2025屆青海省西寧市城西區(qū)海湖中學(xué)數(shù)學(xué)高二上期末統(tǒng)考模擬試題含解析

2025屆青海省西寧市城西區(qū)海湖中學(xué)數(shù)學(xué)高二上期末統(tǒng)考模擬試題請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫(xiě)在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫(xiě)在試題卷、草稿紙上均無(wú)效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．等差數(shù)列中，若，，則等于（）A. B.C. D.2．我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中說(shuō)：“九百九十六斤棉，贈(zèng)分八子做盤(pán)纏，次第每人多十七，要將第八數(shù)來(lái)言，務(wù)要分明依次第，孝和休惹外人傳.”意為：“996斤棉花，分別贈(zèng)送給8個(gè)子女做旅費(fèi)，從第一個(gè)孩子開(kāi)始，以后每人依次多17斤，直到第8個(gè)孩子為止.分配時(shí)一定要依照次序分，要順從父母，兄弟間和氣，不要引得外人說(shuō)閑話(huà).”在這個(gè)問(wèn)題中，第5個(gè)孩子分到棉花為（）A.133斤 B.116斤C.99斤 D.65斤3．已知直線(xiàn)：與雙曲線(xiàn)的兩條漸近線(xiàn)分別相交于A、B兩點(diǎn)，若C為直線(xiàn)與y軸的交點(diǎn)，且，則k等于（）A.4 B.6C. D.4．命題“若，則”的逆命題、否命題、逆否命題中是真命題的個(gè)數(shù)為（）A.0個(gè) B.1個(gè)C.2個(gè) D.3個(gè)5．已知圓的半徑為，平面上一定點(diǎn)到圓心的距離，是圓上任意一點(diǎn).線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)和直線(xiàn)相交于點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡為，當(dāng)時(shí)，軌跡對(duì)應(yīng)曲線(xiàn)的離心率取值范圍為（）A. B.C. D.6．過(guò)點(diǎn)，的直線(xiàn)的斜率等于2，則的值為（）A.0 B.1C.3 D.47．已知，則“”是“直線(xiàn)與平行”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件8．已知M、N為橢圓上關(guān)于短軸對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn),A、B分別為橢圓的上下頂點(diǎn),設(shè)、分別為直線(xiàn)的斜率,則的最小值為()A. B.C. D.9．若雙曲線(xiàn)與橢圓有公共焦點(diǎn)，且離心率，則雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A. B.C. D.10．通過(guò)隨機(jī)詢(xún)問(wèn)110名不同的大學(xué)生是否愛(ài)好某項(xiàng)運(yùn)動(dòng)，得到如下的列聯(lián)表：男女總計(jì)愛(ài)好402060不愛(ài)好203050總計(jì)6050110由附表：0．0500．0100．0013．8416．63510．828參照附表，得到的正確結(jié)論是（）A.有99%以上的把握認(rèn)為“愛(ài)好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)”B.有99%以上的把握認(rèn)為“愛(ài)好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別無(wú)關(guān)”C.在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0．1%的前提下，認(rèn)為“愛(ài)好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)”D.在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0．1%的前提下，認(rèn)為“愛(ài)好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別無(wú)關(guān)”11．在直三棱柱中，，，則直線(xiàn)與所成角的大小為（）A.30° B.60°C.120° D.150°12．已知拋物線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，則拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖是某賽季CBA廣東東莞銀行隊(duì)甲、乙兩名籃球運(yùn)動(dòng)員每場(chǎng)比賽得分的莖葉圖，則甲、乙比賽得分的中位數(shù)之和是______.14．已知圓和直線(xiàn).（1）求直線(xiàn)l所經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)的坐標(biāo)，并判斷直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系；（2）求當(dāng)k取什么值，直線(xiàn)被圓截得的弦最短，并求這條最短弦的長(zhǎng).15．某單位現(xiàn)有三個(gè)部門(mén)競(jìng)崗，甲、乙、丙三人每人只競(jìng)選一個(gè)部門(mén)，設(shè)事件A為“三人競(jìng)崗部門(mén)都不同”，B為“甲獨(dú)自競(jìng)崗一個(gè)部門(mén)”，則______.16．若曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)斜率為，則___________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，橢圓E：過(guò)點(diǎn)，離心率為（1）求E的方程；（2）設(shè)直線(xiàn)（k∈R）與橢圓E交于A，B兩點(diǎn)，在y軸上是否存在定點(diǎn)M，使得對(duì)任意實(shí)數(shù)k，直線(xiàn)AM，BM的斜率乘積為定值？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由18．（12分）已知圓C的方程為.（1）直線(xiàn)l1過(guò)點(diǎn)P(3，1)，傾斜角為45°，且與圓C交于A，B兩點(diǎn)，求AB的長(zhǎng)；（2）求過(guò)點(diǎn)P(3，1)且與圓C相切的直線(xiàn)l2的方程.19．（12分）已知點(diǎn)，橢圓：的離心率為，是橢圓的右焦點(diǎn)，直線(xiàn)的斜率為，為坐標(biāo)原點(diǎn)．設(shè)過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線(xiàn)與相交于，兩點(diǎn)（1）求橢圓的方程（2）是否存在直線(xiàn)，使得的面積為？若存在，求出的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由20．（12分）書(shū)籍是精神世界的入口，閱讀讓精神世界閃光，閱讀逐漸成為許多人的一種生活習(xí)慣，每年4月23日為世界讀書(shū)日.某研究機(jī)構(gòu)為了解當(dāng)?shù)啬贻p人的閱讀情況，通過(guò)隨機(jī)抽樣調(diào)查了100位年輕人，對(duì)這些人每天的閱讀時(shí)間（單位：分鐘）進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到樣本的頻率分布直方圖，如圖所示：（1）求的值；（2）為了進(jìn)一步了解年輕人的閱讀方式，研究機(jī)構(gòu)采用分層抽樣的方法從每天閱讀時(shí)間位于，和的年輕人中抽取5人，再?gòu)闹腥芜x2人進(jìn)行調(diào)查，求其中至少有1人每天閱讀時(shí)間位于的概率.21．（12分）如圖所示，平面ABCD，四邊形AEFB為矩形，，，（1）求證：平面ADE；（2）求平面CDF與平面AEFB所成銳二面角的余弦值22．（10分）如圖，在三棱錐中，側(cè)面PBC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，M，N分別為AB，AP的中點(diǎn)．過(guò)MN的平面與側(cè)面PBC交于EF（1）求證：；（2）若平面平面ABC，，求直線(xiàn)PB與平面PAC所成角的正弦值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】由等差數(shù)列下標(biāo)和性質(zhì)可得.【詳解】因?yàn)?，，所?故選：C2、A【解析】根據(jù)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式進(jìn)行求解即可.【詳解】依題意得，八個(gè)子女所得棉花斤數(shù)依次構(gòu)成等差數(shù)列，設(shè)該等差數(shù)列為，公差為d，前n項(xiàng)和為，第一個(gè)孩子所得棉花斤數(shù)為，則由題意得，，解得，故選：A3、D【解析】先求出雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程，然后分別與直線(xiàn)聯(lián)立，求出A、B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)，再利用可求解.【詳解】由雙曲線(xiàn)方程可知其漸近線(xiàn)方程為：，當(dāng)時(shí)，與聯(lián)立，得，同理得，由，且可知，所以有，解得.故選：D4、B【解析】先判斷出原命題和逆命題的真假，進(jìn)而根據(jù)互為逆否的兩個(gè)命題同真或同假最終得到答案.【詳解】“若a=0，則ab=0”，命題為真，則其逆否命題也為真；逆命題為：“若ab=0，則a=0”，顯然a=1，b=0時(shí)滿(mǎn)足ab=0，但a≠0，即逆命題為假，則否命題也為假.故選：B.5、D【解析】分點(diǎn)A在圓內(nèi)，圓外兩種情況，根據(jù)中垂線(xiàn)的性質(zhì)，結(jié)合橢圓、雙曲線(xiàn)的定義可判斷軌跡，再由離心率計(jì)算即可求解.【詳解】當(dāng)A在圓內(nèi)時(shí)，如圖，,所以的軌跡是以O(shè)，A為焦點(diǎn)的橢圓，其中，，此時(shí)，，.當(dāng)A在圓外時(shí)，如圖，因?yàn)椋攒壽E是以O(shè)，A為焦點(diǎn)的雙曲線(xiàn)，其中，，此時(shí)，，.綜上可知，.故選：D6、A【解析】利用斜率公式即求.【詳解】由題可得，∴.故選：A7、A【解析】首先由兩直線(xiàn)平行的充要條件求出參數(shù)的取值，再根據(jù)充分條件、必要條件的定義判斷即可；【詳解】因?yàn)橹本€(xiàn)與平行，所以，解得或，所以“”是“直線(xiàn)與平行”的充分不必要條件.故選：A.8、A【解析】利用為定值即可獲解.【詳解】設(shè)則又,所以所以當(dāng)且僅當(dāng),即,取等故選:A9、A【解析】首先求出橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)，然后根據(jù)可得雙曲線(xiàn)方程中的的值，然后可得答案.【詳解】橢圓焦點(diǎn)坐標(biāo)為所以雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)在軸上，，因?yàn)?，所以，所以雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為故選：A10、A【解析】由，而，故由獨(dú)立性檢驗(yàn)的意義可知選A11、B【解析】根據(jù)三棱柱的特征補(bǔ)全為正方體，則，為直線(xiàn)與所成角，連接，則為等邊三角形即可得解.【詳解】根據(jù)直三棱柱的特征，補(bǔ)全可得如圖所示的正方體，易知，為直線(xiàn)與所成角，連接，則為等邊三角形，所以，所以直線(xiàn)與所成角的大小為.故選：B12、D【解析】把點(diǎn)代入拋物線(xiàn)方程求出，再化成標(biāo)準(zhǔn)方程可得解.【詳解】因?yàn)閽佄锞€(xiàn)過(guò)點(diǎn)，所以，所以?huà)佄锞€(xiàn)方程為，方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程為，故拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為.故選：D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、58【解析】分別將甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員的得分按小到大或者大到小排序，分別確定中位數(shù)，再相加即可【詳解】因?yàn)榧?、乙兩名籃球運(yùn)動(dòng)員各參賽11場(chǎng)，故中位數(shù)是第6個(gè)數(shù)甲的得分按小到大排序后為：12,22,23,32,33,34,35,40,43,44,46，所以，中位數(shù)為34乙的得分按小到大排序后為：12,13,21,22,23,24,31,31,34,40,49所以，中位數(shù)為24所以，中位數(shù)之和為34+24＝58，故答案為：5814、（1）直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)P（4，3），直線(xiàn)和圓總有兩個(gè)不同交點(diǎn)（2）k=1，【解析】(1)把直線(xiàn)方程化為點(diǎn)斜式方程即可；(2)由圓的性質(zhì)知，當(dāng)直線(xiàn)與PC垂直時(shí)，弦長(zhǎng)最短.【小問(wèn)1詳解】直線(xiàn)方程可化為，則直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)P（4，3），又圓C標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑為，而，所以點(diǎn)P在圓內(nèi)，所以不論k取何值，直線(xiàn)和圓總有兩個(gè)不同交點(diǎn).【小問(wèn)2詳解】由圓的性質(zhì)知，當(dāng)直線(xiàn)與PC垂直時(shí)，弦長(zhǎng)最短.，所以k=1時(shí)弦長(zhǎng)最短.弦長(zhǎng)為.15、##0.5【解析】根據(jù)給定條件求出事件B和AB的概率，再利用條件概率公式計(jì)算作答.【詳解】依題意，，，所以.故答案：16、【解析】由導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解即可【詳解】，，解得.故答案為：1三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）（2）存在，或者【解析】（1）由離心率和橢圓經(jīng)過(guò)的點(diǎn)列出方程組，求出，得到橢圓方程；（2）假設(shè)存在，設(shè)出直線(xiàn)，聯(lián)立橢圓，利用韋達(dá)定理得到兩根之和，兩根之積，結(jié)合斜率乘積為定值得到關(guān)于的方程，求出答案.【小問(wèn)1詳解】由題可得，，①由，得，即，則，②將②代入①，解得，，故E的方程為【小問(wèn)2詳解】設(shè)存在點(diǎn)滿(mǎn)足條件記，由消去y，得．顯然，判別式＞0，所以，，于是＝＝＝上式為定值，當(dāng)且僅當(dāng)，解得或此時(shí)，或所以，存在定點(diǎn)或者滿(mǎn)足條件18、（1）（2）x=3或【解析】（1）首先利用點(diǎn)斜式求出直線(xiàn)的方程，再利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式求出圓心到直線(xiàn)的距離，最后利用垂直定理、勾股定理計(jì)算可得；（2）依題意可得點(diǎn)在圓外，分直線(xiàn)的斜率存在與不存在兩種情況討論，當(dāng)直線(xiàn)的斜率不存在直線(xiàn)得到直線(xiàn)方程，但直線(xiàn)的斜率存在時(shí)設(shè)直線(xiàn)方程為，利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式得到方程，解得，即可得解；【小問(wèn)1詳解】解：根據(jù)題意，直線(xiàn)的方程為，即，則圓心到直線(xiàn)的距離為故；【小問(wèn)2詳解】解：根據(jù)題意，點(diǎn)在圓外，分兩種情況討論：當(dāng)直線(xiàn)的斜率不存在時(shí)，過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)方程是，此時(shí)與圓C：相切，滿(mǎn)足題意；當(dāng)直線(xiàn)的斜率存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)方程為，即，直線(xiàn)與圓相切時(shí)，圓心到直線(xiàn)的距離為解得此時(shí)，直線(xiàn)的方程為，所以滿(mǎn)足條件的直線(xiàn)的方程是或.19、（1）；（2）存在；或.【解析】（1）設(shè)，由，，，求得的值即可得橢圓的方程；（2）設(shè)，，直線(xiàn)的方程為與橢圓方程聯(lián)立可得，，進(jìn)而可得弦長(zhǎng)，求出點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，解方程，求得的值即可求解.【小問(wèn)1詳解】設(shè)，因?yàn)橹本€(xiàn)的斜率為，，所以，可得，又因?yàn)?，所以，所以，所以橢圓的方程為【小問(wèn)2詳解】假設(shè)存在直線(xiàn)，使得的面積為，當(dāng)軸時(shí)，不合題意，設(shè)，，直線(xiàn)的方程為，聯(lián)立消去得：，由可得或，，，所以，點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，所以，整理可得：即，所以或，所以或，所以存在直線(xiàn)：或使得的面積為.20、（1）（2）【解析】（1）由頻率之和為1求參數(shù).（2）由分層抽樣的比例可得抽取的5人中，和分別為：1人，2人，2人，再應(yīng)用列舉法寫(xiě)出所有基本事件，根據(jù)古典概型的概率計(jì)算即可.小問(wèn)1詳解】根據(jù)頻率分布直方圖得：，解得；【小問(wèn)2詳解】由于，和的頻率之比為：，故抽取的5人中，，和別為：1人，2人，2人，記的1人為，的2人為，，的2人為，，故隨機(jī)抽取2人共有，，，，，，，，，10種，其中至少有1人每天閱讀時(shí)間位于的包含，，，，，，共7種，故概率.21、（1）見(jiàn)解析（2）【解析】（1）根據(jù)，，從而證明平面平面ADE，從而平面ADE。（2）以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，寫(xiě)出點(diǎn)的空間坐標(biāo)，根據(jù)向量法求解即可。【詳解】（1）∵四邊形ABEF為矩形又平面ADE，AE平面ADE平面ADE又，同理可得：平面ADE又，BF，BC平面BCF∴平面平面ADE又CF平面BCF平面ADE（2）如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，,,設(shè)是平面CDF的一個(gè)法向量，則即令，解得又是平面AEFB的一個(gè)法向量，∴平面CDF與平面AEFB所成銳二面角的余弦值為.【點(diǎn)睛】此題考查立體幾何線(xiàn)面平行證明和二面角求法，線(xiàn)面平行可先證面面平行得到，屬于簡(jiǎn)單題目。22、（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】（1）由題意先證明平面PBC，然后由線(xiàn)面平行的性質(zhì)定理可證明.（2）由平面平面ABC，