,c是常數(shù)），a+b+c=0.下列四個結論：

①若拋物線經(jīng)過點（-3,0）,則b=2a；

②拋物線與x軸一定有交點；

③若b=c,則方程cx2+bx+a=0一定有根x=-2；

④點A（xl,yl）,B（x2,y2）在拋物線上，若OVaCc,則當xl<x2<l時,yl>y2.

其中正確的有（）

A.4個B.3個C.2個D.1個

【分析】由a+b+c=O可得拋物線經(jīng)過（1,0）,由拋物線的對稱性可判斷①②；由b=c

及a+b+c=O可得a與b的關系，從而可得拋物線對稱軸，進而判斷③；由0<a<c,a+b+c

=0可得拋物線對稱軸的位置，從而判斷④.

解：Va+b+c=0,

拋物線經(jīng)過（1,0）,②正確；

若拋物線經(jīng)過（-3,0）,則拋物線對稱軸為直線*=-1,

-1,即b=2a,①正確；

若b=c,則拋物線y=cx2+bx+a的對稱軸為直線x=-=-,

a+b+c=0,a7^0,

.?.cWO,

拋物線y=cx2+bx+a經(jīng)過(1,0),

由拋物線對稱性可得拋物線經(jīng)過(-2,0),

...方程cx2+bx+a=0一定有根x=-2,③正確；

'.*0<a<c,a+b+c=O,

；.b=-(a+c),

'.*a+c>2a,

：.b<-2a,即->1,

.'.x<l時,y隨x增大而減小，

.'.xl<x2<lyl>y2.④正確.

故選:A.

【點評】本題考查二次函數(shù)的性質，解題關鍵是掌握二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系，掌握二次

函數(shù)與方程及不等式的關系.

二.填空題(每題4分，共6小題，共24分)

11.現(xiàn)有分別標有漢字“我”“愛”“啟”“正”的四張卡片，它們除漢字外完全相同，若

把四張卡片背面朝上，洗勻放在桌子上，然后任意抽取一張卡片，抽中卡片“愛”的概率

是

【分析】直接由概率公式求解即可.

解：由概率公式可得，把四張卡片背面朝上，洗勻放在桌子上，然后任意抽取一張卡片,

抽中卡片“愛”的概率是.

故答案為:.

【點評】本題考查了概率公式，用到的知識點為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.

12.函數(shù)y=(x-2)2-x+2圖象的對稱軸是直線x=.

【分析】把解析式化成交點式，利用二次函數(shù)的對稱性即可求得對稱軸.

解：(x-2)2-(x-2)=(x-2)(x-2-1)=(x-2)(x-3),

.,.拋物線與x軸的交點為(2,0),(3,0),

...函數(shù)丫=(x-2)2-(x-2)圖象的對稱軸是直線x==,

故答案為：直線x=.

【點評】本題考查了二次函數(shù)的解析式與對稱軸的關系，利用二次函數(shù)的性質解答.

13.大自然是美的設計師，即使是一片小小的樹葉，也蘊含著“黃金分割”，如圖，P為

AB的黃金分割點(AP>PB),如果AB的長度為8cm,那么AP的長度為(4-4)cm.

P

B

【分析】根據(jù)黃金分割的定義得到AP=AB,即可得出答案.

解：TP為AB的黃金分割點(AP>PB),

；.AP=AB=X8=4-4(cm),

故答案為：(4-4).

【點評】此題考查了黃金分割：點C把線段AB分成兩條線段AC和BC(AC>BC),且

使AC是AB和BC的比例中項(即AB:AC=AC:BC),叫做把線段AB黃金分割，點C

叫做線段AB的黃金分割點.

14.飛機著陸后滑行的距離s(單位：米)與滑行的時間t(單位：秒)之間的函數(shù)關系式

是s=-1.5t2+60t,飛機著陸后滑行20秒才能停下來.

【分析】飛機停下時，也就是滑行距離最遠時，即在本題中需求出s最大時對應的t值.

解：由題意，

s=-1.5t2+60t,

=-1.5(r2-40Z+400-400)

=-1.5(t-20)2+600,

即當t=20秒時，飛機才能停下來.

故答案是:20.

【點評】本題考查了二次函數(shù)的應用.解題時，利用配方法求得t=20時,s取最大值.

15.如圖，圖1是由若干個相同的圖2組成的圖案，在圖2中，已知半徑OA=18cm,Z

【分析】先根據(jù)圖1確定：圖2的周長=2個的長，根據(jù)弧長公式可得結論.

解：由圖1得：的長+的長=的長，

;半徑OA=18cm,ZAOB=150°,

則圖2的周長為:2X=30m(cm),

故答案為：30n.

【點評】本題考查了弧長公式的計算，根據(jù)圖形特點確定各弧之間的關系是本題的關鍵.

16.如圖，邊長為6的正方形ABCD內(nèi)接于。O,點E是上的一動點(不與A,B重合，點

F是上的一點，連接OE,OF,分別與AB,BC交于點G,H,且/EOF=90°,有以下終論:

@OG=OH；

②周長的最小值為6+2底；

③隨著點E位置的變化，四邊形OGBH的面積始終為9.

其中正確的是①②③.(填序號)

E

【分析】根據(jù)正方形的性質和判斷，全等三角形的判定和性質以及垂徑定理逐項進行判斷

即可.

解：①如圖所示，連接OC,OB,

VZBOG+ZBOH=90°,ZCOF+ZBOF=90°,

.,.ZBOE=ZCOF,

1/四邊形ABCD是正方形，點O是它的中心，

.,.ZOBG=ZOCH=45°,

在△BOG與△COH中，

，ZB0G=ZC0H

<OB=OC，

Z0BG=Z0CH

.,.△OBG^AOCH(ASA),

；.OG=OH,

因此①正確；

②由①中aBOG烏ZkCOH,可得BG=CH,

，BH+BG=BH+CH=BC=6,

△GBH周長為BH+BG+HG,而BH+BG=6,

當HG最小時,0H、OG最小，

所以當OH，BC,OG，AB時，46811周長的最小，

如圖，過點O作OM_LBC于M,ONXAB于N,

則OM=ON=3=BM=BN,

；.HG==3,

.?.△GBH周長的最小值為6+3,

故②正確；

@VOG=OH,OM=OM,

.'.△HOM^AGON(HL),

...四邊形OGBH的面積始終等于正方形ONBM的面積，

而正方形ONBM的面積，總等于正方形ABCD面積的四分之一,

因此③正確；

綜上所述，正確的結論有：①②③，

故答案為：①②③.

【點評】本題考查正方形的判定和性質，全等三角形的判定和性質以及垂徑定理，掌握正方

形的判定和性質，全等三角形的判定和性質以及垂徑定理是正確判斷的前提.

三、解答題(共7題，共66分)

17.如圖，電路圖上有三個開關A.B.C,開關閉合記“+”，開關斷開記“-”.

(1)若只閉合其中一個開關，則小燈泡發(fā)光(即電流通過)的概率是；

(2)用樹狀圖或列表格的方法表示三個開關A、B、C閉合或斷開的所有情況，并求小

燈泡發(fā)光(即電流通過)的概率.

【分析】（1）讓電流通過的情況數(shù)除以總情況數(shù)即為所求的概率；

（2）列舉出所有情況，看電流通過的情況數(shù)占總情況數(shù)的多少即可.

解：（1）共3個開關，只有閉合C時，電流才能通過，

..?小燈泡發(fā)光（即電流通過）的概率是.

故答案為：；

（2）共8種情況，電流能通過的情況數(shù)有5種,

所以所求的概率為.

【點評】考查概率的求法；用到的知識點為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.注意閉合

C或者同時閉合A,B,小燈泡都發(fā)光.

18.如圖，在邊長為1的正方形網(wǎng)格中，AABC的頂點均在格點上.

（1）畫出AABC繞C點順時針旋轉90°得到的△A1B1C,直接寫出A1的坐標為（2,

0）；

（2）在（1）的旋轉過程中，求CA掃過圖形的面積.

【分析】（1）利用網(wǎng)格特點和旋轉的性質畫出點A.B的對應點即可;

（2）先計算出CA的長，然后根據(jù)扇形的面積公式計算.

解：（1）如圖，ZXA1B1C為所作，點A1的坐標為（2,0）；

(2)因為CA==3,

所以CA掃過圖形的面積==Ji.

【點評】本題考查了作圖-旋轉變換：根據(jù)旋轉的性質可知，對應角都相等都等于旋轉角,

對應線段也相等，由此可以通過作相等的角，在角的邊上截取相等的線段的方法，找到對

應點，順次連接得出旋轉后的圖形.

19.如圖，二次函數(shù)y=ax2+bx+c圖象的頂點為（-1,1）,且與反比例函數(shù)的圖象交于

點A(-3,-3)

(1)判斷原點（0,0）是否在二次函數(shù)的圖象上，并說明理由;

(2)根據(jù)圖象，直接寫出關于x的不等式的解.

a（x+1）2+1,把A點的坐標代入，利用待定系數(shù)法即可

求得二次函數(shù)的解析式，把x=0代入即可求得的y的值即可判斷;

（2）由兩函數(shù)的圖象直接寫出x的取值范圍即可.

解：（1）設二次函數(shù)為y=a（x+1）2+1,

???經(jīng)過點A(-3,-3)

-3=4a+l,

，a=-1,

二次函數(shù)的解析式為y=-(x+1)2+1,

把x=0代入y=-(x+1)2+1,得y=-1+1=0,

原點(0,0)在二次函數(shù)的圖象上；

(2)由圖象可知，關于x的不等式的解集是x<-3或x>0.

【點評】本題是一道函數(shù)的綜合試題，考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，函數(shù)與不

等式的關系，數(shù)形結合是解題的關鍵.

20.如圖，以AB為直徑的。O經(jīng)過AABC的頂點C,AE,BE分別平分NBAC和/ABC,

AE的延長線交。O于點D,連接BD、CD.

(1)判斷ABDE的形狀，并說明理由；

(2)若AB=13,BC=12,求BD的長.

【分析】(1)根據(jù)角平分線的定義可得NBAD=/CAD,ZABE=ZEBC,再根據(jù)同弧

所對的圓周角相等可得/CBD=/CAD,從而可得/CBD=NBAD,然后利用角的和差

關系，以及三角形外角的性質可得/DBE=NBED,從而利用等角對等邊可得BD=DE,

最后再根據(jù)直徑所對的圓周角是直角可得/ADB=90°,即可解答；

(2)利用(1)的結論，以及同弧所對的圓周角相等可得/CBD=NBCD,從而可得BD

=DC,再根據(jù)OB=OC可得OD是BC的垂直平分線，從而可得OFLBC,BF=BC=6,然

后在RtAOBF中，利用勾股定理求出OF的長，從而求出DF的長，最后在RtABDF中,

利用勾股定理進行計算即可解答.

解：(1)4BDE是等腰直角三角形，

理由：：AD平分/BAC,BE平分/ABC,

；./BAD=NCAD,NABE=NEBC,

VZCBD=ZCAD,

???NCBD=NBAD,

?.,ZDBE=ZCBD+ZEBC,ZBED=ZBAD+ZABE,

???NDBE=NBED,

???BD=DE,

TAB是。O的直徑，

???NADB=90°,

???ABDE是等腰直角三角形；

(2)連接OC,連接OD交BC于點F,

個、尸:/

D

VZCBD=ZCAD,NBCD=NBAD,NBAD=NCAD,

???NCBD=NBCD,

???BD=DC,

VOB=OC,

???OD是BC的垂直平分線，

AOFXBC,BF=BC=6,

在RtAOBF中,OB=AB=6.5,

OF===2.5,

.\DF=OD-OF=4,

???BD===2,

ABD的長為2.

【點評】本題考查了圓周角定理，角平分線的性質，根據(jù)題目的已知條件并結合圖形添加適

當?shù)妮o助線是解題的關鍵.

21.已知二次函數(shù)（m是實數(shù)）.

(1)小明說：當m的值變化時，二次函數(shù)圖象的頂點始終在一條直線上運動，你認為他

的說法對嗎？為什么？

(2)已知點P(a-5,t),Q(4m+3+a,t)都在該二次函數(shù)圖象上，求證：t27.

【分析】(1)求得拋物線的頂點坐標為(2m,3-4m),即可得到頂點在直線y=-2x+3

上，即可判斷小明說法正確；

(2)由點P(a-5,c),Q(4m+3+a,c)的縱坐標相同，即可求得對稱軸為直線x==2m,

即可得出2a-2=0,求得a=l,得到P(-4,t),代入解析式即可得到c=(-4-2m)

2+3-4m=-(m+4)2+15,根據(jù)二次函數(shù)的性質即可證得結論

【解答】(1)解：小明說法正確，理由如下：

?；y=(xWm)2+3Ym(m是實數(shù))，

，頂點坐標為(2m,3-4m),

二次函數(shù)圖象的頂點始終在直線y=-2x+3上運動，

故小明說法正確；

(2)證明：：點P(a-5,t),Q(4m+3+a,t)都在該二次函數(shù)圖象上，

對稱軸為直線x==2m,

2a-2=0,

a=l,

；.P(-4,t),

；.t=(-4-2m)2+3-4m=m2+7,

，t27.

【點評】本題考查了二次函數(shù)的性質，二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，熟練掌握二次函數(shù)

的性質是解題的關鍵.

22.如圖，一小球M從斜坡OA上的O點處拋出，球的拋出路線是拋物線的一部分，建

立如圖所示的平面直角坐標系，斜坡可以用一次函數(shù)刻畫.若小球到達的最高的點坐標為

(4,8),解答下列問題：

(1)求拋物線的表達式：

(2)在斜坡OA上的B點有一棵樹，B點的橫坐標為2,樹高為3.5,小球M能否飛過這

棵樹？通過計算說明理由；

(3)求小球M在飛行的過程中離斜坡OA的最大高度.

M

/

Oa

【分析】(I)根據(jù)題意和題目中的數(shù)據(jù)，可以設拋物線的頂點式，然后將(0,。)代入計

算即可；

(2)將x=2代入(1)中的拋物線表達式和直線，求出相應的y的值，然后作差與3.5

比較即可；

(3)設小球M在飛行的過程中離斜坡OA的為h,然后即可得到h關于x的二次函數(shù)關

系式，再化為頂點式，即可得到h的最大值.

解：(1)設該拋物線的表達式為y=a(x-4)2+8,

?.?點(0,0)在該函數(shù)圖象上，

/.0=a(0-4)2+8,

解得a=

拋物線的表達式為y=-(x-4)2+8:

(2)小球M能否飛過這棵樹，

理由：將x=2代入y=-(x-4)2+8,得:y=-(2-4)2+8=6,

將x=2代入，得:y=X2=l,

V6-1=5>3.5,

小球M能否飛過這棵樹；

(3)設小球M在飛行的過程中離斜坡OA的高度為h,

則h=-(x-4)2+8-x=-(x-)2+,

...當x=時,h取得最大值，

答：小球M在飛行的過程中離斜坡OA的最大高度是.

【點評】本題考查二次函數(shù)的應用，解答本題的關鍵是明確題意，求出相應的