2025屆北京市昌平區(qū)臨川育人學(xué)校高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末考試試題含解析

2025屆北京市昌平區(qū)臨川育人學(xué)校高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末考試試題注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．若執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出S的值是（）A.18 B.78C.6 D.502．已知點(diǎn)是橢圓上一點(diǎn)，點(diǎn)，則的最小值為A. B.C. D.3．已知為等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，，，則（）A.30 B.C. D.30或4．甲、乙兩名射擊運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行比賽，甲的中靶概率為0.8，乙的中靶概率為0.9，則兩人各射擊一次恰有一人中靶的概率為（）A.0.26 B.0.28C.0.72 D.0.985．頂點(diǎn)在原點(diǎn)，關(guān)于軸對(duì)稱，并且經(jīng)過點(diǎn)的拋物線方程為（）A. B.C. D.6．已知函數(shù)與，則它們的圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）A.0 B.1C.2 D.不確定7．若，則（）A.22 B.19C.－20 D.－198．我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》有如下問題：“今有金箠，長五尺，斬本一尺，重四斤，斬末一尺，重二斤”意思是：“現(xiàn)有一根金杖，長5尺，頭部1尺，重4斤；尾部1尺，重2斤；若該金杖從頭到尾每一尺重量構(gòu)成等差數(shù)列，其中重量為，則的值為（）A.4 B.12C.15 D.189．拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)A. B.C. D.10．已知拋物線C：的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)P（-1，0）且斜率為的直線l與拋物線C相交于A，B兩點(diǎn)，則（）A. B.14C. D.1511．設(shè)，，且，則等于（）A. B.C. D.12．已知橢圓的上下頂點(diǎn)分別為，一束光線從橢圓左焦點(diǎn)射出，經(jīng)過反射后與橢圓交于點(diǎn)，則直線的斜率為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設(shè)，是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是雙曲線上任意一點(diǎn)，過作平分線的垂線，垂足為M，則點(diǎn)M到直線的距離的最小值是___14．曲線的長度為____________.15．函數(shù)在區(qū)間上的最小值為__________.16．直線l交橢圓于A，B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為，直線是線段AB的垂直平分線，若，D為垂足，則D點(diǎn)的軌跡方程是______三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）一位父親在孩子出生后，每月給小孩測(cè)量一次身高，得到前7個(gè)月的數(shù)據(jù)如下表所示．月齡1234567身高（單位：厘米）52566063656870（1）求小孩前7個(gè)月的平均身高；（2）求出身高y關(guān)于月齡x的回歸直線方程（計(jì)算結(jié)果精確到整數(shù)部分）；（3）利用（2）的結(jié)論預(yù)測(cè)一下8個(gè)月的時(shí)候小孩的身高參考公式：18．（12分）已知數(shù)列滿足，，數(shù)列前項(xiàng)和為.（1）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；（2）表示不超過的最大整數(shù)，如，設(shè)的前項(xiàng)和為，令，求證：.19．（12分）某快餐配送平臺(tái)針對(duì)外賣員送餐準(zhǔn)點(diǎn)情況制定了如下的考核方案：每一單自接單后在規(guī)定時(shí)間內(nèi)送達(dá)、延遲5分鐘內(nèi)送達(dá)、延遲5至10分鐘送達(dá)、其他延遲情況，分別評(píng)定為四個(gè)等級(jí)，各等級(jí)依次獎(jiǎng)勵(lì)3元、獎(jiǎng)勵(lì)0元、罰款3元、罰款6元.假定評(píng)定為等級(jí)的概率分別是.（1）若某外賣員接了一個(gè)訂單，求其不被罰款的概率；（2）若某外賣員接了兩個(gè)訂單，且兩個(gè)訂單互不影響，求這兩單獲得的獎(jiǎng)勵(lì)之和為3元的概率.20．（12分）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在圓上，過點(diǎn)P作軸的垂線，垂足為Q且.（1）求動(dòng)點(diǎn)D的軌跡E的方程；（2）直線與圓相切，且直線與曲線E相交于兩不同的點(diǎn)A、B，T為線段AB的中點(diǎn).線段OA、OB分別與圓O交于M、N兩點(diǎn)，記的面積分別為，求的取值范圍.21．（12分）設(shè)點(diǎn)，動(dòng)圓P經(jīng)過點(diǎn)F且和直線相切，記動(dòng)圓的圓心P的軌跡為曲線W（1）求曲線W的方程；（2）直線與曲線W交于A、B兩點(diǎn)，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知點(diǎn)T的坐標(biāo)為，記直線TA，TB的斜率分別為，，則是否為定值，若是求出，不是說明理由22．（10分）已知函數(shù).（1）求函數(shù)的極值；（2）若對(duì)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】根據(jù)框圖逐項(xiàng)計(jì)算后可得正確的選項(xiàng).【詳解】第一次循環(huán)前，；第二次循環(huán)前，；第三次循環(huán)前，；第四次循環(huán)前，；第五次循環(huán)前，此時(shí)滿足條件，循環(huán)結(jié)束，輸出S的值是18故選：A2、D【解析】設(shè)，則，.所以當(dāng)時(shí)，的最小值為.故選D.3、A【解析】利用等比數(shù)列基本量代換代入，列方程組，即可求解.【詳解】由得，則等比數(shù)列的公比，則得，令，則即，解得或（舍去），，則故選：A4、A【解析】依據(jù)獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率即可求得甲乙兩人各射擊一次恰有一人中靶的概率.【詳解】記甲中靶為事件A，乙中靶為事件B，則甲乙兩人各射擊一次恰有一人中靶，包含甲中乙不中和甲不中乙中兩種情況，則甲乙兩人各射擊一次恰有一人中靶的概率為故選：A5、C【解析】根據(jù)題意，設(shè)拋物線的方程為，進(jìn)而待定系數(shù)求解即可.【詳解】解：由題，設(shè)拋物線的方程為，因?yàn)樵趻佄锞€上，所以，解得，即所求拋物線方程為故選：C6、B【解析】令，判斷的單調(diào)性并計(jì)算的極值，根據(jù)極值與0的大小關(guān)系判斷的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，得出答案.【詳解】令，則，由，得，∴當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.∴當(dāng)時(shí)，取得最小值，∴只有一個(gè)零點(diǎn)，即與的圖象只有1個(gè)交點(diǎn).故選：B.7、C【解析】將所求進(jìn)行變形可得，根據(jù)二項(xiàng)式定理展開式，即可求得答案.【詳解】由題意得所以.故選：C8、C【解析】先求出公差，再利用公式可求總重量.【詳解】設(shè)頭部一尺重量為，其后每尺重量依次為，由題設(shè)有，，故公差為.故中間一尺的重量為所以這5項(xiàng)和為.故選：C.9、B【解析】由拋物線方程知焦點(diǎn)在x軸正半軸，且p=4，所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為，所以選B10、C【解析】設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，根據(jù)拋物線的定義求出，然后將直線的方程代入拋物線方程并化簡，進(jìn)而結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系求得答案.【詳解】設(shè)A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，直線的方程為，拋物線的準(zhǔn)線方程為：，由拋物線定義可知：.聯(lián)立方程，消去y后整理為，可得，，.故選：C.11、A【解析】由空間向量垂直的坐標(biāo)表示可求得實(shí)數(shù)的值.【詳解】由已知可得，解得.故選：A.12、B【解析】根據(jù)給定條件借助橢圓的光學(xué)性質(zhì)求出直線AD的方程，進(jìn)而求出點(diǎn)D的坐標(biāo)計(jì)算作答.【詳解】依題意，橢圓的上頂點(diǎn)，下頂點(diǎn)，左焦點(diǎn)，右焦點(diǎn)，由橢圓的光學(xué)性質(zhì)知，反射光線AD必過右焦點(diǎn)，于是得直線AD的方程為：，由得點(diǎn)，則有，所以直線的斜率為.故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、1【解析】構(gòu)造全等三角形，結(jié)合雙曲線定義，求得點(diǎn)的軌跡方程，再根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系，即可求得點(diǎn)到直線距離的最小值.【詳解】延長交的延長線于點(diǎn)，如下所示：因?yàn)槠椒?，且，故△△，則，又，則，又在△中，分別為的中點(diǎn)，故可得；設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，即點(diǎn)在圓心為，半徑的圓上，圓心到直線的距離，故點(diǎn)到直線距離的最小值為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的定義，以及直線與圓的位置關(guān)系，解決問題的關(guān)鍵在于通過幾何關(guān)系求得點(diǎn)的軌跡方程，屬中檔題.14、【解析】曲線的圖形是：以原點(diǎn)為圓心，以2為半徑的圓的左半圓，進(jìn)而可求出結(jié)果.【詳解】解：由得，所以曲線（）的圖形是：以原點(diǎn)為圓心，以2為半徑的圓的左半圓，∴曲線（）的長度是，故答案為：.15、【解析】先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)判斷其單調(diào)性，然后利用單調(diào)性求函數(shù)的最小值【詳解】解：由，得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即取等號(hào)，因?yàn)椋院瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值0，故答案為：016、【解析】設(shè)直線l的方程為，代入橢圓方程并化簡，然后根據(jù)M為線段AB的中點(diǎn)結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系得到k,t間的關(guān)系，進(jìn)而寫出線段AB的垂直平分線的直線方程，可以判斷它過定點(diǎn)E，再考慮直線l的斜率不存在的情況，根據(jù)題意可知，點(diǎn)D在以O(shè)E為直徑的圓上，最后求出點(diǎn)D的軌跡方程.【詳解】設(shè)直線l的方程為，代入橢圓方程并化簡得：，設(shè)，則，解得.因?yàn)橹本€是線段AB的垂直平分線，故直線：，即：令，此時(shí)，，于是直線過定點(diǎn)當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，，直線也過定點(diǎn)點(diǎn)D在以O(shè)E為直徑的圓上，則圓心為，半徑，所以點(diǎn)D軌跡方程為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）62；（2）；（3）74.【解析】（1）直接利用平均數(shù)的計(jì)算公式即可求解；（2）套公式求出b、a，求出回歸方程；（3）把x=8代入回歸方程即可求出.【小問1詳解】小孩前7個(gè)月的平均身高為.【小問2詳解】(2)設(shè)回歸直線方程是.由題中的數(shù)據(jù)可知.，..計(jì)算結(jié)果精確到整數(shù)部分,所以,于是，所以身高y關(guān)于月齡x的回歸直線方程為.【小問3詳解】由(2)知,.當(dāng)x=8時(shí),y=3×8+50=74,所以預(yù)測(cè)8個(gè)月的時(shí)候小孩的身高為74厘米.18、（1），（2）證明見解析【解析】(1)利用累加法求通項(xiàng)公式，利用通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式的關(guān)系可求的通項(xiàng)公式；(2)求出并判斷其范圍，求出，利用裂項(xiàng)相消法求的前n項(xiàng)和即可證明.【小問1詳解】由題可知，當(dāng)n≥2時(shí)，＝當(dāng)n＝1時(shí)，也符合上式，∴；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)n＝1時(shí)，也符合上式，∴；【小問2詳解】由(1)知，∴，∵，；∵，，，，，∴設(shè)為數(shù)列的前n項(xiàng)和，則.19、（1）（2）【解析】（1）利用互斥事件的概率公式，即可求解；（2）由條件可知兩單共獲得的獎(jiǎng)勵(lì)為3元即事件，同樣利用互斥事件和的概率，即可求解.【小問1詳解】設(shè)事件分別表示“被評(píng)為等級(jí)”，由題意，事件兩兩互斥，所以，又“不被罰款”，所以.因此“不被罰款”概率為；【小問2詳解】設(shè)事件表示“第單被評(píng)為等級(jí)”，，則“兩單共獲得的獎(jiǎng)勵(lì)為3元”即事件，且事件彼此互斥，又，所以.20、（1）；（2）.【解析】(1)設(shè)出點(diǎn)D的坐標(biāo)，借助向量運(yùn)算表示出點(diǎn)P的坐標(biāo)代入圓O的方程計(jì)算作答.(2)在直線的斜率存在時(shí)設(shè)出其方程，與軌跡E的方程聯(lián)立，借助韋達(dá)定理表示出，再利用二次函數(shù)性質(zhì)計(jì)算得解，然后計(jì)算直線的斜率不存在的值作答.【小問1詳解】設(shè)點(diǎn)，則，因，則有，又點(diǎn)P在圓上，即，所以動(dòng)點(diǎn)D的軌跡E的方程是.【小問2詳解】當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為：，因直線與圓相切，則，即，而時(shí)，直線與橢圓E相切，不符合題意，因此，由消去x并整理得：，設(shè)，則，而點(diǎn)T是線段AB中點(diǎn)，則有：，令，則，而，當(dāng)，即時(shí)，，當(dāng)，即時(shí)，，而，于是得，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線，，此時(shí)，所以的取值范圍是.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：圓錐曲線中的最值問題，往往需要利用韋達(dá)定理構(gòu)建目標(biāo)的函數(shù)關(guān)系式，自變量可以斜率或點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)等.而目標(biāo)函數(shù)的最值可以通過二次函數(shù)或基本不等式或?qū)?shù)等求得.21、（1）；（2）是定值，.【解析】(1)根據(jù)給定條件結(jié)合拋物線定義直接求解作答.(2)聯(lián)立直線與拋物線方程，借助韋達(dá)定理、斜率坐標(biāo)公式計(jì)算作答.【小問1詳解】過點(diǎn)P作直線的垂線，垂足為點(diǎn)N，依題意，，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是以為焦點(diǎn)，直線為準(zhǔn)線的拋物線，所以曲線W的方程是.【小問2詳解】設(shè)，，由消去x并整理得：，則，，因，，則，，因此，所以.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求定值問題常見的方法：(1)從特殊入手，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無關(guān)；(2)直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過程中消去變量，從而得到定值22、（1）極大值為，無極小值（2）【解析】（1）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)判斷極值點(diǎn)，代入原函數(shù)計(jì)算即